微分方程例题精讲
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析
微分方程基础练习题(简易型)含答案解析题目1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$，其中 $y(0)=1$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，其中 $y(0)=1$。
3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。
4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。
答案解析1. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = x^3+x+c$，其中$c$ 为任意常数。
由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$，所以 $y=x^3+x+1$。
2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$，得到 $y=Ce^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，设其特解为 $y=ax+b$，代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。
因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$，所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。
3. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = Ce^{2x}+2$，其中$C$ 为任意常数。
4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$，得到 $y=Ce^{-9x}$，其中 $C$ 为任意常数。
对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y= \sin x$，由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合，所以采用常数变易法，设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$，代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$，$B=\frac{9}{82}$。
因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。
高等数学第11章 微分方程习题详解
即
(3 y 2 1) 6 C e 2 ．
由定解条件 y
x 0
1
1
x2
典型的一阶微分方程1常微分方程
解:这是一阶线性微分方程
由公式, 可得其通解为
P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y e P(x)dx[ Q(x)e P(x)dxdx C]
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
sin
xdx
C
1 cos x C .
x
y 例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次方程
非齐次方程特解
通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
f
ax by c
(ax
by)
c1
作变量替换，令z=ax+by,就化成可分离变量的方程
dz dx
a
bf
zc
z c1
例4 求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
解
1
1 2 0,
11
方程组hh
k k
1 0 3 0,
h
1, k
2,
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
微分方程的求解方法例题
微分方程的求解方法例题1. 基础概念简介在数学中，微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
它是很多科学领域的基础理论，包括物理、工程、经济等。
求解微分方程可以帮助我们理解和预测自然界的现象。
常见的微分方程类型包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程仅涉及一个未知函数的变量和它的导数，而偏微分方程涉及多个未知函数和它们的偏导数。
2. 常见的求解方法2.1 分离变量法分离变量法适用于一阶常微分方程。
它的基本思想是将未知函数和它的导数分离到等式的两边，然后对两边积分。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x/y，我们可以将其改写为y dy = x dx。
将两边同时积分得到：∫y dy = ∫x dx解这两个积分后得到：y^2/2 = x^2/2 + C其中C为常数。
2.2 变量替换法变量替换法适用于一阶或高阶常微分方程。
它的思想是通过引入新的变量替换原方程，使得新方程容易求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + y = 0，我们可以引入新变量 v = y'，得到一阶常微分方程 v' + y = 0。
我们可以用分离变量法解得v = -y + C1，再对 v = y' 进一步积分得到 y = -x + C2*e^x，其中 C1 和 C2 是常数。
2.3 特征方程法特征方程法适用于线性常系数常微分方程。
它的基本思想是将未知函数假设为指数函数形式，然后根据方程的特征求解。
例如，考虑二阶常微分方程 y'' + 3y' + 2y = 0，我们可以假设 y= e^(rx)，其中 r 是未知常数。
将这个假设带入原方程得到特征方程r^2 + 3r + 2 = 0。
解这个特征方程得到 r1 = -1 和 r2 = -2。
因此，通解可以表示为 y = C1*e^(-x) + C2*e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是常数。
2.4 数值方法数值方法适用于无法用解析方法求解的微分方程。
(整理)微分方程的例题分析及解法
微分方程的例题分析与解法本单元的基本容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程)(xy f y =' 令xy u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。
三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）)(x f y =''，直接积分；（2）),(y x f y '=''，令p y ='，（3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dydp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程02=++q p λλ求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点)()(x P e x f m x μ=和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~cos )()(+=设置特解*y 的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
微积分习题讲解与答案
习题8.11.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1)02)(2=+'-'xy y y y x (2) 02=+'-y y x y x (3)0)(sin 42=+''+'''y x y y x (4)θθ2sin d d =+p p解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) xxy x y y x sin ,cos ==+' (2) 2212,2)1(x C y x xy y x -+==+'- (C 为任意常数) (3) xCe y y y y ==+'-'',02 (C 为任意常数) (4) x xe C eC y y y y 21212121,0)(λλλλλλ+==+'+-'' (C 1 ,C 2为任意常数)(5) C y xy x y x y y x =+--='-22,2)2( (C 为任意常数) (6) )ln(,02)(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''- 解 (1) 是，左=x x xx x x x xcos sin sin cos 2=+-=右(2) 是，左=x x C x x Cx x 2)12(1)1(222=-++---=右(3) 是，左=02=+-xxxCe Ce Ce =右 (4) 是，左=0)())(()(2121212121221121222211=++++-+x x x x x xe C e C e C e C eC e C λλλλλλλλλλλλλλ =右(5) 是，左==-=---y x yx yx y x 222)2(右(6) 是，左=x xy yx xy y y x xy y x x xy xy xy xy x xy ---+-+----2)()(22)(22332=0)())(2()()(222222232=---+-+---x xy x xy y y x xy xy x xy xy xy xy = 右3.求下列微分方程的解(1) 2d d =x y; (2) x xy cos d d 22=;(3) 0d )1(d )1(=--+y y x y (4) yx x y y )1()1(22++=' 解 (1) C x y x y +==⎰⎰2,d 2d (2) 1sin ,d cos d C x y x x x y +='=''⎰⎰211cos ,d )(sin d Cx C x y x C x x y ++-=+='⎰⎰(3)⎰⎰=+-x y y y d d 11 ⎰⎰=+++-x y y y d d 12)1(解得 ⎰⎰⎰=++-x y y y d d 12d即 C x y y +=++-|1|ln 2(4)⎰⎰+=+dx x xdy y y )1(122解得 2122)1ln()1ln(C x y ++=+整理得 22211C xy =++ 4.已知曲线)(x f y =经过原点，并且它在点),(y x 处的切线的斜率等于22x ，试求这条曲线的方程。
《高等数学》常微分方程考点精讲与例题解析
《高等数学》常微分方程考点精讲与例题解析计算题1．解：1y =为常数解当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y+=⎰⎰d ln d 原方程的通解为x C ye ln =注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
2．解：对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为0=α是特征根。
所以，设非齐次方程的特解为)()(21C Bx Ax x x y ++=代入原方程，比较系数确定出 31=A ，51=B ，252=C原方程的通解为 x x x C C y x2525131e23521++++= 3. 解：原方程可化为 x yxy dx dy ++=221，引入新的变量x y u =，则ux y =，u dx du x dx dy += 将u dx du x dx dy +=代入，可得21u dxdux +=，变量分离 xdxu du =+21 两端积分⎰⎰=+x dx u du 21，而12C |tan sec |ln sec tan 1++==+⎰⎰t t tdt t u udu12C |1|ln +++=u u所以212C ||ln C |1|ln +=+++x u u ，也就是C xu u =++|1|ln 2所以原方程的通解为C xy x y =++222ln4. 解：dy x dx y )1-(2+=，变量分离dx x dy y11-12+=两边积分：-lnC |1|ln -1++=x y， 解得 y Ce x 11=+当0=x ，1=y 时 ，eC 1=， 所以原方程的特解为111-=+ye x5．解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +⋅，变量分离 =+dy y y 21dx xx 31+，两边积分得 C ln |1|ln 21-||ln |1|ln 2122++=+x x y 所以原方程的通解为 222C ))(11(x y x =++6. 解： 据题意，方程1)()(0=⎰dt t f x f x两边同时对x 求导数，得0)]([)()(20=+⋅'⎰x f dt t f x f x，令)(x f y =，则有2-y yy ='即3-y dx dy =，变量分离并两端积分，从而可得Cx y +=212 所以C 21)(+=x x f 或C21-)(+=x x f7. 解: 据题意知函数)(x Φ是可导函数，方程 dt t x dt t t e x xx x⎰⎰ΦΦ+=Φ0)(-)()(两边同时对x 求导，得到 dt t e x xx⎰Φ=Φ'0)(-)(，方程dt t e x x x⎰Φ=Φ'0)(-)(两边同时对x求导，得到二阶常系数非齐次微分方程 xe x x =Φ+Φ'')()( 特征方程为 012=+r ，解得 i r =1，i r -2=所以对应齐次方程0)()(=Φ+Φ''x x 的通解为 x C x x sin cos C )(21+=Φ又因1=λ不是特征方程为 012=+r 的根，故取0=k所以x e x x =Φ+Φ'')()(的特解形式可设为x Ae y =*，则x Ae y =')(*，xAe y ='')(*把*y ，)(*'y ，)(*''y 代入原方程可得 21=A所以原方程的通解为 x e x C x x 21sin cos C )(21++=Φ 又因 1(0)=Φ，1(0)=Φ'，所以211=C ，212=C ， 故函数)sin cos (21)(x e x x x ++=Φ 8．解：特征方程为012=+r ，解得 i r =1，i r -2=所以对应齐次方程0=+''y y 的通解为 x C x y sin cos C 21+=对于微分方程2x y y =+''，由于0=λ不是特征方程为012=+r 的根，故取0=k ，2)(x x P m =，因此方程2x y y =+''的特解形式可设为C Bx Ax y ++=2*1； 对于微分方程1=+''y y ，由于0=λ不是特征方程为012=+r 的根，故取0=k ，1)(=x P m ，因此方程1=+''y y 的特解形式可设为D y =*2；对于微分方程x y y sin =+''，由于i i =+ωλ是特征方程为012=+r 的根，故取1=k ，因此方程x y y sin =+''的特解形式可设为)sin cos (*3x F x E x y +=综上可知，原微分方程x x y y sin 12++=+''的特解可设为=*y ++++D C Bx Ax 2)sin cos (x F x E x +，再令D C G +=则=*y +++G Bx Ax 2)sin cos (x F x E x +9. 解：微分方程t e x x x tcos 32--=+'''的特征方程为 032-2=+r r ，解得 i r 211+=，i r 2-12=，因为i i +=+1-ωλ不是特征方程032-2=+r r 的根，故取0=k所以微分方程t e x x x t cos 32--=+'''的特解形式可设为)sin cos (-*t B t A e x t+= 10．解：原方程可化为12=-y x dx dy ，此方程为一阶线性微分方程，其中xx P 2-)(=，1)(=x Q 由一阶线性微分方程的通解公式可知 ])([)dx()(-C dx e x Q e y x P dx x P +⎰⋅⎰=⎰即 ][2-2C dx eey dxx dxx +⎰⎰=⎰][22ln -ln C dx e e x x +=⎰2222]1[-]1[Cx -x C xx C dx x x +=+=+=⎰ 11． 解： 因为yy x dy dx 2-2=，即y x y dy dx -2-=，为一阶线性微分方程，其中y 2-)(=y P ， y y Q -)(=，由一阶线性微分方程的通解公式可知])([)dy()(-C dy e y Q e x y P dy y P +⎰⋅⎰=⎰，即]1[-]-[]-[2ln ln 2-222⎰⎰⎰+=+=+⎰⎰=C dy yy C dy ye e C dy yeex -y y dyy dyy |)|ln -(2y C y =于是所求得的通解为|)|ln -(2y C y12．解： 特征方程为03-2-2=r r ，解得31=r ，1-2=r ，因此对应齐次方程03'2''=--x x x 通解为tt e C e C x -231+=又因0=λ不是特征方程03-2-2=r r 的根，故取0=k ，而13)(+=t t P m 所以微分方程133-2-+='''t x x x 具有的特解形式可设为 b at x +=*则a x =')(*，0)(*=''x ，把b at x +=*，a x =')(*，0)(*=''x ，代入原微分方程133-2-+='''t x x x ，比较系数得 33-=a ，13-2-=b a解得 1-=a ，31=b ，因此31-*+=t x所以原方程的通解为31--231++=t e C e C x tt无穷级数参考答案一. 选择题1. 解析: ∑∞=12sin n n n α绝对收敛, ∑∞=11n n 发散, 所以∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121sin n n n n α发散. (B)是答案 2. 解析: 因为∑∞=-1)1(n n na 条件收敛, 所以0lim =∞→n n a . 对于(C)∑=++-=-=nk n k k n a a a a s 1111)(所以111)(lim lim a a a s n n n n =-=+∞→∞→，即(C)是正确，A ，B ，D不一定正确。
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
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1 C1 ( 2 ) dx x x
C 2 xe
C1 x
.
二、高阶微分方程的计算
题型2 高阶线性微分方程
[解题思路]特征方程，待定系数法。 常系数线性微分方程： 齐次：特征根法；非齐次：待定系数法。 可化为常系数的微分方程：变量代换。 线性微分方程解的理论。
例9 求特解
y 2 y y xe e , y (1) y(1) 1
显然S(0)=0。因此S(x)满足初值问题
x y xy , y(0) 0 2
3
一阶线性
(II)
x3 y xy , y(0) 0 2
一阶线性
常数变易法
对应的齐次方程为: y xy 0.
dy xdx ln | y | x ln | C | y Ce y 2
可分离变量
u sin u cos u du dx 两边积分 2u cos u x C 所求通解为 xy cos y C u cos u 2 x x
还原
例4 求通解 xy 2 y 3 x y
3
4 3
解: 原式可化为 y 2 y 3x y
2
4 3
x
n
此方程的一般形式为
可分离变量
分离变量解得
1 P C1 y
2
dy P C1 y 1 即 C1 y 1 dx
可分离变量
还原
故方程的通解为
2 C y 1 x C 2 C1 1
例8 求方程 yy y 0 的通解
2
d ( yy) 0 解: 将方程写成 dx
故有 yy C1
求解方程 y 4 y 1 ( x cos 2 x) 例10 2
解: 特征方程
r 2 4 0,
特征根 r1,2 2i,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x
* * y* y1 y2 设原方程的特解为
(1)先求 y 4 y 1 x的特解 2
x cos y y sin y y x x dy 解： 原方程可化为: dx y sin y x cos y x x x
齐次方程
y 令 u , y ux, y u xu 代入上式得 x
u xu u cos u u sin u u sin u cos u
y P ( x ) y Q( x ) y
(n 0,1)
伯努利方程
对比一阶线性微分方程的标准形式
y P ( x ) y Q ( x )
方程两侧同乘
y
n
，得到
y n y P ( x) y1 n Q( x)
令
zy
1 n
dz n dy , 原式变为 , (1 n) y dx dx
P 所以原方程化为 P 0 u C
P
1
可分离变量
还原
u
，亦即 f (u )
C1 u
两边积分得 f (u) ln u C2 由 f (1) 0 可得 f (u) ln u.
1 由f (1) 1，可得 f (u ) u
1 y 例7 求通解 y 2y 解: 令 y P( y ), 则
0 不是特征根，设
* y1 ax b
1 x，得 y * 1 x 代入 y 4 y 1 2 8
(2) 求 y 4 y
1 cos 2 x的特解 2
2i 为特征方程的特征单根，设
,, y(n) ) 0 为k次 若F是k次齐次函数，则称 F ( x, y, y
解法： 作变换 y e
zdx , y ze
zdx
2
齐次方程
zdx , y ( z z )e
( n 1)
,
y
(n)
( z, z , , z
zdx , )e
得新函数z( x )的(n 1)阶方程
x2 2
2
x2 2
e
2
x2 2
,
3
x x 1为y - xy = 的一个特解。 2 2
x2 2
x2 1 所求通解为 y Ce 2
由初始条件y(0)=0，得C=1
.
故 y x e
x2 2
2
x2 2
x 因此和函数 S ( x) e 2
2
2
1
1
一、一阶微分方程的计算
即 ydy C1dx
y 2 C1 x C2 积分后得通解
注意: 技巧性较高, 关键是配导数的方程
例 4 求方程 x 2 yy ( y xy ) 2 的通解.
k次齐次函数
特点： ( x, ty, ty,, ty ( n ) ) t k F ( x, y, y,, y ( n ) ) F
y d1 x5 d 2 x3 d3 x 2 d 4 x d5 原方程通解为
例6
设函数 f (u ) 在
(0, ) 内具有二阶导数，且
z z 2 0 满足等式 2 x y
2 2
z f
x y
2
2
f (u ) 0 （I）验证 f (u ) u
一阶线性
z (1 n) P( x) z (1 n)Q( x)
P( x) y Q( x) y n (n 0,1) y
伯努利方程
例4
求通解 xy 2 y 3x3 y
2 4 3
4 3
4 3
解: 原式可化为 y 2 y 3x y x 4
即 y 3 y 2 y 3x 2 方程两侧同乘 y , x 1 4 dy 令z y 3 , dz 1 y 3 , dx 3 dx 2 z 3x 2 即 z 2 z x 2 原式变为 3z 3x x 7 2
一阶线性
由一阶线性微分方程的求解公式得：
ye
1 dx x
1 dx xe x Cx x x dx C xe e
例2 设级数
x4 x6 x8 ( x ) 2 4 2 4 6 2 4 6 8
题型1 一阶线性微分方程
[解题思路]将方程化为标准形式，准确分类：
公式法：准确地写出 P( x)与Q( x).
常数变易法：将对应的齐次方程通解中的任意常
数变易为x的函数。
例1 求微分方程 ( y x 2e x )dx xdy 0 的通解。 解： 原方程可化为
1 y y xe x x
微分方程与差分方程 例题精讲
主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
相关定理
4. 线性方程
特解形式
一、一阶微分方程的计算
（II）若 f (1) 0,
f (1) 1求函数 f (u )的表达式。
解：（I）设u x y , z u
2 2
x
则
z u x f (u ) f (u ) x x x2 y 2
x2 z f (u ) 2 f (u ) 2 2 x y x
dy
恰当方程：配导数。
例5 求方程 xy (5) y (4) 0 的通解 解: 设 y
(4)
P ( x ),
y
(5)
P( x)
可分离变量
(4)
不显含 未知函数y
代入原方程 xP P 0,
分离变量解得 P C1 x 即 y C1 x, y 1 C1 x 2 C2 , 两端积分,得 2 C1 5 C2 3 C3 2 y x x x C4 x C5 120 6 2
2
y ,
y2
x2 y
3 2 2
z y f (u ) 2 f (u ) 2 2 y x y
2 2
x
2 3 2 2
x2 y
2 z 2 z f (u) 0 代入 2 2 0 得f (u) x y u
不显含 未知函数f
（II） 令 f (u ) P(u ), 则 f (u) P(u),
3 3 其通解为 z x C x 3 7 1 7
原方程的通解为 y
3
1 3
一阶线性
3 x 3 C x 7
2 3
还原
二、高阶微分方程的计算
题型1 降阶
[解题思路]变量代换降阶，使方程变得更简单。 方程不显含未知函数 y, 令y P( x) y P( x). 方程不显含自变量 x, 令y P( y ) y P dP .
x x
2 解: 特征方程 r 2r 1 0,
特征根 r1 r2 1, 对应的齐次方程的通解为
Y (C1 C2 x)e x
1为特征方程的二重根，
所以，设原方程的特解为 y* x2 (ax b)e x
将 y* , ( y* ), ( y* ) 代入原方程比较系数得
题型2 变量代换法 [解题思路]寻找合适的变量代换，将方程化为简
单的容易求解的方程：
齐次方程
伯努利方程
齐次方程
y u x 1 n zy
zdx ye
y y y y 求通解y x cos y sin dx x y sin x cos dy 例3 x x x x