6.2有限时间状态调节器

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LQR和PID控制器在飞行器高度控制中的应用讲解

2 S E C T I O N
PID控制器
PID控制器是根据PID控制原理对整个控制系统进行偏差调节，从而使被控变量的实际值与工艺要求的预定值一致。不同的控制规律适用于不同的生产过程，必须合理选择相应的控制规律，否则 PID控制器将达不到预期的控制效果。
PID控制器既有比例作用的及时迅速，又有积分作用的消除余差能力，还有微分作用的超前控制功能。
即要求 t f
设线性时变系统状态方程为：
•
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(t0 ) x0
性能指标为：
J 1 [xT (t)Q(t)x(t) uT (t)R(t)u(t)]dt 20 式中，向量 x(t) Rn ,u(t) Rm ，矩阵
A(t)为n n维时变系统矩阵， B(t)为n m维增益矩阵
x(t)
R1(t)BT (t)
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
(t )
P(t)
LQR即线性二次型调节器，其对象是现在控制理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数，在现代控制理论中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重视。LQR 控制方法的优势在于其控制方案简单，超调量小，且响应速度快。
8
6
4
x1 2
x3 0
x2
-2
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
时间 /sec
Q=diag(1,100,0),R=2时控制输入 U的响应曲线 2
1
0
-1
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-3
-4
-5
-6
-7
-8
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

最优控制理论_第五章

而最优状态x*(t)则是下列线性微分方程的解：
(t ) [ A(t ) B(t ) R 1 (t ) BT (t ) K (t )]x(t ) x x(t0 ) x0
几点说明：
1) 最优控制规律是一个状态线性反馈规律，它能方便地实现闭环最优控制； 2) 由于K(t)是非线性微分方程的解，通常情况下难以求得解析解，需要由计算机求出其数值解，又因为其边界条件在终端处，所以需要逆时间方向求解，因此应在过程开始之前就将K(t)解出，存入计算机以供过程使用； 3) 只要控制时间[t0,tf]是有限的，是有限的 K(t)就是时变的（即使状态方程和性能指标J是定常的），因而最优反馈系统将成为线性时变系统； 4) ) 将最优控制u*(t)及最优状态轨线x*(t)代入性能指标函数，得性能指标得最小值为：
2:无限时间状态调节器
设线性定常系统状态方程为
(t ) Ax (t ) Bu (t ), x
x (t 0 ) x 0
[A,B]能控，u(t)不受约束，二次型性能指标为
J
1 T T [ x ( t ) Qx ( t ) u (t ) Ru (t )]dt t 2 0
Q 0, Q Q T , R 0, R R T
其中Q，R为常数矩阵
要求确定最优控制u*(t)，使J为最小。与有限时间状态调节器相比，有如下几点不同： 1)系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵。 2）终端时刻 t f
当[t0，tf ]为有限时间时，最优控制系统是时变的；
u * (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) x(t )
其中对称矩阵K(t)是下列黎卡提方程的唯一解
(t ) K (t ) A(t ) AT (t ) K (t ) K (t ) B (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) Q (t ) K K (t f ) P

最优控制线性二次型问题

可实现最优线性反馈控制
(5 18)
第6章线性二次型最优控制问题
2.应用其性质求解p(t)
下面思路：
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
x Ax BR 1 BT H Qx AT Qx AT Px x
最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）
x(t ) ax(t ) u (t ) [a
1 p(t )] x(t ) r
x(0) x0
第6章线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：dfun1.mat
function dy = dfun1(t,y)
e(t ) yr (t ) y(t )
1) 2) 3) C (t ) I yr (t ) 0 yr (t ) 0 yr (t ) 0 y(t ) e(t ) y(t ) x(t ) e(t ) 输出调节器跟踪问题状态调节器
e(t ) yr (t ) y(t )
终端时间t , 无限时间问题
6.2.2 无限时间状态调节器问题设线性定常系统的状态方程为
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
(5 1)
初始条件x(t0 ) x0 , 终端时间t
假设控制向量 u(t ) 不受约束，求最优控制 u * (t ) ，使系统的二次型性能指标取极小值。
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
第6章线性二次型最优控制问题
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);

(2021年整理)最优控制理论考试重点

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1．最优控制问题的性能指标(1)积分型性能指标(拉格朗日型）：⎰=ft t dt t t u t x L u J 0]),(),([)(反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。

（2)末值型性能指标（梅耶型）：]),([)(f f t t x u J φ=,接近目标集程度,即末态控制精度的度量. (3)综合性能指标（鲍尔扎型）：⎰+=ft t f f dt t t u t x L t t x u J 0]),(),([]),([)(φ.2．最优控制问题的数学模型给定系统的状态方程：]),(),([)(t t u t x f t x =•;状态方程的边界条件:⎩⎨⎧∈===St x t t x t x t t f f )(,)(,000;给定性能指标：⎰+=f tt f f dt t t u t x L t t x u J 0]),(),([]),([)(φ；允许控制域u （t ）：U t u ∈)(。

3．最优控制应用的几种类型：最短时间控制，最小能量控制，线性调节器,最少燃料消耗控制，线性跟踪器。

4．选取性能指标注意：应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。

5．边界条件：指状态向量在起点或终点的所有容许值的集合。

6．横截条件:依据性能指标的要求，从容许值的集合中选择哪一点作为始态或终态的问题。

最优控制教案第四章线性二次型性能指标的最优控制问题

许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。

设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。

上式中系数21是为了简化计算。

指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。

(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。

(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。

最优控制LQ

y=f(x)的函数极值:
y=f(x1,x2)
df d2 f d2 f 0, 2 0, 2 0 dx dx dx
2 f x1x2 矩阵正定,极小值 2 f 2 x2
2 f f f 2 f x12 0, 0,.... 2 2 x1 x2 x f x x 2 1
6.4 线性二次型最优控制问题
例题 6-20 续
p (t ) q2
( )
q0 / q1 2 ( t t f ) e q0 / q1 q / q 2 ( t t f ) 1 0 1 e q0 / q1
t0
x(t ) f [ x(t ), u (t ), t ]
求泛函的极值问题: 变分法
多元泛函取极值的必要条件是J的一次变分等于零.
J 0
引入哈密顿函数
H J ( f x)
6.3 最优控制求解
H x H x H 0 u
x(t0 ) x0, x(t f ) xtf (t f ) ,..H (t f ) 0, x(t f ) t f
0 x 1 1 x a 2
w( s) C ( sI A) 1 B
1 s2 s a 2 1
281
6.4 线性二次型最优控制问题
6.4 线性二次型最优控制问题
输出调节问题
J
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t ), x(t0 ) x0
u* (t ) R 1BT P(t ) x(t ) K (t ) x(t )
应用Matlab 解LQ问题

最优化控制线性二次型最优控制问题

用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值附近——状态调节器问题。
7
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若Yr(t)0，则 e(t) Yr (t) Y (t)
于是性能指标可写为
J

1 2
[Yr
(t
f
) Y (t f
)]T
S[Yr (t f
) Y (t f
)]
1 2
性能指标的物理意义
➢性能指标中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证
终端状态X(tf)具有适当的准确性。
➢性能指标中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，
以保证系统响应具有适当的快速性。 9
t
f
]
(t f ) P(t f )X (t f )
(t f ) SX (t f )
所以，
P(t f ) S
矩阵黎卡提(Riccati)微分方程的边界条件
21
P(t)的3个重要性质:
由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t) 存在而且唯一。对于任意的t[t0，tf]， P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)。
由(1)和(2)，得
[P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t)]X (t) 0 20
由于X(t)是任意的，所以有
P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) 0

最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案

最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x ∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d Lx dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(50250.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。

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5
2. Riccati方程由 ( t ) P ( t ) x ( t )得 (t ) P ( t ) x( t ) P ( t ) x (t )
（ 5 ）将状态方程x ( t ) A( t ) x ( t ) B( t )u( t ) A( t ) x( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x( t )

对称时变矩阵， R( t )是m m 维正定对称时变矩阵， t f 固定且为有限值。 A( t )、B( t )、Q( t )、R( t )的各元分段连续且有界。
1
一、最优控制的充要条件 1.必要条件问题的哈密顿函数为 1 1 H xT (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R(t )u (t ) T (t ) A(t ) x(t ) T (t ) B(t )u (t ) 2 2 由极小值原理得最优解的必要条件： 1)极值条件 H R(t )u (t ) BT (t ) (t ) 0 u R(t ) 0 u * (t ) R 1 (t ) B T (t ) (t ) 2)正则方程 x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) A(t ) x(t ) B(t ) R 1 (t ) B T (t ) (t ) H (t ) Q(t ) x(t ) AT (t ) (t ) x 3) x(t0 )＝x0， (t f ) Fx(t f )
代入(5)式，得 (t ) P ( t ) P ( t ) A( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) 再由协态方程 ( t ) Q( t ) x ( t ) AT ( t ) ( t )

（ 6 ）（ 7 ）
Q( t ) x( t ) AT ( t ) P ( t ) x ( t )
比较(6)、 (7 )式，得 P ( t ) P ( t ) A( t ) AT ( t ) P ( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) Q( t ) x( t ) 0
3
若把 (t f , t )分成四个子矩阵 11(t f , t ) 12 (t f , t ) (t f , t ) ( t , t ) ( t , t ) 22 f 21 f 则(2)式变为 x (t f ) 11(t f , t ) x (t ) 12 (t f , t ) (t )
6.2 有限时间状态调节器问题问题6.2 设线性时变系统为 x ( t ) A( t ) x( t ) B( t )u( t ) x( t 0 )＝x0 其中x( t )为n维状态向量，u( t )为m 维控制向量A( t )、B( t )为适当维数的时变矩阵，n m 0，u( t )不受约束，求最优控制 u( t )，使性能指标 1 T 1 tf T J x ( t f )Fx ( t f ) x ( t )Q( t ) x( t ) uT ( t ) R( t )u( t ) dt 2 2 t0 为最小，其中F是n n维非负定对称常数矩阵，Q( t )是n n维非负定
（3）（4）
(t f ) 21(t f , t ) x (t ) 22 (t f , t ) (t )
将 (t f ) Fx (t f )代入(4)式，再整理(3)、 (4)式，得
F (t , t ) 式中逆矩阵可证明对于t t , t 都是存在的
7
3. P ( t )的性质 1 ）Riccati方程的解P ( t )存在且唯一 2 ）P ( t )为对称非负定矩阵
8
4. 最优控制的充分条件问题6.2的HJB方程为 J * x ( t ), t 1 T 1 T min x ( t )Q( t ) x ( t ) u ( t ) R( t )u( t ) u( t ) t 2 2 J x ( t ), t J x ( t ), t A ( t ) x ( t ) B ( t ) u ( t ) 0 x ( t ) x ( t )
ห้องสมุดไป่ตู้13
二、最优控制的存在性与唯一性定理6.2 对于问题6.2，当t f 有限时，最优控制 u* ( t )存在且唯一。
三、有限时间状态调节器的解定理6.3 对于问题6.2，最优控制u* ( t )存在、唯一，且 u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x * ( t ) 其中n n维对称非负定矩阵 P ( t )是Riccati方程 P ( t ) P ( t ) A( t ) AT ( t ) P ( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) Q( t ) 满足边界条件P ( t f ) F的解。最优轨线x * ( t )是线性微分方程 x ( t ) A( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x( t ) x( t 0 )＝x0 的解。最优性能指标为 J * x ( t 0 ), t 0 x( t 0 )为初始状态。
2
正则方程可写为 ( t ) A( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) x( t ) x （ 1 ） T A (t ) ( t ) Q ( t ) ( t ) 设方程(1)的转移矩阵为 ( t , t 0 )，则方程(1)的解为 x ( t 0 ) x ( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0 当t t f 时，有 x ( t f ) x ( t ) ( t ) ( t f , t ) ( t ) f （ 2 ）
设P (t ) 22 (t f , t ) F12 (t f , t )
1 11 f 0 f
(t ) 22 (t f , t ) F12 (t f , t )1 F11(t f , t ) 21(t f , t )x (t )

21
(t f , t )

则 ( t ) P ( t ) x ( t )
4
P ( t )为n n维时变矩阵，它与末端时间t f 和末态加权矩阵F有关，而与初始状态无关，可表示为P ( t , F , t f )。 u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t ) k ( t ) x( t ) 其中k ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t )称为最优反馈增益矩阵。

6
P ( t )与初态无关上式对任意状态都成立，故P ( t )是如下矩阵微分方程的解： P ( t ) P ( t ) A( t ) AT ( t ) P ( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) Q( t ) 此即Ricatti方程。 ( t f ) Fx ( t f ) 且 ( t f ) P ( t f ) x ( t f ) P (t f ) F 此即Ricatti方程的边界条件。
9
将u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x( t )和J * x( t ), t
1 T x ( t ) P ( t ) x( t ) 2
代入HJB方程，得 1 T 1 1 x (t ) P ( t ) x( t ) x T ( t )Q( t ) x( t ) x T ( t ) P T ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x( t ) 2 2 2 x T ( t ) P T ( t ) A( t ) x( t ) 0 ( 8) P (t ) P T (t ) 1 1 T T x ( t ) P ( t ) A( t ) x( t ) P ( t ) x( t ) A( t ) x( t ) A( t ) x( t ) P ( t ) x( t ) 2 2 1 T 1 T x ( t ) P ( t ) A( t ) x( t ) x ( t ) AT ( t ) P ( t ) x( t ) ( 9) 2 2 将(9)式代入(8)式，得
* T * T
u( t )不受约束由 0 得 u( t )
* x( t ), t J u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) x ( t )
比较u* ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) x ( t )，应取 1 T * J x ( t ), t x ( t ) P ( t ) x ( t ) 2
T T
10
1 T x (t ) P ( t ) P ( t ) A( t ) AT ( t ) P ( t ) P ( t ) B( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) P ( t ) Q( t ) x( t ) 0 2 (10) 当P ( t )满足Riccati方程时， (10)式中括号内矩阵为零，则方程(10)对任何x ( t ) 都成立，也即HJB方程成立。 1 当取性能指标J * x( t ), t x T ( t ) P ( t ) x ( t )时，有 2 1 J * x( t f ), t f x T ( t f ) P ( t f ) x ( t f ) 2 可见当P ( t f ) F时，能使HJB方程的边界条件