球面距离计算公式的推导及举例

球面距离的计算及其计算公式
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）
如图1，A 、B 为球面上不在同一直径上的两点，O 为圆心，⊙O 为过A 、B 的大圆，⊙O '为过A 、B 的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ，α'='∠2B O A ，球半径为R ，半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=，
AB 小圆弧长r l α'=2
r
a R r R l L '='=ααα22 （1） 但αα'==sin 2sin 2r R AB ，即α
αsin sin '=r R （2） 将（2）代入（1）得α
ααααααsin sin sin sin ''
='⋅'=a l L （3） ∵ r R >，由（2）式知αα>'.由于20παα<
'<<，故只需证明函数()x x x f sin =在⎪⎭⎫ ⎝⎛2.0π内为单调递减即可. ∴ ()()0tan cos sin cos 22<-=-=
'x x x x x x x x x f , ∵当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，有x x >tan ）∴ ()x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,0π单调递减, 由（3）式不难得到1<l
L ，即l L <. 故大圆劣弧最短。

球面距离公式：设一个球面的半径为R ，球面上有两点()11,βαA 、()22,βαB . 其中1α，2α为点 的经度数，1β、2β为点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，则有
()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-=（弧度）
A 、
B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-==R R L
证明：如图1，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于C O 2上，连结EB 、
AB . 则()22122
12OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R 在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()21222
2222cos 2αα-⋅++=B O E O B O E O BE ()21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O
()()()21212
221cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R ()()]cos cos cos 2cos cos [112122122ααββββ-⋅⋅-+=R
故()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212
222ααββββ-⋅--=+=R BE AE AB 又()θθθcos 122sin 42sin 22222
2-==⎪⎭⎫ ⎝
⎛=R R R AB ，比较上述两式，化简整理得： ()212111sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=，从而可证得关于θ与L 的两个式子. 计算球面距离的三种类型
现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考．
1．位于同一纬度线上两点的球面距离
例1 已知A ，B 两地都位于北纬 45，又分别位于东经 30和
60，设地球半径为R ，求A ，B 的球面距离．
分析：要求两点A ，B 的球面距离，过A ，B 作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角AOB ∠的大小（见图1），而要求AOB ∠往往首先要求弦AB 的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．
解：作出直观图（见图2），设O 为球心，1O 为北纬 45圈的圆心，连结OA ，OB ，A O 1 B O 1，AB ．由于地轴⊥NS 平面B AO 1．∴1O
A O ∠与1OBO ∠为纬度 45，
B AO 1∠为二面角B OO A --1的平面角．∴ 3030601=-=∠B AO （经度差）．
Rt △1OAO 中，R R OAO OA A O 2245cos cos 11=
⋅=∠= ． △AB O 1中，由余弦定理，B AO B O A O B O A O AB 11121212cos 2∠⋅-+=
22
223230cos 222222222R R R R R -=⋅⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ． △OAB 中，由余弦定理：43222322cos 2222222+=--+=⋅-+=
∠R R R R OB OA AB OB OA AOB ， ∴ 21≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为
R R ππ60
721180=⋅． 2．位于同一经线上两点的球面距离 例2 求东经 57线上，纬度分别为北纬
68和 38的两地A ，B 的球面距离．（设地球半径为R ）．
解：经过B A 、两地的大圆就是已知经线． 303868=-=∠AOB ，6
18030R R AB ππ=⋅⋅=． 3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离
例3 A 地位于北纬 30，东经 60，B 地位于北纬 60，东经
90，求A ，B 两地之间的球面距离．（见图4）
解： 设O 为球心，1O ，2O 分别为北纬 30和北纬 60圈的圆心，连结OA ，OB ，AB ．\Rt △A OO 1中，由纬度为 30知 301=∠OAO ，
R R OAO OA O O 2
130sin sin 11==∠= , R R OAO OA AO 2330cos cos 11=
=∠= ．Rt △B OO 2中， 602=∠OBO ， ∴R R O O 2360sin 2=⋅= ，2
60cos 2R R B O =⋅= ,∴R R R OO OO O O 21321231221-=-=-=． 注意到A O 1与B O 2是异面直线，它们的公垂线为21O O ，所成的角为经度差 306090=-，利用异面直
线上两点间的距离公式．
αcos 22122122212B O A O O O B O A O AB ⋅-++=（α为经度差）
22
22432530cos 212322132123R R R R R R -=⋅⋅⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ． △AOB 中，R
R R R R OB OA AB OB OA AOB ⋅--+=⋅-+=∠243252cos 222222 8205.08323≈+=．∴ 35≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为R R ππ36
735180=⋅．
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