初三数学竞赛试题含答案

初三数学竞赛试题(含答案)
2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）已知（），则的值为（B）．
（A）（B）（C）（D）
【解】，．
又，∴.故选（B）．
（2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于
2且小于3，则m的取值范围是（C）．
（A）（B）（C）（D）
【解】根据题意，由根的判别式，得．设，
由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象，
当时，有，即；
当时，有，即；
当时，有，即；
当时，有，即．
综上，.故选（C）．
（3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（D）．
（A）（B）（C）（D）
【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s，此辆汽车在各路段上行驶
的时间分别为（），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为
．故选（D）．
（4）已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（A）．
【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD中，
如图①，当点P在AB边上运动时，（），∴；
如图②，当点P在BC边上运动时，
，即（），有，
∴
=；
如图③，当点P在线段CE上运动时，
，有（），
∴．
故选（A）．
（5）已知矩形ABCD中，AB=72，AD=56，若将AB边72
等分，过每个分点分别作AD的平行线；将AD边56等分，过每个分点分别作AB的平行线，则这些平行线把整个矩
形分成了边长为1的72×56个小正方形．于是，被对角线AC从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC
上的两个点）共有（D）．
（A）130个（B）129个（C）121个（D）120个
【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得，则．
因为AC与水平线（含AB与DC）、竖直线（含AD与BC）中的每一条都相交，
所以有57+73=130个交点（含重合的交点）．
由表示直线AC的正比例函数为，于是重合的交点坐标为（，）（0，1，2，…，8）．即有9个重合的交点．
因此共有个彼此不同的交点，它们将对角线AC分成120段，每段仅穿过1个小正方形，于是AC共穿过120个小正方形．故选（D）．
二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，满分35分) （6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则由，所确定的点在双曲线上的概率等于.
【解】
123456
1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)
2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)
3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)
4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)
5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)
6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)
其中点（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在双曲线上，因此所求的概率等于．
（7）计算（的整数）的值等于100．
【解】根号内的被开方数可化为
所以．
（8）若是质数，且整除，则的末位数字是2.
【解】当时，，，5能整除10；
当是奇质数时，为偶数，为奇数，而偶数不能整除奇数，此时不满足“整除”的条件.
综上，.于是.
由的末位数字是6，所以的末位数字是2.
（9）如图，四边形ABCD中，，
，若，则的长为
2．
【解】如图，过点A作与BC的延长线交于点E，
则.
∵在△中，由，，得．
∴．
∵，∴，又，
∴．
又在△ACD中，，∴．
∴△ACE≌△CAD．有．
而在Rt△ABE中，∵，∴，∴.
（10）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，
4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两
个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，
若使这个和最大，则此最大值为50．
【解】设相邻格子内的两数为，，且，则，共有10个差，要使这10个差的和最大，其中10个被减数应当尽量大，10个减数应当尽量小，而每个数仅与两个数相邻，所以，将10，9，8，7，6各当作两次被减数，5，4，3，2，1
各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为
．
如图，是满足条件的一种填数字的方法．
三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）
（11）（本小题满分20分）
已知，，，求的值.
【解】∵，∴，①
同理，②
.③……………………………10分
由①+②-③，得，解得.
由①+③-②，得，解得.
由②+③-①，得，解得.
所以，.……………………………20分
（12）（本小题满分20分）
从一个等边三角形（如图①）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图②）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18个尖角的图形（如图③）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图④），继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线．
如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”，例如，第1次生长后，得图②，每个小等边三角形的边长为，所形成的图形的周长为．请填写下表：（用含的代数式表示）
第1次
生长后第2次
生长后第3次
生长后….第n次
生长后
每个小等边
三角形的边长
……
所形成的
图形的周长
……
【解】
第1次
生长后第2次
生长后第3次
生长后….第n次
生长后
每个小等边
三角形的边长
……
所形成的
图形的周长
……
（13）（本小题满分20分）
已知，为正整数，关于的方程有正整数解，求，的值．【解】设方程的两个根为，，则
由，，，均为正整数，不妨设≥≥1，≥≥1，
于是，．
即．……………………………10分
当时，，有．
只有=3，=2，此时；
当时，，
只有=2，=2，此时，；
当时，有=1，，
得，．
所以，或或……………………………20分
（14）（本小题满分20分）
已知点是锐角△内的一个点，且使最小，试确定点的位置，并证明你的结论．
【解】
如图，分别以为边向外作正△，正△，
连接交于点，则点即为所求． (5)
分
证明如下：
易证△≌△．
有．
∴．
∵与为对顶角，
∴．……………………………………10分在上可截取，连接，有△为正三角形．
易证△≌△．可得．
∴为定值．…………………………15分在△内任取一点（不同于点），
连接，，．
将△以点为旋转中心逆时针旋转，
与重合，得△．
有△≌△．
可得．
连接，则△为正三角形，有．
∴．
由于折线．
∴点到三个顶点，，的距离之和最短．…………………………20分
（若以为边向外作正△，可得）。