非线性控制系统

M y(t ) M
(0 m 1)
由于具有死区和滞环的继电器特性是对原点多值奇 对称，它在正弦输入作用下的输出量y(t)既不是奇函 数又不偶函数，所以A1和B1都必须计算，但A0=0
A1

1
2
0
y(t )cos td(t )
4 1 2 Mcos td(t ) Mcos td(t ) 3 1
注：非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量， 只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的 输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。 一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提 供了可靠的物理基础。
描述函数(describing function)
系统状态演变对 初值极端敏感，相图 中两个任意靠近的点 经过足够长时间，对 应截然不同的状态— —由于实际上对初值 的测量不可能绝对精 确，这种不确定性在 一定条件下被放大， 导致不可预测的结果 ——蝴蝶效应。
3.非线性系统可能存在自激振荡现象。
自激振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的 等幅振荡称为自激振荡，简称自振荡。
y(t)
x(t)
0 1 2
y1(t) Y1sin(t +1) y(t) π 2 3 4
ωt
π
X x(t)
1
2
π
π 2
3 4
x(t) Xsint
ωt
非线性的输出
1 t 2 3 t 4 mh h 2 arcsin 式中： 1 arcsin , X X h mh 3 arcsin , 3 2 arcsin X X
( A a)
死区非线性的描述函数为
Y1 B1 N( X ) 1 A A 2 2k a a a k arcsin 1 - ( A a) A A A
(3)具有死区和滞环的继电器型非线性
y(t)
M -h -mh 0 mh h -M 0
B1 jA1 Y1 N( A) 1 A A
思考题 设某非线性元件的特性为：
x x3 y ( x) 2 4
计算其描述函数？
二、典型非线性特性的描述函数
(1)饱和非线性 (一)饱和非线性
-a 输入 0 a x(t) k 输出 y(t) y(t)
ka
0 φ π - φ1
1
y1(t) Y1sint y(t)
4. 按端口关系划分
u y
系统
SISO系统
u1 u2
y1 y2
系统
MIMO系统
...
um
...
yr
第7章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
内容提要
§7.1 概述
§7.2 非线性特性的描述函数
§7.3 用描述函数分析非线性系统
§7.4 相平面法（选学）
§7.1 概述 一、非线性系统基本概念
π
π 2
ωt
0
φ
1
A x(t)
π - φ1
π π 2
x(t) Asint
ωt
a 1 arcsin 从图中可得 由于饱和非线性是原点单值奇对称，所以，A0=0， A1=0 Y A2 B 2 B
1 1 1 1
A1 1 arctan 0 B1 1 2 4 B1 0 y(t )sintd(t ) 0 y(t )sintd(t ) 2Fra bibliotek
4 1 2 2 k Asin td(t ) k asin td(t ) 1 0
1 1 4kA 1 a 2 t sin2t cos t 1 2 4 0 A
1 2
n 1,2,3
An n arctan Bn
若非线性特性具有奇对称特性，则A0=0
取基波分量，有
A1
0 y(t )costd(t ) B1 0 y(t )sintd(t )
1 2
1 2
则基波分量为
y(t ) A1cost B1sint Y1(sint 1 ) A1 2 2 Y1 A1 B1 ; 1 arctan B1
y
M M -a 0
y
(四) 继 电 器 型 非 线 性
0 -M
x
a
-M
(On-off nonlinear)
x
(a)理想继电特性 M -h 0 y
(b)具有死区的继电特性 y
h
x
M -h -mh 0 mh h
-M
x
-M
(c)具有滞环的继电特性
(d)具有滞环和死区的继电特性
具磁滞回环和死区的继电特性 . x>0, x>h M . x<0, x>mh . x>0, -mh<x<h x(t ) 0 . -h<x<mh x<0, . x>0, x<-mh M .
改变非线性系统的结构和参数，可以改变自激振荡的 振幅和频率，或消除自激振荡。
4.非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在 极其复杂的情况（频率响应畸变）。
二、非线性系统的研究方法和意义
1. 研究非线性系统的意义
1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。 这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进 行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一 致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。
x<0, x<-h
y M -h -mh 0 mh h -M x
§7.2 非线性特性的描述函数
一、谐波线性化
描述函数 (describing function) 是对非线性特性在 正弦信号作用下的输出，进行谐波线性化处理之 后得到的，表达形式上类似于线性理论中的幅相 频率特性。 描述函数适用于具有以下特点的非线性系统。 1.系统线性部分和非线性环节可以分离。如图7-1所 示，图中NL为非线性环节，G为线性部分的传递函 数。
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输 出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输 入呈线性关。
(三)间隙非线性 (Backlash nonlinear)
y
K c -a 0 a x
特征：元件开始运动 输入信号<a时，无输出信号； 当输入信号>a以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2a，输出随输入线性变化。
线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出问具有叠加性和均匀 性性质。 非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性 和均匀性性质。 非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
非线性系统的特点：
1. 线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统 不满足叠加原理。 2.非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的 固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及 外加输入有关系。
y(t ) A0 ( Ancos nt Bnsin nt )
n 1
A0 Ynsin( nt n )

式中 An
0 y(t )cosntd(t )
1 2
n 1
n 0,1,2
Bn
Yn
0 y(t )sinntd(t )
2 2 An Bn ;

4

2
1
1 2
4
k( Asin t a)sin td(t )
4k A a 2 2 2 1 sin td(t ) 1 sin td(t ) A
2 2kA a a a arcsin 1- 2 A A A
非线性元件输出信号y(t)中的一次谐波分量y1(t)与 正弦输入信号x(t)的复数比，称为非线性元件的描 述函数(describing function)，其数学表达式为
描述函数是输入振幅A的函数，可以看成是一个可 变增益的放大系数。 式中: X为非线性元件正弦输入信号的振幅； Y1为非线性元件正弦输入信号中一次谐波分 量（基波）的振幅； ϕ1为非线性元件正弦输入信号中一次谐波分 量的角位移。
自动控制的基本概念和原理
自动控制—不需要人的直接参与，而控制某些 物理量按照指定的规律变化。 系统—由内部互相联系的部件按照一定规律组 成，能够完成一定功能的有机整体。 自动控制系统—在没有人的直接干预下，为实 现某一控制目标，由内部互相联系的部件按照 一定规律组成，能够完成自动控制功能的有机 整体。一般由控制器，控制对象，测量元件， 比较环节等组成。
2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良 影响。（正反馈→激励）
2.非线性系统的研究方法
相平面法(Phase-plane technique) 适用于一阶、二阶系统 通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系 统特性的方法。 描述函数法(Describing function technique) 它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在 非线性系统分析中的推广。 计算机求解(Computer evaluation) 利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方 程的一种数值解法。
π 2 ωt
x
0
0 π
1 y(t ) (sint sin3t ) 3
4M
x π
Y
π 2
ωt
1 sin(2n 1) t n 0 2n 1
3 ω 5 7 ω ω ω
4M
0ω
推广到一般情况，假定给非线性环节的输入为正弦 量，则输出信号可以表示为傅氏级数形式: