22 二阶线性常微分方程的级数解法和一般本征值问题
二阶常微分方程级数解法
+ De
−ikat
(k ≠ 0)
关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。 关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。关于亥姆霍兹 亥姆霍兹方程 方程以后讨论。 方程以后讨论。 13
3. 输运方程 三维输运方程为
ut − a2∆u = 0
和对三维波动方程的讨论一样， 和对三维波动方程的讨论一样，设 v v u(r , t ) = T (t )v(r ) 有 T ′ + k 2 a 2T = 0
utt − a ∆u = 0
2
12
分离变数得
v v u(r , t ) = T (t )v(r )
代入方程并分离得
′′ + k 2 a 2T = 0 T ∆v + k v = 0
2
关于T的方程的解为 关于T
T (t ) = C + Dt = 0) (k T = C coskat + D sin kat = Ce
Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) Φ′′ + λΦ = 0 d dΘ 2 sin θ (sin θ ) + [l (l + 1) sin θ − λ ]Θ = 0 dθ dθ
第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题， 第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题，本征 值为 2
λ = m = 0,1, L) (m
∆v + k v = 0 与三维波动方程比较， 与三维波动方程比较，关于空间部分都是亥姆霍兹方 不同的只是T的方程，这里， 的方程是一阶的， 程，不同的只是T的方程，这里，T的方程是一阶的， 解为
2
T = Ce
−k 2a 2t
14
4. 亥姆霍兹方程 与拉氏方程比较， 与拉氏方程比较，亥姆霍兹方程多了一项 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 (1) 球坐标系 亥姆霍兹方程在球坐标系中的表达式为
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
第12章 二阶常微分方程级数解法
第十二章 二阶常微分方程级数解法、本征值问题 前几章处理的问题几乎都是使用直角坐标，依据边界条件的不同，有时使用球坐标或柱坐标更为方便，也只有使用恰当的坐标才能使变量进行分离彻底。
下面先介绍标量函数的梯度或矢量函数的散度在球坐标系中和柱坐标系中表示形式。
以1,2,3q q q 表示正交曲线坐标，则有()()()112233,,,,,,q q x y z q q x y z q q x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ()()()123123123,,,,,,x x q q q y y q q q z z q q q =⎧⎪=⎨⎪=⎩因：123123123123123123x x x dx dq dq dq q q q y y y dy dq dq dq q q q z z z dz dq dq dq q q q ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=++⎨⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩于是由于1q 的微小改变而引起的空间尺度变化()()()()()()22222222221111111x y z ds dx dy dz dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦同理()()()22222222222222x y z ds dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()22222223333333x y z ds dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦① 标量函数()1,2,3u q q q 的梯度u ∇的各分量为： ()()()123111222333111,,u u u u u uu u u s H q s H q s H q ∂∂∂∂∂∂∇==∇==∇==∂∂∂∂∂∂ ② 矢量函数的散度()1,2,3A q q q ∇——矢量场中单位体积的通量取由111222333,;,;,q q dq q q dq q q dq +++六个曲面围成的微小六面体 设123,,A A A 分别为A沿1,2,3q q q 增加方向的分量，于是又()()()()1,2,31122331A q q q H dq H dq H dq ∇=()()1111223312233[q dq q A H dq H dq A H dq H dq +-()()()()22233321133211333112231122]q d qq q d q q A H d q H d q A H d q H d q A H d q H d q A H d q H d q+++-+-=()()()1232133121231231A H H A H H A H H H H H q q q ⎡⎤∂∂∂++⎢⎥∂∂∂⎣⎦③()2313121231112223331u u u u u H H H H H H H H H q H q q H q q H q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∆=∇∇=⋅+⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos 1sin sin cos sin r x r H y r H r z r H r θϕθϕθϕθθ⎧==⎪==⎨⎪==⎩对于球坐标()()()11sin r u u uu u u rr r θϕθθϕ∂∂∂∇=∇=∇=∂∂∂()()()2221sin sin sin r A r A r A r A r r θϕθθθθϕ⎡⎤∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦221sin sin sin sin u u uu r r r r r r r r θθθθθϕθϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∆=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 1sin 1z x H y H r z z H ρϕρϕρϕ==⎧⎪==⎨⎪==⎩对于柱坐标()()()1z u u u u u u zρϕρρϕ∂∂∂∇=∇=∇=∂∂∂ ()()()1z A A A A z ρϕρρρρϕ⎡⎤∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦11u u u u z z ρρρρρϕρϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫∆=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦§40.1 拉普拉斯方程0u∆=a .在球坐标系中2221sin sin 0sin sin u u ur r r r r r r r θθθθθϕθϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 设()()(),,,u r R r Y θϕθϕ= 则 2s i n s i n 0s i n d R Y R YY r R d r r θθθθθϕθ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭有()222111sin 1sin sin d dR Y Y r l l R dr dr Y θθθθθϕ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()2122,222211011sin 1sin 10sin 1sin sin sin ll Y t r e d dR r l l R R r Cr D dr dr r Y Y d d d l l Y l l d d d θϕθϕθθθθθθθθϕθθϕ+=ΘΦ=⎧⎛⎫-+==+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂∂ΘΦ⎛⎫⎛⎫⎪+++=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂ΘΦ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 欧勒型方程令()()()()()()()2222222cos 220,1,2''0cos cos sin sin 1sin 12101m xm m A m B d d d d m l l x x l l d d dx dx x λθϕπϕλλϕϕϕθθθλθθ==Φ+=Φ⇒==⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪⇒⎨⎡⎤ΘΘΘ⎛⎫⎡⎤⎪++-Θ--++-Θ= ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭⎪⎣⎦⎩令b. 在柱坐标系中()()(),,)(110u z R Z z u u u z z ρϕρϕρρρρρϕρϕ=Φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()()220,1,2222222''''0cos sin 111''0'''m m A m B m d R dR dz m Z R R R d R d z dz R R Z ϕπϕλλλϕϕϕρρρμρρρρΦ+=Φ==Φ⎧-=⇒Φ+Φ=Φ=+⎪Φ⎪⎨⎪++=⇒+-=-=-⎪⎩()()()()()2222222222210:,0:,00:cosh sinh ,0mm z z z C Dz R E F d R dR z Ce De x x x m R x dx dx d R dR z C z D z h x x x m R x h dx dx μμμρρμμρμμρ-⎧==+=+⎪⎪⎪>=+++-==⎨⎪⎪<=+=-+++==⎪⎩§40.2 波动方程 230tt u a u -∆=令 ()()()()222230cos sin ,0T k a T T t C kat D katu r t T t V r V k V ⎧+=⇒=+=⇒⎨∆+=⎩→ 亥姆霍兹方程§40.3 输运方程 230t u a u -∆=令()()()()2222230,0k a t T k a T T t Ce u r t T t V r V k V -⎧'+==⎪=⇒⎨∆+=⎪⎩→ 亥姆霍兹方程§40.3 亥姆霍兹方程 230V k V ∆+=在球坐标系中： 22222211sin 0sin sin V V V r k Vr r r θθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()()()()222,,,2222211sin 10sin sin 210V r R r Y Y Yl l Y d R dR r r R r l l R dr dr θϕθϕθθθθϕ=⎧∂∂∂⎛⎫+++= ⎪⎪∂∂∂⎪⎝⎭⎨⎪⎡⎤++-+=⎣⎦⎪⎩()()()()()()220,1,222222''0cos sin cos :12101m m A m B m d d mx x x l l l dx dx x ϕπϕλλϕϕϕϕΦ+=Φ==⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪⇒⎨⎡⎤ΘΘ⎪=--++-Θ=⎢⎥-⎪⎣⎦⎩阶缔合勒让德方程()()22221102x kr R r Y x xd y dy x x x l y dx dx ==⎡⎤⎛⎫−−−−−→++-+=←−−−−− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 球贝塞尔方程 在柱坐标系中：()()()()22,,222110u z R Z z u u u kV zρϕρϕρρρρρϕ=Φ⎛⎫∂∂∂∂+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()()()220,1,22222222''0cos sin 0''000cosh sinh 0m m z z A m B m Z C Dz z z Z Ce De Z C z D z h d R dR x x x m R x k dx dx ϕπϕλμμλϕϕϕμμμμμμρΦ+=Φ==-⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪==+⎧⎪⎪⎪-=>=+⎨⇒⎨⎪⎪<=+=-⎩⎪⎪⎡⎤++-==+⎪⎣⎦⎩综上所述，对于齐次的波动方程、输运方程、稳定场方程在球、柱坐标系中有如下解的形式： ①0u ∆=()()()()()()()1222221,,cos sin 0,1,21210cos 1ll u r A m B m Cr D m r d d m x x l l x dx dx x θϕπϕθθ+⎧⎛⎫=++Θ= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎡⎤ΘΘ⎪--++-Θ==⎢⎥⎪-⎣⎦⎩()()()()()()2222222222,,cos sin 0,1,210000cos sin 0m muz uz u z A m B m Z z R m Z C Dz R E F e d R dR Z Ce De x x x m R x u dx dxd R dR Z C mz D mz x x x m R x u dx dx ρϕϕϕρμρρμρμρ-⎧=+=⎪⎧⎪==+=+⎪⎪⎪⎪⇔⎨⎪⎡⎤>=+++-==⎨⎪⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎡⎤<=++++==⎪⎣⎦⎪⎩⎩②()()()22223323cos sin 0tt k a tt T t C kat D kat u a u u V T t V k V u a u T t Ce-=+-∆==∆+=-∆==230V k V ∆+=()()()()()()()()()()()222222222,,cos sin 0,1,21210cos 110,2V r A m B m R r m d d m x x l l x dx dx x d y dy x x x l y x kr Y x xR r dxdx θϕϕϕθθ⎧⎪=+Θ=⎪⎪⎡⎤ΘΘ⎪--++-Θ==⎨⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎪++-+=== ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩ ()()()()()()222222,,cos sin 0,1,20''000cosh sinh 0uz uz V z A m B m Z z R m z C Dz Z Z z Ce De z C z D zd R dR x x x m R x k dx dx ρϕϕϕρμμμμμρ-⎧⎪=+=⎪==+⎪⎧⎪⎪-=>=+⎨⎨⎪⎪<=+⎩⎪⎪⎪⎡⎤++-==+⎣⎦⎩§41 常点邻域的级数解法用球坐标和柱坐标对齐次波动、输运、稳定场方程进行分离变量，最后问题的症结是l 阶缔合勒让德方程和贝塞尔方程等特殊函数方程。
二阶线性常微分方程的级数解法
◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2
由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ：
ζ
ζ
2 - a1
因为这时对应于 ：P(ζ) =
- a2 - a3 ζ + ⋯,
b2 b3 Q(ζ) = + + ⋯
在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析 。
ζ
ζ2 ζ
☺ 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0
正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。 非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。
◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 / ζ，则方程 (1.9) 化为
1
1
若 p 和 q 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。
ζ
ζ
1
1
若 p 和 q 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地 ，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。
ζ
ζ
1
1
p = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯,
通常人们并不需要在整个复平面内求解方程更感兴趣的是求解某点z0邻域的解邻域可大可小因此若要在某点z0的邻域求解微分方程系数函数pz和qz在z0的性质就显得特别重要为此做以下定义
二阶常微分方程级数解法变换本征值问题.pdf
简化为
T '' = Δv a 2T v
令
T '' a 2T
=
Δv v
= −k 2
T '' a 2T
=
Δv v
= −k 2
分解为 T "+a 2k 2T = 0
Δv + k 2v = 0
称为亥姆霍兹方程
第一个方程的解为
T = C + Dt T = C cos kat + D sin kat
(k = 0) (k ≠ 0)
(m = 0,1,2,3L)
r2
d 2R dr 2
+
2r
dR dr
− l(l
+ 1) R
=
0
R = Crl + Dr−(l+1)
（2）、柱坐标系
Δu
=
∂ 2u
∂ρ 2
+
1
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ2
∂ 2u
∂ϕ 2
+
∂ 2u ∂z 2
试图将变量变 ρ 与 θ 和 z 分离 代入
u(ρ,ϕ, z) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)
d (r 2 dR ) = l(l +1)R dr dr
−1
sinθ
∂
∂θ
(sinθ
∂Y
∂θ
)
−
1
sin 2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
= l(l
+ 1)Y
称为球函 数方程
上边第一式化为
r 2 d 2R + 2r dR − l(l +1)R = 0
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程（Second-order linear ordinary differential equation）是微积分中常见的一类数学方程。
它具有以下标准形式：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)其中，y是未知函数，x是自变量，y''表示y对x的二阶导数，y'表示y对x的一阶导数。
而p(x)，q(x)，f(x)是给定的函数。
解二阶线性常微分方程需要求出其一般解或特解。
下面我们将介绍两种常见的解法方法。
1. 特征方程法对于二阶线性常微分方程而言，我们可以首先考虑其对应的特征方程。
将方程转化为特征方程后，解出特征方程的根，再根据不同情况求解方程。
特征方程形式如下：r^2 + p(x)r + q(x) = 0在解特征方程时，可能会出现以下三种情况：情况1：特征方程有两个相异实根r1和r2。
此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)其中C1和C2为待定常数。
情况2：特征方程有两个相等实根r。
此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = (C1 + C2x)e^(rx)其中C1和C2为待定常数。
情况3：特征方程有两个共轭虚根α+βi和α-βi。
此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx))其中C1和C2为待定常数。
通过求解特征方程并根据不同情况求解方程，我们可以得到原方程的一般解。
2. 常数变易法除了特征方程法之外，我们还可以通过常数变易法来解决二阶线性常微分方程。
常数变易法的基本思路是，首先猜测通解形式，然后将通解带入原方程，求解待定常数。
例如，对于形如y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)的方程，我们可以猜测通解形式为y = u(x)y1(x)，其中y1(x)是该方程对应的齐次线性方程的一个特解，u(x)是待定函数。
二阶常微分方程的级数解法 本征值问题3-1精品PPT课件
根据泰勒展开的唯一性，可得：
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) l(l 1)ck 0
k(k 1) l(l 1) (k l)(l k 1) 即 ck2 (k 2)(k 1) ck (k 2)(k 1) ck
这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。
解： 这里 p(x) 0, q(x) 2
设解为 y( x) a0 a1x a2 x2 ak xk 则 y( x) 1a1 2a2 x (k 1)ak1xk
y( x) 2 1a2 3 2a3x (k 2)(k 1)ak2 xk
把以上结果代入方程，比较系数得：
n 0，
n 1，
c2
1 2
(a0c1
b0c0 )
1
c3 6 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1)
1 6
(a02
a1
b0
)c1
(a0b0
b1 )c0
以此类推，可求出全部系数 cn ，从而得到方程的级数解。
8
例3：在 x0 0 的邻域内求解常微分方程 y 2 y 0 （为常数）
的两个无限级数形式解均不满足这个条件。
注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上 边界条件的解。
(k l)(l k 1) 考察递推公式 ck2 (k 2)(k 1) ck
只要l是个整数，则当k=l时，由系数 cl 2 开始，以后的系数均为零。级数便
截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式， 称为l阶勒让德多项式。
(2k 1)2k(2k 1)(2k 2)
c2k 3
... c1 (2k 1 l)(2k 3 l)...(1 l) (2k 1)!
数学物理方法第九章二阶常微分方程的劫数解法本征值问题
特殊函数常微分方程
球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
一般情况 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程 轴对称情况 勒让德方程
极坐标下热传导方程的分离变量
一般情况 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程 轴对称情况
§9.2常点邻域上的级数解法
常微分方程中点的分类 各点邻域级数解的形式 勒让德方程的级数解 贝塞尔方程的级数解
常微分方程中点的分类
二阶变系数常微分方程的一般形式
w”+p(z)w’+q(z)w=0
方程中点的分类
常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点
正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 非正则奇点：其它情况
各点邻域级数解的形式
•常点z0邻域
sin 1 cos
2 1 2
1 12
2、柱坐标下拉普拉斯方程
2 2 1 u 1 u u 2 ( ) 2 2 0 2 z
0为正则奇点，邻域解为 ：y k 0 ak x s k
x y k 0 ak x
2
sk 2
k 2 ak 2 x
sk
k 0 ak 2 x s k
级数解的导数为： y ' k 0 ( s k )ak x s k 1 y" k 0 ( s k )(s k 1)ak x s k 2
1 v 1 2v 2v 2 ( ) 2 k v 0 2 2 z
令
v( , , z ) R( ) ( )Z ( z )
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(3)
k=0
k=0
k=0
其中的展开系数 pk 和 qk 是已知的，而 ak 是未知的．将这些展开式代入方程 (1)，合并同 幂项，将左边整理成一个幂级数，由于右边为零，故所有 (x − x0)k 的系数均必须为零，由
§2 Legendre 方程及其本征值问题
3
此可得 ak 间的一系列代数方程．求解这些代数方程即可用 a0 和 a1 表出 a2, a3, · · · ，从而 得到级数解．容易看出，a0 = c0，a1 = c1．如果不给定初始条件，则级数解中含有两个任意 常数 a0 和 a1，所以是方程 (1) 的通解．
下面补充讨论两个有关问题．它们与级数解法无关，也与常点或奇点无关．
首先，如果我们已经求得方程 (1) 的一个解 y1(x)（不管用什么方法），则第二解就可以用积分表出． 事实上，令 y2(x) = C(x)y1(x)，其中 C(x) 是未知函数．代入方程 (1)，容易得到 y1C +(2y1 +py1)C = 0，这是 C (x) 的一阶线性方程，容易求出 C (x)，再积分一次即得 C(x)，最后得到
y(x0) = c0, y (x0) = c1.
(2)
如果不附加初始条件，则通解中含有两个任意常数．
显然，方程 (1) 的解的行为取决于系数的行为．我们假定在复平面的某区域 D 内，p(x)
和 q(x) 除有限个孤立奇点外是单值解析的．级数解法就是在 D 内某点 x0 的邻域或去心邻 域内将 y(x) 展开为幂级数，即 Taylor 级数、Laurent 级数或更一般的幂级数（见后）．展开
∞
y(x) = akxk.
k=0
容易得到下列各式：
∞
∞
xy (x) = kakxk, x2y (x) = k(k − 1)akxk,
k=0
k=0
∞
∞
∞
y (x) = k(k − 1)akxk−2 = k(k − 1)akxk−2 = (k + 2)(k + 1)ak+2xk,
k=0
k=2
k=0
代入方程并整理得
三 整数阶 Bessel 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
四 Neumann 函数的一般定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
y0(x) 和 y1(x) 是线性独立的，而 y(x) 就是方程 (8) 的通解．
由于
lim
k→∞
ak+2 ak
= lim
k→∞
k(k + 1) − λ (k + 2)(k + 1)
= 1,
(16)
所以两个级数解的收敛半径都是 1，如所期望．但可以证明（从略），y0(±1) = ∞ （这是简
化的写法，表示 y0(x) 在 x = ±1 两点均发散），y1(±1) = ∞．这一结果对于下面确定本征
(1 − x2)y − 2xy + λy = 0.
(8)
我们无法找到这一方程的简单解法，所以只能考虑级数解．与标准形式 (1) 比较可见
p(x)
=
−
1
2x − x2
,
q(x)
=
1
λ −
x2
.
(9)
§2 Legendre 方程及其本征值问题
4
显然，x = 0 是常点．又容易看出，p(x) 和 q(x) 在复平面上只有两个奇点 x = ±1，所以， 它们在圆 |x| < 1 内解析．按上节定理，在该圆内方程的解是解析的，故可设
第十章 二阶线性常微分方程的级数解法和 一般本征值问题∗
目录
§1 常点邻域的级数解法
2
§2 Legendre 方程及其本征值问题
3
一 Legendre 方程的级数解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
二 Legendre 方程的本征值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
y2(x) = y1(x)
x
1 y12(u)
exp
−
u
p(v) dv du.
(4)
这里包含两次不定积分，所以结果中有两个任意常数，因而已是方程 (1) 的通解．如果采用固定下限， 则得到的是第二解．后面会用到这个结果．
其次，考虑非齐次方程
y (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = f (x).
§3 正则奇点邻域的级数解法
6
§4 Bessel 方程
10
一 Bessel 方程的级数解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
二 半整数阶 Bessel 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
(19)
(20a) (20b)
|y(±1)| < ∞.
(21)
一般情况下，上面得到的两个解均不满足这一条件，所以，唯一的出路是让它们中断为多项
五 *Neumann 函数的常规级数解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
六 *Neumann 函数的 Frobenius 级数解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
七 *一般 Neumann 函数的整数阶极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
a2k
=
22k (2k)!
−
ν 2
k
ν+1 2
a0,
k
a2k+1
=
22k (2k + 1)!
ห้องสมุดไป่ตู้
−ν + 1
2
k
ν+2 2
a1,
k
(18)
§2 Legendre 方程及其本征值问题
5
其中引入了记号
(α)0 = 1,
(α)k
=
α(α
+
1) · · · (α
+
k
−
1)
=
Γ(α + k) Γ(α)
,
k = 1, 2, · · · .
于是，式 (15) 中两个解的显式为
y0(x) =
∞
22k (2k)!
k=0
−
ν 2
k
ν+1 2
x2k ,
k
y1(x) =
∞
22k (2k + 1)!
k=0
−ν + 1
2
k
ν+2 2
x2k+1.
k
下面的讨论并不需要用到这一显式，所以读者能否掌握它都无关紧要．
二 Legendre 方程的本征值问题 由上章的讨论知道，物理上要求 Legendre 方程的解满足自然边界条件
∗ c 1992–2004 林琼桂 本讲义是中山大学物理系学生学习数学物理方法课程的参考资料，由林琼桂编写制作．欢迎任何个人复 制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售．
1
§1 常点邻域的级数解法
2
对偏微分方程分离变量后，马上需要解决的就是常微分方程及其本征值问题的求解． 本书遇到的都是二阶线性常微分方程，因为它们来源于二阶线性偏微分方程．虽然常微分方 程比偏微分方程简单，但也并不存在什么普遍有效的解析求解的程式．我们知道，一阶线性 常微分方程的解可以用系数和非齐次项的积分表出，尽管这些积分不一定能积出来（即其原 函数不一定是初等函数）．但对于二阶线性常微分方程，并不存在类似的结果．除了常系数 情况和少数特殊类型（比如 Euler 方程）可以用初等函数求解之外，级数解法可能就是最好 的选择了．级数解法可以算是比较系统的一种方法，因为对于那些能够用初等函数求解的简 单情况，级数解法通常也一样有效．不过，应该指出，能够用级数解法求解的方程也是非常 有限的，这取决于方程的系数的性质，通过具体问题的研究，可以逐步看清这一点．
(6a)
代入非齐次方程 (5)，利用附加条件以及 y1(x) 和 y2(x) 满足齐次方程的事实，易得
y1C1 + y2C2 = f.
(6b)
由于 y1(x) 和 y2(x) 线性无关，故 ∆ ≡ y1y2 − y2y1 = 0 （否则可以证明 y1(x) ∝ y2(x)，则 y1(x) 与
y2(x) 线性相关，矛盾）．于是可以解得 C1 = −f y2/∆，C2 = f y1/∆，积分即得 C1(x) 和 C2(x)，最后
值问题的解非常重要．
令 λ = ν(ν + 1)，则递推关系 (13) 可以写作
ak+2
=
(k − (k
ν)(k + + 2)(k
ν +
+ 1) 1)
ak
,
k = 0, 1, 2, · · · .
(17)
注意给定 λ，方程 λ = ν(ν + 1) 有两个解，记任何一个解为 ν，则另一解为 −ν − 1．容易看出，上面的 递推关系在变换 ν → −ν − 1 下不变，以下其它结果亦然．所以取任何一个解代入，结果都是一样的． 重复利用递推关系可得