工程制图8,9(线面的相对位置及综合问题)

MN//AB。
b’ e’ a’
n’
d’ f’ n f d f1’ d1’ c2(d2,m2)f2 a2 n2
V H
a a1’ b1’
m’ c’
b c c1’ e m
e1’
e2
b2
Байду номын сангаас
习题38-1：求两平行直线间的距离。
（1）过C作AB的垂直面，与AB的交点K，连接CK即
为所求线，然后求实长。
（2）换面法
b c d a
e
f
c
a b b d e
f d
e
② 若两平面相互平行， 则它们在具有积聚性 a c 的投影面（垂直投影 面）上的投影必相互 a c 平行。
f
h h
b
d e
f
2. 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
四、直线与平面的相对位置
直线与平面平行 直线与平面相交
直线与平面垂直
⒈ 直线与平面平行
定
理
若一直线平行于平面上的某一直线， 则该直线与此平面必相互平行。
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a b
有无数解
n
c m
●
b
n a
●
c
m
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
例习题37-2 ：过直线MD作平面MND与平面ABC的垂面。
n’ b’ c’ m’ a’ n a m b c d d’
例习题37-3：判断两平面是否垂直。
b’ d’
g’
a’
c’
e’
f’
h’
b a
d e
g f
h
c
例习题 37-4：已知平面ABC垂直于DEF，完成
ABC的投影。
e’ a’ c’ d’ f’
(2)轨迹法。过C作AB平行线与CD组成平面P。过E作AB平行线与EF组成平面Q。 两平面的交线即所求MN。
b’ k’
e’
l’ n’
a’
m’ c’
d’
f’ l
n
b
a e m
f d
c
k
A E B
C
D
e b a
n
F c(d,m) f
H2
(2)换面法。将CD、EF中任一直线变换成某投影面 的垂直线，可利用该直线投影的集聚性，直接作出
⑵ 直线平面均为一般位置
b’ 3’ 1’(2’) k’ f’ c’ n’
e’ m’ a’
4’
a m e 3(4)
f
2 c 1
n
k
b
3. 直线与平面垂直
定 理 •若一直线垂直于平面内的任意相交直线,则此直线垂直于该平 面。（求作平面的垂直线或直线的垂面） •如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面 内所有的直线。 L
PA
D
C
B
如果直线垂直投影面垂直面，直线平行于该投影 面，直线与平面在该投影面的投影也互相垂直。
k′ K A
a′
k k
H
a
a
五、平面与平面的相对位置
平面与平面平行 平面与平面相交
平面与平面垂直
1. 两平面平行
① 若一平面上的两相 交直线对应平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。
例：已知三条交叉直线AB、CD、EF的投影，试作
一直线MN，使之与CD、EF相交，同时与AB平行。
b’ e’
a’
c’ b
d’ f’
f
a
c
e d
A
E P
L
N
F
D C
B
M
(1)一般方法。过点C作AB的平行线CL，该线与CD
组成面P，EF与面P交于N点，过N作AB的平行线，
与CD交于M点。
(1)一般方法。过点C作AB的平行线CL，该线与CD组成面P，EF与面P交
b’ a’ d’
c’
a b
c
d
e’ b’ c’ d’
k’ f’ a’
a
e k
c
b
d
f
习题38-4：已知矩形ABCD的一边AB的两个投影及
其邻边BC的正面投影，求作此矩形的两面投影。
e’ a’ d’ b’
k’ f’
c’
c b d
e
k f
于N点，过N作AB的平行线，与CD交于M点。
b’
e’
l’ n’
a’
d’ c’ m’ b l f’
n a
c e m
f d
A
E P N F
B
M
C
D Q
(2)轨迹法。与直线AB平行且与CD相交的线有无数 条，轨迹为过直线CD且平行于AB的平面P。同理与
直线AB平行且与直线EF相交的线的轨迹为过线EF
且平行于AB的平面Q。两平面的交线即所求MN。
b cm
●
n
正平线
a a
c m
●
n
b
唯一解
2. 直线与平面相交
直线与平面相交，其交点是直线与平 面的共有点。 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。
例3 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
⑴ 平面为特殊位置
空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。 还可通过重影点判别可见性。
b’
b a
k’ k
e
d f
c
五、直线、平面相对位置综合问题
（1）一般方法
（2）轨迹法
（3）换面法
• 求解点线面综合问题须熟练掌握的基本作图方法 1.求直线与平面的交点 2.求两平面的交线 3.在定平面上取点线 4.过点或直线作平面（平行及垂直） 5.过点作直线（平行及垂直于线面） 6.作定直线的垂面 7.作定平面的垂线
b m n
●
●
作 图
h
1(2)
a f
c
① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上， 点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh 可见，n2不可见。
⑶
f m d ●
b k ● n
投影分析
●
e
a
b m● a d
●
c
f
e k
●
n c
N点的水平投影n 位于Δdef的外面，说 明点N位于ΔDEF所确 定的平面内，但不位 于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和 ΔDEF的交线应为MK。
f
c
d
a d
●
e
●
n
作 图
c
m f
① 求交线 ② 判别可见性 在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。
能否不用重 能! 从正面投影上可看出， 影点判别？
b
如何判别？ 可通过正面投影 直观地进行判别。
⑵
b e m f ● a e
● ● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h 平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
① 求两平面的交线 方法： 确定两平面的两个共有点。 ⑴ ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
例4 求两平面的交线 MN并判别可见性。
⑴
a b e ● m(n)
空间及投影分析
平面ABC与DEF都 为正垂面，它们的正面投 影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。
K
A
H
a
定理 如互相垂直两平面垂直于同一投影面， 它们在这个投影面上的投影也互相垂直。
K
K
A
X
A
H
例习题37-1：过M点作平面ABC的垂线，并求垂足。
（作定平面的垂线） n’ b’ c’ m’ a’ n a m b c
例：过M点作平面ABC的垂面。 （作定平面的垂面）
n’ b’ c’ m’ a’ n a m b c d d’
互交
(4)
d’
b’
c’ f’ a’
e’
d
c
a
f
e
b
2. 两平面垂直
定 理 •若一直线垂直于一平面,则包含此直线（或平行于此直线）所 作的平面都垂直与该平面。（求作平面的垂直面） •如两平面互相垂直，则在一平面内垂直于两平面交线的直线， 垂直于另一平面。 •若两平面相互垂直，则在第一平面上任意点向第二平面所作 的垂线必在第一平面上。（判断两平面是否垂直）
● ●
⑵ 直线为特殊位置
m b
k
a
●
●
c
n
1(2)
b
k● 2 m(n) ● 1
●
c
a
空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。 作图 用面上取点法 ① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在 前；点Ⅱ位于MN上，在 后。故k 2为不可见。