2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案
历届 最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)
新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。
2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。
5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。
BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。
6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。
8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。
9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。
设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。
二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。
2011年全国初中数学竞赛解答题汇编(含答案)
O ABC DEM 第17题图H y 九年级实验班数学竞赛试卷15．已知关于x 的方程x 3－ax 2－2ax +a 2－1=0有且只有一个实数根. 求实数a 的取值范围.16．如图所示，在平面直角坐标系中有点A （-1，0）、点B （4，0），以AB 为直径的半圆交y 轴正半轴于点C 。
（1）求点C 的坐标；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D ，使四边形BOCD 为直角梯形，求直线BD的解析式。
17．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD 上取点M ，使BM=CH 。
（1）求证：∠BOC=∠BHC ；（2）求证：△BOM ≌△COH ；（3）求MHOH 的值.18．一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1, 2, ⋅⋅⋅, 17；第二行依次为18, 19, ⋅⋅⋅, 34; ⋅⋅⋅，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ⋅⋅⋅ , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ⋅⋅⋅, 26；⋅⋅⋅，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？15、将原方程视为a 的一元二次方程，即a 2－( x 2+2x )a +x 3－1=0. 分解因式得[a －(x －1)][a－(x 2+x +1)]=0. 则x =a +1或x 2+x +1－a =0①.（6分）因x =a +1不是方程①的根，所以，当方程①无实根时，原方程有且只有一个实根. 于是△=1－4 ( 1－a )<0. 解得a <34.（6分） 16、（1）解：如图，连结AC ，CB 。
依相交弦定理的推论可得OC 2=OA ·OB ，解得OC=2。
全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15︒．2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 ． 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．CEFBA第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。
最新上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案(1)
2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02=++m x x ②，其中0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，使得()()22h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。
比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。
8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。
上海中考数学竞赛试题及答案
上海中考数学竞赛试题及答案试题一：代数基础1. 已知\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个实数根，求\( a^2 + b^2 \)的值。
2. 若\( x \)满足\( |x - 3| + |x - 5| = 4 \)，求\( x \)的取值范围。
试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，若AB=13，AC=5，求BC的长度。
2. 圆O的半径为10，点P在圆上，PA=8，PA与圆O的切线垂直，求点P到圆心O的距离。
试题三：函数与方程1. 已知函数\( y = 2x^2 - 3x + 1 \)，求该函数的顶点坐标。
2. 若\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
试题四：概率与统计1. 一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。
2. 某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择2名学生，求选出的两名学生都是女生的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5本书，其中3本数学书，2本语文书，将它们排成一排，求数学书和语文书不相邻的排列方式有多少种。
2. 一个班级有10名学生，需要选出3名学生参加数学竞赛，求选出的3名学生中至少有1名男生的选法有多少种。
答案：试题一：1. 根据韦达定理，\( a + b = 5 \)，\( ab = 6 \)，因此\( a^2 +b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13 \)。
2. 根据绝对值的性质，\( x \)的取值范围是[3,5]。
试题二：1. 根据勾股定理，\( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 -5^2} = 12 \)。
2. 由于PA与圆O的切线垂直，根据切线性质，PA是切线，所以点P到圆心O的距离等于半径，即10。
试题三：1. 函数的顶点坐标为\( (-\frac{-3}{2 \times 2}, \frac{4ac -b^2}{4a}) = ( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) \)。
2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案
2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①，02=++m x x ②，其中0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，?=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，使得()()22h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，P 是ABC ?内一点，使得11=PA ，7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。
比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。
8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知?=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。
2011年上海市新知杯初中数学竞赛模拟卷
2011年上海市（新知杯）初中数学竞赛模拟卷一．填空题（每题9分共90分）1. 计算：2222sin 10sin 20sin 30sin 90︒+︒+︒++︒L ＝ 5 ． 2. 111(1)(1)(1)121231232011---+++++++g L g L ＝6712011．3. 已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+．4. 已知定义在正整数集上的函数()f n 满足以下条件：(1) ()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数； (2) 6(3)f =. 则(2011)f = .答案：2023066.在(1)中，令1n =得，()()()m f m f m f ++=+11. ①令1m n ==得，()()1122+=f f . ②令2,1m n ==，并利用(2)得，()()()63212f f f ==++. ③由③②得，()()11,23f f ==. 代入①得，()()1 1.f m f m m +-=+∴2010201011(2011)[(1)()](1)(1)1k k f f k f k f k ===+-+=++∑∑201121+⋅⋅⋅++=2023066220122011=⨯=.5. 方程1220112011x ---=LL一共有 个解.答案：4.方程11x -=的所有解为02x =±或； 方程221=--x 的所有解为51±±=或x ； 方程1233x ---=的所有解为39x =±±或； 方程12344x ----=的所有解为614x =±±或；方程123455x -----=的所有解为1020x =±±或；一般地，方程12(2)n n n x ---=≥LL 的所有解为6. 10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种.答案：1530.推广到一般情形，设n 个学生按题设方式排列的方法数为n a , 则63=a ，184=a ，()3621≥+=+n a a n n . 从而，()()626626331-⨯+=⇒+=+-+n n n n a a a a .7. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为________________________解答：平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4 8. 设y x ,为实数，则=+=+)(m ax 22104522y x xy x _____4________。
字母的功效——用字母来替代常量或代数式
2020年第12期12-31字母的功效——用字母来替代常量或代数式高少平1廖蔡生3(1.上海市七宝中学，上海201101； 2.华东师范大学数学学院，上海200241 ；3.上海市核心数学和实践重点实验室，上海200241)用来表示变量的字母是代数问题中常常出现的对象•在解数学问题时，用字母来替代题目 中的常量或部分的代数式，不仅可以使数字或代数式间的特征和规律更加突出、明显，而且能避免繁冗的计算,从而找到简单明了的解题方法.下面以几道竞赛题为例来加以说明.1变量代换例1解方程/+仍/+5%+厉-1=0.思路：对于一元三次方程,我们并未学过求解公式，因此没公式可用.但我们有一元二次方程求解公式，如何用它？不妨设任=r,把 %看成常量,r 看成变量，方程化为％，+ (2x I —2 + l)r + (x3 - 1) = 0,它是r 的二次方程,可用求根公式，亦可用分解因式求解.I — t — 筑？ + 先 + 1/5 = r,所以拓=1 - x 或込=-----------，解中 ,—-(1 +⑸±丿2 + 2点例2 (2009年中国女子数学奥林匹克试题)设实数沢y 、z 大于或等于1，求证：(x 2 -2x + 2)(/ - 2y + 2) (z 2 - 2z + 2) W (xyz )2 - 2xyz + 2.思路：先从特例出发，看z = l 时的情形，并 注意到不等式中的一些结构的相似性，自然地 想到(/-2^ + 2)=(% - I)2 + 1 =u + 1,其他项类似处理.解：令岳=r,则5 =/,原方程转化为/ +2rx 2 + r 2x + r - 1 = 0,即得％/ + (2x 2 + 1)r + (x 3 -1) = 0.由原方程知x#0,解关于r 的一元*2 + % + ]二次方程，得r = 1 - %或r =--------------•又因X证明：若z= 1,则原不等式化为(x 2 - 2x + 2) (y 2 - 2y + 2) W (矽)? - 2xy + 2........................................①若能证明不等式①，则原不等式等价于(x 2 - 2x + 2) (y 2 - 2y + 2) (z 2 - 2z + 2)W [ (xy)2 - 2xy + 2] (z 2 - 2z + 2).再次运用不等式①，有[(xy)2 - 2xy + 2](z 2-2z + 2)(xyz)2 - 2xyz + 2.从而有(x 2 - 2x + 2) (y 2 - 2y + 2) (z 2 - 2z + 2)W (xyz )2 - 2xyz + 2.下证不等式①.令 u=rc - 1 ^0, v = y - 1 5=0,则(x 2 - 2x + 2) (y 2 - 2y + 2)=[(x - l)2 + 1] [ (y - l)2 + 1]=(/ + 1 )(V 2 + 1 ) =( uv) 2 +/+/ + 1W (u ”+u+”)2 + i=[(%-i)(y-l) + (%-l) + (y-l)『 + i = (xy - 1)2 + 1 =(xy)2 - 2xy + 2.评注：例2中通过变量代换后，能更好地看出不等式的本质特性.2引入辅助变量例3 (2012年“新知杯”上海市初中数学ab + c + d = 3,亠亠"、 be 十 d + a 二 5 .竞赛)解方程组：」 二 Jcd + a + b = 2,.da + 6 + c = 6.12-322020年第12期引例(第6届青少年数学国际城市邀请赛)已知沢八z是正数，且满足•X+y+xy=8,(y+z+yz=15,求％+y+z+%y的值.,z+%+zx=35,解：将x+ y+%y=8的两边同时加1,得到x+y+兀y+1=9,即(1+%)(1+y)=9.同理(1+y)(1+z)=16,(1+z)(1+%)=36.因此7解得/=1,^=7,%+y+z+%y=15.上面引例中每一个等式都只含两字母，这启发我们将每一等式变量减少，由此例3可得如下新颖解.例3的解：记a+b+c+d=K,贝」可得到ab-a-b=3-K,bc-b-c=5-K,cd—c—d=2—K,da—d—a,—()—K,即(a--1)(6-・1)=4-K,(b-■1)(c--1)=6-K,(c--D(d--1)=3-K,(d-■!)(«'-1)=7-K由此有(4-K)(3-K)=(6-K)(7-K),解得a+b+c+d二K==5・IE a-l=A,b-l=B,c-l=C,d-l=A•B=-1,D,则4+B+C+Z)=1,J S，C~1,，C・D=-2,D・A=2.易知B M0,D M0和B(4+C)=0,¥=B -2,因此4+C=0,B+D=I,D=-2B,解得A=l,B=-i,C=-\,D=2,即a=2,b= 0,c=0,<1=3.评注：例3解答中，引入了字母K,使每一等式由四变量变成三变量等式,虽然方程增加了一个a+b+c+d=K,但解答方便了许多.例4解方程：J a-Ja+x=x.思路：在无理方程有理化过程中，为了不让方程次数过高,不妨引入辅助变量.解：设y="7,则原方程化为J q-y=x.从而有y2=a+x,.....................①及a-y=x2,...................②由①、②两式中消去a并分解得(x+y)(x-y+1)=0.由于故当x+y=0时,x-y=0,此时a=0；当％-y+1=0时,y=%+1，代入①，有x2+x+1-a=0,解得-1+a/4^3-,、八”=---------2---------(a》］)•评注：本题也可直接将原方程有理化后成为％的四次方程，将a看成变量严看成参数,则是一个变量a的二次方程，方程可解.例5(2009年上海交通大学自主招生试=x的实根.思路：显然不能通过直接将方程有理化来解，受例4启发，不妨引入辅助变量把无理方程转化为有理方程组.解：设从里到外每个根号分别为X,力，…，y”,则无理方程转化为有理方程组3%=x+2%=/j,%+2人=y；,%+2y”_i=K,y”=%,这里yi,力，…，y…m o.下面考虑％与人的大小关系.若％>y,,则y：=x+2x>x+2y t=y；，从而Ti>%,类似地有％>n>y2>…>y”=%，矛盾•若％<y”则并=x+2x<x+2y,=y；，从而<坨，类似地有x<n<y2<•••<y…=力，矛盾.故x=y lt3x=x2.解得方程的两根为x=0, x=3.2020年第12期欽学软学12-33评注：用增加变元方法换取有理化方程，使得我们可以入手处理这类方程.这是数学上的一种能量守恒.3主元变量在有多个变量的问题中，有时只要转换视角，把一个变量看成主元变量，其他变量看成参数，往往能较好地解决问题.例6(2013年全国初中数学联赛)对于任意实数％、y>z,定义运算"*为：=3x3y+3x2y2+xy+45------;---------:----，且％*y*z=(%*y)*z,(%+l)3+(y+l)3-60贝」2013*2012*•••*3*2的值为…()，八6071821,小、5463…、967;967；967；16389 967解：答案为(C).设2013*2012*•••*4=m,则(20132012*••-*4)*3=m*33m3x3+3m2x9+m x27+45=--------------------------------------------=9 m+3zn2+3m+1+64-60于是(2013*2012*•••*3)*2=9*2_3x93x2+3x92x22+9x23+45103+33-60_5463967"评注：这是命题组所给出的标准答案，给人一种神奇的眼前一亮之感•但让人一头雾水的是为什么要设2013*2012*…*4=m?事实上在给出运算“*”的关系式中,如把％看成主元，贝1%*y=3x3y+3x2y2+xy3+45(x+l)3+(y+l)3-60就是一个假分式,将其分解为整式与真分式之和3y+Sy(y-3)t2+y(y2-9)x-3(y-3)(/+6y2+21y+5)(x+l)3+(y+l)3-60思路：如果直接有理化方程，必然化为一个高阶方程组，解决难度大为增加若令______/2_5Jg+5则矽=-y—,可将方程组有理化为带参数/的低阶方程组.,______t2-5解：令Jlxy+5=t,则xy=一-—，故原方程化为J(x+y)t=2t2-10-3y+1,l(x+2y)z=3t2-15+x-7y-6,即方程组化为Zx+(f+3)y=2t2-9,(t—1)x+(2t+"7)y=3/~21.解此带参数t的关于变量x、y的二元一次方程组，有代入Jlxy+5=t并平方，有2t(t-3)+5=孑，解得=1,r2=5.故解为*2=5,了2=2.例8(第31届IMO预选题)已知a、6、c、d M0,且ab+be+cd+da=1.求证：a3b3-----------+-------------+b+c+d c+d+ac3d31------------+-------------M—d+a+b a+b+c----3思路：如何在放缩中消去不等式中的分母是求证的关键.证明：由条件ab+be+cd+da=1,得(a+c)(b+d)=1,从而有a+b+c+d=(a+c)+(b+d)令y=3,这时分解出的真分式为0,计算极M2丿(a+c)(b+d)=2.为简单.4引入参数例7(上海市第16届“中环杯”数学竞赛8年级决赛试题)求解方程组为了在放缩中消去不等式中的分母，特引入正参数入、如利用均值不等式，有b+c+d+入(b+c+d)+fjL(x+y)^/2xy+5=4xy-3y+1,(x+2y)y/2xy+5=6xy+x-ly~6.同理得(下转第12-42页)1242欽学款学2020年第12期S ADEF 73/1_DC_TI d B-DC~DB~DC）^3/（DB+DC）2Tl DB-DCDC DB\~DB~DC）2而ABC /34，所以S adefS AABC=2.4B=2CD,对角线4C,BD交于点E,平面内一点F满足AB=BF,BC=CF.过点E作EG//佔，交BC于点G,作EH//CF,交4F于点H.求证：AC丄BD当且仅当GH丄BC.（033200山西省临县一中李有贵供题）2020年第12期问题1106.如图4,在平面直角坐标系xOy中，22M为椭圆冷+%=l（a>6>0）上异于长轴a0端点的动点”，F分别为椭圆的右顶点和左焦点,E为线段4M的中点，直线OE交椭圆的左准2___________线/：%=-—（其中c=Ja-b2）于点P,过点c。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
一、 填空题（每题10分，共80分）
1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02
=++m x x ②，其中
0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，
则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号
都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，
h ，使得()()2
2
h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，
2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，
7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1
分，负得0分。
比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的
5
4
，则第2名选手的得分是_________。
8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd
是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）
9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边
DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。
求证：LC SM //。
O
M S
L
D
C
B
A
10. 对于正整数n ，记n n ⨯⨯⨯= 21!。
求所有的正整数组()f e d c b a ,,,,,，使得
!!!!!!f e d c b a ++++=，且f e d c b a ≥≥≥≥>。
解
11. （1）证明：存在整数x ，y ，满足202242
2
=++y xy x ；
（2）问：是否存在整数x ，y ，满足?201142
2
=++y xy x 证明你的结论。
12. 对每一个大于1的整数n ，设它的所有不同的质因数为1p ，2p ，...，k p ，对于每个
()k i p i ≤≤1，存在正整数i a ，使得1
+<≤i i a i
a i p n p ，
记()k a
k a a p p p n p +++= 21
21
例如，()895210026=+=p 。
（1）试找出一个正整数n ，使得()n n p >；
（2）证明：存在无穷多个正整数n ，使得()n .n p 11>。
解。