安培环路定理及应用

比较
高斯定理
静电场
1
E dS
S
0
q内
有源场
SB dS 0
稳恒 磁场
无源场
环路定理
LE dl 0
保守场、有势场
B dl L
0
Ii
（ 穿 过L）
非保守场、无势场 （涡旋场）
14
２.正确理解安培环路定理需注意的问题.
１.生L的上各B的点矢的量B和应．是（空类间似中高所斯有定闭理中合的稳E恒 电）流在该处产
dS
B
dS
微元分析法（以平代曲，以不变代变）
d BS BcosdS B dS
m
m
SB dS
对封闭曲面，规定外法向为正
进入的磁感应线 m 0 穿出的磁感应线 m 0
B
n
n B
2
B
n
n B
SB dS 0
3. 磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零： B dS 0 S
§10.3 磁场的高斯定理和安培环路定理
描述空间 矢量场一般方法
用场线描述场的分布
用高斯定理，环路定理揭示场的 基本性质
一. 磁场高斯定理
1.磁感应线
切 疏密向：：该正点比于B该方点向B的大小
闭合， 或两端伸向无穷远； 特点 与载流回路互相套联；
互不相交。
1
2. 磁通量
通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
以 L为安培环路，逆时针绕向为正: +
18
LB dl
B 2r
0
I内
r R : I内 I
B外
I 0
2r
1 r
r R:
I内
I
R2
r
2
Ir2 R2
B内
Ir 0
2R2
r
B
方向与
I
指向满足右旋关系
dB'
L
L
o
dI•r dI•'
dB
P
B
r 1
r
oR r
19
思考：无限长均匀载流直圆筒 B ~ r 曲线？
（一）1.以无限长直电流的磁场为例验证, （从特殊到一般） 2.推广到任意稳恒电流磁场;
（二）定理的意义及正确理解需注意的问题。
二.安培环路定理的应用
（一）几种典型问题的求解；
（二）总结归纳用该定理求磁场分布的方法。
7
一.安培环路定理的表述 （一） 以无限长直电流的磁场为例分6步验证
1)
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交
I
0
2
( L1
d L2 d )
I
L2
L1
I 0
( )
0
Q
2
10
5)如果闭合回路 L 不在垂直于电流的平面内，而是
任意形状的空间曲线，
B dl L
B
L
dl//
B
L
dl
)
B dl// 0
L
00I
( I穿过L) ( I不穿过 L)
IL
dL
O dL dL〃
O'
L'
dL〃
11
6) 推广: 长直电流
右手螺旋关系时,电流为正;反之为负.
Bdl L
0I
9
3) 在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
LB dl
LB cosdl
L
0
2
I r
rd
L
I 0
2
2
0
d
I 0
若电流反向，则为 I 0
I
d
r
B
dl
4） 闭合路径不包围电流
LB dl L1 B dl L2 B dl
P
2.电流 I 是指闭合路径所包围并穿过的 I 的代数和.
（是指以 L 为边界的任意曲面内的闭合稳恒电流）
3.规定:当电流流向与积分路径的绕行方向成 右手螺旋关系时,电流为正;反之为负.
４．安培环路定理仅适用于闭合稳恒电流产生的磁场.
随时间变化的磁场
一段电流的磁场 均不适用.
15
规定： 与 L 绕向成右旋关系 Ii 0 与 L 绕向成左旋关系 Ii 0
12
2.表述：稳恒磁场的安培环路定理
LB dl I 0 (穿过L) i
稳恒磁场中，磁感应强度
B
沿任意闭合路径
L
的线
积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与
真空磁导率的乘积。
（二）１.安培环路定理的意义
1)表征了B对任意闭合曲线的环流不恒等于零；
磁场是非保守场
2)反映了磁感应线与电流的互相套联。 磁场是涡旋13 场
求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安 培环路L，使 LB dl 能积 出，从而方便地求解 B 。
17
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
IR
o r P
L
dB'
L
o
dI•r dI•'
dB
P
对称性分析：
在L上 I各平点面等内价，：作B以大o小为相中等心，、方半向径沿r切向的圆。环L ，
任意形状的稳恒电流
空间存在若干个闭合稳恒电流时，由磁场叠加原理
LB dl
L(
B 1
B 2
B) n
dl
LB1 dl LB2 dl LBn dl
穿过
I 0 ( L内) i
L 的电流：对B
和
LB
dl 均有贡献
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献；
对 LB dl 无贡献
SB dS 0
性质1： 磁场是无源场
静电场的高斯定理：
E dS
1
S
0
q内
性质1： 静电场是有源场
5
静电场环路定理：
LE dl 0
性质2： 静电场是保守场
稳恒磁场：
Байду номын сангаас?
LB d l
类似的环路定理表达式？ 揭示出磁场具有怎样的性质？
6
§9.3 安培环路定理
本讲主要内容: 一.安培环路定理的表述
磁场是无源场
磁感应线闭合成环，无头无尾 不存在磁单极。
人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单
极，将改写电磁理论。
3
练习
I dS
l
oa
b
已知：I，a，b，l
求： m
解： B 0I 2r
方向：
r
dS ldr
dm BdS
m
S
B dS
ab
0 Ildr
0Il
ln
a
b
a 2r 2
a
4
磁场的高斯定理：
点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
LB
dl
L
0
2
I r
dl
c
os
0
I 0
2 r
2
0
r
dl
I 0
I
L
o
r B
8
2) 若电流反向（包围电流的圆周路径 L ）：
I
o r
LB
LB
dl
2
0
r
0
2
I r
dlcos
I 0
2 r
2
0
r
dl
I 0
规定:当电流流向与积分路径的绕行方向成
B内 0
B外
0I 2r
B
r
oR
B外方向与 I 指向满足右旋关系
20
练习：P.253 9 - 14
无限长均匀载流圆柱体（ R , I ）如图，求通过
S（ 2R , h ）的磁通量.
.I
B
RR
例如：
I1
I4
LB dl
L
IL
Ii I1 I2 I3
Ii I 3I 2I
(穿过L )
(穿过L )
16
二.安培环路定理的应用
1
E dS
s
0
q内
求解具有某些对称分布的静电场
LB dl I 0 (穿过L) i
求解具有某些对称性的磁场分布
适用条件：闭合稳恒电流的磁场