初中奥数讲义_化归—解方程组的基本思想附答案
初中数学竞赛辅导讲义：第7讲-化归—解方程组的基本思想(含习题解答)
第七讲 化归—解方程组的基本思想初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组． 尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗：化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段．解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等．注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有：分式方程整式化无理方程有理化高次方程低次化多元方程一元化通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)．【例题求解】【例1】已知正实数x 、y 、z 满足⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++35158zx x z yz z y xy y x ，则xyz z y x +++= ．思路点拨 由)1)(1(1++=+++b a b a ab 想到从分解因式入手，还需整体考虑．【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+6323yz xy yz xz 的正整数解的组数是（ ） A ．4 B ．3 C 2 D ．1思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手．【例3】 解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=+-=++291322y x y x xy （2）⎩⎨⎧=++=++24542144)53)(1(y x x y x x x(3)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++2621133y x y x 思路点拨 对于(1)，先求出整体y x +、xy 的值，对于(2)，视x x +2、y x 53+为整体，可得到)53()(2y x x x +++、)53)((2y x x x ++的值；对于(3)设a x =+31，b y =-31，用换元法解．【例4】 已知a 、b 、c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ，试求方程02=-+a cx bx 的根．思路点拨 先构造以a 、b 为两根的一元二次方程，从判别式入手，突破c 的值．注：方程与方程组在一定的条件下可相互转化，借助配方法、利用非负数性质是促使转化的常用工具，一个含多元的方程，往往蕴含着方程组．【例5】已知方程组⎩⎨⎧+==a x y x y 242有两个实数解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x 且021≠x x ，21x x ≠，设2111x x b +=， (1)求a 的取值范围；(2)试用关于a 的代数式表示出b ；(3)是否存在3=b 的a 的值?若存在，就求出所有这样的a 的值；若不存在，请说明理由．思路点拨 代人消元，得到关于x 的一元二次方程，综合运用根的判别式、韦达定理等知识求解，解题中注意隐含条件的制约，方能准确求出a 的取值范围．注：方程组解的性质、个数的探讨问题，往往转化为一元二次方程根的个数、性质的讨论，但这种转化不一定是等价的，注意隐含条件的制约，如本例中042>=x y ，则0>x ，这就是一个隐含条件．学历训练1．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧-=-=42y x ，试写出符合要求的方程组 (只要填写一个即可)．2．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+222y x m y x 有两组相同的实数解，则m 的取值是 ．3．实数x 、y 、z 满足⎪⎩⎪⎨⎧-==+-+y x z xy y x 3602232，则z y x +2的值为 ． 4．已知x 、y 、z 2是正整数，并且满足⎩⎨⎧+-++=++=-153043z y x z y x y x ，那么z y x ++的值等于 ．5．已知38422=+mn m ，560232=+n mn ，则144613222-++n mn m 的值为( )A ．2001B ．2002C ． 2003D ．20046．已知1=+y x ，3733333223=+-+++y y y x x x ，则44)1()1(-++y x =（ ）A ．337B ．17C ．97D ．17．解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=+=++301122xy y x xy y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-27332222y xy x y x y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++12512y x y x 8．已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==mx y x y 22有两个实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ，且231121=+x x ，求m 的值．9．方程组⎩⎨⎧=+++=+321122y x y x y x 的解是 ．10．已知实数0x ，0y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y x y 的解，则0x +0y = ．11．已知k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=+++=+++=+++=+++5432145321354212543115432，且054321≠++++a a a a a ，则k 是的值为 ．12．已知方程组的两组解是（11,y x ）与（22,y x ），则1221y x y x +的值是 ．13．已知042=++p mn ，4=-n m ，则n m +的值是( )A ．4B ．2C ．一2D ．014．设x ，y 为实数，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(2003)1(1)1(2003)1(33y y x x ，则y x +=（ ） A ．1 B ．一1 C ． 2 D ．一215．解下列方程组： (1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++xy y x y x y x 24)4)(9(104922 (3)2)23(3)23(222--++-+=x x x x x16．已知方程组⎩⎨⎧--=+----=-+-)2(01)1(022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ，且1x ，2x 是两个不相等的实数，若116832212221--=-+a a x x x x ．(1)求a 的值；(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数?为什么?17．已知a 、b 是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+y ay b x x b y a x 1118．已知x 、y 为实数，且满足17=++y x xy ，6622=+xy y x ，求432234y xy y x y x x ++++的值．参考答案。
初中数学思想方法篇——化归思想
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心 【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之化归思想一、注解：“化归”就是转化和归结的简称。
所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。
具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。
如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形…..实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）A -17℃B 17℃C 5℃D 11℃【例2】 计算：()()02324732+-++2. 在代数式的化简求值中的运用【例3】计算：111x x x ++-【例4】已知31x =-，求代数式11x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值。
3.在方程（组）中的运用【例5】用配方法解方程：x 2-4x+1=0【例6】解方程组：728x y x y +=⎧⎨-=⎩【例7】用换元法解方程：226212x x x x +-=+4.在确定函数解析式中的运用【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如图为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R 与电流I 的函数解析式为：（ ）A. 2I R =B. 3I R =C. 6I R =D. 6I R=-【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）求小李个人月收入y （元）与月销售量x （件）（x ≥0）之间的函数关系式。
（2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？【例10】已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点O （0，0），A （1，3），B （-2，43）和C （-1，m ）四个点。
最新的八级奥数辅导分式方程(组)的解法
奥数辅导分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x-8，那么原方程为去分母得y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，y2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以y=9x或y=-5x．由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2-18y+72=0，所以y1=6或y2=12．x2-2x＋6=0．此方程无实数根．x2-8x+12=0，所以x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得x＋9=0，x=-9．经检验知，x=-9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得x2＋9x-22＝0，解得x1=2，x2=-11．经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b 及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4-4?2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×2＋(a+4)=0，即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？。
数学解题思想【数学解题中的化归思想】
数学解题思想【数学解题中的化归思想】一、化归的基本思想“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.二、化归的基本原则在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际的问题转化为数学问题；将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.三、化归的基本类型1.常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.分析：若采用方程求根公式x=来讨论x的整数值，显然十分复杂.在原方程中，x是变元，a是参数，不妨把a与x的位置换一下，把a看做变元，x看做参数来处理.解：将原方程以a作变元，重新整理，得a（x+2）=2x+7①显然，当x=-2时，①式不成立.因此，有a=（x≠-2）②若要a为正整数，则须2x+7≥（x+2）解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分别代入②式中即知，仅当x=-3，x=-1和x=1时能使a 为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.2.数与形之间的转化数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.例2.求函数f（x）=的值域.分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.解：设y=，则f（x）==，于是所求y的值域就是求定点A（1，-2）与半圆y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的动点P（x，y）所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A（1，-2）斜率为［1，+∞），即f（x）的值域为［1，+∞）.图13.一般与特殊的转化若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决；反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.例3.设f（n）=++。
初中奥数讲义 分式方程(组)附答案
初中奥数讲义分式方程（组）附答案初中奥数讲义-分式方程（组）附答案分数阶方程本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．【知识拓展】分母中含有未知量的方程称为分数阶方程。
解分数阶方程的基本思想是将它们转化为积分方程。
通常有两种方法：一种是去除分母；第二种是替代。
解分数阶方程时必须检验根解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．解决分数阶方程应用问题的关键是找到等价关系并列出方程。
如果方程包含以字母表示的已知数，则需要根据问题的变换条件实现变换。
在不求解的情况下设置未知数是常见的技能之一例题求解一、分数阶方程（组）解的例子1。
拆分项目并重新组织以解分数方程[示例1]以解方程x?5x?2x?3x?4．x?7x?4x?5x?6解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如11x?52，这样可降低计算难度．经检验x?为原方程的解．?1?2x?7x?7注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2.用元素交换法求解分数阶方程[例2]1x?11x?82?1x?2x?82?1x?13x?82?0．如果在解析时考虑去除分母，则计算量过大；分裂是不够的，但每个分母都是一个二次三项式。
试试替代法。
解为x+2x-8=y，原始方程可转化为2111 0岁？9xyy？15x解关于y的分数方程，得到y=9x或y=-5x。
因此，当y=9x，x+2x-8=9x时，解得到X1=8，X2=-1。
当y=-5x，x+2x-8=-5x时，解得到X3=-8，X4=1。
经检验，上述四种解均为原方程的解注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．3．形如x?形如x?11?a?结构的分式方程的解法xa22111? A.分数阶方程的解是：X1？a、 x2？。
初三数学专题复习(二)化归思想.docx
初中数学专题复习(二)化归思想本专题专门复习化归思想.所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易.如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等.【典型例题剖析】一、转化思想在代数中的应用。
1、解下歹方程(组)：(1) - + — = -^— : (2) [x+y-10 ； (3)x"3x+2=0 ；(4) 2(.r-l)2-5(A--1)+2=0x+1 x-1 _r -1 [2x-y=-l2、已知.r+y+8.r + 6j + 25 = 0,求代数式,亍-4），,一的值。
x + 4xy + 4y x + 2y3、已知x2-x-l=0,则代数式-x2+x+2009的值为多少?4、已知x2+X-1=0,^X3+2X2 +2009的值。
Q5、如图3 — 1 — 1,反比例函数y=—-与一次函数y=—x+2的图象交于A、B两点. x(1)求A、B两点的坐标；(2)求ZXAOB的面积.二、转化思想在几何中的应用。
1、已知两圆内切于T,过T点的直线交小圆于A,交大圆于B 求证：TA:TB为定值01 02/A'2、如图，梯形 ABCD 中，AD 〃BC, AB=CD,对角线 AC 、BD 相交于 0 点，且 AC_LBD, AD=3, BC=5,求 AC 的 长。
3、如图，已知两个半圆，大半圆的弦AB 与小半圆相切，且AB // CDo AB=6cm,求图中阴影部分面积。
5、求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高.已知：在AABC 中，AB=AC, D 是BC 上任一点，DE L AC 交AC 于E,DF LAB 交 于 F, BGLAC 交 AC 于 G.求证：DE + DF = BG.6、如图4 — 1所示，是半圆的直径，过B 作的垂线，在这垂线上任 取一点A,过A 作半圆的切线A£),。
_化归思想典型例题分析（含答案）
化归思想典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+= 点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0．所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12． 所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ．在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD＝BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc ++=++，即：222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a=b ，a=c ， b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
中考数学二轮专题复习一 化归思想问题(含答案)
考数学专题复习一 化归思想问题一、总体概述数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．二、典型例题【例题1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．【例题2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=【例题3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．【例题4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．【例题5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c2的关系，并证明你的结论．三、当堂达标一、选择题1．已知|x+y|+（x －2y ）2=0，则（）1221. . . .1112x x x x A B C D y y y y =-=-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-==⎩⎩⎩⎩ 2．一次函数y=kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是（ ） 8.2 6 .238.8 6 .23A y x B y x C y x D y x =-+=--=--=--3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是（ ）A ．0＜m ＜12B. －5＜m － 2 C ．－2＜m ＜5 D ．－72＜m ＜－l 4．已知11553x xy y x yx xy y +--=--，则的值为（ ） A 、72 B 、－72 C 、27 D 、－275．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（ ）A ．6B ．4C ．0D ．4或06．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简2||()a b a b -++的结果等于（ ），A ．2aB ．2bC ．－2aD ．－2b二、填空题7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=2，且经过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．8．用配方法把二次函数 y=x2＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2＋n 的形式，则y=__________________-9．若分式293x x -+的值为零，则x=________ 10函数y=2x +中自变量x 的取值范围是_______. 11如果长度分别为5、3、x 的三条线段能组成一个三角形，那么x 的范围是_______.12、点（1，6）在双曲线y= k x上，则k=______． 三、解答题13．解下歹方程（组）： 23664011(1)1x x x x x x -+=+-=----23⑴⑵x+1x215x y x y -=-⎧⎧⎨⎨-+=⎩⎩x+y=10⑶ ⑷2x-y=-114．已知2286250,x y x y ++++=求代数式224442y x x xy y x y--+++2x 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组． 尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗：
化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段．
解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等． 注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有：
分式方程整式化 无理方程有理化 高次方程低次化 多元方程一元化
通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)． 【例题求解】
【例1】已知正实数x 、y 、z 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++35158zx x z yz z y xy y x ，则xyz z y x +++= ．
思路点拨 由)1)(1(1++=+++b a b a ab 想到从分解因式入手，还需整体考虑．
【例2】方程组⎩
⎨
⎧=+=+6323
yz xy yz xz 的正整数解的组数是（ ）
A ．4
B ．3
C 2
D ．1
思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手．
思路点拨 对于(1)，先求出整体y x +、xy 的值，对于(2)，视x x +2、y x 53+为整体，可得到)53()(2y x x x +++、)53)((2y x x x ++的值；对于(3)设a x =+31，b y =-31，用换元法解．
【例4】 已知a 、b 、c 三数满足方程组⎩⎨
⎧
=+-=+48
2882
c c ab b a ，试求方程02=-+a cx bx 的根．
思路点拨 先构造以a 、b 为两根的一元二次方程，从判别式入手，突破c 的值．
注：方程与方程组在一定的条件下可相互转化，借助配方法、利用非负数性质是促使转化的常用工具，一个含多元的方程，往往蕴含着方程组． 【例5】已知方程组⎩⎨
⎧+==a x y x y 242有两个实数解为⎩
⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x 且021≠x x ，21x x ≠，设211
1x x b +=，
(1)求a 的取值范围；(2)试用关于a 的代数式表示出b ；
(3)是否存在3=b 的a 的值?若存在，就求出所有这样的a 的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨 代人消元，得到关于x 的一元二次方程，综合运用根的判别式、韦达定理等知识求解，解题中注意隐含条件的制约，方能准确求出a 的取值范围．
注：方程组解的性质、个数的探讨问题，往往转化为一元二次方程根的个数、性质的讨论，但这种转化不一定是等价的，注意隐含条件的制约，如本例中042>=x y ，则0>x ，这就是一个隐含条件．
学历训练
1．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧-=-=4
2
y x ，试写出符合要求的方程
组 (只要填写一个即可)．
2．若方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+222y x m
y x 有两组相同的实数解，则m 的取值是 ．
3．实数x 、y 、z 满足⎪⎩
⎪⎨⎧-==+-+y x z xy y x 360
2232，则z y x +2的值为 ．
4．已知x 、y 、z 2是正整数，并且满足⎩⎨
⎧
+-++=++=-1530
43z y x z y x y x ，那么z y x ++的值等于 ．
5．已知38422=+mn m ，560232=+n mn ，则144613222-++n mn m 的值为( ) A ．2001 B ．2002 C ． 2003 D ．2004
6．已知1=+y x ，3733333223=+-+++y y y x x x ，则44)1()1(-++y x =（ ）
A ．337
B ．17
C ．97
D ．1 7．解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧=+=++301122xy y x xy y x （2）⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+=-27332222y xy x y
x y x (3) ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-++12512y x y x
8．已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==m
x y x
y 22有两个实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ，且231121=+
x x ，求m 的值． 9．方程组⎩⎨
⎧
=+++=+3211
2
2y x y x y x 的解是 ．
10．已知实数0x ，0y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧
+==
1
1x y x y 的解，则0x +0y = ．
11．已知
k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=+++=+++=+++=+++5
4
32145321354212543115432，且
054321≠++++a a a a a ，则k 是的值为 ．
12．已知方程组的两组解是（11,y x ）与（22,y x ），则1221y x y x +的值是 ． 13．已知042=++p mn ，4=-n m ，则n m +的值是( ) A ．4 B ．2 C ．一2 D ．0
14．设x ，y 为实数，且满足⎪⎩
⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(2003)1(1)1(2003
)1(3
3y y x x ，则y x +=（ ） A ．1 B ．一1 C ． 2 D ．一2 15．解下列方程组：
(1) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=-+-+6123
31
y y x y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++xy y x y
x y x 24)4)(9(104922 (3)2)23(3)23(222--++-+=x x x x x
16．已知方程组⎩⎨
⎧--=+----=-+-)2(01)
1(022y x a y x 的两个解为⎩
⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ，且1x ，2x 是两个不相等的实数，
若116832212221--=-+a a x x x x ． (1)求a 的值；
(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数?为什么?
17．已知a 、b 是方程012
=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+y a
y
b x x b y
a x 11
18．已知x 、y 为实数，且满足17=++y x xy ，6622=+xy y x ，求432234y xy y x y x x ++++的值．
参考答案。