2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答

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2009年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--=（）A.24.B. 25.C. 10.D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）A. B. 10.C.D. 3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝（）A.3B. 23.C. 13.D. 10.6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有DC_____对.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：N32a b c ++= ① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.设1a =，则32312612a a a +--= （）A.24.B. 25.C. 10.D. 12. 【答】A.由1a =，得2862a a =-=-，故226a a +=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a +--=++--=261212661224a a +-=⨯-=.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）A. B. 10.C.D. 【答】C. 延长CA至D，使AD ＝AB ，则DB1D =ABD =CAB =C 2∠∠∠∠，所以△CBD ∽△DAB ，所以B D C D=A B B D，故2B D A BCD 7(87)105=⋅=⨯+=，所以B D 5=.又因为C D ∠=∠，所以BC BD ==3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（）A.1.B. 2.C. 3.D. 4. 【答】C.由方程得232[]x x -=，而[]x x ≤，所以232x x -≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，从而[]x 只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x =-时，21x =，解得1x =-；当[]0x =时，23x =，没有符合条件的解；当[]1x =时，25x =，没有符合条件的解；当[]2x =时，27x =，解得x =当[]3x =时，29x =，解得3x =.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的中心O ，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14.所以以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为123287=.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE，则s i∠CBE＝（）B. 23.C. 13.D. .【答】 D.设BC 的中点为O ，连接OE 、CE.因为A B ⊥BC ，A E ⊥OE ，所以A 、B 、O 、E 四点共圆，故∠BAE ＝∠COE. 又AB ＝AE ，OC=OE ，所以△AB E ∽△OCE ，因此CE OC 1=BE AB 3=，即BE 3CE =.又C E ⊥BE，所以BC ==，故sin ∠CBE＝CE =BC .6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6. 【答】B.设2009n a -=，则190910010012009n a n a a--==--，它为完全平方数，不妨设为21001m a -=（其中m 为正整数），则21001m a=+.验证易知，只有当1,2,3,7m =时，上式才可能成立.对应的a 值分别为50，20，10，2. 因此，使得19092009n n--为完全平方数的n 共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.O DC【答】3-.因为,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，所以2(2)4(1)0,10,2,t ab t a b ⎧∆=---≥⎪=-≥⎨⎪+=⎩解得12t ≤≤. 2222222(1)(1)()()1()()21a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++22(1)42(1)14t t t =--+-+=-，当1t =时，22(1)(1)a b --取得最小值3-.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.【答】.设△ABC 的面积为S ,则因为△ADE ∽△ABC，所以ADAB =. 又因为△BDF ∽△BAC，所以BDAB =. 两式相加得1AD BDAB AB=+=，即1=，解得2S =+. 所以四边形DECF的面积为2m n +--=3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.【答】 1-.因为221a b +=，所以11,11a b -≤≤-≤≤.由22|12|21a b a b a -+++=-可得2222|12|21121a b b a a a a a -+=---=----222a a =--，从而2220a a --≥，解得10a -≤≤.从而120a b -+≥，因此21222a b a a -+=--，即22122(1)b a b +=-=--，整理FC得2230b b --=，解得1b =-（另一根32b =舍去）. 把1b =-代入212b a +=-计算可得0a =，所以1a b +=-.4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对.【答】 7.2k =（k 为正整数），则215154k b a =+-. 令2215q a p =，其中,p q 均为正整数且(,)1p q =.从而2215aq p =，所以2|15q ，故1q =1p=.1m =（其中m 为正整数），则112kp m +=. 又1,1m p ≥≥，所以1122k p m=+≤，所以1,2,3,4k =. （1）1k =时，有1112p m +=，即(2)(2)4p m --=，易求得(,)(4,4)p m =或（3,6）或（6,3）.（2）2k =时，同理可求得(,)(2,2)p m =. （3）3k =时，同理可求得(,)(2,1)p m =或（1,2）. （4）4k =时，同理可求得(,)(1,1)p m =.因此，这样的有序数对(,)a b 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P. （1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解（1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A (,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). …………………………………10分（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-. …………………………………15分又12AB x x =-===，所以1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±. …………………………………20分二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. …………………………………5分C因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=. …………………………………10分连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D ，1113I E 5DI sin ADI sin 45===∠︒. …………………………………15分同理，可求得24I F 5=，2D I 5=. …………………………………20分所以1I 2I=. …………………………………25分三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②为三边长可构成一个直角三角形. 证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， (20)分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++=③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， ……………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形. …………25分第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，NB因此CQ NC =. …………………………………10分又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆. …………………15分又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. ……20分同理可证，点E 在CH 的中垂线上.因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB. ………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc-+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， ………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°. ……………………………25分。

2009年全国初中数学联赛试卷

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.设1a =，则32312612a a a +--= （）A.24.B. 25.C. 10.D. 12. 【答】A.由1a =，得2862a a =-=-，故226a a +=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a +--=++--=261212661224a a +-=⨯-=.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）A. B. 10.C.D. 【答】C.延长CA 至D ，使AD ＝AB ，则1D =ABD =CAB =C 2∠∠∠∠，所以△CBD ∽△DAB ，所以BD CD =AB BD，故2BD AB CD 7(87)105=⋅=⨯+=，所以BD =又因为C D ∠=∠，所以BC BD ==3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】C.由方程得232[]x x -=，而[]x x ≤，所以232x x -≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，从而[]x 只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x =-时，21x =，解得1x =-；当[]0x =时，23x =，没有符合条件的解；当[]1x =时，25x =，没有符合条件的解；当[]2x =时，27x =，解得x =DB当[]3x =时，29x =，解得3x =.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD 的中心O ，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14. 所以以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法. 要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种. 因此，所求的概率为123287=.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝（）B. 23.C. 13.D. 【答】 D.设BC 的中点为O ，连接OE 、CE.因为A B ⊥BC ，A E ⊥OE ，所以A 、B 、O 、E 四点共圆，故∠BAE ＝∠COE. 又AB ＝AE ，OC=OE ，所以△AB E ∽△OCE ，因此CE OC 1=BE AB 3=，即BE 3CE =. 又C E ⊥BE，所以BC ==，故sin ∠CBE＝CE =BC .6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6. 【答】B.设2009n a -=，则190910010012009n a n a a --==--，它为完全平方数，不妨设为21001m a-=（其中m 为正整数），则21001m a=+. 验证易知，只有当1,2,3,7m =时，上式才可能成立.对应的a 值分别为50，20，10，2. 因此，使得19092009n n--为完全平方数的n 共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.O DC二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.【答】3-.因为,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，所以2(2)4(1)0,10,2,t ab t a b ⎧∆=---≥⎪=-≥⎨⎪+=⎩解得12t ≤≤. 2222222(1)(1)()()1()()21a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++22(1)42(1)14t t t =--+-+=-，当1t =时，22(1)(1)a b --取得最小值3-.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.【答】.设△ABC 的面积为S ,则因为△ADE ∽△ABC，所以ADAB =. 又因为△BDF ∽△BAC，所以BDAB =.1AD BD AB AB =+=1=，解得2S =. 所以四边形DECF的面积为2m n +--=3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.【答】 1-.因为221a b +=，所以11,11a b -≤≤-≤≤.由22|12|21a b a b a -+++=-可得2222|12|21121a b b a a a a a -+=---=----222a a =--，从而2220a a --≥，解得10a -≤≤.从而120a b -+≥，因此21222a b a a -+=--，即22122(1)b a b +=-=--，整理得2230b b --=，解得1b =-（另一根32b =舍去）. 把1b =-代入212b a +=-计算可得0a =，所以1a b +=-.FBC4．已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 【答】 7.2k =（k 为正整数），则215154k b a =+-.令2215q a p =，其中,p q 均为正整数且(,)1p q =.从而2215aq p =，所以2|15q ，故1q =1p=.1m =（其中m 为正整数），则112kp m +=. 又1,1m p ≥≥，所以1122k p m=+≤，所以1,2,3,4k =. （1）1k =时，有1112p m +=，即(2)(2)4p m --=，易求得(,)(4,4)p m =或（3,6）或（6,3）. （2）2k =时，同理可求得(,)(2,2)p m =. （3）3k =时，同理可求得(,)(2,1)p m =或（1,2）. （4）4k =时，同理可求得(,)(1,1)p m =.因此，这样的有序数对(,)a b 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解（1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). …………………………………10分（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-. …………………………………15分又12AB x x =-===1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±. …………………………………20分二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. …………………………………5分因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=.…………………………………10分连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D ，1113I E 5DI sin ADI sin 45===∠︒. …………………………………15分同理，可求得24I F 5=，2D I =. …………………………………20分所以1I 2I=. …………………………………25分三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②为三边长可构成一个直角三角形. 证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，C即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.. ……………………………25分第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以NBCQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =. …………………………………10分又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.…………………………………15分又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. …………………………………20分同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB. …………………………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ ………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分。

历届新知杯试题选3

初三数学班练习(赛题选集3) 2009111990年1. 若两个关于x 的实系数一元二次方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个公共的实数根，则a = 2. 若等腰梯形的大底以及对角线长都是10，且小底等于高，则小底的长是3. 在ABC 中，已知,M N 分别在边,AC BC 上，,BM AN 相交于O . 若,,OMA OAB OBN 的面积分别是2223,2,1cm cm cm ，则CMN 的面积是4. 在ABC 中，已知60A ∠=，,,E F G 分别为,,AB AC BC 的中点，,P Q 为ABC 形外两点，使得11,,,22PE AB PE AB QF AC QF AC ⊥=⊥=，若GP 的长为1，则PQ = 5. 已知,a b 为实数，若不等式(2)(34)0a b x a b -+-<的解集是49x >，则不等式(4)230a b x a b -+->的解集是6. 方程组4x y x y x y y x ++⎧=⎨=⎩的所有整数解(,)x y =7. 求使关于x 的方程223(1)(1)260a x a x a +-++-=有整数根的所有整数a8. 如图，在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且a b c >>. ,'AS AS 分别为A ∠的内角和外角平分线，,'BT BT 分别为B ∠的内角和外角平分线，,'CU CU 分别为C ∠的内角和外角平分线. 求证：111'''SS UU TT += S 'S CB A9. 直线上分布着1990个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能的线段的中点，试求至少可以得出多少个互不重合的中点.1991年 1. 实数x使1x x -=，则1x x+= 2. 若,a b 是二次方程20x x q -+=的两根，则333332233()6()a b a b ab a b a b +++++的值是 3. 设m 为实数，方程250x x m -+=有一个根的相反数是方程250x mx ++=的一个根，则m = 4. 用[]a 表示不超过实数a 的最大整数，{}[]a a a =-，则方程32[][][]{}1x x x x ++=-的解是 5. 如图，ABCD 和EFGH 是两个全等的矩形，对应边互相平行，即//,//AD EH AB EF ，顶点E 在AC 上，已知8,6AD AB ==，两矩形公共部分EMCN 的面积是ABCD 面积的13，则AE = NM HGFED CBA6. 设M 是△ABC 的重心，且3,4,5AM BM CM ===，则△ABC 的面积为7. 已知,,a b c 是三个非负实数，且满足325,231a b c a b c ++=+-=，若37S a b c =+-，则S 的最大值与最小值之和为8. 已知某个四位数恰好等于它各位数字之和的四次方，则这个四位数是 9. 不能写成两个合数之和的最大自然数是10. 在等腰三角形ABC 中，已知AB AC kBC ==，这里k 为大于1的自然数，点,D E 依次在,AB AC 上，且DB BC CE ==，,CD BE 交于点O ，求使OCBC为有理数的最小自然数kO EDCBA11. 通过△ABC 内部一点Q 引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平行四边形部分的面积分别为123,,S S S ，求△ABC 的面积FG QH E DC BA S 2S 3S 112. 求一切这样的三位数之和，如果三位数本身增加3，那么所得的数的各个数位数字之和就等于原来这个三位数的各位数字之和的131992年1. 方程20x px q ++=的两根都是非零整数，且198p q +=，则p =2. 如图，正方形ABCD 两对角线交于点E ，CAD ∠的平分线交DE 于G ，交DC 于F ，若24GE =，则FC =FGE DCBA3. ,m n 为自然数，且满足2222221992m n ++++=，则n =4. 方程2|45|62x x x +-=-的解是5. 使方程222170a x ax a ++-=的两根都是整数的所有这样正数a 的和是6. 对于自然数,x y ，(,)x y 称为一个数组，此外还规定数组(,)x y 和(,)y x 是相同的数组，若两个数组满足如下条件：任一个数组中的两数之和等于另一个数组中的两数之积，则称这两数组为“相伴数组”，除了(2,2)与(2,2)外的“相伴数组”还有7. 设0,0a b >>，则43234432342128642641282a a b ab b b a a b ab b b +--+=+--+ 8. 设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且3,8,9,4ABC BCD CDA DAB S S S S ==== ，则234ABO BCO CDODAOS S S S +++=9. 求出满足下列条件的所有三位数：这个三位数的平方的末三位数就是原来的三位数 10. 设n 是大于1的自然数，从n n ⨯的正方形的一个角上剪去一个11⨯的方块，将这个图形分成k 个面积都相等的三角形，试求k 的最小值11. 设△ABC 是边长为6的正三角形，过顶点A 引直线l ，顶点,B C 到l 的距离记为12,d d ，试求12d d +的最大值CBA。

历届新知杯试题选4

初三数学班练习试题选集(4) 2009111993年1. 如图，EF 为正方形纸片ABCD 的对折线，将A ∠沿DK 对折，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则DKG ∠的度数是2. 方程组12346ab bc cd de ea =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩的解是3. 设有n 个数12,,...n x x x ，它们每个数的值只能取0,1,2-三个数中的一个，且这n 个数之和为5-，平方和为19，则55512...nx x x +++的值为 4. △ABC 中，已知5,8,7AB AC BC ===，一直线分别交,AB AC 于点,E F ，3AE =，且△AEF 与原三角形相似，则EF 的长为5. 已知△ABC 的面积为1，D 为BC 中点，,E F 分别在,AC AB 上，且11,53BDF CDE S S == ，则△DEF 的面积为6. 已知多项式110()...n n n n P x a x a x a --=+++，其中n 为非负整数，n a 为正整数，120,,...,n n a a a --为非负整数，且满足10...5n n n a a a -++++=，则这样的多项式有个7. 设20x px q -+=的两实根为,αβ，而以22,αβ为实根的二次方程仍然是20x px q -+=，则数对(,)p q 的个数是8.在表达式S =1234,,,x x x x 是1，2，3，4的一个排列，则使得S 为实数的不同排列种数是9. 一个三位数，它等于它的各位数码之和的12倍，试写出所有这样的三位数：10. 将1，2，3，4，5，6每一个使用一次组成一个六位数abcdef ，使得三位数,,,abc bcd cde def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数.11. 锐角△ABC 中，已知4,5,6AB AC BC ===，,,AD BE CF 分别是高，,,D E F 为垂足. 求DEFABCS S12. 假定在r 个人中，消息的传递是通过电话进行的. 当两个人A 和B 在电话谈话时，A 把他知道的一切消息都告诉B ，而B 也将自己当时知道的一切消息全部告诉A. 设r a 表示在要使每个人都知道r 个人的所有消息的条件先，这r 个人之间需要打电话的最小次数 (1) 求34,a a 的值. (2) 对于3r ≥，证明：12r r a a -≤+1994年1. 已知a b c d x a b c d y a b c d z a b c d w-+++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪++-=⎩，且0b ≠，若x y z w kb -++=，则k 的值是2. 若221,2x y x y +=+=，则77x y +=3. 在△PQR 中，延长PQ 到S ，使得PQ QS =；点U 在边PR 上，且32PU UR =；连结,S U ，设,S U Q R 的交点为T ，则QTQR= 4. △ABC 中，7AB AC ==，4BC =，点M 在AB 上，且13BM AB =，过点M 作EF BC ⊥，交BC 于E ，交CA 的延长线于F ，则EF 的长为5.方程组22340y x y =⎨⎪+=⎪⎩的解是FK GEDCB A6. 若不等式|4||2||1|||x x x x a -+-+-+≥对一切实数x 都成立，则a 的最大可能值是7. 一个四位数的首末两位数字的平方和等于13，居中两位数字的平方和等于85，又若从该数中减去1089，将得到以同样数字写出但次序相反的四位数，则原来的四位数是8. △ABC 中，50A ∠=，H 是△ABC 的垂心，且H 不与,B C 重合，则BHC ∠的度数是 9. 已知21265n n n a ++=+，n 为正整数，若P 是能整除123,,,...a a a 中无穷多项的最小素数，则P = 10. 是否存在这样的四位数，使得把它4个数字中随意选取的3个数字，换成其他任意的数字(不改变这些数字原来的位置)，得到的数都不是1994的倍数？并证明你的结论11. 在一次有n 个足球队参加的循环赛中(即第一队必须同其余各队进行一场比赛)，每场比赛胜者2分，平局各得1分，败者0分；结果有一队积分比其他任何一队都多，而胜的场次比其他任何一队都少，求n 的最小可能值.1995年1. 设x m n =+，其中,m n 均为正整数，且满足64nm =，则所有x 的可能值的和是 2. 所有个位数与十位数都是奇数的两位数之和是3. 在钝角△ABC 中，A B C ∠<∠<∠，,A C ∠∠的外角平分线交对边延长线于,D E ，且AD A C CE ==，则BAC ∠的度数为4. 设正△ABC 的边长为a ，,M N 分别是,AB AC 的中点，D 为MN 上任意一点，,BD CD 的延长线分别交,AC AB 于点,E F ，则11CE BF+的值为 5. 今天是周日，若明天算第一天，则第3333123...1993++++天是星期6. 若关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正数，则实数m 的取值范围是7. 五个数从小到大依次是,,,,a b c d e ，它们两两之和分别是183，186，187，190，191，192，193，194，196，200，则a =8. 一个圆作滚动运动，它从A 位置开始，滚过与它相同的其他六个圆的上部，到达B 位置，则该圆共滚过的圈数为9. 已知三个实数123,,x x x ，它们中任意一数加其余两数积的5倍总等于6，这样的三元数组共有组 10. 已知P 是△ABC 内一点，,,AP BP CP 的延长线分别交对边于点,,D E F ，设,,AP x BP y CP z ===，DP EP FP d ===，若43,3x y z d ++==，则xyz =11. 一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需76n +块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 12. 矩形A B C D 中，D E B G =，且B E C R t ∠=∠，,ABCD EFGH S BCn S ABλ==，已知n 为自然数，λ为有理数，求证λ也为自然数13. 平面上给定四个点，两两连结这四点的诸直线不平行，不垂直，也不重合. 过每一点作其余三点两两连结的直线的垂线，若不算已知的四点，这些垂线间有多少个不同的交点？证明你的结论.EDCBAF NMEDCBAFHG ED CB A。

历届最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)

新知杯模拟试题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。

2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。

3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。

4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为。

5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。

BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为。

6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为。

7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是。

8. 方程2009=xyz 的所有整数解有组。

9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。

设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。

二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。

2009年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A（B（C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =，即11a a a =+，所以，2a 由0a >，解得a =． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC 5，AB △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程2x y =x ，y ）．（A ）2组（B ）3组（（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x == ．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中，EFA ∠=∠FAH EAF ∠=∠ 所以Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．【答】7．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC，垂足为F ．设EF ＝x ，由12ECF ∠=CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以 EF BF AC BC =，即 15x =解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.解：1.联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分 t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0，⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 2t ≤2+所以，t 的取值范围为22-≤t ≤22+⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-≤t ≤22+22t =-时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分 12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-． ………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．已知AB 为⊙O 的直径，弦//DC AB ，连接DO ．过点D 作DO 的垂线，与BA 的延长线交于点E ，过点E 作AC 的平行线交CD 于点F ，过点D 作AC 的平行线交BF 于点G ．求证：AG BG ⊥．（第13题）证明：连接AD ，BC ，因为四边形AEFC 是平行四边形，所以AE FC =．由于AD CB DAE BCF =∠=∠，，因此有DAE ∆≌BCF ∆，于是可得ADE CBF ∠=∠． ………………10分又因为DE 与⊙O 相切于点D ，所以DCA ADE ∠=∠．结合//DG AC ，可得 GDC DCA ADE GBC ∠=∠=∠=∠，于是D B C G ，，，四点共圆．因此点G 在⊙O 上，从而有AG BG ⊥．……………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故312251n -⨯． ………………10分由()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++- ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45. 结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ……15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………20分情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。

上海中考数学竞赛试题及答案

上海中考数学竞赛试题及答案试题一：代数基础1. 已知$ a $，$ b $是方程$ x^2 - 5x + 6 = 0 $的两个实数根，求$ a^2 + b^2 $的值。

2. 若$ x $满足$ |x - 3| + |x - 5| = 4 $，求$ x $的取值范围。

试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，若AB=13，AC=5，求BC的长度。

2. 圆O的半径为10，点P在圆上，PA=8，PA与圆O的切线垂直，求点P到圆心O的距离。

试题三：函数与方程1. 已知函数$ y = 2x^2 - 3x + 1 $，求该函数的顶点坐标。

2. 若$ f(x) = x^2 - 4x + 4 $，求$ f(x) $的最小值。

试题四：概率与统计1. 一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。

2. 某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

随机选择2名学生，求选出的两名学生都是女生的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5本书，其中3本数学书，2本语文书，将它们排成一排，求数学书和语文书不相邻的排列方式有多少种。

2. 一个班级有10名学生，需要选出3名学生参加数学竞赛，求选出的3名学生中至少有1名男生的选法有多少种。

答案：试题一：1. 根据韦达定理，$ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，因此$ a^2 +b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13 $。

2. 根据绝对值的性质，$ x $的取值范围是[3,5]。

试题二：1. 根据勾股定理，$ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 -5^2} = 12 $。

2. 由于PA与圆O的切线垂直，根据切线性质，PA是切线，所以点P到圆心O的距离等于半径，即10。

试题三：1. 函数的顶点坐标为$ (-\frac{-3}{2 \times 2}, \frac{4ac -b^2}{4a}) = ( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) $。

2009年新知杯上海市初中数学竞赛

2009年新知杯上海市初中数学竞赛中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005-6416(2010)06-0022-04一、填空题(第1~5小题,每小题8分,第6~10小题,每小题10分,共90分)1.对任意两个实数a 、b ,规定一种新运算/*0:a *b =a (a +b )+b .若已知a *215=2815,则实数a 的值是.2.在v ABC 中,已知AB =b 2-1,BC =a 2,CA =2a,其中,a 、b 都是大于1的整数.则a -b 的值为.3.若一个平行四边形能被分成92个边长为1的正三角形,则这样的平行四边形周长的一切可能值是.4.已知关于x 的方程x 4+2x 3+(3+k )x 2+(2+k )x +2k =0有实根.若所有实根之积为-2,则所有实根的平方和为.图15.如图1,在Rt v ABC 中,AC =1,BC =2,P 为斜边AB 上的动点,过P 作PEBC,PFAC,垂足分别为E 、F,联结EF.则线段EF 长的最小值为.6.设a 、b 是方程x 2+68x +1=0的两个根,c 、d 是方程x 2-86x +1=0的两个根.则(a +c)(b +c)(a -d )(b -d )的值为.7.在平面直角坐标系内有两点P (-1,1)、Q (2,2),一次函数y =kx -1的图像与线段PQ 的延长线相交(交点不包括Q ).则实数k的取值范围为8.方程xyz =2009的所有整数解(x,y,z)共有组.9.如图2,在四边形ABCD 中,AB =BC =图2CD,ABC =78b ,BC D =162b ,设直线AD 与BC 的交点为E.则AEB 的大小为.图310.如图3,在直角梯形ABC D 中,ABC =BC D =90b ,AB =BC =10,点M 在边BC 上,使得v ADM 为正三角形.则v AB M 与v DC M 的面积和为(要求精确值).二、(15分)如图4,在R t v ABC 中,图4ACB =90b ,点D 在边CA 上,使得CD =1,DA =3,且B DC =3B AC .求BC 的长.三、(15分)求满足下列条件的所有四位数abcd:abcd =(ab +cd )2,其中,数码c 可以为0.四、(15分)已知正整数n 满足如下条件:任意n 个大于1且不超过2009的两两互质的正整数中,至少有一个是质数.求n 的最小值.五、(15分)若两个不同的实数a 、b ,使得a 2+b 和a +b 2都是有理数,则称数对(a,b )是/和谐0的.(1)试找出一对无理数a 、b ,使得(a,b )是和谐的;(2)证明:若(a,b )是和谐的,且a +b 是不等于1的有理数,则a 、b 都是有理数;(3)证明:若(a,b )是和谐的,且ab是有理数,则a 、b 都是有理数.参考答案一、1.4或-615.由题设有a(a +215)+215=2815.解得a =4或-615.2.0.因a 是大于1的整数,所以,a 2\2a.由三角形不等式得a 2+2a >b 2-1,2a +b 2-1>a2Z (a -1)2<b 2<(a +1)2.由a 、bN +,故b =a.3.94及50.设平行四边形两边长分别为a 、b ,其中,a 、bN +,且a [b .则ab si n 60b =92@34]ab =46](a,b )=(1,46)或(2,23).故平行四边形的周长2(a +b )的一切可能值为94及50.4.5.将方程左边因式分解得(x 2+x +2)(x 2+x +k )=0.因为x 2+x +2=0无实根,所以,方程x 2+x +k =0有两个实根x 1、x 2.据题意知x 1x 2=k =-2.又x 1+x 2=-1,故x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=5.2由题设知,斜边AB =5.因为EF =CP,所以,EF 最短Z CP 最短Z CP AB.故EF 长的最小值为1@25=25.6.2772.由ab =cd =1,a +b =-68,c 2-8bc +1=d 2-86d +1=0,则(a +c)(b +c)(a -d )(b -d )=[ab +(a +b)c +c 2][ab -(a +b)d +d 2]=(1-68c +c 2)(1+68d +d 2)=18c #154d =2772.7.13<k <32.易知过点P 、Q 的直线为y =13x +43.直线y =kx -1与PQ 的延长线相交(不包括点Q )Z 方程组y =kx -1,y =13x +43有x >2的解Zk -13x =73有x >2的解Z k -13>0,且73k -13>2Z 13<k <32.8.72.先考虑0<x [y [z 的整数解.因为2009=72@41,所以,(x ,y,z )=(1,1,2009),(1,7,287),(1,41,49),(7,7,41).再考虑x 、y 、z >0的整数解,易知有2A 13+2A 33=18组正整数解.对每一组正整数解,添加两个负号,可得3组两负一正的整数解.故满足条件的整数解共有18@(1+3)=72(组).9.21b.图5如图5,过点D 作DO M CB,且使DO =CB,联结OA 、OB.由BC =CD,故四边形BCDO 为菱形.从而,AB =BC =BO.因ABO =78b -(180b -162b )=60b ,所以,v ABO 为等边三角形.记AEB =A .则1=2=A .由四边形内角和为360b 得78b +162b +(60b +A )+(180b -162b +A )=360b .解得A =21b .10.150(2-3).图6如图6,过点A 作AECD,与CD 的延长线交于点E.则AE =BC =AB =10.由四边形ABCE 为正方形,又AD =A M,故Rt vAEDRt v AB M]ED =B M,CD =C M.设CD =x.则B M =10-x.由勾股定理得x 2+x 2=DM 2=A M 2=102+(10-x )2.解得x =10(3-1).故S v MCD +S v ABM =12x 2+1210(10-x )=150(2-3).二、解法1 记BAC =A .则ABD =3A -A =2A .如图7,作ABD 的平分线AE,并设AE=x.图7则AE =x,BC 2=x 2-(4-x )2=8x -16,BD 2=BC 2+12=8x -15,AB 2=BC 2+42=8x.由BD BA =DEEA,得8x -158x =(3-x )2x 2.解得x =2411.故BC =8x -16=41111.解法2 记BAC =A .如图7,作B DF=A ,并设射线DF 与AB 的延长线交于点F.因为FDC =3A -A =2A ,所以,由三角形外角定理知F =A .从而,BF =B D,FD =DA.设BC =y.则BF =BD =1+y 2,BA =16+y 2.因为v BFD v DAF,所以,1+y 23=31+y 2+16+y 2.解得y =411,即BC =411.三、设ab =x,cd =y.则x 、y Z ,且10[x [99,0[y [99.由题设可知(x +y )2=100x +y,即 x 2-2(50-y )x +y 2-y =0.¹由x 、y Z ,知$=4(2500-99y )也为完全平方数.从而,2500-99y 为完全平方数.设2500-99y =k 2(k Z ,0[k [50).则(50+k )(50-k )=99y .故11|(50+k )与11|(50-k )至少有一个成立.因50[50+k [100,0[50-k [50,所以,50+k =55,66,77,88,99,或 50-k =0,11,22,33,44.故99y =55@45,66@34,77@23,88@12,99@1,或 99y =100@0,89@11,78@22,67@33,56@44.因此,使y 为非负整数的只有y =25,y =1,y =0.回到方程¹,解得x =30或20,x =98或0,x =0或100.显然,x =0或100不符合条件.故符合条件的四位数共有3个:3025,2025,9801.四、因为44<2009<45,所以,任意一个大于1且不超过2009的合数必有一个质因数不大于44.不超过44的质数共有如下14个:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43.设a 1,a 2,,,a n 是n 个大于1且不超过2009的两两互质的正整数.若它们全是合数,记p i 是a i 的不超过44的质因数.由于a 1,a 2,,,a n 两两互质,故p 1,p 2,,,p n 互不相同.从而,n [14.换言之,当n \15时,a 1,a 2,,,a n 中至少有一个质数.另一方面,22,32,52,,,432是14个大于1且不超过2009两两互质的正整数,且无质数.故n 的最小值为15.五、(1)令a =1+22,b =1-22.则(a,b )是和谐的.=说明>答案不唯一.(2)据题设知(a 2+b )-(b 2+a )=(a -b)(a +b -1)为有理数,不妨记为q .因为a +b -1X 0,且为有理数,所以,a -b =qa +b -1也为有理数.又a +b 为有理数,则a =(a +b )+(a -b )2,b =(a +b)-(a -b )2皆为有理数.(3)记a b=k .由题意k 为有理数,且k X 1(因a X b).当k =0时,则a =0,b =a 2+b 都为有理数;当k X 0时,a =kb ,则a 2+b =b(k 2b +1),b 2+a =b(b +k )都是有理数.若b =-k ,则b 为有理数,a =kb 也为有理数;若b X -k ,则k 2b +1b +k =a 2+bb 2+a 为有理数.令k 2b +1b +k =r .则b (r -k 2)=1-rk .若r =k 2,则k 3=1,k =1,矛盾.故r X k 2.则b =1-rkr -k2为有理数,进而,a =kb 也为有理数.(熊斌李大元顾鸿达刘鸿坤叶声扬命题)。

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A
F
P E
C B
2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）
1、对于任意实数a,b ，定义,a ∗b=a (a +b ) +b, 已知a ∗2.5=28.5，则实数a 的值是。

【答案】4，132
-
2、在三角形ABC 中，2
2
b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。

【答案】0
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。

【答案】50,94
4、已知关于x 的方程4
3
2
2(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为。

【答案】5
5、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。

PE
⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为。

【答案】
5
6、设a ，b 是方程2
6810x x ++=的两个根，c ，d 是方程2
8610
x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a − d )( b − d )的值。

【答案】2772
7、在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx −1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是。

【答案】
13
32
k << 8、方程xyz =2009的所有整数解有组。

【答案】72
9、如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。

设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。

【答案】21°
A
D
E
C
B
M
A
D C
B
10、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD = 90°，AB =BC =10，点M 在BC 上，使得ΔADM 是正三角形，则ΔABM 与ΔDCM 的面积和是。

【答案】300-二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D 在CA 上，使得CD =1, AD =3，并且∠BDC =3∠BAC ，求BC 的长。

解：设BC =x
，则BD =
AB =
如图，作∠ABD 平分线BE ，则BDE ADB ,因此2
3BD DE DA DE =∙=。

由角平分线定理可知
3DE BD DE BD BD
DE AE AB AE DE AB BD AB BD
=⇒=⇒=
+++。

因此2
1x +=
，解得BC x ==
A
C B
三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd ，2
()abcd ab cd =+其中数字c 可以是0。

解：设,x ab y cd ==,，则2100()x y x y +=+，故22
(2100)()0x y x y y +-+-=有整数解，由于10< x < 100，故y ≠0。

因此2
2
(2100)4()4(250099)x y y y y ∆=---=-是完全平方数，
可设2
250099t y =-，故99(50)(50
)y t t =-+，0≤ 50- t <50+ t 之和为100，而且其中
有11的倍数，只能有50−t = 1或50−t =45，相应得到y =1,25，代入解得
982030
,,12525
x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨
⎨⎨===⎩⎩⎩ 因此9801,2025,3025abcd =。

四、（本题15分）正整数n 满足以下条件：任意n 个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n 。

解：由于2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43这14个合数都小于2009且两两互质，因此n ≥15。

而n =15时，我们取15个不超过2009的互质合数1215,,,a a a 的最小素因子
1215,,,p p p ，则必有一个素数≥47，不失一般性设1547p ≥，由于15p 是合数15a 的最
小素因子，因此2
1515472009a p ≥≥>，矛盾。

因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。

综上所述，n 最小是15。

五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,2
a b +与2
a b +都是有理数，称数对(a,b )是和谐的。

①试找出一对无理数，使得(a ，b )是和谐的；
②证明：若(a ，b )是和谐的，且a +b 是不等于1的有理数，则a ,b 都是有理数；
③证明：若(a ，b )是和谐的，且
a
b 是有理数，则a ,b 都是有理数；
解：①不难验证11
(,),22
a b =是和谐的。

②由已知2
2
()()()(1)t a b a b a b a b =+-+=-+-是有理数，a b s +=是有理数，因此
1
t
a b a b -=
+-，解得121t a s s ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是有理数，当然b =s −a 也是有理数。

③若2
0a b +=，则a b b
=-
是有理数，因此22()a a b b =+-也是有理数。

若2
0a b +≠，由已知()()()()2
2
2
111
a
a b b b x a a b b
b ++=
=++是有理数，a y b =也是有理数，因此2
11y x b xy -=-，故
2
1xy b y x
-=
-是有理数，因此22
()a a b b =+-也是有理数。