安培环路定理
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安培环路定理
安培环路定理
静电场
1
E dS
S
0
q内有源场Fra bibliotekLE dl 0
保守场
恒定磁场
SB dS 0
无源场
LB dl ?
一、 安培环路定理
以无限长直电流的磁场为例说明
1、圆形积分回路
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面
交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
练习：如图，流出纸面的电流为 2I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中那一个是正确的?
( A)
B• L1
dl
2
0I
(C )
B • dl
L3
0I
(B)
B• L2
dl
0I
( D)
B • dl
L4
0I
2I •
L1 I
L2
L3
L4
(D)
二、安培环路定理的应用
B • dl 0 Ii
...............
B
I
2）选取回路
作矩形安培环路，如图 规定：顺时针绕向为正
M
NB
++++++++++++
P
LO
N O p M
l B d l M B d l N B d l O B d l P B d l
B MN 利用安培环路定理求 B
B MN 0nMNI
B 0nI
方向可由右手螺旋法定。 无限长直螺线管内为均匀磁场
3、求螺线环内的磁感应强度
已知：I 、N、R1、R2
N——导线总匝数
静电场
1
E dS
S
0
q内有源场Fra bibliotekLE dl 0
保守场
恒定磁场
SB dS 0
无源场
LB dl ?
一、 安培环路定理
以无限长直电流的磁场为例说明
1、圆形积分回路
选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面
交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流
成右旋关系。
练习：如图，流出纸面的电流为 2I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中那一个是正确的?
( A)
B• L1
dl
2
0I
(C )
B • dl
L3
0I
(B)
B• L2
dl
0I
( D)
B • dl
L4
0I
2I •
L1 I
L2
L3
L4
(D)
二、安培环路定理的应用
B • dl 0 Ii
...............
B
I
2）选取回路
作矩形安培环路，如图 规定：顺时针绕向为正
M
NB
++++++++++++
P
LO
N O p M
l B d l M B d l N B d l O B d l P B d l
B MN 利用安培环路定理求 B
B MN 0nMNI
B 0nI
方向可由右手螺旋法定。 无限长直螺线管内为均匀磁场
3、求螺线环内的磁感应强度
已知：I 、N、R1、R2
N——导线总匝数
2安培环路定理
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
安培环路定理
1
2
I
B1
2
1 2
0i
0i
I
3 B2 0
B3 0i
1
2
I
B1 B3 0
3
I
B2 0i
作业：练习三
例6 已知无限长圆桶上均匀分布电荷，面密度σ，角初 速度ω0 , 角加速度β，求t时刻内部旳磁感应强度
解：相当于密绕螺线管
B 0nI
nI 为单位长度旳电流，
nI 2 R 1 (0 t) / 2 R(0 t)
围电流时，B矢量沿 该闭合曲线旳线积分 为零。
4、闭合曲线内包围多根载流导线电流
I2 I1
S
B dl L
L (B1 B2 ... Bn ) dl
IN
L
L
B1
dl
L B2 dl
... L Bn dl
0 I1 0 I2 ... 0 I N
N
B dl L
3、磁场分布
n, I
Bin 均匀分布
外部磁场 Bout 0 内部磁场： Bin 0nI 0 j
通电稀疏螺线管空间旳磁场 通电密绕螺线管空间旳磁场
例2 求密绕载流螺线绕环内旳磁场
解：1 对称性分析；环内B 线为同心圆，环外 B为零。
2 选环路。
Bdl L
2 π RB
0 NI
B 0 NI
(1) 分析磁场旳对称性，判断B旳方向；
(2) 选择合适旳闭合回路，含方向；
(3) 求出 B dl ? 和 0 I ?
L
L内
(4) 利用
B dl
L
0 I ，求出B旳值。
L内
环路L旳选择：
(1) L上旳B大小相等，方向相同或B与dl 平行或垂直。
13-5 安培环路定理
bc
B dl
cd
B dl
da
B dl
Bl 0 Bl 0 2 Bl 0 jl
1 B 0 j 2
B 与
j 符合右手关系。
习题13-8 已知 1.0 105 m2 的裸铜线允许通过50A电 流而不致过热，电流在导线横截面上均匀分布。求： （1）导线内，外磁感强度的分布；（2）导线表面的 磁感强度。 解：电流均匀分布，电流密度为
I j S
R
磁场分布轴对称，取圆形回路，由安培 环路定理得 Bdl 0 I
l
rrLeabharlann I当 rR时，
B1 2 r 0 j r 2
0 Ir 1 1 I B1 0 jr 0 r 2 2 S 2S
方向符合右 手关系
当rR时
B2 2 r 0 I
例2 求载流螺绕环内的磁场
l B d l 2π RB 0 NI 0 NI B 2π R
令
当
2）选回路 .
d
R
L 2 πR
B 0 NI L
2R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
例13-4 无限大均匀载流平面的磁场。
设电流在无限大平面里均匀分布，单位宽度里的 电流为j,试求平面两侧任一点的磁感强度B.
当rR时
0 I B2 方向符合右手关系 2 r 0 I BR 5.6 103 T 2 R
习题13-9 一根很长的同轴电缆，由一半径为 R1 的圆柱形直导体和同轴导体圆筒组成。导体圆筒的内 半径为 R2 ，外半径为 R3 ，圆柱形直导体和同轴 导体圆筒中的电流大小均为I,方向相反，导体的磁性 可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：（1）r R1;
安培环路定理解读
§9-3 安培环路定理 1. 长直电流的磁场
1.1 环路包围电流
I
LI
安培
长直电流的磁场
在垂直于导线的平面内 任作的环路上取一点，到电 流的距离为r，磁感应强度
的大小： B 0 I 2r
B
L
I
d
r
dl
P
由几何 关系得： dl • cos rd
B • dl B cosdl Br d
I
F
FL
设导线中每个自由电子以F平均速度向右作定向运 动，则每个自由电子在洛伦兹力的作用下以圆周运 动的方式作侧向漂移，结果在导线的下侧堆积负电 荷，上侧堆积正电荷，在上下两侧间形成一横向
安培定律
FH v
I
F
FL
F
霍耳电场,这电场阻碍自由电子的侧向漂移，当电场
这些正离子所受霍耳电场的合力的宏
安培定律
d观F效 应 便d是N电e流v 元B在 磁场n中Se所v受 的B 安 d培l 力I
d
l
B
安培定律
dF I dl B
F LI d l B
安培定律的 微分形式
安培定律的 积分形式
设直 导线长为 ，l 通有电流 ， 置I 于磁感应强度为
的均匀B 磁场中，导线与 的夹角B为 。
z
F
B
I
x
l
安培定律
z
F
B
I
x
l
l
F Ld F 0 I d lB sin IlB sin
合力作用在长直导线中点，方向沿Z轴正向。
在直角坐标 系中将电流元的 受力沿坐标方向 分解，再对各个 分量积分。
Fx I (d yBZ d zBy ) Fy I (d zBx d xBz ) Fz I (d xBy d yBx )
1.1 环路包围电流
I
LI
安培
长直电流的磁场
在垂直于导线的平面内 任作的环路上取一点，到电 流的距离为r，磁感应强度
的大小： B 0 I 2r
B
L
I
d
r
dl
P
由几何 关系得： dl • cos rd
B • dl B cosdl Br d
I
F
FL
设导线中每个自由电子以F平均速度向右作定向运 动，则每个自由电子在洛伦兹力的作用下以圆周运 动的方式作侧向漂移，结果在导线的下侧堆积负电 荷，上侧堆积正电荷，在上下两侧间形成一横向
安培定律
FH v
I
F
FL
F
霍耳电场,这电场阻碍自由电子的侧向漂移，当电场
这些正离子所受霍耳电场的合力的宏
安培定律
d观F效 应 便d是N电e流v 元B在 磁场n中Se所v受 的B 安 d培l 力I
d
l
B
安培定律
dF I dl B
F LI d l B
安培定律的 微分形式
安培定律的 积分形式
设直 导线长为 ，l 通有电流 ， 置I 于磁感应强度为
的均匀B 磁场中，导线与 的夹角B为 。
z
F
B
I
x
l
安培定律
z
F
B
I
x
l
l
F Ld F 0 I d lB sin IlB sin
合力作用在长直导线中点，方向沿Z轴正向。
在直角坐标 系中将电流元的 受力沿坐标方向 分解，再对各个 分量积分。
Fx I (d yBZ d zBy ) Fy I (d zBx d xBz ) Fz I (d xBy d yBx )
安培环路定理
安培环路定理
安培环路定理，又称为安培定理或安培第二定理，是电磁学中的一条重要定理，描述了由电流所产生的磁场的性质。
它是由法国物理学家安德烈-玛丽·安培在19世纪初提出的。
安培环路定理是基于麦克斯韦方程组中的一个方程，可以用来计算磁场的强度。
根据该定理，通过电流所形成的磁场的磁感应强度H，沿着任意封闭曲线所围成的面积S的总磁通量Φ，与该封闭曲线所围成的电流之间的关系为：
∮H·dl = ∫∫S B·dS = Φ
其中，H是磁场的强度，dl是沿着闭合曲线的微元路径元素，B是磁感应强度，dS是平面面元素，Φ是通过该曲线所围成的面积的磁通量。
安培环路定理本质上是一个积分方程，可以通过对曲线的路径和曲面的选择来灵活地应用。
根据闭合曲线的选择不同，可以得到更方便的计算磁场的方法。
通常情况下，选择封闭曲线为简单的几何形状，例如圆形、矩形或直线，可以大大简化计算的过程。
安培环路定理的应用广泛，可以用于解决与电流所产生的磁场相关的问题。
例如，在电磁铁中，可以利用安培环路定理计算铁芯的磁场分布；在电感器中，可以通过该定理计算电感量。
此外，还可以利用安培环路定理推导出其他电磁学中的重要定理，如磁场的叠加定理和比奥-萨伐尔定律等。
综上所述，安培环路定理是电磁学中的一条基本定理，描述了电流所产生的磁场的性质。
通过应用安培环路定理，可以方便地计算出磁场的强度和分布，解决各种与电流和磁场相关的问题，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
11.4 安培环路定理
...............
a
I nabI
B 的环流为：
b
B
B外 0
d
c
B dl
b
a
B dl B dl B dl B dl
b c d
c
d
a
bc与da：
B dl , cos 0
...............
a
B dl B dl 0,
10.4
磁场的安培环路定理
安培 (Ampere, 1775-1836)
安培：法国物理学家，电动力学的创始 人。1805年担任法兰西学院的物理教授， 1814年参加了法国科学会，1818年担任 巴黎大学总督学，1827年被选为英国皇 家学会会员。他还是柏林科学院和斯德 哥尔摩科学院院士。 安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了 一系列的重要定律、定理，推动了电磁 学的迅速发展。1827年他首先推导出了 电动力学的基本公式，建立了电动力学 的基本理论，成为电动力学的创始人。
b d
c
a
b
B
螺线管外B =0；
d
c
B dl 0
b
d
c
B dl B dl Bab 0 I 0nabI a
B 0nI
密绕载流直螺线管的磁场
例4：一环形载流螺线管，匝数 为N，内径为R1 ，外径为R2 ，通 有电流I，求管内磁场分布及螺绕 环内的磁通量。P80习题11.4
写成
Bdl cos B dl I
L
0
L
B
0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环 路方向一致， B // dl , cos 1 或垂直 B dl , cos 0
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B 0 jd / 2 B 0 jx
dj
例 求密绕螺绕环电流的磁场分布及螺绕环内的B 。
解 B外 0
• 在螺绕环内部做一个环路，可得
LBdl LBdl BLdl
I
Nr o
B 2r 0NI
B 0NI
2 r
例 无限长密绕载流直螺线管 a
b
单位长度线圈匝数
I内
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分
等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 0 倍
讨论 (1)磁场是有旋场
I1
I2
I3
(2)电流方向与积分回路方向呈右螺
旋关系 I >0 ；反之 I < 0
B dl L
0 (I1 I3)
(3) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想
2r
dl
dI ' dB
o
r
r
dB' P
圆柱体内 (r R)
dI
I
I R 2
r 2
B
0I
2R 2
r
B B dl Bdl
二、 安培环路定理的应用
例 求无限长圆柱体电流的磁场分布。 解 电流分布具有轴对称性，故磁场分
布也是轴对称的
LB dl LBdl BLdl
B1 dl1 B2 dl2
0I d 0I d
2
2
0
LB dl 0
电流在环路以外时，它对磁场的环流没有贡献
一、磁场的安培环路定理
1. 积分环路在垂直平面内 2. 积分环路不平行垂直平面
dl// dl2
dl
磁场环流为
的一段载流导线不成立
二、 安培环路定理的应用
例 求无限长均匀载流圆柱体的磁场分布。 R
解 电流分布具有轴对称性，故磁场分
布也是轴对称的
环路上各点B 的大小相等 L
oБайду номын сангаас
P
r
LB dl LBdl BLdl
I
B 2r 0 I
圆柱体外(r R)
I I
B 0I
B dl B (dl// dl )
B dl B dl//
B dl
等于把磁场对环
路投影的积分
一、磁场的安培环路定理
3. 多个电流
I2 I1
I4 I3
P
P 点 的磁 感应 强度为 B B1 B2 B3 B4
cd
da
B
dPl
b
a
dl
c
B
d
b
d
b
d
Bdl
a
c
Bdl
B1
a dl B2
c
dl
(B1 B2 ) ab 0 i ab
积分环路关于平面对称 B1 B2 B
推广：有厚度的无限大平板电流
B 0i / 2
x
• 在外部 • 在内部
2r
B dl
Bdl cos
B rd 0I d
2
B dl
L
0(I )
电流方向与积分回路方向呈右螺旋关系 I >0 ；反之 I < 0
一、磁场的安培环路定理
1. 积分环路在垂直平面内
• 积分环路不包围电流
B1
B2
d dl1
dl2
磁场环流为
LB dl
L (B1
B2
B3
B4 )
dl
L
B1
dl
L
B2
dl
L B3 dl L B4 dl
0(I3 I2)
0 I内
安培环路定律
B dl L
0
B 2r 0 I
圆柱体外(r R)
I I
圆柱体内 (r R)
I
I R 2
r 2
B 0I
2r
B
0I
2R 2
r
R
P
r
L
I
B
r
例 求无限大均匀载流平面磁场分布
i
解 积分环路 abcd 关于平面对称
B dl B dl B dl ab bc B dl B dl
B dl
Bdl cos
0I rd
2r
0I d
2
B dl
2π 0
0 I
2
d
0 I
磁场的环流与环路中所包围的电流有关
一、磁场的安培环路定理
1. 积分环路在垂直平面内 • 积分环路包围电流
I
r
d
dl
B 0I
7.4 磁场的安培环路定理
静电场: 磁 场:
E dl 0
B dl ?
静电场是保守场
以无限长载流直导线为例
一、磁场的安培环路定理
1. 积分环路在垂直平面内 • 积分环路包围电流
I
LB dl ?
B 0I
2r
d
r
dl
dl cos rd
d
c
n匝，电流强度 I
解 外部磁场 B = 0
螺线管内部磁力线是一族平行于轴的直线
内部： B dl L
B dl
B dl
B dl
B dl
ab
bc
cd
da
d
Bdl
c
B
d
dl
c
Bab 0Inab
B 0nI