2005年高考重庆市理科数学试题

2005重庆卷试题及答案源头学子小屋数学试题（理工农医类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ） A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x2．200511i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．iB ．－iC ．20052D ．－200523．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）4．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量与DA 的夹角为（ ）A ．54arccos2-πB ．54arccos C ．)54arccos(-D ．－)54arccos(-5．若x ，y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是（ ） A ．3 B ．27 C ．4D ．29 6．已知α、β均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于 （ ）A ．4B ．6C ．8D ．109．若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+bD ．2b10．如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD上分别取点E 、F 、G ， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O —BCD 的体积等于 （ ）A ．91B ．81C ． 71D ．41第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，则B A = . 12．曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= 13．已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+=14．n n n n n 231233232lim +-+∞→= 15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(xx a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分） 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE19．（本小题满分13分） 已知R a ∈，讨论函数)1()(2+++=a ax x e x f x 的极值点的个数20．（本小题满分13分） 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3π，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值. 21．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nnn 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….1112005重庆卷试题及答案参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C 二、填空题：每小题4分，满分24分.11．}30|{<<x x 12．1± 13．1 14．－3 15．1284516．②③⑤ 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）.15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a a ax a x ax xx a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ18．（本小题13分） 解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且 故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）. 19．（本小题13分）.0)12()2(0)()],12()2([)2()1()(:222=++++='++++=+++++='a x a x x f a x a x e a x e a ax x e x f x x x 得令解（1）当.0)4(4)12(4)2(22>-=-=+-+=∆a a a a a a:),)(()(,,,0)12()2(,402121212从而有下表于是不妨设有两个不同的实根方程时或即x x x x e x f x x x x a x a x a a x --='<=++++><即此时)(x f 有两个极值点.（2）当0)12()2(,4002=++++===∆a x a x a a 方程时或即有两个相同的实根21x x =于是21)()(x x e x f x-=')(,0)(,;0)(,21x f x f x x x f x x 因此时当时故当>'>>'<无极值.（3）,0)12()2(,40,02>++++<<<∆a x a x a 时即当)(,0)]12()2([)(2x f a x a x e x f x 故>++++='为增函数，此时)(x f 无极值. 因此当)(,40,2)(,04x f a x f a a 时当个极值点有时或≤≤<>无极值点.20．（本小题13分） 解法一：（Ⅰ）因AB ⊥面BB 1C 1C ，故AB ⊥BE.又EB 1⊥EA ，且EA 在面BCC 1B 1内的射影为EB.由三垂线定理的逆定理知EB 1⊥BE ，因此BE 是异面直线 AB 与EB 1的公垂线，在平行四边形BCC 1B 1中，设EB=x ，则EB 1=24x -，作BD ⊥CC 1，交CC 1于D ，则BD=BC ·.233sin=π在△BEB 1中，由面积关系得0)3)(1(,23221421222=--⋅⋅=-x x x x 即. 3,1±=±=x x 解之得（负根舍去） ,33cos21,,322=⋅-+∆=πCE CE BCE x 中在时当解之得CE=2，故此时E 与C 1重合，由题意舍去3=x .因此x =1，即异面直线AB 与EB 1的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG//B 1A 1，则GE ⊥面BCC 1B ，故GE ⊥EB 1且GE 在圆A 1B 1E 内， 又已知AE ⊥EB 1故∠AEG 是二面角A —EB 1—A 1的平面角. 因EG//B 1A 1//BA ，∠AEG=∠BAE ，故.2221tan ===AB BE AEG 解法二：（Ⅰ）平面又由得由⊥=⋅⊥AB EB EB AE ,0,11 而BB 1C 1C 得AB ⊥EB 1从而1EB ⋅=0..,0)(111111的公垂线与是异面直线故线段即故EB AB BE EB EB EB AB EB EA EB AB EA EB EB ⊥=⋅+⋅=⋅+=⋅设O 是BB 1的中点，连接EO 及OC 1，则在Rt △BEB 1中，EO=21BB 1=OB 1=1， 因为在△OB 1C 1中，B 1C 1=1，∠OB 1C 1=3π，故△OB 1C 1是正三角形， 所以OC 1=OB 1=1，又因∠OC 1E=∠B 1C 1C －∠B 1C 1O=,3332πππ=-故△OC 1E 是正三角形，111111所以C 1E=1，故CE=1，易见△BCE 是正三角形，从面BE=1， 即异面直线AB 与EB 1的距离是1.（Ⅱ）由（I ）可得∠AEB 是二面角A —EB 1—B 的平面角，在Rt △ABE 中，由AB=2， BE=1，得tanAEB=2.又由已知得平面A 1B 1E ⊥平面BB 1C 1C ， 故二面角A —EB 1—A 1的平面角AEB ∠-=2πθ，故.22cot )2tan(tan ==∠-=AEB AEB πθ解法三：（I ）以B 为原点，1BB 、分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB=2，∠BCC 1=3π， 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），)0,23,23(),0,21,23(1C C -设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EB EA a E)0,2,23()2,,23(0a a --⋅--= ,432)2(432+-=-+=a a a a .,04343)02323()0,21,23()0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅===--即故舍去或即得又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE. 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线， 则14143||=+=BE ，故异面直线AB 、EB 1的距离为1. （II ）由已知有,,1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量EA A B 与11的夹角..22tan ,32||||cos ),2,21,23(),2,0,0(111111===--===θθ即故因A B EA A B21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即 )2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ---- 22．（本小题12分）（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2n n n n a +++≤ 故nnn n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则2005年高考数学试卷及答案第11页 （共11页） 取对数并利用已知不等式得 n n b n n b l n ))1(11l n (l n 1+-+≤+ ).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211l n l n 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n e e b b a b n n 故 故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立.。