2020江苏高考数学卷

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
柱体的体积Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1A =-，0，1，}2，0{=B ，2，}3，则A B = ▲
．
2．已知i 是虚数单位，则复数z i)2)(i 1(-+=z 的实部是
▲
．
3．已知一组数据4，a 2，a -3，5，6的平均数为4，则a
4．则点数和为5的概率是
▲
．
5．右图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是
▲．
注
意
事
项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题—第20题.共20题）。

本卷满分为160分，考试
时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答
题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置
作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

（第5题）
6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5
x y a a -=>的一条渐近线方程为x y 25
=
，则双曲线的离心率是▲．
7．已知)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，3
2
)(x x f =，则)8(-f 的值是▲．
8．已知3
2
)4(
sin 2=+απ，则α2sin 的值是▲．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成.
已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲
3cm ．
10．将函数42sin(3π+
=x y 的图象向右平移
6
π
个单位.则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是
▲
．
11．设}{n a 是公差为d 的等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列.已知数列}{n n b a +的前n 项
和)(122*∈-+-=N n n n S n n ，则q d +的值是
▲
．12．在已知),(15422R ∈=+y x y y x ，则22y x +的最小值是
▲
．
13．在ABC ∆中，4=AB ，3=AC ， 90=∠BAC ，D 在边BC 上.
延长AD 到P ，使得9=AP .若PC
m PB m PA ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=23（m 为常数），则CD 的长度是▲．
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知)0,23(P ，A ，B 是圆3621:2
2=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+y x C 上的两
动点，满足PB PA =，则PAB ∆面积的最大值是▲．
A
B
D
C
P
（第13题）
（第9题）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）
在三棱柱111C B A ABC -中，AC AB ⊥，C B 1⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，C B 1的中点．
（1）求证：EF ∥平面11C AB ；（2）求证：平面⊥C AB 1平面1ABB .16.（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 45=B .（1）求C sin 的值；
（2）在BC 边上取一点D ，使得5
4
cos -=∠ADC ，
求DAC ∠tan 的值.
17．（本小题满分14分）
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，O O '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到O O '的距离a (米)之间满足关系式2
140
1a h =
；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到O O '的距离b (米)之间满足关系式b b h 6800
13
2+-=.已知点B 到O O '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于O O '的桥墩CD 和EF ，且CE
为80米，其中C ，E 在AB 上（不包括端点）.桥墩EF 每米造价k （万元），桥墩CD 每米造价k 2
3
（万元）（0>k ），
问E O '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？
A
B
D
C
（第16题）
D
M
N
O
1
D 1
F 2
h 1h A C
O 'E F
B b a
（第17题）
1
A 1
B 1
C A
B
C
E
F
（第15题）
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆13
42
2=+y x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A
在椭圆E 上且在第一象限内，212F F AF ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求21F AF ∆的周长；
（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右
准线相交于点Q ，求QP OP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面
积分别为1S ，2S ，若123S S =，求点M 的坐标.
19．（本小题满分16分）
已知关于x 函数()y f x =，)(x g y =与),()(R ∈+=b k b kx x h 在区间D 上恒有)()()(x g x h x f ≥≥.
（1）若2()2f x x x =+，2()2g x x x =-+，),(+∞-∞=D ，求)(x h 的表达式；
（2）若2()1f x x x =-+，()ln g x k x =，k kx x h -=)(，),0(+∞=D ，求k 的取值范围；（3）若42()2f x x x =-，2()48g x x =-，2||0(23)(4)(242≤<+--=t t t x t t x h ，
2,2[],[-⊆=n m D ，求证：7≤-m n .
20．（本小题满分16分）
已知数列{}n a )(*∈N n 的首项11=a ，前n 项和为n S .设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有
k n k
n k n a S S 1
1
11
1
++=
-
λ，则称此数列为“k -λ”数列.
（1）若等差数列}{n a 是“1-λ”数列，求λ的值；（2）若数列}{n a 是“
23
3
-”数列，且0>n a ，求数列}{n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列}{n a 为“3-λ”数列，且0≥n a ？若存在，
求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
B
A
1
F 2
F y
O
x
（第18题）。