二轮复习高考数学考点分类自测 随机抽样 (含答案)
高中数学统计抽样方法精选题目(附答案)
高中数学统计抽样方法精选题目（附答案）一、抽样方法1．简单随机抽样(1)特征：①一个一个不放回的抽取；②每个个体被抽到可能性相等．(2)常用方法：①抽签法；②随机数表法．2．系统抽样(1)适用环境：当总体中个数较多时，可用系统抽样．(2)操作步骤：将总体平均分成几个部分，再按照一定方法从每个部分抽取一个个体作为样本．3．分层抽样(1)适用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时可用分层抽样．(2)操作步骤：将总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样．1.(1)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10 D．15(2)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．[解析](1)从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为a n＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得23615≤n≤25710，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人．(2)小学中抽取30×150150＋75＋25＝18所学校；从中学中抽取30×75150＋75＋25＝9所学校．[答案](1)C(2)189注：1．系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体． (2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样． (4)如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝Nn . 2．与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数． 2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法． 3．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为________．解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x 人，由分层抽样可得32180＝x90，解得x ＝16. 答案：164．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为________．解析：因为分层抽样的抽样比应相等，所以420960＝14样本容量，样本容量＝960×14420＝32.答案：32二、用样本的频率分布估计总体的频率分布1．频率分布直方图2．茎叶图5.(1)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5，23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．(2)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．①求图中a的值；②根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；③若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5 [为50×0.18＝9.答案：9(2)解：①由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1.所以a＝0.005.②该100名学生的语文成绩的平均分约为x＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.③由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x 5403020x∶y 1∶12∶13∶44∶5y 5204025100－(5＋20＋40＋25)＝10.注：与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．6.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()A．0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6解析：选B由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4，故选B.7．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为()A ．300B ．360C ．420D ．450解析：选B 样本中体重大于70.5公斤的频率为： (0.04＋0.034＋0.016)×2＝0.090×2＝0.18.故可估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为：2 000×0.18＝360(人)． 8．某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．解析：总销售额为2.50.1＝25(万元)，故11时至12时的销售额为0.4×25＝10(万元)．答案：10三、用样本的数字特征估计总体的数字特征有关数据的数字特征9.(1)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差(3)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)[解析] (1)从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45＋472＝46，众数为45，极差为68－12＝56，故选择A.(2)由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选C.(3)假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4， 又s ＝ 14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2]＝1， ∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.[答案] (1)A (2)C (3)1,1,3,3 注：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．10．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选B 法一：∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙，又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.11．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如图所示，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是__________，气温波动较大的城市是__________.解析：根据题中所给的茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为9＋13＋17×2＋18＋226＝16，乙城市上半年的平均温度为12＋14＋17＋20＋24＋276＝19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大．答案：乙 乙12．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求． 解：(1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100(mm)，x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006＝100(mm)，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73(mm 2)， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1(mm 2)．(2)因为s 2甲＞s 2乙，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求.四、线性回归1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关：①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b x .13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解] (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 注：(1)线性回归分析就是研究两组变量间线性相关关系的一种方法，通过对统计数据的分析，可以预测可能的结果，这就是线性回归方程的基本应用，因此利用最小二乘法求线性回归方程是关键，必须熟练掌握线性回归方程中两个重要估计量的计算．(2)回归直线方程恒过点(x ，y )．14.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？解：(1)将6组数据按月份顺序编号为1,2,3,4,5,6，从中任取两组数据，基本事件构成的集合为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}共15个基本事件，设抽到相邻两个月的事件为A ，则A ＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}共5个基本事件，∴P (A )＝515＝13.(2)由表中数据求得x ＝11，y ＝24，∑i ＝14x i y i ＝1 092，∑i ＝14x 2i ＝498.代入公式可得b ^＝187.再由a ^＝y －b ^x ，求得a ^＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为 y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＝47＜2； 同样，当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＝67＜2. 所以该小组所得线性回归方程是理想的．。
高考数学简单随机抽样专题测试(带答案)
2019-2019学年高考数学简单随机抽样专题测试（带答案）简单随机抽样也是指从总体N个单位中任意抽取n个单位作为样本,使每个可能的样本被抽中的概率相等的一种抽样方式。
以下是2019-2019学年高考数学简单随机抽样专题测试，请考生及时练习。
一、选择题1.关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是()A.要求总体的个数有限B.从总体中逐个抽取C.它一般情况是一种不放回的抽取D.每个个体被抽到的可能性与抽取的顺序有关[答案] D[解析] 在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，它与抽取的顺序无关，故D错误.2.下列抽样中，用抽签法方便的有()A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验[答案] B[解析] 当样本个数比较小且制号签比较方便时，用抽签法.故选B.3.下列说法正确的是()A.抽签法中可一次抽取两个个体B.随机数法中每次只取一个个体C.简单随机抽样是有放回抽样D.抽签法中将号签放入箱子中，可以不搅拌直接抽取[答案] B[解析] 根据简单随机抽样的特点判断.4.下列抽样方法是简单随机抽样的是()A.从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B.从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C.从实数集中随机的抽取10个正整数分析奇偶性D.运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道[答案] D[解析] 简单随机抽样每个样本是逐个抽取，并且是无放回的抽取，样本总体的容量为有限个，故A、B、C均错.5.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的概率是()A.0.01B.0.04C.0.2D.0.25[答案] C[解析] 明确是简单随机抽样且每个个体被抽到的概率是相等的，问题的突破口就找到了.因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每一个个体被抽到的概率为=0.2.6.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是()A.某单位有员工40人，其中男员工30人，女员工10人，要从中抽8人调查吸烟情况B.从20台电视机中抽取5台进行质量检查C.中央电视台要对春节联欢晚会的收视率进行调查，从全国观众中选10000名观众D.某公司在甲、乙、丙三地分别有120个、80个、150个销售点，要从中抽取35个调查收入情况[答案] B[解析] 根据简单随机抽样的概念及其特点可知当总体中的个体数和样本容量都较小时可采用简单随机抽样.抽出的样本必须准确地反映总体特征.二、填空题7.抽签法中确保样本具有代表性的关键是________.[答案] 搅拌均匀[解析] 在数理统计里，为了使样本具有较好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是将总体搅拌均匀，使每个个体有同样的机会被抽到，而抽签法是简单随机抽样，因此在给总体标号后，一定要搅拌均匀.8.某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽取一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为________.[答案] N[解析] 设m个个体中带有标记的个数为n，根据简单随机抽样的特点知=，解得n=N.三、解答题9.为了了解某校高三期中文、理科数学考试填空题的得分情况，决定从80名文科学生中抽取10名学生，从300名理科学生中抽取50名学生进行分析，请选择合适的抽样方法设计抽样方案.[分析] 应从文、理科学生中分别抽样，由于文科学生总人数较少，抽取的人数也较少，故宜用抽签法，但理科学生人数较多，抽取人数也较多，故抽取理科学生宜用随机数法.[解析] 文科抽样用抽签法，理科抽样用随机数法.抽样过程如下：(1)先抽取10名文科学生：将80名文科学生依次编号为1,2,3，，80;将号码分别写在相同形状、大小的纸片上，制成号签;把80个号签放入同一个容器中，搅拌均匀，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取10次;与号签上号码相对应的10名学生的填空题得分就构成容量为10的一个样本.(2)再抽取50名理科学生：将300名理科学生依次编号为001,002，，081,082，，300;从随机数表中任选一数字作为读数的起始数字，任选一方向作为读数方向，比如从教材附表的第4行第1列数字1开始向右读，每次读取三位，凡不在001300范围内以及重复的数都跳过去，得到号码125,210,142,188,264，“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
高考数学《随机抽样与用样本估计总体》真题含答案
高考数学《随机抽样与用样本估计总体》真题含答案一、选择题1．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用样本估计总体，年龄在(x －s ，x ＋s)内的人数占公司人数的百分比是(其中x 是平均数，s 为标准差，结果精确到1%)( )A ．14%B ．25%C ．56%D ．67% 答案：C解析：因为x －＝36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋449＝40，s 2＝19 (16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝1009 ，即s ＝103 ，年龄在(x － －s ，x －＋s)即⎝⎛⎭⎫1103，1303 内的人数为5，所以所求百分比为59≈0.56＝56%，故选C . 2．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A .56B ．60C ．120D ．140 答案：D解析：由频率分布直方图知，200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.3．[2024·九省联考]样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为( ) A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 答案：B解析：将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选B.4．[2024·新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，根据表中数据，下列结论中正确的是()A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kgB．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间答案：C解析：A选项，因为6＋12＋18＝36<50，36＋30＝66>50，所以100块稻田亩产量的中位数不小于1 050 kg, A错误；B选项，因为100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田有66块，所占比例为66%<80%，所以B错误；C选项，100块稻田亩产量的极差的最大值小于1 200－900＝300，最小值大于1 150－950＝200，所以极差介于200 kg至300 kg之间，C正确；D选项，同一组中的数据都用左端点值来估计，则这100块稻田亩产量的平均值的最小值为1100×(6×900＋12×950＋18×1 000＋30×1 050＋24×1 100＋10×1 150)＝1 042>1 000，所以平均值不介于900 kg至1 000 kg之间，D错误．故选C.5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A解析：设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，由题图可得下表：根据上表可知B 、C 、D 均正确，A 不正确，故选A .6．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则( )A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 答案：B解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A 项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为70%＋75%2 ＝72.5%＞70%，A 错误．对于B 项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B 正确．对于C 项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差s 2后 ＝110 ×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝42.2510 000 ，所以标准差s 后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110 ×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s 2前 ＝110×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝142.2510 000 ，所以标准差s 前≈11.93%.所以s 前＞s 后，C 错误．对于D 项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D 错误．故选B .7．(多选)有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c(i ＝1，2，…，n)，c 为非零常数，则( )A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同 答案：CD解析：A ：E(y)＝E(x ＋c)＝E(x)＋c 且c ≠0，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为x i ，则第二组的中位数为y i ＝x i ＋c ，显然不相同，错误；C ：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．D ：由极差的定义知：若第一组的极差为x max －x min ，则第二组的极差为y max －y min ＝(x max＋c)－(x min ＋c)＝x max －x min ，故极差相同，正确．故选CD .8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 答案：C解析：甲的平均数是4＋5＋6＋7＋85 ＝6，中位数是6，极差是4，方差是（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋225＝2；乙的平均数是5＋5＋5＋6＋95＝6，中位数是5，极差是4，方差是（－1）2＋（－1）2＋（－1）2＋02＋325 ＝125，比较可得选项C 正确．9根据上表可得经验回归方程为y ^ ＝6.3x ＋a ^，下列说法正确的是( ) A ．回归直线y ^ ＝6.3x ＋a ^必经过样本点(2，19)，(6，44)B ．这组数据的样本点中心(x － ，y － )未必在回归直线y ^ ＝6.3x ＋a ^上 C ．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元 D ．据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元 答案：D解析：由表格中的数据可得x － ＝2＋3＋4＋5＋65 ＝4，y － ＝19＋25＋34＋38＋445＝32，将点(x － ，y － )的坐标代入经验回归方程得6.3×4＋a ^＝32， 解得a ^＝6.8，所以回归方程为y ^＝6.3x ＋6.8.对于A 选项，当x ＝2时，y ^＝6.3×2＋6.8＝19.4，A 选项错误；对于B 选项，这组数据的样本点中心(x － ，y － )必在回归直线y ^ ＝6.3x ＋a ^上，B 选项错误；对于C 选项，回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额约增加6.3万元，C 选项错误；对于D 选项，当x ＝7时，y ^＝6.3×7＋6.8＝50.9，所以据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元，D 选项正确．故选D .二、填空题10．已知一组数据4，2a ，3－a ，5，6的平均数为4，则a 的值是________． 答案：2解析：由平均数公式可得4＋2a ＋（3－a ）＋5＋65＝4，解得a ＝2.11．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________． 答案：(1)3 (2)6 000解析：(1)0.1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1，解得a ＝3.(2)消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所以所求购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.12．在一容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1■，■，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是________．答案：32.8解析：设这组数据的最后两个数据为10＋x ，y(x ∈N ，x ≤9) ∵9＋10＋11＋10＋x ＋y ＝10×5＝50， ∴x ＋y ＝10，∴y ＝10－x .∴s 2＝15 [1＋0＋1＋x 2＋(y －10)2]＝15 (2＋2x 2).∵x ≤9，∴当x ＝9时，s 2取得最大值32.8.[能力提升]13．[2024·重庆南开中学月考]今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁．如图统计了上个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温－去年气温，单位：摄氏度)，以下判断错误的是( )A．今年每天气温都比去年同期的气温高B．今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低C．去年8～11号气温持续上升D．今年8号气温最低答案：A解析：由图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年同期的气温，故选项A 不正确；除6，7号，今年气温略高于去年同期的气温外，其他日子，今年气温都低于去年同期的气温，所以今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低，选项B正确；今年8～11号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明去年8～11号气温持续上升，选项C正确；由图可知，今年8号气温最低，选项D正确．故选A.14．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差答案：BD解析：取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为223＝663，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，选BD.15．已知一组正数x 1，x 2，x 3的方差s 2＝13 (x 21 ＋x 22 ＋x 23 －12)，则数据x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1的平均数为________． 答案：3解析：∵s 2＝13 [(x 1－x － )2＋(x 2－x － )2＋(x 3－x －)2]＝13 ⎣⎡⎦⎤x 21 ＋x 22 ＋x 23 －2x －（x 1＋x 2＋x 3）＋3x －2 ＝13 ⎣⎡⎦⎤x 21 ＋x 22 ＋x 23 －3x －2 ， 又s 2＝13 (x 21 ＋x 22 ＋x 23 －12)， ∴3x － 2＝12，∴x －＝2.∴x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1的平均数为x 1＋x 2＋x 3＋33＝3.16．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n －1)个小矩形面积和的13，则该组的频数为________．答案：50解析：设除中间一个小矩形外的(n －1)个小矩形面积的和为P ，则中间一个小矩形面积为13 P ，P ＋13 P ＝1，P ＝34 ，则中间一个小矩形的面积等于13 P ＝14 ，200×14 ＝50，即该组的频数为50.。
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一、选择题1.为确保食品安定，质检部门查抄一箱装有1 000件包装食品的质量，抽查总量的2%.在这个标题中下列说法正确的是( )(A)总体是指这箱1 000件包装食品(B)个别是一件包装食品(C)样本是按2%抽取的20件包装食品(D)样本容量为202.标题：①某社区有500个家庭，此中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了明白社会购买力的某项指标，要从中抽出一个容量为100的样本;②从10名学生中抽出3名到场座谈会.要领：Ⅰ简略随机抽样法;Ⅱ系统抽样法;Ⅲ分层抽样法. 标题与要领配对正确的是( )(A)①Ⅲ，②Ⅰ (B)①Ⅰ，②Ⅱ(C)①Ⅱ，②Ⅲ (D)①Ⅲ，②Ⅱ3.从2 012名学生中选取10名学生到场天下数学联赛，若采取下面的要领选取：先用简略随机抽样法从2 012人中剔除2人，剩下的2 010人再按系统抽样的要领抽取，则每人入选的概率( )(A)不全相等 (B)均不相等(C)都相等，且为 (D)都相等，且为4.利用简略随机抽样，从n个个别中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个别被抽到的概率为则n 的值为 ( )(A)30 (B)28 (C)20 (D)185.某连队身高相符国庆阅兵标准的士兵共有45人，此中18岁～19岁的士兵有15人，20岁～22岁的士兵有20人，23岁以上的士兵有10人，若该连队有9个到场阅兵的名额，要是按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在23岁以上的士兵到场阅兵的人数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)26.(2019锦州模拟)某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人.为了响应阳光体育运动号召，学校举行了跑步和爬山比赛活动.每人都到场而且只到场了此中一项比赛，各年级到场比赛人数环境如下表：高一年级高二年级高三年级跑步 a b c 爬山 x y z 此中a∶b∶c=2∶3∶5，全校到场爬山的人数占总人数的为了明白学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本举行观察，则从高二年级到场跑步的学生中应抽取( )(A)24人 (B)30人 (C)36人 (D)60人7.(2019中山模拟)用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序均匀分成20组(1～8号，9～16号，，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的要领确定的号码是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)88.(2019莆田模拟)将到场夏令营的600名学生编号为：001,002，，600.采取系统抽样要领抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( ) (A)26,16,8 (B)25,17,8(C)25,16,9 (D)24,17,99.一工厂生产了某种产品16 800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为查验这批产品的质量，决定采取分层抽样的要领举行抽样，已知在甲、乙、丙三条生产线抽取的个别数依次组成一个等差数列，则乙生产线生产的产品数是( )(A)5 000 (B)5 200 (C)5 400 (D)5 60010.某公路设计院有工程师6人，技能员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个别到场市里召开的科学技能大会.要是采取系统抽样和分层抽样的要领抽取，不用剔除个别，要是参会人数增加1个，则在采取系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个别，则n即是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二、填空题11.某单位200名职工的年龄漫衍环境如图，现要从中抽取40名职劳动样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序均匀分为40组(1～5号，6～10号，，196～200号).若从第5组抽出的号码为22，则从第8组抽出的号码应是__________.若用分层抽样要领，则在40岁以下年龄段应抽取__________人.12.(2019盐城模拟)某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的终于，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量 130 由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被混浊看不明白了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是__________件.13.(2019泰安模拟)将一个总体中的100个个别编号为0，1，2，3，，99，并依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，，9.要用系统抽样的要领抽取一个容量为10的样本，要是在第0组(号码为0，1，，9)随机抽取的号码为s,那么依次错位地抽取后面各组的号码，其第k组中抽取的号码个位数为k+s或k+s-10(要是k+s10)，若s=6，则所抽取的10个号码依次是_________.14.(2019镇江模拟)某地有住民100 000户，此中平庸家庭99 000户，高收入家庭1 000户.从平庸家庭中以简略随机抽样方法抽取990户，从高收入家庭中以简略随机抽样方法抽取100户举行观察，发觉共有120户家庭拥有3套以上住房，此中平庸家庭50户，高收入家庭70户，依据这些数据并连合所掌握的统计知识，你以为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理预计是__________.三、解答题15.(能力挑衅题)某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时举行全校物质文明擂台赛.为明白这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中作问卷观察，要是要在所有答卷中抽出120份用于评估.(1)应怎样抽取才华得到比较客观的评价结论?(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，要是采取简略随机抽样，应怎样操纵?(3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，怎样使用系统抽样抽取到所需的样本?答案剖析1.【剖析】选D.由从总体中抽取样本的意义知D是正确的.2.【剖析】选A.①因为社会购买力与家庭收入有关，因此要采取分层抽样法;②从10名学生中抽取3名，样本和总体都比较少，适合采取简略随机抽样法.3.【剖析】选C.从N个个别中抽取M个个别，则每个个别被抽到的概率都即是4.【剖析】选B.由题意知n=28.5.【剖析】选D.设该连队年龄在23岁以上的士兵到场阅兵的人数为x，则解得x=2.6.【剖析】选C.∵爬山的占总数的故跑步的占总数的又跑步中高二年级占高二年级跑步的占总人数的设从高二年级到场跑步的学生中应抽取x人，由得x=36.7.【剖析】选B.设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是815+x=126，解得x=6.8.【剖析】选B.依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(kN*)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)300得因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;令3003+12(k-1)495得因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17.连合各选项知，选B.9.【剖析】选D.因为在甲、乙、丙三条生产线抽取的个别数依次组成一个等差数列.则可设三项分别为a-x，a，a+x.故样本容量为(a-x)+a+(a+x)=3a，因而每个个别被抽到的概率为所以乙生产线生产的产品数为10.【思路点拨】先根据样本容量是n时，系统抽样的隔断及分层抽样中各层人数为整数，得出n的特性，再由当样本容量为n+1时，总体剔除1个个别后，系统抽样的隔断为整数验证可得.【剖析】选B.总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的隔断为分层抽样的比例是抽取的工程师人数为技能员人数为技工人数为所以n应是6的倍数，36的约数，即n=6,12,18.当样本容量为n+1时，从总体中剔除1个个别，系统抽样的隔断为因为必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n=6.11.【剖析】由系统抽样知，在第5组抽取的号码为22而分段隔断为5，则在第6组抽取的号码应为27，在第7组抽取的号码应为32，在第8组抽取的号码应为37.由图知40岁以下的人数为100，则抽取的比例为为抽取人数. 答案：37 2012.【剖析】设样本容量为x，则x=300.A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件).设C产品的样本容量为y，则y+y+10=170，y=80.C产品的数量为=800(件).答案：80013.【剖析】由题意知，第1组为10+1+6=17，第2组为20+2+6=28.第3组为30+3+6=39，第4组为40+4+6-10=40，第5组为50+5+6-10=51，第6组为60+6+6-10=62，第7组为70+7+6-10=73，第8组为80+8+6-10=84，第9组为90+9+6-10=95.答案：6，17，28，39，40，51，62，73，84，9514.【思路点拨】根据分层抽样原理，分别预计平庸家庭和高收入家庭拥有3套或3套以上住房的户数，进而得出100 000户住民中拥有3套或3套以上住房的户数，用它除以100 000即可得到终于.【剖析】该地拥有3套或3套以上住房的家庭预计约有：(户).所以所占比例的合理预计约是5 700100 000=5.7%.答案：5.7%15.【剖析】(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当接纳分层抽样的要领举行抽样.因为样本容量为120，总体个数为500+3 000+4 000=7 500，则抽样比：所以有所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个别数分别是8，48，64.分层抽样的步骤是：①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层.②确定每层抽取个别的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个别数分别是8，48，64.③各层分别按简略随机抽样或系统抽样的要领抽取样本.④综合每层抽样，组成样本.这样便完成了整个抽样历程，就能得到比较客观的评价结论.(2)由于简略随机抽样有两种要领：抽签法和随机数法.要是用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采取随机数法抽取样本，步骤是：①编号：将3 000份答卷都编上号码：0001，0002，0003，，3000.②在随机数表上随机选取一个肇始位置.③准则读数偏向：向右一连取数字，以4个数为一组，要是读取的4位数大于3000，则去掉，要是遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止.(3)由于4 00064=62.5不是整数，则应先使用简略随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个别，再将剩余的3 968个个别举行编号：1，2，，3968，然后将整体分为64个部分，此中每个部分中含有62个个别，如第1部分个别的编号为1，2，，62.从中随机抽取一个号码，如若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23,85,147,209,271,333,395,457,，3929.【要领技能】三种常用抽样要领(1)抽签法制签：先将总体中的所有个别编号(号码可以从1到N)，并把号码写在形状、巨细相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在联合个箱子里，举行均匀搅拌.抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，一连抽取n次;成样：对应号签就得到一个容量为n的样本.抽签法轻便易行，当总体的个别数不多时，适宜采取这种要领.(2)随机数表法编号：对总体举行编号，保证位数一致.读数：当随机地选定开始读数的数后，读数的偏向可以向右，也可以向左、向上、向下等.在读数历程中，得到一串数字号码，在去掉此中不合要求和与火线重复的号码后，此中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个别的号码.成样：将对应号码的个别抽出就得到一个容量为n的样本.(3)系统抽样的步骤①将总体中的个别编号.采取随机的方法将总体中的个别编号;②将整个的编号举行分段.为将整个的编号举行分段，要确定分段的隔断k.当是整数时，当不是整数时，议决从总体中剔除一些个别使剩下的个别数N能被n整除，这时③确定肇始的个别编号.在第1段用简略随机抽样确定肇始的个别编号l;④抽取样本.根据先确定的准则(常将l加上隔断k)抽取样本：l,l+k,l+2k,,l+(n-1)k.【变式备选】某单位最近组织了一次健身活动，到场活动的职工分为爬山组和游泳组，且每个职工至多到场此中一组.在到场活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.爬山组的职工占到场活动总人数的且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了明白各组中不同年龄条理的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的要领从到场活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定(1)游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例.(2)游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. 【剖析】(1)要领一：设爬山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，则有解得b=50%，c=10%.故a=100%-50%-10%=40%，即游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.要领二：设到场活动的总人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，则到场爬山组的青年大家数加上到场游泳组的青年大家数即是到场活动的青年大家数，即解得a=0.4=40%，同理b=50%，c=10%.即游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年大家数为抽取的中年大家数为抽取的老年大家数以上便是高考频道随机抽样素质提拔检测的全部内容，查字典数学网会在第一时间为大众提供，更多相关信息欢迎大众持续存眷!。
高考理科数学创新演练：随机抽样含答案
创新演练一、选择题1．(2014·潍坊模拟)为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情形，从中抽查了100名运动员的年龄，就那个问题来讲，下列说法正确的是( )A．1 000名运动员是整体B．每一个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是100D [所调查的是运动员的年龄，故A、B、C错误，样本容量是100.] 2．(2013·新课标全国Ⅰ高考)为了解某地域的中小学生的视力情形，拟从该地域的中小学生中抽取部份学生进行调查，事前已了解到该地域小学、初中、高中三个学段学生的视力情形有较大不同，而男女生视力情形不同不大．在下面的抽样方式中，最合理的抽样方式是( ) A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样C [由于该地域的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力不同性比较大，可采取依照学段进行分层抽样，而男女生视力情形不同性不大，不能依照性别进行分层抽样，排除B和D.故选C.]3．(2014.忻州一中月考)将参加夏令营的600名学生编号为：001，002， (600)采用系统抽样的方式抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的编号为003.这600名学生分住在3个营区，从001到300住在第1营区，从301到495住在第2营区，从496到600住在第3营区，则3个营区被抽中的人数依次为( ) A．26，16，8 B．25，16，9C．25，17，8 D．24，17，9C [由题意知，被抽中的学生的编号组成以3为首项，12为公差的等差数列{a n}，其通项a n＝12n－9(1≤n≤50，n∈N*)．令1≤12n－9≤300，得1≤n≤25，故第1营区被抽中的人数为25；令301≤12n－9≤495，得26≤n≤42，故第2营区被抽中的人数为17；令496≤12n－9≤600，得43≤n≤50，故第3营区被抽中的人数为8.] 4．(2012·濮阳调研)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情形，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校别离抽取的学生人数是( ) A．30，30，30 B．30，45，15C．20，30，10 D．30，50，10B [抽取比例是903 600＋5 400＋1 800＝1120，故三校别离抽取的学生人数为3 600×1120＝30，5 400×1120＝45，1 800×1120＝15.]5．某学校在校学生2 000人，为了增强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情形如下：其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的4.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取( ) A．15个B．30人C．40人D．45人D [由题意，全校参加跑步的人数占总人数的34，所以高三年级参加跑步的总人数为34×2 000×310＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为2002 000×450＝45.]二、填空题6．(2012·浙江高考)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方式从该年级全部学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160.答案1607．(2014·广州二测)某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为2∶3∶4.现用分层抽样的方式抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n＝________．解析∵12n＝22＋3＋4，∴n＝54.答案54三、解答题8．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．若是采用系统抽样和分层抽样的方式抽取，不用剔除个体；若是参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在整体中先剔除1个个体，求n.解析整体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的距离为36n，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n36×6＝n6，技术员人数为n36×12＝n3，技工人数为n36×18＝n2，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6，12，18.当样本容量为(n＋1)时，整体容量是35人，系统抽样的距离为35n＋1，因为35n＋1必需是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.9．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年散布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：人数管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年40160280720 1 200共计160320480 1 040 2 000(1)(2)若要开一个25人的讨论单位进展与薪金调整方面的座谈会，则应如何抽选出席人？(3)若要抽20人调查对某运动会筹备情形的了解，则应如何抽样？解析(1)用分层抽样，并按老年4人，中年12人，青年24人抽取．(2)用分层抽样，并按管理2人，技术开发4人，营销6人，生产13人抽取．(3)用系统抽样，对2 000人随机编号，号码从0001～2 000，每100号分为一组，从第一组顶用随机抽样抽取一个号码，然后将那个号码别离加100，200，…，1 900，取得容量为20的样本．。
高二数学随机抽样复习题(有答案)
高二数学随机抽样复习题(有答案)随机抽样最大优点是在根据样本资料推论总体时 ,可用概率的方式客观地测量推论值的可靠程度 ,从而使这种推论建立在科学的根底上。
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1.抽签中确保样本代表性的关键是 ( )A.制签B.搅拌均匀C.逐一抽取D.抽取不放回2.总容量为106,假设用随机数表法抽取一个容量为10的样本.下面对总体的编号正确的是 ( )A. 1,2,,106B. 0,1,,105C.00,01,,105D. 000,001,,1053.某单位有老年人28人 ,中年人54人 ,青年人81人 ,为了调查他们的身体状况 ,从中抽取容量容量为36的样本 ,最适宜的抽取样本的方法是( )A 简单随机抽样B 系统抽样C 分层抽样 D先从老年人中剔除1人 ,再用分层抽样4.某工厂生产的产品,用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前,质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是 ( ).A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.其它抽样方法5.有50件产品 ,编号从1至50 ,现从中抽取5件检验 ,用系统抽样的方法确定所抽取的编号可能是 ( )A 8,18,28,38,48B 5,10,15,20,25C 5, 8,31,36,41D 2,14,26,38,506.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况, 假设用系统抽样法,那么抽样间隔和随机剔除的个体数分别为 ( )A . 3,2 B. 2,3 C. 2,30 D. 30,27.从2019名学生中选取50名组成参观团 ,现采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 2019人中剔除4人 ,剩下的2019人再按系统抽样的方法进行 ,那么每个人选到的时机( )A 不全相等B 均不相等C 都相等D 无法确定8.为了解1200名学生对学校教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采用系统抽样,那么分段的间隔k为 ( )A.40B.30C.20D.129.某厂生产A、B、C三种型号的产品 ,产品数量之比为2:3:5 ,现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为m的样本 ,样本中A型号的产品有16件 ,那么m的值是 ( )A 60B 80C 100D 16010.我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( )A.45,75,15B. 45,45,45C.30,90,15D. 45,60,3011.采用系统抽样从含2019个个体的总体(编号为0000--2019)抽取一个容量为100的样本 ,假设在第一段用随机抽样得到的起始个体编号为0013 ,那么前6个入样编号是___________________________________________________.12.某社区有500个家庭 ,其中高收入家庭125户 ,中等收入家庭280户、低收入家庭95户 ,为了调查社会购置力的某项指标 ,要从中抽取1个容量为100户的样本 ,记做①;某校高一年级有12名女排运发动 ,要从中选出3人调查学习负担情况 ,记做②.那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是_____________________________________________________. 13.某文艺晚会由乐队18人 ,歌舞队12人 ,曲艺队6人组成 ,需要从这些人中抽取一个容量为n的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法来抽取 ,都不用剔除个体;如果容量增加一个 ,那么在采用系统抽样时 ,需要剔除一个个体 ,那么样本容量n=________.最后 ,希望小编整理的高二数学随机抽样复习题对您有所帮助 ,祝同学们学习进步。
高中数学必修二 9 1 随机抽样(精练)(含答案)
9.1 随机抽样(精练)【题组一基本概念】1．(2021·天津河西·高一期末)下列情况适合用全面调查的是( )A．了解一批玉米种子的发芽率B．了解某城市居民的食品消费结构C．调查一个县各村的粮食播种面积D．调查一条河的水质【答案】D【解析】A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B．了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意；C．调查一个县各村的粮食播种面积适合抽样调查，故不符合题意；D．调查一条河的水质适合全面调查，故符合题意；故选：D．2．(2021·湖北孝感·高一期末)下列调查方式合适的是( )A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式D．为了了解一个班级的学生每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式【答案】C【解析】解：对于A，为了了解一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性，只能采用抽样调查，所以A错误，对于B，为了了解一批玉米种子的发芽率，数量太多，所以只能采用抽样调查，所以B错误，对于C，为了了解一条河流的水质，数量多，所以只能采用抽样调查，所以C正确，对于D，为了了解一个班级的学生每周体育锻炼的时间，数量少，所以采用普查的方式，所以D错误，故选：C3．(2021·全国·高一课时练习)为调查参加考试的1000名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．样本容量是100 D．抽取的100名学生是样本【答案】C【解析】根据有关的概念并且结合题意可得：该题中对应的总体、个体、样本这三个概念考查对象都是学生成绩，而不是学生，根据答案可得：选项A、B、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、B、D都错；D项样本容量是100正确；故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学的总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是A．总体是：1100名同学的总成绩B．个体是：每一名同学C．样本是：50名同学的总成绩D．样本容量是：50【答案】B【解析】据题意：总体是1100名同学的总成绩，故A正确个体是每名同学的总成绩，故B错样本是50名同学的总成绩，故C正确样本容量是：50，故D正确故选：B5．(2021·全国·高一课时练习)为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是A．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007B．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007C．总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007D．总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007【答案】B【解析】根据题目可知，总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007故选B项.6(2021·全国·高一课时练习)指出下列调查适合用普查还是抽查？并简单说明理由.(1)检验某厂生产的乒乓球的合格率；(2)测试某种绿豆的发芽率；(3)了解《新闻联播》在某省的收视率；(4)检查某批飞机零件的合格率；(5)审查自己某篇作文的错别字；(6)了解法国国民对2016年欧洲杯举办的满意程度.【答案】(1)抽查，理由见解析；(2)抽查，理由见解析；(3)抽查，理由见解析；(4)普查，理由见解析；(5)普查，理由见解析；(6)抽查，理由见解析.【解析】(1)和(2)中的调查具有破坏性，所以要采用抽查；(3)和(6)中调查对象的数量太多，普查难以完成，故适合采用抽查；(4)中调查对象的总数不是太多，而且要求每个零件必须检查，否则易发生重大事故，故适合普查；(5)中调查对象的总数也不是太多，而且每一个错别字都会影响文章的质量，因此抽查效果不好，应采用普查.7．(2021·全国·高一课时练习)下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由(1)了解某城市居民的食品消费结构；(2)调查一个县各村的粮食播种面积；(3)了解某地区小学生中患沙眼的人数；(4)了解一批玉米种子的发芽率；(5)调查一条河流的水质；(6)某企业想了解其产品在市场的占有率.【答案】见解析【解析】(1)适合抽样调查，因为调查对象较多；(2)适合全面调查，因为调查对象较少；(3)适合抽样调查，因为调查对象较多；(4)适合抽样调查，因为调查具有破坏性；(5)适合抽样调查，因为调查对象较多；(6)适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.【题组二简单随机抽样】1．(2021·全国·专题练习)福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，小明利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第7列数字开始由左到右依次读取数据，则选出来的第3个红色球的编号为( )A．06 B．17 C．20 D．24【答案】C【解析】从随机数表第1行的第7列数字5开始，按两位数连续向右读编号小于等于33的不重复号码依次为15，17，20，故第3个红球的编号20故选：C2．(2021.贵州.金沙县第五中学 )某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01， (38)39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是( )0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179A．36 B．16 C．11 D．14【答案】C【解析】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11.所以出来的第5个零件编号是11.故选：C3．(2021·全国·高一课时练习)下列抽样方法是简单随机抽样的是( )A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾D．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)【答案】D【解析】对于A：平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样，故A错误；对于B：是一次性抽取20瓶，不符合逐个抽取的特点，故不是简单随机抽样，故B错误；对于C：挑选的50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简单随机抽样，故C错误；对于D：易知D中的抽样方法是简单随机抽样，故D正确.故选：D4．(2021·全国·高一课时练习)下列抽样方法不是简单随机抽样的是( )A．从50个零件中逐个抽取5个做质量检验B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从实数集中随机抽取10个分析奇偶性D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道【答案】C【解析】A是，因为逐个抽取是不放回简单随机抽样.B是有放回简单随机抽样.C不是，因为实数集是无限集.D是无放回简单随机抽样.故选：C.5．(2021·全国·高一课时练习)现要完成下列3项抽样调查：①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格．②某科研院所共有480名科研人员，其中具有高级职称的有48名，具有中级职称的有360名，具有初级职称的有72名．为了解该科研院所科研人员的创新能力，拟抽取一个样本容量为20的样本．③在中秋节前，某食品监督局从某品牌的10盒月饼中随机抽取3盒进行食品卫生检查．较为合理的抽样方法是( )A．①③简单随机抽样，②分层抽样B．①②简单随机抽样，③分层抽样C．②③简单随机抽样，①分层抽样D．①简单随机抽样，②③分层抽样【答案】A【解析】①③中总体容量较少，且个体没有明显差别，适合用简单随机抽样；②中总体是由有明显差异的几部分组成的，适合用分层抽样.故选：A．6．(2021·全国·高一课时练习)(多选)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样为( )A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里C．从20件玩具中逐个抽取3件进行质量检验D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛【答案】ABD【解析】对于选项A，不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；对于选项B，不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；对于选项C，是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；对于选项D，不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选：ABD.【题组三分层抽样】1．(2021·江西九江)小张去年承包了村里的鱼塘养殖黑鱼，计划今年年初出售成年黑鱼．小张第一天从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，称得共重500斤，将这些鱼做上标记后重新放回鱼塘，第二天又从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，发现带有标记的黑鱼有8条已知目前市场上一斤黑鱼价格是18元，则可估计该鱼塘今年能产生的效益约为( )A．188000元B．205000元C．220000元D．225000元【答案】D【解析】设鱼塘里有n条成年黑鱼，则2008200n≈，则5000n≈，估计可产生的效益为500500018225000200⨯⨯=元，故选：D．2．(2021·全国·高一课时练习)某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男、女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．抽签法B．按性别分层抽样C．随机数法D．按地区分层抽样【答案】D【解析】由于来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按地区分层抽样．故选：D3．(2021·全国·高一课时练习)某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且::2:5:3a b c=，全校参加登山的人数占总人数的14．为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取( ) A．15人B．30人C．40人D．45人【答案】D【解析】由题意，可知全校参加跑步的人数为3 200015004⨯=，所以1500a b c ++=．因为::2:5:3a b c =，所以31500450253c =⨯=++． 因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本， 所以应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数为200450452000⨯=． 故选：D4(2021·全国·高一专题练习)简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是在抽样的过程中( )A ．每个个体被抽到的可能性相同B ．把总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分中抽取C ．将总体分成几层，按比例分层抽取D ．都可以把抽取到的样品放回后，继续抽取【答案】A【解析】由简单随机抽样、分层抽样的特点知：简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是在抽样的过程中每个个体被抽到的可能性相同，故选：A5．(2021·黑龙江·大庆中学高二开学考试)从一个容量为m (3m ≥，m N ∈)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是13，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是( )A ．15B ．14C ．12D ．13【答案】D 【解析】随机抽样每个个体被抽到的概率相等，∴选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为13故选：D6．(2021·全国·高一课时练习)已知数据123200,,,...,x x x x 的平均数是6，数据123300,,,...,y y y y 的平均数是20，则20030011500i i i i x y ==+=∑∑( )A ．13B ．14.4C ．15D ．15.4 【答案】B【解析】由已知得2003001120063002014.4500500500i ii ix y==+⨯⨯=+=∑∑.故选：B.7．(2021·全国·高一课时练习)从全校2000名小学女生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3cm，则可以推测该校女生的身高( )A．一定为148.3cm B．高于148.3cm C．低于148.3cm D．约为148.3cm【答案】D【解析】由抽样调查的意义可以知道该校女生的身高约为148.3cm.故选：D.8．(2021·云南省楚雄天人中学高二月考(文))我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”.某校数学兴趣小组为了解本校学生对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》阅读的情况，随机调查了100名学生，阅读情况统计如下表，则该100名学生中阅读过《九章算术》的人数为( )A．60 B．70 C．80 D．90【答案】C【解析】根据统计表可知，只阅读过《周髀算经》没阅读过《九章算术》的人数为706010-=人，所以只阅读过《九章算术》没阅读过《周髀算经》的人数为907020-=人，所以阅读过《九章算术》的人数为602080+=人.故选：C9．(2021·全国·高一课时练习)四书五经记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的学生为了了解现在高一年级1040名学生(其中女生480名)对四书五经的研读情况，进行了一次问卷调查.用分层抽样的方法从高一年级学生中抽去了一个容量为n的样本，已知抽到男生70人，则样本容量n为( ) A．60 B．90 C．130 D．150【答案】C【解析】高一年级男生的总人数1040480560-=，由每个个体抽到的机会均等可得705601040n =，解得130n =， 故选：C10．(2021·全国·高一课时练习)(多选)分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三人一起出关，关税共计100钱，要按照各人带钱多少的比率进行交税，问三人各应付多少税？则( )A ．甲应付4151109钱 B ．乙应付2432109钱 C ．丙应付2816109钱 D ．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 【答案】AD 【解析】由题设条件知，10010560350180109=++，则甲应付104156051109109⨯=(钱)，乙应付101235032109109⨯=(钱)，丙应付105618016109109⨯=(钱)， 故选：AD ．【题组四 获取数据的途径】1．(2021·全国·高一专题练习)若要研究某城市家庭的收入情况，获取数据的途径应该是( )A ．通过调查获取数据B ．通过试验获取数据C ．通过观察获取数据D ．通过查询获得数据 【答案】A【解析】因为要研究的是某城市家庭的收入情况，所以通过调查获取数据．故选：A2．(2021·全国·高一课时练习)李林是某大学的学生，暑假期间的社会实践报告是研究某市2019年法律援助情况，针对获取数据的途径，下列说法正确的是( )A ．直接使用2019年该市司法部门的统计数据B ．通过观察获取数据C ．通过试验获取数据D ．可以查阅2019年该市司法部门的统计数据，并结合该市的实际情况，对数据进行“清洗”，去伪存真，获取有价值的数据【答案】D【解析】由于该市获取数据的质量会参差不齐，要想获得有价值的数据，必须根据实际问题对数据进行“清洗”，去伪存真，获取有效数据.故选：D.3．(2021·全国·高一专题练习)研究下列问题：①某城市元旦前后的气温；②某种新型电器元件使用寿命的测定；③电视台想知道某一个节目的收视率；④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞.一般通过试验获取数据的是( )A．①②B．③④C．②D．④【答案】C【解析】①通过观察获取数据，③④通过调查获取数据，只有②通过试验获取数据.故选：C4．(2021·全国·高一专题练习)2020年某省将实行新高考，考试及录取发生了很大的变化.为了报考理想的大学，小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是( )A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获取数据【答案】D【解析】因为近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据有存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获取数据，故选：D.5．(2021·全国·高一课时练习)下列哪些数据一般是通过试验获取的( )A．1988年济南市的降雨量B．2019年新生儿人口数量C．某学校高一年级同学的数学测试成绩D．某种特效中成药的配方【答案】D【解析】A.B.C. 直接统计即可.D. 某种特效中成药的配方的数据只能通过试验获得.故选：D。
高考数学(理)二轮专题练习：概率与统计(含答案)
概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． 答案 24解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． 平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和． 标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)简化计算公式①s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________． 答案 0.15、0.145 4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y∑i ＝1n x 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． 答案 (x ，y )5．独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：根据观测数据计算由公式k ＝n (ad －bc )(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：则至少有________附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )答案 6．互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题6] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 237．古典概型P (A )＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________． 答案1128．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等． 即P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. 9．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法． (1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]＝n ！(n －m )！，其中m ，n ∈N *，m ≤n .当m ＝n 时，A n n ＝n ·(n －1)·……·2·1＝n ！，规定0！＝1. (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]m ！＝n ！m ！(n －m )！.(3)组合数性质C m n ＝C n－mn，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，规定C 0n ＝1，其中m ，n ∈N *，m ≤n .[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种．(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种． 答案 (1)35 (2)70 10．二项式定理(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n ab n －1＋C n n b n (n ∈N *)．通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C rna n －r b r ，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n .②二项式系数的和等于2n (组合数公式)，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错．[问题10] 设⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________. 答案 4∶1 解析T r ＋1＝C r 6x6－r(－1)r ⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 6(－1)r 2r362r x-，6－32r ＝3，r ＝2，系数A ＝60，二项式系数B ＝C 26＝15，所以A ∶B ＝4∶1.4∶1.11．要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别：(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生．(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB )．[问题11] 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．答案 3512．求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k ·(1－p )n －k . [问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.答案209解析 根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.13．一般地，如果对于任意实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.易错点1 统计图表识图不准致误例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有________人．错解 由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10＋0.10＋0.08)＝0.62.∴估计年薪在1.4万元～1.6万元之间约有300×0.62＝186(人)．找准失分点 本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“频率组距”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误．正解 由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24.所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)． 答案 72易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误例2 如图所示，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．错解 记AM <AC 为事件E ，设CA ＝CB ＝a ，因为△ABC 是直角三角形， 所以，AB ＝2a ，在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ＝a ，那么对线段AD 上的任意一点M 都有AM <AD ，即AM <AC ， 因此AM <AC 的概率为P (E )＝AD AB ＝a 2a ＝22. 找准失分点 据题意，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，射线CM 在∠ACB 内部均匀分布，但是点M 在AB 上的分布不是均匀的．正解 在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ，因为AD ＝AC ＝a ，∠A ＝π4，所以∠ACD ＝∠ADC ＝3π8，则P (E )＝∠ACD ∠ACB ＝3π8π2＝34.易错点3 分不清是排列还是组合致误例3 如图所示，A ，B ，C ，D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解 对于有一个中心的结构形式有A 44，对于四个岛依次相连的形式有A 44，∴共有2A 44＝48(种)．找准失分点 没有分清是排列还是组合． 正解 由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C 14种方法．对于第二种结构，有C 24A 22种方法． ∴总共有C 14＋C 24A 22＝16(种)．易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误例4 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(用数字作答) 错解 288错误！未找到引用源。
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随机抽样
一、选择题
1．某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240，抽取学号最后一位为3的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为 ( )
A ．分层抽样，简单随机抽样
B ．简单随机抽样，分层抽样
C ．分层抽样，系统抽样
D ．简单随机抽样，系统抽样
2．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为1
3
，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.1
3 B.514
C.1
4
D.1027
3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽
样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为 ( )
A ．50
B ．60
C ．70
D ．80
4．某学校在校学生2 000人，为了迎接 “2011年深圳世界大学生运动会”，学校举行了“迎大运”跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：
其中a ：b ：c ＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的1
4.为了了解学生对本次活动的
满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取 ( )
A ．15人
B ．30人
C ．40人
D ．45人
5．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52
名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是 ( )A．13 B．19
C．20 D．51
6．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A．800 B．1 000
C．1 200 D．1 500
二、填空题
7．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
8．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．
9．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k(2≤k≤10，k∈N*)组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
三、解答题
10．某学校共有教职工900人，分成三个批次进行教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？
11．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的1
4，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了
解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
12．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .
详解答案
一、选择题
1．解析：结合简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的定义可知D 项正确． 答案：D
2．解析：由题意知
9n －1＝13，∴n ＝28，∴P ＝1028＝514
.
答案：B
3．解析：由分层抽样的方法得3
3＋4＋7×n ＝15，解得n ＝70.
答案：C
4．解析：由题意，全校参加跑步的人数占总人数的3
4，高三年级参加跑步的总人数为
34×2 000×3
10＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取 1
10×450＝45(人) 答案：D
5．解析：由系统抽样的原理知抽样的间隔为52
4＝13，故抽取的样本的编号分别为
7、7＋13、7＋13×2、7＋13×3，从而可知选C. 答案：C
6．解析：因为a 、b 、c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1 200.
答案：C 二、填空题
7．解析：抽取的男运动员的人数为21
48＋36×48＝12.
答案：12
8．解析：设低收入家庭被抽取的户数为x ，由每个家庭被抽取的概率相等得25125＝x
95，解
得x ＝19.
答案：19
9．解析：因第7组抽取的号码个位数字应是3，所以抽取的号码是63. 答案：63 三、解答题
10．解：(1)由x
900＝0.16，
解得x ＝144.
(2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－ (196＋204＋144＋156)＝200，
设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54
900
，
解得m ＝12.∴应在第三批次中抽取12名教职工．
11．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、
c ，则有
x ·40%＋3xb
4x ＝47.5%，
x ·10%＋3xc
4x
＝10%，
解得b ＝50%，c ＝10%，则a ＝40%，
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%. (2)游泳组中，抽取的青年人人数为 200×3
4
×40%＝60(人)；
抽取的中年人人数为200×3
4×50%＝75(人)；
抽取的老年人人数为200×3
4
×10%＝15(人)．
12．解：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36
n
，
分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36·6＝n 6，技术员人数为n 36·12＝n
3，技工人数为
n 36·18＝n
2
，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18,36.
当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1
， 因为
35
n ＋1
必须是整数， 所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.。