电磁学_09_稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理

第九讲 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理01 磁感应线为描述空间磁场的分布，人为引入一系列假想的曲线(1831年法拉第首次引入)。

曲线的疏密反映磁感应强度的大小，曲线每一点切线方向表示磁感应强度的方向。

这些假想的曲线称为磁感应线。

如图XCH003_106所示，在磁场分布的空间一点选取一面积元dS ，面积元法线方向用单位矢量n表示，该面积元在磁感应强度方向上的投影大小dS ⊥。

磁感应强度大小： m d B dS ⊥Φ= —— 通过垂直B 方向上单位面积的磁感应线条数，也称为磁感应线密度 磁感应强度方向沿该点磁感应线的切线方向，即小磁针放在该点静止时，N 所指的方向。

02 磁通量如图XCH003_106所示，通过dS 的磁通量：m d B dS Φ=⋅02πθ≤< —— m d Φ为正；2πθπ<≤ —— m d Φ为负穿过曲面S 的磁通量：m S B dS Φ=⋅⎰ —— 如图XCH003_097所示规定面元法线方向由里向外为正，如图XCH003_107所示，通过一个闭合曲面S 的磁通量：Sm B dS Φ=⋅⎰ —— 穿过闭合曲面S 的磁通量为净穿过闭合曲面磁感应线的总条数 03 磁场的高斯定理0SB dS ⋅≡⎰ —— 无源场 由于磁感应线是闭合线，因此，对于一个闭合曲面S ，穿入的磁感应线的总数必然等于穿出的磁感应线总数，即通过任一闭合曲面的磁通量总是零。

稳恒磁场的高斯定理是电磁场理论的基本方程之一。

04 安培环路定理1安培环路定理在恒定电流产生的磁场中，磁感应强度沿任一闭合回路L 的线积分，等于闭合回路包围的所有电流代数和的0μ倍。

0int L LB dr I μ⋅=∑⎰ —— 安培环路定理的数学表达式 安培环路定理的证明1) 无限长载流直导线 —— 平面闭合回路L 垂直于导线，回路绕行方向和电流满足右手螺旋关系 导线周围的磁感应强度：02I B rμπ=，如图XCH003_126所示。

0cos 2L L I B dr dr r μθπ⋅=⎰⎰由几何关系：cos dr rd θα=22000022L Id I B dr d ππμαμαππ⋅==⎰⎰⎰ −−→ 0LB dr I μ⋅=⎰2) 无限长载流直导线 —— 平面闭合回路垂直于导线，回路绕行和电流不满足右手螺旋关系，如图XCH003_126_01所示。

0cos 2L L I B dr dr r μθπ⋅=⎰⎰—— cos cos()dr dr rd θπθα-=-= 2000222L Id I B dr πμαμπππ⋅=-=-⋅⎰⎰ 0LB dr I μ⋅=-⎰ —— 电流I 对环路积分的贡献与电流方向有关 —— 规定电流与闭合回路绕行方向满足右手螺旋关系时，对回路积分贡献为正3) 无限长载流直导线 —— 平面闭合回路L 不垂直于导线，绕行方向和电流满足右手螺旋关系 dr 在电流方向和垂直于电流方向投影：//dr dr dr ⊥=+ —— 如图XCH003_126_02所示//L L LB dr B dr B dr ⊥⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰ 0LB dr ⊥⋅=⎰ —— dr ⊥ 与电流同方向，与磁场垂直//cos L LB dr B dr θ⋅=⎰⎰ —— 如图XCH003_126_03所示 //cos dr rd θα= —— 02I B rμπ= 20002L Id B dr I πμαμπ⋅==⎰⎰4) 无限长载流直导线 —— 平面闭合回路L 不包围电流，如图XCH003_127所示。

12L L L B dr B dr B dr ⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰120022L L L I I B dr d d μμααππ⋅=+⎰⎰⎰ 200()22L I I d μμααππ=-⎰ —— 积分方向与电流不是右手螺旋关系00()022L I I B dr μμααππ⋅=+-=⎰ 5) 任意形状电流___闭合回路为非平面___多个电流同时存在的情况可以证明安培环路定理依然成立：0int L LB dr I μ⋅=∑⎰ 如图XCH003_126_04所示。

安培环路定理的意义0int L LB dr I μ⋅=∑⎰ —— 与L 形状大小无关，只与闭合回路包围的电流有关 0int L LB dr I μ⋅=∑⎰ —— 与闭合回路的绕行方向满足右手螺旋关系的电流对积分贡献为正，反之为负，式中的磁感应强度是空间所有电流在积分回路上共同产生的。

闭合回路与包围电流的含义：与闭合回路相铰链的电流为回路包围的电流，如图XCH003_128_01所示的电流1和电流2为回路包围的电流，电流3和电流4则不是。

对环路L 的积分：012()LB dr I I μ⋅=-⎰ 如图XCH003_128_02所示的螺旋型电流，可以看作是电流回路cfabc 和电流回路cdefc 形成的。

对环路L 的积分：0int L LB dr I μ⋅=∑⎰ —— int 2I I I I =+= 02LB dr I μ⋅=⎰05安培环路定理的应用1) 分析电流分布的对称性无限长均匀载流直导线、圆柱面、圆柱体；无限长载流直螺线管、环形载流螺线管；无限大载流平面。

2) 分析磁场分布对称性无限长均匀载流导线、圆柱面、圆柱体：磁力线为环绕中心轴线的同心圆，一个圆环上各点的磁感应强度大小相等，方向沿切线方向。

无限长直螺线管：管内磁场沿轴线方向，同一条磁力线上各点磁感应强度大小相等。

环形螺线管：管内磁场沿环形切线方向，同一个圆环上各点磁感应强度大小相等。

各种电流分布产生的磁场，磁感应强度方向总是与电流方向满足右手螺旋关系。

3) 选取积分回路回路上各点磁感应强度大小为常数、方向沿回路各点切线方向，或回路上部分磁感应强度积分为零，部分磁场为常数；规定闭合回路绕行的正方向。

4) 应用安培环路定理根据0int L LB dr I μ⋅=∑⎰ 进行计算 5) 对于电流分布不对称的情况由安培环路定理计算对称电流的磁场，再应用磁场叠加原理计算。

计算无限长均匀载流圆柱面在空间产生的磁场。

设电流为I ，圆柱面半径为R 。

电流具有轴对称分布特点，磁场具有轴对称性 —— 到轴线距离相同的点，磁感应强度大小相等 假设距轴线r 处点磁感应强度可分解为三个垂直方向：,r a t B B and B ，如图XCH003_129_01所示选取半径为r ，底面积和侧面积分别是S and S '∆∆的圆柱面为高斯面。

应用高斯定理：0SB dS ⋅=⎰ ()0a a r B S B S B S '∆+-∆+∆=0r B = —— 磁场在垂直于轴线方向上无分量再在通电圆柱面外选取一个矩形闭合回路，回路正方向为顺时针，如图XCH003_129_02所示。

应用安培环路定理：0i LB dr I μ⋅=∑⎰ —— ()0a a B l B l '∆+-∆= a aB B '= —— 意味着到轴线距离不相同的点，磁感应强度大小相等 根据电流分布的特点，磁场应该为非均匀分布，因此：0a aB B '== —— 磁场在平行于轴线方向上无分量 通电圆柱面在空间激发的磁场：磁感应线为许多簇同心圆，同一个圆上各点的磁感应强度大小相等，方向沿各点的切线方向。

圆柱面外磁场的计算选取半径()r r R >的圆为闭合回路，如图XCH003_129_03所示应用安培环路定理：02LB dr B r I πμ⋅=⋅=⎰ 02I B rμπ= —— 与无限长载流直导线产生磁场一致 圆柱面内磁场的计算选取半径()r r R <的圆为闭合回路，如图XCH003_129_04所示应用安培环路定理：20LB dr B r π⋅=⋅=⎰ 0B = —— 磁场分布如图XCH003_129_05所示计算无限长均匀载流圆柱导体产生的磁场。

设均匀电流I 在圆柱面内，圆柱体半径为R 。

如图XCH003_141_00所示电流具有轴对称分布特点，磁场具有轴对称性，即到轴线距离相同的点，磁感应强度大小相等；距离不同的点，磁感应强度不同。

磁场线为许多簇同心圆，同一个圆上各点的磁感应强度大小相等，方向沿各点的切线方向。

r R >区域：取半径为()r r R >的圆为闭合回路，如图XCH003_141_01所示应用安培环路定理：02LB dr B r I πμ⋅=⋅=⎰ 02I B rμπ= —— 与无限长载流直导线和通电圆柱面产生磁场一致 r R <区域：取半径为()r r R <的圆为闭合回路，如图XCH003_141_02所示。

应用安培环路定理：02B r I πμ'⋅=22()I I jS r R ππ'== 2022I B r r R πμππ⋅= 022I B r R μπ= 磁场分布如图XCH003_141_03所示计算长直螺线管内部的磁场。

已知长直螺线管单位长度的匝数为n ，导线内通有电流I 。

根据电流分布的对称性，可以得出管内磁感应线是一系列于轴线平行的直线，到轴线相同的点，磁感应强度大小相等。

长直螺线管的外部，可以认为场强近似为0。

P 点的磁感应强度的计算：过P 点作矩形闭合路径L L 的线积分：由于P通电螺绕环，总匝数为N ，导线内通有电流I ，假设螺绕环的半径比环管的截面半径大许多。

求空间磁场分布。

环内的磁力线为同心圆，同一条磁力线上各点的磁感应强度大小相等，如图XCH003_130所示。

区域：12r r r <<：应用安培环路定理：02L B dr B r NI πμ⋅=⋅=⎰ —— 02NI B rμπ= 螺绕环的半径比环管的截面半径大许多：121()2r R r r ≈=+ 02NI B Rμπ= 0B nI μ= —— 2N n R π=：螺绕环单位长度的匝数 1r r <的空间：00i L iB dr I μ⋅==∑⎰ —— 0B = 2r r >的空间：00i L iB dr I μ⋅==∑⎰ —— 0B =空气中有一半径为r 的“无限长”直圆柱金属导体，竖直线OO '为其中心轴线，在圆柱体内挖一个直径为12r 的圆柱空洞，空洞侧面与OO '相切，在未挖洞部分通以均匀分布的电流I ，方向沿OO '向下，如图Q_02178_03所示，在距轴线3r 处有一电子（电量为e -）沿平行于OO '轴方向，在中心轴线OO '和空洞轴线所决定的平面内，向下以速度 v 飞经P 点，求电子经P 点时所受的力。

利用补偿法计算P 点磁感应强度(负电流法)P 点的磁感应强度由电流密度为22(/16)I j r r π=-半径为r 、电流向下的“无限长”直圆柱金属导体和电流密度为：22(/16)I j r r π=-半径为/4r 、电流向上“无限长”直圆柱金属导体共同产生的。