3月2018届高三第一次全国大联考(江苏卷)数学卷(参考答案)
3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(全解全析)
i 1 (i 1)(1 i) 2
A 复数 z 的实部为 3 ，虚部为 1
错误
B | z | (3)2 (1)2 10
26 26
2
3
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2
象的对称轴为 x 2kπ 4π （ k Z ）． k 0 时，对称轴方程为 x 4π ； k 1 时，对称轴方程为
3
3
x 2π ．要得到一个偶函数的图象，可将该函数的图象向左平移 4π 个单位长度，或向右平移 2π 个
6
3
36
以 π π kπ(k Z) ， 解 得 3k 1 (k Z )． 因 为 0 3 ， 所 以 k 0 ， 1 ， 所 以
36
2
2
f (x ) 2 s i n1(x π ．) 令 1 x π kπ π (k Z) ，得 x 2kπ 4π （ k Z ），所以函数 f (x) 的图
种情况，将剩下的 3 个项目全排列，安排在其他三个位置，有 A33 6 种安排方法，则此时有 3 2 6 36
种安排方案.
故符合题意要求的安排方案共有 36 36 48 120 种．故选 D．
方法二：
（1）丙、丁在第 1、2 两位，则甲只能在第 3 位，不同的安排方案有 A22A11A33 12 种； （2）丙、丁在第 2、3 两位，则甲只能在第 1 位，不同的安排方案有 A22A11A33 12 种； （3）丙、丁在第 3、4 两位，则甲可以在第 1 位或第 2 位，不同的安排方案有 A22A12A33 24 种；
3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)文数卷(参考答案)
由 0 log3 2 1 ， 可 知 b1 [3 log3 2] 2 ， b2 [2 log3 2] 1 ， b3 [1 log3 2] 0 ， … ，
b20 [16 log3 2] 17 ，（10 分）
∴数列{bn} 的前 20 项和 T20 2 1 0 (1) (17) 150 ．（12 分）
45
（III）若订购 A 套餐，则这 100 位员工手机月平均使用流量的平均费用为：
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20 (0.08 0.22) 30 (0.25 0.35) 40 (0.08 0.02) 28 （元）；
5
.（3 分）
5
5
在 △ADC 中， AD
5 ， CD 1， cos ADC
5
，
5
由余弦定理可得 AC 2 2 ，（4 分）
由
S△ADC
=
1 2
AC
DE
1 2
AD CD sin
ADC
，
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可得 DE AD CD sin ADC 2 ，（5 分）
AC
2
则 CE CD2 DE2 2 ， AE AC CE 3 2 ，故 AE 3 ．（6 分）
2
2
EC
B F
A
E
C
D
（Ⅱ）（法一）如图，过点 A 作 AF BE 于点 F ，由（I）知 DE 平面 ABC ，则 DE AF ， 可得 AF 平面 BDE ，故线段 AF 的长即为所求点 A 到截面 BDE 的距离，（8 分）
2018年3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(全解全析)
2018年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析123456789101112ABBCACDDCDBC1．A 【解析】(23i)(1i)22i 3i 3(23)(32)i mm m m m +-=-++=++-，依题意，得230,320,m m +=⎧⎨-≠⎩解得23m =-，故选A ．4．C 【解析】依题意，设双曲线C 的方程为22(0)49x y λλ-=≠，将(4,3)代入可得169349λ-==，故双曲线C ：2211227x y -=，则双曲线C 的实轴长为PMN △的面积132S =⨯=，故选C ．5．A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，得33445q a a q +=，故225q q+=，则22520q q -+=，解得122q q ==或（舍去），则112a =，故101091101(12)(1)1221122a q Sq --===---，故选A．6．C 【解析】还原该几何体如图所示，依题意，4PN =，QN PQ ==4PM =，MN =QM =C ．7．D 【解析】运行该程序，12,2,,22S n a A ====，14,2S =继续运行，13,,44n a A ===，38,4S =继续运行，14,,88n a A ===，716,8S =继续运行，15,,1616n a A ===，153216S =，由题意观察各选项，可知选D ．9．C 【解析】方法一：记函数()f x 的最小正周期为T ，依题意，2M =，3(222T ππ=--，故4T =π，故2142ωπ==π，故1()2sin()2f x x ϕ=+，将(,2)2A π-代入1()2sin()2f x x ϕ=+中，得()1(2222k k ϕππ⨯-+=+π∈Z ，则32()4k k ϕπ=+π∈Z ，又0ϕ<<π，故34ϕπ=，即13()2sin()24f x x π=+，当[6,4]x ∈-π-π时，()f x 的最大值为2，最小值为，故所求最值之和为2-，故选C.方法二：记函数()f x 的最小正周期为T ，依题意，2M =，3()222T ππ=--，故4T =π，则求函数()f x 在[6,4]-π-π上的最值之和可以转化为求函数()f x 在[2,4]ππ上的最值之和，根据题图，可知函数()f x 在[2,4]ππ上的最大值为2，最小值在(2,0)-中取得，故函数()f x 在[6,4]-π-π上的最值之和(0,2)∈，观察各选项可知选C.学科*网10．D 【解析】将该三棱锥补形为一长方体，其中底面长为2，宽为1，高为2，由三棱锥四个顶点均为长方体的顶点，可知长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设长方体外接球的直径为R 2，则9221)2(2222=++=R ，解得23=R ，即长方体外接球的半径为23，故所求球的体积为3439(322π⨯=π．11．B 【解析】设椭圆方程为λ=+4922x y （0>λ），直线l 的方程为1-=my x ，联立方程消去x 得036918)49(22=-+-+λmy y m ，设),(),,(2211y x B y x A ，则根据根与系数的关系，得4918221+=+m my y ，12293694y y m λ-=+.由点C 在椭圆内，得41>λ，所以120y y <，又OAC △与OBC △的面积之比为1:3，可得213y y -=，则491822221+=-=+m m y y y ，所以49922+-=m my ，则OAB OAC OBC S S S =+△△△49||18||2||21||||21||||21222121+==-=⨯⨯+⨯⨯=m m y y y y OC y OC ||4||918m m +=，又12492||4||9=⨯≥+m m ，所以183122OAB OAC OBC S S S =+≤=△△△，当且仅当||4||9m m =，即23m =±时取等号，故OAB △面积的最大值为23，故选B．13．22680【解析】依题意，2128n=，解得7n =，故7(23)x -的展开式的通项公式为777177C (2)(3)C 2(3)r r r r rr r r T x x ---+=-=-，令73r -=，解得4r =，故3x 的系数为4347C 2(3)=22680-.16．343-【解析】因为131n n a a n --=+，所以1111333n n a a n -=++，考虑构造等比数列，由111111((1)]24324n n a n a n --+=---，得111(124113(1)24n n a n a n --+=---，所以11{()}24n a n -+是一个公比为13的等比数列，将22512a =-代入2133a a -=中，解得1374a =-，故1111(10()243n n a n --+=-⨯，即111110()243n n a n -=+-⨯，又()12111111110(110()243243n n n n a a n n ----=+-⨯---⨯11120(0(2)23n n -=+⨯>≥，1233725230,0,041236=a a a =-<-<=>，所以n S 的最小值为123725344123a a +=--=-.17．（本小题满分12分）【解析】（I ）因为27cos 7cos 7cos B b C c B =+，且3a =，所以9cos 7cos 7cos a B b C c B =+，即9sin cos 7sin cos 7sin cos A B B C C B =+,即()9sin cos 7sin 7sin A B B C A =+=，又sin 0A ≠，所以7cos 9B =，（2分）又22214a c b +-=及余弦定理得cos 7ac B =，则7379c ⨯=，解得3c =；由22214a c b +-=，3a =，3c =，得2b =.（6分）（II ）因为7cos 9B =，所以sin 9B ==.又由余弦定理，得2222222331cos 22233b c a A bc +-+-===⨯⨯，则sin 3A ==，（10分）所以227142102sin()sin cos cos sin 393927A B A B A B -=-=-⨯.（12分）18．（本小题满分12分）【解析】（I ）填写表格如下：空气质量指数3(μg/m )[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[]200,250天数4080502010（3分）故X 的分布列为：X01234P11001401001270100148010012101001（9分）（III ）依题意，任取1天空气质量指数在150以上（含150）的概率为320，由二项分布知识可知，3~(5,)20Y B ，故()335204E Y =⨯=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（I ）如图，连接PD .因为90MPA ∠=，且MPA ∠是二面角A BC D --的平面角，故平面ABC ⊥平面BCDE .（2分）因为AB AC =，P 为线段BC 的中点，故AP BC ⊥，因为平面ABC 平面BCDE BC =，AP ⊂平面ABC ，故AP ⊥平面BCDE ，因为DE ⊂平面BCDE ，故AP DE ⊥.（4分）因为1,2,3BE BC CD ===，所以DE EP DP ===，故222DE EP DP +=，即DE EP ⊥，因为AP EP P = ，所以DE ⊥平面APE .（6分）由0,0,AD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得30,220,x ty z x z --+=⎧⎨-=⎩令,x t =可得2,y z t ==，故(,2,)t t =m ；（10分）又(0,0,1)=n 为平面ABC 的一个法向量，平面ADE 与平面ABC 所成角的平面角的余弦值为14，所以14=，解得7t =（负值舍去），故7AP =.（12分）20．（本小题满分12分）【解析】（I ）因为曲线962-+-=x x y 与x 轴相切，令0962=-+-=x x y ，得3=x ，所以曲线962-+-=x x y 与x 轴相切于点)0,3(.（1分）设圆C 的标准方程为：222)()(r b y a x =-+-，则依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-==-+-=1)()3(3222a b r b a a ，（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧===223r b a ，（4分）∴所求圆C 的标准方程为：4)2()3(22=-+-y x ．（5分）设),(),,(2211y x N y x M ，则根据根与系数的关系，得221146kk x x ++=+，22119k x x +=.（8分）因为3ON OM =，所以123x x =，所以12322(1)k x k +=+，221212232933[]2(1)1k x x x k k +===++.（10分）解得433±=k ，所以直线l的方程为34y x +=或34y x -=．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（I ）依题意，得22111()(0)px f 'x x x px px -=-=>；（2分）当0p <时，10px -<，此时21()0px f 'x px -=>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；（4分）当0p >时，当1(0,x p ∈时，()0f 'x <，故()f x 在1(0,)p 上单调递减；当1(,)x p∈+∞时，()0f 'x >，故()f x 在1(,)p+∞上单调递增.（6分）（II ）依题意，得e (ln 1)xm x x ≥+-，（8分）令()e (ln 1)xh x x x =+-，下面求函数()h x 的最小值，1()(ln 1)e 1x h'x x x =+-+，令1()ln 1m x x x =+-，结合（I ）中结论可知，()1ln 1m x x x=+-在[]1,e 上单调递增，故()()10m x m ≥=，故1ln 10x x+-≥在[]1,e 上恒成立.（10分）故()1(ln 1)e 110x h'x x x=+-+≥>，故()()e ln 1xh x x x =+-在[]1,e 上单调递增.故min [()](1)1e h x h ==-，故1e m ≥-.综上所述，实数m 的取值范围为[)1e,-+∞.（12分）22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（II ）设曲线C 上一点)sin ,cos 3(θθP ，则点P 到直线l 的距离11|2sin cos 3|+--=θθd |2cos()2|6θπ+-=，（8分）可知当cos()16θπ+=-时，d 取得最大值，且为22，即直线m 与直线l 之间的最大距离为22．（10分）23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（I ）3)1(|42||)42(||42|||2222++=++=++--≥+++-a a a a x a x a x a x ，（2分）由33)1(2≥++a ，得3|42|||2≥+++-a x a x ，即3)(≥x f ．（4分）（II ）当1-=a 时，21,2()|1||2|3,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.（7分）作出函数)(x f 的图象及直线5y =如图：可知所围成的图形为梯形，令5)(=x f ，得3-=x 或2，（9分）则所求图形的面积为822)53(=⨯+．（10分）。
2018年3月2018届高三第一次全国大联考(江苏卷)数学卷(参考答案)
文科数学 第1页（共12页）2018年第一次全国大联考【江苏卷】数学I ·参考答案1．{1,0,1}- 23．692 45．1(,2)46．2或16 7．48．3109．9π10．2-11． 12．[0,](,)42πππ13．14．22(1,)(,1)33-- 15．（本小题满分14分）（2）因为PB AB =,且D 是棱PA 的中点,所以BD PA ⊥.（8分） 因为PB ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以PB BC ⊥,（10分） 而AB BC ⊥,且PB 和AB 是平面PAB 内两条相交直线,所以BC ⊥平面PAB ,而PA ⊂平面PAB ,于是得BC PA ⊥.（12分） 又BD 和BC 是平面BCD 内两条相交直线,文科数学 第2页（共12页）故PA ⊥平面BCD .（14分） 16．（本小题满分14分）（2）法1：由（1）知：2222229()()()2b c a b c bc b c bc b c +==++=+-≥+-23()4b c =+,（10分） 即2()12b c +≤,当且仅当b c =时取等号,且3b c a +>=,所以3b c <+≤故b c +的取值范围为.（14分） 法2：由（1）及正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====,得,b B c C ==,（10分） 且03C B π=->,得03B π<<.则sin()]3b c B B π+=+-3cos B B =+=)3B π+,（12分）由2333B πππ<+<,且b c a +>,可得3b c <+≤故b c +的取值范围为.（14分） 17．（本小题满分14分）【解析】（1）设y 表示从B 孔流出的水中该有毒物质的质量分数,文科数学 第3页（共12页）则(0)ky k ab=>,要使y 最小,只需ab 取最大值.（2分） 由题意得602222a b ab =+⨯+,且0,0a b >>,则有0ab >,且302a b ab ab =++≥,当且仅当2a b =时等号成立.（4分）即300ab +≤且0ab >,解得0当且仅当26a b ==时,max ()18ab =, 即当6a =米,3b =米时,经消毒后流出的水中该有毒物质的质量分数最小,最小值为min 18ky =.（7分） （2）由题意,发光材料总长度2z CD DE EF a b =++=+； 由（1）知211230(2)2()222a b a b ab a b +-+==⋅≤,且0,0a b >>,（10分） 化简得2(2)8(2)2400a b a b +++-≥, 解得220a b +≤-（舍去）或212a b +≥,当且仅当20a b =>,且230a b ab ++=,即6a =,3b =时等号成立,故min 12z =. 故发光材料总长度z 的最小值为12米.（14分）学.科.网 18．（本小题满分16分）法2：设1122(,),(,)M x y N x y .文科数学 第4页（共12页）当直线l 的倾斜角为45︒时,其斜率为1, 因为(,0)2pF ,所以此时直线l 的方程为2py x =-,（3分） 将其代入22y px =中,消去y ,化简得22304p x px -+=,根据根与系数的关系，得123x x p +=,2124p x x =.（5分）易知抛物线的准线方程为2p x =-, 由抛物线的定义得焦半径1||2p MF x =+,2||2p NF x =+, 于是有12||||||416MN MF NF x x p p =+=++==, 解得4p =,故抛物线C 的方程为28y x =.（8分）得120(2)()k x x a =--+21(2)()k x x a --1212[2(2)()4]k x x a x x a =-+++8(2)a k+=-. 即8(2)0a k+-=对于k ∈R 且0k ≠恒成立, 故只需2a =-即可,此时(2,0)P -.（14分）②当直线l 与x 轴垂直时,易知直线PM 与PN 关于x 轴对称,文科数学 第5页（共12页）此时只要点P 与焦点F 不重合就有0PM PN k k +=成立, 故此时(2,0)P -也符合题意.综上所述,存在唯一的点(2,0)P -,使得直线,PM PN 的斜率之和恒为零.（16分） 19．（本小题满分16分）（2）因为数列{}n a 是“(3)G 数列”,所以当3n >时,3211n n n n a a a a ---+623n n n a a a ++=①；（8分） 因为数列{}n a 是“(2)G 数列”,所以当2n >时,42112n n n n n a a a a a --++= ②.（9分）由②得：当3n >时,41321n n n n n a a a a a ---+=③,和41231n n n n na a a a a +++-=④, 将③④两式代入①,化简得4811()n n n a a a -+=,（11分） 因为数列{}n a 是正项数列,所以211(3)n n n a a a n -+=>,从而数列{}n a 从第3项起是等比数列,设其公比为11(0)q q ≠.（13分） 在②中取4n =,有423564a a a a a =,即23423313131()a a a q a q a q ⋅⋅⋅=,即213a q a =, 从而数列{}n a 从第2项起是等比数列；同理,在②中又取3n =,有412453a a a a a =,即23412212121()a a a q a q a q ⋅⋅⋅=,即112a q a =, 从而数列{}n a 从第1项起是等比数列.文科数学 第6页（共12页）即正项数列{}n a 是等比数列.（16分） 20．（本小题满分16分）（2）因为()()g x f x ≥对任意的0x >恒成立, 即22e e ln 2x ax x x x x x ≤+-++对任意的0x >恒成立, 即2e e ln 2x x x x x a x +-+≤+对任意的0x >恒成立.（9分）令2e e ln ()(0)x x x x xF x x x +-+=>,则只需min ()2a F x ≤+；（10分）而24(e 1e ln 1)2(e e ln )()x x x x x x x x x F x x +-++-+-+'=3e 2e (e ln )x x x x x x -+-=212e (e e ln )x x x x x=+--,0x >.（12分）设2e ()e e ln xxh x x x=+--,易证e 0x x ->对0x >恒成立,则212e (1)()e x xx h x x x -'=--22e (1)e 0x x x xx -+-=>对0x >恒成立,故函数()h x 在(0,)+∞上单调递增,且(1)e e 2e 0h =+-=.（14分） 从而,当01x <<时,()0h x <,即()0F x '<； 当1x >时,()0h x >,即()0F x '>.于是得函数()F x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增, 所以min ()(1)1F x F ==,从而得3a ≤. 故实数a 的取值范围为(,3]-∞.（16分）数学Ⅱ（附加题）·参考答案21．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）【解析】（1）因为G 是ABC △的重心,所以AD 是BC 边上的中线. 又因为AB AC =,所以AD 也是等腰ABC △底边BC 上的高线,文科数学 第7页（共12页）所以AD BC ⊥①.（2分） 又因为,D G 分别是,BC BN 的中点, 所以DG 是BCN △的中位线,所以GD NC ,即ADNC ②.由①②可得NC BC ⊥.（5分）所以CMN AEG △≌△.（10分）学.科.网 B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解析】（1）设矩阵1002B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,易得110102B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,（2分） 故10210A B --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦1002011101002⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦.（5分） （2）设00(,)D x y 为曲线1M 上任意一点,它在矩阵A 对应的变换作用下变为(,)P x y , 即点P 在曲线2M 上,并有220038x y +=①. 因为00000110x y x y x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以00y x x y -=⎧⎨-=⎩,即00x y y x =-⎧⎨=-⎩,（8分）文科数学 第8页（共12页）代入①得2238y x +=.故所求曲线2M 的方程为2238x y +=.（10分） C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）法2：因为直线l 的参数方程为1223x t y t =+⎧⎨=+⎩,令t =, 则将直线l化为标准参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()s 为参数③,（3分）由2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ参数得椭圆方程为223412x y += ②. 将③代入②,整理得2487013s ++=. 因为0∆>,所以关于s 的一元二次方程有两解,设分别为12,s s .根据一元二次方程根与系数的关系得12s s +=,129148s s =.（6分）根据直线参数s 的几何意义知：文科数学 第9页（共12页）所求的距离之和为1212MA MB s s s s +=+=+=（8分） 距离之积为12129148MA MB s s s s ⋅=⋅==.（10分）22．（本小题满分10分）【解析】（1）由题意,可知直线,,DB DE DA 两两垂直,分别以,,DB DE DA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图.则(0,0,0),(0,1,0)D C E,A , 所以(2,1,0)EC =,(0,EA =-；（2分） 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =n .则200EC x y EA y⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n ,令y =,则1,1x z =-=,得平面ACE 的一个法向量为(=-n .（4分）文科数学 第10页（共12页）而(2,2,0)DC =,故点D 到平面ACE的距离||||DC d ⋅===n n.（5分）故cosθ|||cos ,|||||⋅==m n m n m n .（10分）学.科.网 23．（本小题满分10分）【解析】（1）法1：原式12088C (35201041)2088702018=-++++=-=.（5分） 法2：由组合数性质知,3333334567C C C C C ++++ 4333344567C C C C C =++++ 433556C C C =++37C +433667C C C =++4377C C =+48C =,（4分） 故原式14208888765C C 208820887020184321⨯⨯⨯=-=-=-=⨯⨯⨯.（5分）（2）S T =对,m n *∈N ,且2n m ≥+成立.证明如下：（6分）文科数学 第11页（共12页）将上述(1)n m -+个等式左右两边分别相加, 得11211C C C C C C m m m m m m n n n m m n +--+++++++=, 即S T =.（10分）法2：因为11211C C C C C m m m m m n n m m m S +-+++=+++++ 11322C C C C C m m m m m n n m m m +-+++=+++++ 1133=C C C C m m m m n n m m +-++++++=111C C C m m m n n n +--=++1C C m m n n +=+11C m n ++=T =,即S T =.（10分）文科数学第12页（共12页）。
2018年3月2018届高三第一次全国大联考(江苏卷)数学卷(全解全析)
2018年第一次全国大联考【江苏卷】数学I ·全解全析1．【答案】{1,0,1}-【解析】由题意，得{2,1,0,1,2,3}S =--,{|22}T x x =∈-<<R ,故{1,0,1}S T =-.2【解析】法1：由复数的乘法的运算法则得(23i)(1i)5i z =+-=+,故|||5i |z =-.法2：由复数的模的性质知|||||(23i)(1i)||23i ||1i |z z ==+-=+⋅-=. 3．【答案】692【解析】根据系统抽样方法的原理,因为在第1组中抽取到的号码为012,且分组间隔为8002040d ==,所以在第35组中应抽取的号码为12(351)20692+-⨯=.5．【答案】1(,2)4【解析】由题意,解不等式220x x +->,得12x -<<,即(1,2)A =-,而函数1()2x y =在区间(1,2)-内是单调递减的,故21111()()()222x -<<,即124y <<.故所求值域是1(,2)4.6．【答案】2或16【解析】由题意,当4x ≤时,由93x y ==,解得2x =；当4x >时,由295log y x ==+,解得16x =.综上,可得2x =或16.7．【答案】4【解析】法1：由题意,当1n =时,115a S ==；当2n ≥时,2123n n n a S S n n -=-=+-2[2(1)3(1)]n n -+-= 2(21)3n -+41n =+①.由于当1n =时,15a =也满足①式,所以41()n a n n *=+∈N .故当2n ≥法2：因为数列{}n a 的前n 项和为223n S n n =+,所以由等差数列的性质可知数列{}n a 是一个等差数列,设其公差为d .因为115a S ==,12214a a S +==,所以29a =,从而可得21954d a a =-=-=.故当2n≥9．【答案】9π【解析】如图,作出圆锥的轴截面为等腰VAC △,由题意知球的轴截面是等腰VAC △的内切圆O .设圆锥的母线VA 和底面圆的直径AC 分别与圆O 相切于点B 和点1O ,连接OB ,则OB VA ⊥,连接1VO ,则1VO AC ⊥,易得5VA =,且1Rt Rt VBO VO A △∽△,则1OB VO AO VA =,即5r h rR -=,解得故所求的内切球的表面积为249S r =π=π.10．【答案】2-【解析】由题意设向量,a b 的夹角为θ（2θπ<<π）,当12t =-时,1||||2t -=+=b a a b==,则=解得21cos 4θ=,因为cos 0θ<,所以1cos 2θ=-,而||8cos θ=-a 4=.故向量a 在向量b 方向上的投影是1||cos 4()22θ=⨯-=-a .学.科.网12．【答案】[0,](,)42πππ【解析】将直线1l 的方程化为(2)2y a x =--,知斜率为a 的直线1l恒过定点(2,2)D -,作出符合条件的平面区域如图.易解得(6,2)A ,由题意,当6m ≤才有符合题意的平面区域,从而可得(,8)B m m -,且22162AD k +==-.①当26m <≤时,由于102BD mk m -=-,要使[1,7]a ∈时总有1l 与不等式组表示的平面区域有公共点,则必有267BD m k <≤⎧⎨≥⎩,解得23m <≤；②当2m ≤时,显然1l 与不等式组表示的平面区域有公共点恒成立.综上可得3m ≤.由于直线30l mx y n -+=：的斜率为3mk =,所以1k ≤,即tan 1α≤,且0α≤<π,于是0tan 1α≤≤或tan 0α<,解得[0,](,)42αππ∈π.13．【答案】【解析】设成等差数列的这六个实数依次为1234,,,,,x a a a a y ,其公差为d ,后三项之和为S ,则5y x d =+,即5y x d -=.由题意有3412331255S a a y x d y x =++=+=+①,由题意，可设5cos x θ=,5sin y θ=,代入①中得,3(4sin cos ))S θθθφ=+=+（其中cosφφ==）.因为1sin()1θφ-≤+≤,所以S -≤≤故max S =. 14．【答案】22(1,)(,1)33-- 【解析】因为()(2)f x f x =-,所以()f x 的图象关于直线1x =对称.又因为()f x 为偶函数,所以()()(2)f x f x f x -==-,所以()(2)f x f x =+,即()f x 是以2为周期的周期函数.因为当[1,2]x ∈时,23()f x x x =-,此时2()23(32)0f x x x x x '=-=--<恒成立,所以()f x 在区间[1,2]上单调递减,且(1)0,(2)4f f ==-,由此作出函数()f x 的大致图象如图.15．（本小题满分14分）【解析】（1）因为,G F 分别是线段,BD BC 的中点, 所以GF 是BCD △的中位线,所以GF DC ；因为DC ⊂平面PAC ,GF ⊄平面PAC , 所以GF平面PAC .（3分）同理,因为,F H 分别是线段,BC BE 的中点, 所以FH 是BCE △的中位线,所以FHCE ,即FHCP ,因为CP ⊂平面PAC ,FH ⊄平面PAC , 所以FH平面PAC .（6分）而GF 和FH 是平面FGH 内的两条相交直线, 所以平面FGH平面PAC .（7分）（2）因为PB AB =,且D 是棱PA 的中点,所以BD PA ⊥.（8分） 因为PB ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以PB BC ⊥,（10分） 而AB BC ⊥,且PB 和AB 是平面PAB 内两条相交直线,所以BC ⊥平面PAB ,而PA ⊂平面PAB ,于是得BC PA ⊥.（12分） 又BD 和BC 是平面BCD 内两条相交直线, 故PA ⊥平面BCD .（14分） 16．（本小题满分14分）（2）法1：由（1）知：2222229()()()2b c a b c bc b c bc b c +==++=+-≥+-23()4b c =+,（10分） 即2()12b c +≤,当且仅当b c =时取等号,且3b c a +>=,所以3b c <+≤故b c +的取值范围为.（14分）法2：由（1）及正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====,得,b B c C ==,（10分） 且03C B π=->,得03B π<<.则sin()]3b c B B π+=+-3cos B B =+=)3B π+,（12分）由2333B πππ<+<,且b c a +>,可得3b c <+≤故b c +的取值范围为.（14分） 17．（本小题满分14分）（2）由题意,发光材料总长度2z CD DE EF a b =++=+； 由（1）知211230(2)2()222a b a b ab a b +-+==⋅≤,且0,0a b >>,（10分） 化简得2(2)8(2)2400a b a b +++-≥, 解得220a b +≤-（舍去）或212a b +≥,当且仅当20a b =>,且230a b ab ++=,即6a =,3b =时等号成立,故min 12z =. 故发光材料总长度z 的最小值为12米.（14分） 18．（本小题满分16分）【解析】（1）法1：设1122(,),(,)M x y N x y . 当直线l 的倾斜角为45︒时,其斜率为1,因为(,0)2pF ,所以此时直线l 的方程为2py x =-,（3分） 将其代入22y px =中,消去y ,化简得22304p x px -+=,根据根与系数的关系，得123x x p +=,2124p x x =.（5分）由弦长公式得12|||416(0)MN x x p p =-=>, 所以4p =,故抛物线C 的方程为28y x =.（8分）（2）假设满足条件的点P 存在,设(,0)P a ,且由（1）可知(2,0)F .（9分） ①当直线l 不与x 轴垂直时,设直线l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠, 代入抛物线方程28y x =中,消去y ,整理得2222(48)40k x k x k -++=,（11分）22222(48)4464640k k k k ∆=+-⨯=+>恒成立,根据根与系数的关系得212248k x x k ++=,124x x =.②当直线l 与x 轴垂直时,易知直线PM 与PN 关于x 轴对称, 此时只要点P 与焦点F 不重合就有0PM PN k k +=成立, 故此时(2,0)P -也符合题意.综上所述,存在唯一的点(2,0)P -,使得直线,PM PN 的斜率之和恒为零.（16分）学.科.网 19．（本小题满分16分）【解析】（1）因为{}n a 是等比数列,所以设其首项为1a ,公比为(0)q q ≠,则11n n a a q -=.（3分） 于是当3n >（n *∈N ,以下均有n *∈N ）时,有11122111()n k n k n n k n k n a a a q a q a q a --+---+=⋅==；（5分）所以236321123332211()()()()n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---+++-+-+-+===, 所以由定义可知数列{}n a 是“(3)G 数列”.（7分）（2）因为数列{}n a 是“(3)G 数列”,所以当3n >时,3211n n n n a a a a ---+623n n n a a a ++=①；（8分） 因为数列{}n a 是“(2)G 数列”,所以当2n >时,42112n n n n n a a a a a --++= ②.（9分）由②得：当3n >时,41321n n n n n a a a a a ---+=③,和41231n n n n na a a a a +++-=④,将③④两式代入①,化简得4811()n n n a a a -+=,（11分） 因为数列{}n a 是正项数列,所以211(3)n n n a a a n -+=>,从而数列{}n a 从第3项起是等比数列,设其公比为11(0)q q ≠.（13分） 在②中取4n =,有423564a a a a a =,即23423313131()a a a q a q a q ⋅⋅⋅=,即213a q a =, 从而数列{}n a 从第2项起是等比数列；同理,在②中又取3n =,有412453a a a a a =,即23412212121()a a a q a q a q ⋅⋅⋅=,即112a q a =, 从而数列{}n a 从第1项起是等比数列. 即正项数列{}n a 是等比数列.（16分） 20．（本小题满分16分）（2）因为()()g x f x ≥对任意的0x >恒成立, 即22e e ln 2x ax x x x x x ≤+-++对任意的0x >恒成立, 即2e e ln 2x x x x x a x +-+≤+对任意的0x >恒成立.（9分）令2e e ln ()(0)x x x x xF x x x +-+=>,则只需min ()2a F x ≤+；（10分）而24(e 1e ln 1)2(e e ln )()x x x x x x x x x F x x+-++-+-+'= 3e 2e (e ln )x x x x x x -+-=212e (e e ln )x x x x x=+--,0x >.（12分） 设2e ()e e ln xxh x x x=+--,易证e 0x x ->对0x >恒成立,则212e (1)()e x xx h x x x -'=--22e (1)e 0x x x xx-+-=>对0x >恒成立, 故函数()h x 在(0,)+∞上单调递增,且(1)e e 2e 0h =+-=.（14分）从而,当01x <<时,()0h x <,即()0F x '<； 当1x >时,()0h x >,即()0F x '>.于是得函数()F x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增, 所以min ()(1)1F x F ==,从而得3a ≤. 故实数a 的取值范围为(,3]-∞.（16分）数学Ⅱ（附加题）·全解全析21．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）（2）因为G 是ABC △的重心,所以1122GM BG GN ==,所以GM MN =, 由（1）知ADNC ,MAG EAG ∠=∠,所以MCN MAG EAG ∠=∠=∠.在CMN △和AMG △中,MCN MAGCMN AMG MN GM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以CMN AMG △≌△, 所以1,2CM AM AC CN AG ===,（8分） 因为点E 是AB 的中点,所以12BE AE AB ==, 因为AB AC =,所以AE CM =,在CMN △和AEG △中CM AE MCN EAG CN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以CMN AEG △≌△.（10分）B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解析】（1）设矩阵1002B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,易得110102B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,（2分）故10210A B --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦1002011101002⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦.（5分） （2）设00(,)D x y 为曲线1M 上任意一点,它在矩阵A 对应的变换作用下变为(,)P x y , 即点P 在曲线2M 上,并有220038x y +=①. 因为00000110x y x y x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以00y x x y -=⎧⎨-=⎩,即00x y y x =-⎧⎨=-⎩,（8分）代入①得2238y x +=.故所求曲线2M 的方程为2238x y +=.（10分） C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）法2：因为直线l 的参数方程为1223x t y t =+⎧⎨=+⎩,令t =,则将直线l化为标准参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()s 为参数③,（3分）由2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ参数得椭圆方程为223412x y += ②. 将③代入②,整理得2487013s ++=. 因为0∆>,所以关于s 的一元二次方程有两解,设分别为12,s s .根据一元二次方程根与系数的关系得12s s +=,129148s s =.（6分）根据直线参数s 的几何意义知：所求的距离之和为1212MA MB s s s s +=+=+=（8分） 距离之积为12129148MA MB s s s s ⋅=⋅==.（10分）学.科.网 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）22．（本小题满分10分）【解析】（1）由题意,可知直线,,DB DE DA 两两垂直,分别以,,DB DE DA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图.（2）设平面ADC 的法向量为(,,)a b c =m .由（1）得DA =,(2,2,0)DC =, 由20DA c ⋅==m ,得0c =；由220DC a b ⋅=+=m ,令1b =,得a =所以平面ADC 的一个法向量为(=m .（8分）由（1）知平面ACE 的一个法向量为(=-n . 且结合图形可知,二面角D AC E --为锐二面角,即θ为锐角,故cos θ|||cos ,|||||⋅==m n m n m n .（10分）23．（本小题满分10分）（2）S T =对,m n *∈N ,且2n m ≥+成立.证明如下：（6分）法1：利用组合数性质11C C C m m m n n n -+=+,得11C C C m m mn n n -+=-, 从而111C C C m m m n n n +++=-, 1111C C C m m m n n n ++--=-, 2C m n -1112C C m m n n ++--=-,11121C C C m m m m m m +++++=-, 而11C C m m m m ++=.将上述(1)n m -+个等式左右两边分别相加,得11211C C C C C C m m m m m m n n n m m n +--+++++++=,即S T =.（10分）法2：因为11211C C C C C m mm m m n n m m m S +-+++=+++++11322C C C C C m m m m m n n m m m +-+++=+++++即S T.（10分）。
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数学试题 第1页（共6页） 数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前2018年第一次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合{|23}S x x =∈-≤≤Z ,2{|40}T x x =∈-<R ,则ST =__________.2．已知复数3(23i)(1i )z =++,其中i 是虚数单位,若z 是z 的共轭复数,则z 的模是__________.3．某学校为调查毕业班学生的学习问题现状,将参加高三上学期期末统考的800名学生随机地编号为：000,001,002,,799,准备从中抽取一个容量为40的样本,按系统抽样的方法把总体分成40组.第1组编号为000,001,,019；第2组编号为020,021,,039；；第40组编号为780,781,,799.若在第1组中随机抽取到的一个号码为012,则在第35组中应抽取的号码为__________.4．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)4y x a a-=>的焦距为,则其离心率e =__________. 5．若函数2lg(2)y x x =+-的定义域为A ,则函数1(()2x y x A =∈的值域是__________.6．如图是一个算法的流程图,若输出的y 的值是9,则输入的x 的值为__________.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 8．从长度分别为3,4,5,6,7的五条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成锐角三角形的概率是__________.9．已知圆锥的高4h =,底面圆的半径3R =,则该圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积S =__________.10．已知非零向量,a b 的夹角为钝角,且||4=b .若当12t =-时,||t -b a 则向量a 在向量b 方向上的投影是__________.11．在锐角ABC △中,角,,AB C 所对的边分别为,,a b c ,cos cos )2sin b C c B a A +=,4b =,则a 的取值范围是__________.12．已知a 是区间[1,7]上的任意实数,直线1l ：220ax y a ---=与不等式组830x mx y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域总有公共点,则直线30(,)l mx y n m n -+=∈R ：的倾斜角α的取值范围为__________.13．已知两实数,x y 满足2225x y +=,若在,x y 之间插入四个实数,使这六个实数构成等差数列,则这个等差数列后三项和的最大值为__________.14．设定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =-,且当[1,2]x ∈时,23()f x x x =-.若方程()0f x bx +=有5个不同的实数根,则实数b 的取值范围为__________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）如图,已知在三棱锥P ABC -中,PB AB =,PB ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,且点,,D E F 分别是棱,,PA PC BC 的中点,点,G H 分别是线段,BD BE 的中点.（1）求证：平面FGH平面PAC ；（2）求证：PA ⊥平面BCD .数学试题 第3页（共6页） 数学试题 第4页（共6页）16．（本小题满分14分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(,)c a b =+m ,(,)c a b c =-+n ,且3a =,⊥m n . （1）求A 及ABC △面积的最大值； （2）求b c +的取值范围. 17．（本小题满分14分）如图,某单位为处理含有某种有毒物质的污水,要制造一个无盖长方体消毒箱,有毒污水由A 孔流入,经消毒处理后从B孔流出.现有制箱材料60平方米,并设计箱体的底面边长分别为a 米,2米,高度为b 米（,A B 孔的面积忽略不计）.由研究分析知从B 孔流出的水中该有毒物质的质量分数与,a b 的乘积成反比,且比例系数为(0)k k >.（1）问,a b 各为多少米时,经消毒后流出的水中该有毒物质的质量分数最小?（2）出于安全考虑,在消毒箱的正面制作一警示牌,写上“有毒水质,请勿接触”的标语.为了使警示牌更加醒目,其中CD 、DE 、EF 三段用发光材料制作.求发光材料总长度z 的最小值.18．（本小题满分16分）如图,已知点F 为抛物线22(0)C y px p =>：的焦点,过点F 的动直线l 与抛物线C 交于,M N 两点,且当直线l 的倾斜角为45︒时,||16MN =. （1）求抛物线C 的方程；（2）试确定在x 轴上是否存在点P ,使得直线,PM PN 的斜率之和恒为零?若存在,求出P 点的坐标；若不存在,说明理由.19．（本小题满分16分）给定正整数k ,若各项为非零的实数数列{}n a 满足21111k n k n k n n n k n k n a a a a a a a --+-++-+=对任意n *∈N （n k >）恒成立,则称数列{}n a 是“()G k 数列”.（1）若数列{}n a 为等比数列,求证：数列{}n a 是“(3)G 数列”；（2）若正项数列{}n a 既是“(3)G 数列”,又是“(2)G 数列”,求证：数列{}n a 是等比数列. 20．（本小题满分16分）已知函数2()e 2ln f x x x x x =--,2()e x g x ax x =-+（a ∈R ）,其中e 为自然常数. （1）求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()()g x f x ≥对任意的0x >恒成立,求实数a 的取值范围.数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页）数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。
3月2018届高三第一次全国大联考(江苏卷)数学卷(考试版)
数学试题第1页（共6页）数学试题第2页（共6页）绝密★启用前|学科网试题命制中心2018年第一次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
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4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）1．已知集合{|23}S x x=∈-≤≤Z,2{|40}T x x=∈-<R,则S T=__________.2．已知复数3(23i)(1i)z=++,其中i是虚数单位,若z是z的共轭复数,则z的模是__________.3．某学校为调查毕业班学生的学习问题现状,将参加高三上学期期末统考的800名学生随机地编号为：000,001,002,,799,准备从中抽取一个容量为40的样本,按系统抽样的方法把总体分成40组.第1组编号为000,001,,019；第2组编号为020,021,,039；；第40组编号为780,781,,799.若在第1组中随机抽取到的一个号码为012,则在第35组中应抽取的号码为__________.4．在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2221(0)4y xaa-=>的焦距为则其离心率e=__________.5．若函数2lg(2)y x x=+-的定义域为A,则函数1(()2xy x A=∈的值域是__________.6．如图是一个算法的流程图,若输出的y的值是9,则输入的x的值为__________.7．已知数列{}na的前n项和为S8．从长度分别为3,4,5,6,7的五条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成锐角三角形的概率是__________.9．已知圆锥的高4h=,底面圆的半径3R=,则该圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积S=__________.10．已知非零向量,a b的夹角为钝角,且||4=b.若当12t=-时,||t-b a则向量a在向量b方向上的投影是__________.11．在锐角ABC△中,角,,A B C所对的边分别为,,a b c,cos cos)2sinb Cc B a A+=,4b=,则a的取值范围是__________.12．已知a是区间[1,7]上的任意实数,直线1l：220ax y a---=与不等式组830x mx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域总有公共点,则直线30(,)l mx y n m n-+=∈R：的倾斜角α的取值范围为__________.13．已知两实数,x y满足2225x y+=,若在,x y之间插入四个实数,使这六个实数构成等差数列,则这个等差数列后三项和的最大值为__________.14．设定义在R上的偶函数()f x满足()(2)f x f x=-,且当[1,2]x∈时,23()f x x x=-.若方程()0f x bx+=有5个不同的实数根,则实数b的取值范围为__________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）如图,已知在三棱锥P ABC-中,PB AB=,PB⊥平面ABC,AB BC⊥,且点,,D E F分别是棱,,PA PC BC的中点,点,G H分别是线段,BD BE的中点.（1）求证：平面FGH平面PAC；（2）求证：PA⊥平面BCD.。
2018年3月2018届高三第一次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(考试版)
10．当地时间 2018 年 1 月 19 日晚，美国参议院投票否决了一项旨在避免政府停摆的临时拨款法案，美国 联邦政府非核心部门工作因此陷入停滞状态．某国家与美国计划进行 6 个重点项目的洽谈，考虑到停 摆的现状，该国代表对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁 必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有 A． 240 种
2
装 订
B． 188 种
2 2
C． 156 种
D． 120 种
不
11．如图，已知抛物线 y 8 x ，圆 C : x y 4 x 3 0 ，过圆心 C 的直线 l 与抛物线和圆分别交于
P, Q, M , N ，则 | PN | 9 | QM | 的最小值为
密
16．2017 年吴京执导的动作、军事电影《战狼 2》上映三个月，以 56.8 亿震撼世界的票房成绩圆满收官， 该片也是首部跻身全球票房 TOP100 的中国电影．小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼 2》 ，并把标识分别为 A,B,C,D 的四张电影票放在编号分别为 1,2,3,4 的四个不同盒子里，让四位好朋友 进行猜测： 甲说：第 1 个盒子里面放的是 B，第 3 个盒子里面放的是 C； 乙说：第 2 个盒子里面放的是 B，第 3 个盒子里面放的是 D； A． 32 B． 36 C． 42 D． 50 丙说：第 4 个盒子里面放的是 D，第 2 个盒子里面放的是 C； 丁说：第 4 个盒子里面放的是 A，第 3 个盒子里面放的是 C. 小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半．” 可以推测，第 4 个盒子里面放的电影票为 .
A． (
1 4 , ] e2 e
B． ( ,
1 4 ] e e2
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得 b 2 3 sin B,c 2 3 sin C ,（10 分）
且 C B 0 ,得 0 B .
3
3
则 b c 2 3[sin B sin( B)] 3 sin B 3cos B 2 3 sin(B ) ,（12 分）
3
3
由 B 2 ,且 b c a ,可得 3 b c 2 3 ,故 b c 的取值范围为 (3, 2 3] .（14 分）
故只需 a 2 即可,此时 P(2,0) .（14 分）
②当直线 l 与 x 轴垂直时,易知直线 PM 与 PN 关于 x 轴对称,
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4
此时只要点 P 与焦点 F 不重合就有 kPM kPN 0 成立, 故此时 P(2,0) 也符合题意. 综上所述,存在唯一的点 P(2,0) ,使得直线 PM , PN 的斜率之和恒为零.（16 分） 19．（本小题满分 16 分）
2
4
即 (b c)2 12 ,当且仅当 b c 时取等号,且 b c a 3 ,
所以 3 b c 2 3 .
故 b c 的取值范围为 (3, 2 3] .（14 分）
法 2：由（1）及正弦定理得 b c a 3 2 3 , sin B sin C sin A 3 2
2018 年第一次全国大联考【江苏卷】
1． {1, 0,1} 3． 692 5． ( 1 , 2)
4 7． 4 9． 9 11． (2 3, 4 3) 13． 3 17 15．（本小题满分 14 分）
数学 I·参考答案
2． 26 4． 6
2 6． 2 或16 8． 3
10 10． 2 12．[0, ] ( , )
42 14． (1, 2) ( 2 ,1)
33
（2）因为 PB AB ,且 D 是棱 PA 的中点,所以 BD PA .（8 分） 因为 PB 平面 ABC , BC 平面 ABC ,所以 PB BC ,（10 分） 而 AB BC ,且 PB 和 AB 是平面 PAB 内两条相交直线, 所以 BC 平面 PAB ,而 PA 平面 PAB ,于是得 BC PA .（12 分） 又 BD 和 BC 是平面 BCD 内两条相交直线,
经消毒后流出的水中该有毒物质的质量分数最小,最小值为
ymin
k 18
.（7
分）
（2）由题意,发光材料总长度 z CD DE EF a 2b ；
由（1）知 30 (a 2b) ab 1 a 2b 1 ( a 2b)2 ,且 a 0,b 0 ,（10 分）
法 2：设 M (x1, y1), N(x2, y2) .
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3
当直线 l 的倾斜角为 45 时,其斜率为 1,
因为 F ( p ,0) , 2
所以此时直线 l 的方程为 y x p ,（3 分） 2
将其代入 y2 2 px 中,消去 y ,化简得 x2 3px p2 0 , 4
（2）因为数列{an}是“ G(3) 数列”,
所以当 n 3 时, an3an2an1an1 an2an3 an6 ①；（8 分）
因为数列{an}是“ G(2) 数列”,
所以当 n 2 时, an2an1an1an2 an4 ②.a 2b)2 8(a 2b) 240 0 ,
解得 a 2b 20 （舍去）或 a 2b 12 ,
当且仅当 a 2b 0 ,且 a 2b ab 30 ,即 a 6 , b 3 时等号成立,故 zmin 12 . 故发光材料总长度 z 的最小值为12 米.（14 分）学.科.网 18．（本小题满分 16 分）
3
33
17．（本小题满分 14 分）
【解析】（1）设 y 表示从 B 孔流出的水中该有毒物质的质量分数,
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2
则 y k (k 0) ,要使 y 最小,只需 ab 取最大值.（2 分） ab
由题意得 60 2a 2 2b 2ab ,且 a 0,b 0 ,
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1
故 PA 平面 BCD .（14 分） 16．（本小题满分 14 分）
（2）法 1：由（1）知：
9 a2 b2 c2 bc (b c)2 bc (b c)2 (b c)2 3 (b c)2 ,（10 分）
解得 p 4 ,故抛物线 C 的方程为 y2 8x .（8 分）
得0
k(x1
2)(x2
a)
k(x2
2)(x1
a)
k[2x1x2
(a 2)(x1
x2 ) 4a]
8(a 2) k
.
即 8(a 2) 0 对于 k R 且 k 0 恒成立, k
则有 ab 0 ,且 30 a 2b ab 2 2ab ab ,当且仅当 a 2b 时等号成立.（4 分）
即 ab 2 2ab 30 0 且 ab 0 ,解得 0 ab 3 2 .
当且仅当 a 2b 6 时, (ab)max 18 ,
即当 a 6 米, b 3 米时,
根据根与系数的关系，得 x1 x2
3p , x1x2
p2 4
.（5
分）
易知抛物线的准线方程为 x p , 2
由抛物线的定义得焦半径 |
MF
|
x1
p 2
,|
NF
|
x2
p 2
,
于是有 | MN || MF | | NF | x1 x2 p 4 p 16 ,