磁场的安培环路定理

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§9.4 磁场的安培环路定理概述

思考：如图，平行的无限长直截流导线 A 和 B，电流强度均为 I，垂直纸面向外，两根截流导线之间相距为 a，则（1） AB 中点（p点）的磁感应强度 Bp 0 （2）磁感应强度B 沿图中环路L的线积分 l B dl 0I
2、求解具有某些对称性的磁场分布求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性，以便可以找到恰当的安培环路 L ，使积分
2018/10/30 重庆邮电大学理学院 7

L
B dl B 2r 0 I内
r R:
I
内
I
B内
P
B外
0 I 1 B外 2r r
r R:
2 I Ir 2 I r 2 内 R2 R
L
L
o
r
I
R
P
B
B内
0 Ir r 2 2R
(穿过L )
I I
i
1
2I2
(穿过L )
I 2I
i
1
2018/10/30
重庆邮电大学理学院
成立条件：稳恒电流的磁场
L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
S2
S0
Ii
(穿过L )
I
B:
i
: 穿过以 L 为边界的任意曲
面的电流的代数和. 与空间所有电流有关
S1
L
r
o
R

1 r
r
B 方向与 I 指向满足右旋关系
2018/10/30 重庆邮电大学理学院
8
练习：无限长均匀载流圆柱体（R , I ）如图，求通过截面 S（ 2 R , h ）的磁通量.

11-5真空中磁场的安培环路定理

L
0 I d d L 2 L 0 I 2
1 2

L1
L2

I
o I B 2 r
A
0

B
L2 L1
规定：与L绕向成右旋关系 Ii > 0 与L绕向成左旋关系 Ii < 0 例如：
I2
I1
I3
L
I4
I
L
I I I 1 2 3 i
0 I
2πr
r
B
B 外方向与I指向满足右旋关系
B内 0
B外
O
R
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B 的分布。
(1) r R2 , B 0
0 I ( 2) R1 r R2 , B 2r
R2
R1
I
r I
( 3) r R1 , B 0

0 j B
2
0 j x arctg 2π z z 2
0 zj 1
o
x

0 j
2
解二、用安培环路定理
j
z
l
在对称性分析的基础上

x
选如图安培环路得：B
由：

L
B dl 2lB 0 jl
0 j
2
思考：如果载Байду номын сангаас平面不是无限宽，思考能否用叠加原理求解？能否用安培环路定理求解？
例4. 求无限长载流圆柱形导体的磁场分布. 对称性分析：
L
dI
r
dI dI o r dI
dB
dB
I

大学物理-磁场安培环路定律

Φ BS cos BS
s
一般情况 Φ s BdS
dS2
B
S 2
dS1
1
B1
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
B2
SB cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通
量必等于零（故磁场是无源的）.
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
n
安培环路定理
B dl 0 Ii
i 1
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B沿任
一闭合路径的积分的值，等于 0乘以该闭合
路径所穿过的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定： I 与 L 成右螺旋
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
B
dl
0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若 B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
应用安培环路定理的应用举例
例1
求载流螺绕环内的磁场
解（1）对称性分析：环内B 线为同心
B dl B 2r 0 I
B 0 I 1 2r r
I
r LR
r L
分布曲线
B
0 I 2R B r
B 1 r
o
R
r
例4 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
解如图，作安培环路
abcda，应用安培环路定理
b
l B d l 2a B dl

09.3磁场的安培环路定理

磁力线闭合、无自由磁荷磁场是无源场
二、安培环路定理的应用
B dl 0 I i
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理
计算磁感应强度
1. 无限长载流圆柱导体
已知：I、R 电流沿轴向，在截面上均匀分布分析对称性电流分布——轴对称磁场分布——轴对称
I
R
B 的方向判断如下：
B dl 0 I
任意积分回路
B dl B cos dl
B dl 0 I
回路不环绕电流
0 I cos dl 2r 0 I 0 I rd 2 2r 2
.
I
r
d
B dl
.
B dl 0
R2
R1
I
r I
(3) r R1 , B 0
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布长直线长直圆柱面
长直圆柱体内外
电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
B0
内
外
E 2 0 r r E 2 2 0 R E 2 0 r
由环路内电流决定
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
由环路内外电流产生环路所包围的电流
I1 I4
l
I2
I3
不变
?
I4
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
?
不变
?
I1
l
改变
I2
I1
I3
I2
I4
R2 NI 0 2. B dS hdr R1 2r 0 NIh R2 ln 2r R1

安培环路定理

安培环路定理
安培环路定理，又称为安培定理或安培第二定理，是电磁学中的一条重要定理，描述了由电流所产生的磁场的性质。

它是由法国物理学家安德烈-玛丽·安培在19世纪初提出的。

安培环路定理是基于麦克斯韦方程组中的一个方程，可以用来计算磁场的强度。

根据该定理，通过电流所形成的磁场的磁感应强度H，沿着任意封闭曲线所围成的面积S的总磁通量Φ，与该封闭曲线所围成的电流之间的关系为：
∮H·dl = ∫∫S B·dS = Φ
其中，H是磁场的强度，dl是沿着闭合曲线的微元路径元素，B是磁感应强度，dS是平面面元素，Φ是通过该曲线所围成的面积的磁通量。

安培环路定理本质上是一个积分方程，可以通过对曲线的路径和曲面的选择来灵活地应用。

根据闭合曲线的选择不同，可以得到更方便的计算磁场的方法。

通常情况下，选择封闭曲线为简单的几何形状，例如圆形、矩形或直线，可以大大简化计算的过程。

安培环路定理的应用广泛，可以用于解决与电流所产生的磁场相关的问题。

例如，在电磁铁中，可以利用安培环路定理计算铁芯的磁场分布；在电感器中，可以通过该定理计算电感量。

此外，还可以利用安培环路定理推导出其他电磁学中的重要定理，如磁场的叠加定理和比奥-萨伐尔定律等。

综上所述，安培环路定理是电磁学中的一条基本定理，描述了电流所产生的磁场的性质。

通过应用安培环路定理，可以方便地计算出磁场的强度和分布，解决各种与电流和磁场相关的问题，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。

磁场高斯定理安培环路定理

R
例题无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。
解：视为无限多平行长直电流的场。分析求场点p的对称性做 po 垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状的闭合电流（伸向无限远的电流）均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
2. 明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任意点的，它是空间所有电流共同产生的。
I
a
b
B
B d l lb c d d a c B d l B d l B d l B d l Bab
a
得长直载流螺线管内的磁场： B μ0 nI 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场为零。
B
b
l
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
同轴电缆的内导体圆柱
半径为R1，外导体圆筒内外
半径分别为R2、 R3，电缆载有电流I，求磁场的分布。
课堂练习
0 I B r r R1 2 2 R1 0 I B R1 r R2 2 r 2 2 0 I ( R3 r ) B r R2 2 2 2 r ( R3 R2 )

大学物理 5.4 磁场的安培环路定理

r

l
B
例2 载流长直螺线管磁场分布
如图，均匀密绕无限长直
螺线管通有电流为I，单位
长度匝数为n）
I
解：对称性分析—— 管内垂轴

b
Ba
平面上任意一点与 B轴平行
cd b c d a
(3)磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
B dl —— 不代表磁场力的功，仅是磁场与电流的关系
L
(4)安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想的一段载流导线不成立
2. 安培环路定理的应用
在静电场中，当带电体具有一定对称性时可以利用高斯定理很方便的计算其电场分布。在恒定磁场中，如果电流分布具有某种对称性，也可以利用安培环路定理计算电流磁场的分布。
由于这时 I 内 =0 ，所以有 B=0 (在螺线环外)
l2

l1

可见，螺线环的磁场集中在
环内，环外无磁场。
对载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电
流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，则由安培环路定理容
易求得：管内： B onI
说明
(1)积分回路绕行方向与电流方向呈右螺旋
关系
满足右螺旋关系时 Ii 0 反之 Ii 0
I
1
I
I
3
2l
I I
l
l B dl o ( I1 I2 ) l B dl o ( 2I I) oI
(2)公式中的 B 是环路上的磁感应强度，使
空间所有电流共同激发的。
L
B
LB
dr

64磁场的安培环路定理

无限长直载流圆柱面的磁场？
例1．求无限长载流导体圆管(内外半径为R1, R2、电流I )的磁场。
解：电流分布——轴对称产生的磁场——轴对称
r< R1
过场点作安培环路
B d l B cos 0d l =B2r =0
L
L
B=0
P•2
×
P•3
P•1
R1<r< R2 B d l =B2r L
•
•• ••
•• •
• •
B 圆柱外的
磁场分布是以中心轴线为轴的对称分布。
圆柱内：
I
•• ••
••••••••••••
•• • •• •• • ••
• • • •
• ••
• •• •
•• •• • r• •
••
•• • ••
•
•• •
••
•• •• •
圆柱内的磁场分布也是以中心轴线为轴的对称分布。
dal
L
AC
BlAC
B
CD
d Bb
dld
BB
DEb
d
l
0dBBalDE 0 0
I
Bdl
EA
n lACI
B
1 2
0nI
d
B
证毕！
D
P•
E
B dl
L
0
Ii
C
A
互动题：在以下四个环路的环流 B d l ? L
l1
I
I2
I1
l2
B dl
L
0
Ii
l3
I1 •
I2
l4
§6. 4 磁场的安培环路定理

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Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
P. 26 / 31 .
例 ∞载流平板，截面上电流线密度为 j ，求平板两侧
的磁感应强度。解 ( 电流线密度： j I ) b 磁场分布关于平板对称！ b c d a B dl
I
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
P. 25 / 31 .
课堂练习密绕环形螺线管载流 I ，总匝数为N，求管内
磁感应强度。提示：磁感线为同心圆。作如图圆形安培回路。
B dl B 2 r 0 N I
L
r o
L
0 N I 1 B 2 r r
B0
B

L

I
L
0 0 I 2 r
(r R) (r R)
B dl B 2 r
r
r
B dl 0 I
L
L

0 I B 2 r
可等效成 ……
rr R
L L
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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0 I dl 0 I 2 r L

B
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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在磁感线平面内作一闭合回路L：

L I I
r dl
d

L
B dl
0 I 2 r | dl | cos L
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对任意闭合回路L，由于：
dl dl // dl
dl B

I L
dl
dl
dl
dl //

B dl B dl 0 I
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
包围载流导线，则 B dl 0 。
L
L
I1 I 2 I 3 I4
I5
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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☻若被回路包围的电流 I 的流向与回路绕向构成右手关
系，则 I > 0 ；否则，I < 0 。 ☻ B dl 只与回路包围的电流有关，与L外的电流无
L
关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
包围载流导线，则 B dl 0 。
L
L //

Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
P. 8 / 31 .
结论：对闭合回路 L，环流
( L 包围 I ) 0 I B dl 0 ( L 不包围 I ) L 若电流反向，则：
环流值： B dl
L

L I I
r
B
dl
0 I o L B dl 2 r | dl | cos 0 L
0 I dl 0 I 2 r L

B
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。
B dl 0 I i
L (L内)
L：称为安培回路。
安培
法国物理学家、数学家和化学家，
主要从事电动力学方面的研究。最先揭示电过程和磁过程之间的起源关系，提出关于磁性起源的纯电流概念。
A.M.Ampè re 1775~1863
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。
0 I ( L 包围 I ) B dl 0 ( L 不包围 I ) L

推广：对任意载流导线
上述结论皆成立 !
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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二、安培环路定理在恒定磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
P. 15 / 31 .
三、安培环路定理的应用
对于某些对称性磁场，可选取适当的回路 L，使得
回路 L 上各点 B大小相等，方向与 dr相同，则：
o B dl B | dl | cos0 B | dl |
L i （）
r r B dl 0 I Ñ
r R : B dl B 2 r 0 0
B0
B

L

I
0 0 I 2 r
B
(r R) (r R)
r
0 I 2 r

r
o
R
r
(解毕 )
R L
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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课堂练习电流 I 从半径为R的无限长金属圆柱体的截面
Chapter 7. 稳恒电流与稳恒磁场作者：杨茂田§7.6 磁场的安培环路定理
P. 1 / 31 .
§7.6 安培环路定理
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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一、定理的引入
0 I 对∞载流直导线： B( r ) 2 r
以磁感线为闭合回路L，则：
b
c
d
a
I
B ab 0 0 0
B dl B ab 0 n ab I
L
B外 0
I
a
L
b
B
B外 0
B 0 nI
(解毕 ) d
c
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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L
关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
☻环路定理只适用于闭合电流或无限电流。 ☻思考：
L B dl 0 B dl 0
L
B0
L内无电流
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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三、安培环路定理的应用
课堂练习密绕环形螺线管载流 I ，总匝数为N，求管内
磁感应强度。提示：磁感线为同心圆。作如图圆形安培回路。
B dl B 2 r 0 N I
L
r o
L
I
B dr B ab 0 n ab I
L
B 0 nI
(解毕 )
dl dl // dl
dl B

I L
dl
dl
dl
dl //
0 I B dl 2 L
1 r rd L
L //
0 I d 0 I 2 L

Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
均匀地流过，求磁感应强度分布。

I
B
0 I 2 r

r
R
(解毕 )
o
R
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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课堂练习电流 I 从半径为R的无限长金属圆柱体的截面
均匀地流过，求磁感应强度分布。

I
柱内外的 B 分布为柱对称，作同提示：
轴圆形安培回路。

b
B
B外 0
L
c
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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例无限长密绕直螺线管载流 I ，轴向单位长度上的匝
数为n，管内磁场为均匀磁场。求管内磁感应强度。解作矩形安培回路。
B dl
L

a b c d
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在磁感线平面内作一闭合回路L：

L I I
r dl
d

L
B dl
0 I 2 r | dl | cos L
| d l | cos rd
B
0 I o L B dl 2 r | dl | cos 0 L
dB
dB 2
柱对称！
dB1
r

感
0 I B 2 r
r R
L
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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例电流 I 均匀沿轴向从无限长金属薄圆柱壳的侧面流
过，求磁感应强度分布。已知 R。

I
L
解 B分布为柱对称，作同轴圆形安培回路。
r R : B dl

I L
dr
dr
dr
dr//
0 I ( L 包围 I ) B dl 0 ( L 不包围 I ) L

L //
推广：对任意载流导线
上述结论皆成立 !

Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理作者：杨茂田
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二、安培环路定理在恒定磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
L
B dl
L
r