中考数学卷精析版江苏常州卷
2020年江苏省常州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
常州市二〇二〇年初中学业水平考试数学试题（全卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．22．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．8的立方根为（）A．B．C．2 D．±25．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+16．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4 C．3D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在相应位置上）9．计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．11．地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．分解因式：x3﹣x＝．13．若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．14．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【知识考点】相反数．【思路分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解题过程】解：2的相反数是﹣2．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12【知识考点】同底数幂的除法．【思路分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解题过程】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥【知识考点】由三视图判断几何体．【思路分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形状．【解题过程】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．【总结归纳】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．4．8的立方根为（）A．B．C．2 D．±2【知识考点】立方根．【思路分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．【解题过程】解：8的立方根是＝＝2，故选：C．【总结归纳】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a的立方根是．5．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1【知识考点】不等式的性质．【思路分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解题过程】解：A、∵x＜y，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．【总结归纳】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．6．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．【解题过程】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝140°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．【总结归纳】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【知识考点】直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．【解题过程】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【总结归纳】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．8．如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4 C．3D．6【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．【思路分析】根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM ＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，进一步求得k＝6．【解题过程】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝，∵S△ABD＝＝2，BD＝，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k＝m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k＝m＝6．故选：D．【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在相应位置上）9．计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．【知识考点】实数的运算；零指数幂．【思路分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．【解题过程】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．【总结归纳】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．【解题过程】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．【总结归纳】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．11．地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．分解因式：x3﹣x＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解题过程】解：x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．【总结归纳】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．13．若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．【知识考点】一次函数图象与系数的关系．【思路分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围．【解题过程】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．【总结归纳】本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时y随x的增大而增大．14．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【知识考点】一元二次方程的解．【思路分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．【解题过程】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．【总结归纳】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．【知识考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．【思路分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解题过程】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．【总结归纳】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．【知识考点】数学常识；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【思路分析】根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．【解题过程】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，∴C（2，），故答案为：（2，）．【总结归纳】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．17．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．【思路分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解题过程】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA＝∠GCB＝45°，∴∠ECG＝90°，∵AC＝2BC，∴设AC＝2a，BC＝a，∴CE＝2a，CG＝a，∴tan∠CEG＝＝，故答案为：．【总结归纳】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．【知识考点】三角形中位线定理；解直角三角形．【思路分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．【解题过程】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．【总结归纳】本题考查三角函数定义，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解题过程】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．【总结归纳】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．【知识考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【思路分析】（1）方程两边都乘以x﹣1得出方程x﹣2＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解题过程】解：（1）方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2＝2（x﹣1），解得：x＝0，检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，所以x＝0是原方程的解，即原方程的解是：x＝0；（2），∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜3．【总结归纳】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．【知识考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；条形统计图．【思路分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．【解题过程】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×＝300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．【总结归纳】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【知识考点】概率公式；列表法与树状图法．【思路分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．【解题过程】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P（和为奇数）＝＝．【总结归纳】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【知识考点】全等三角形的判定与性质．【思路分析】（1）首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝BD，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解题过程】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．【总结归纳】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD是解题关键．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，根据总价＝单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【解题过程】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解题过程】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6，【总结归纳】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．【知识考点】全等三角形的性质；含30度角的直角三角形；作图﹣旋转变换．【思路分析】（1）如图1中，作FD⊥AC于D．证明△ABC≌△CDF（AAS）可得结论．（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF计算即可．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△EOH中，利用勾股定理构建方程求解即可．【解题过程】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，∴∠ACF＝30°，∴∠BAC＝∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．故答案为．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴OH＝CH﹣OC＝﹣，在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，解得x＝或﹣（不合题意舍弃），∴OC＝＝，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．【总结归纳】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．【解题过程】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝10，故答案为：D，10．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF＝∴tan∠FEO＝＝，∴∠FEO＝30°，∴OH＝OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2，EN•NH＝4，∴NH＝，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN＝＝2，∴HM＝＝＝，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN＝HK＝KM＝，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝x+，当k＜0时，同法可知直线l′经过H′（2，1），可得直线l′的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．【总结归纳】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方时，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ 交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．【解题过程】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；。
2022年江苏省常州市中考数学试题(含答案解析)
（2）先从盒子 中任意抽出1支签，再符合的概率．
23.如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，与反比例函数 的图象交于点 ，连接 ．已知点 ， 的面积是2．
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
7.在平面直角坐标系 中，点A与点 关于 轴对称，点A与点 关于 轴对称．已知点 ，则点 的坐标是（）
A. B. C. D.
8.某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车 的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知 的加速时间的中位数是 ，满电续航里程的中位数是 ，相应的直线将平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（）
A.区域①、②B.区域①、③C.区域①、④D.区域③、④
二、填空题
9.计算： =___．
10.计算： _______．
11.分解因式： ______．
12.2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为______．
（1）八进制数3746换算成十进制数是_______；
（2）小华设计了一个 进制数143，换算成十进制数是120，求 值．
26.在四边形 中， 是边 上的一点．若 ，则点 叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
2012年中考数学卷精析版——江苏常州卷
2012年中考数学卷精析版——常州卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）3. （2012江苏常州2分）如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图．．．是【】【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得上层右边有1个正方形，下层有2个正方形。
故选B。
4.（2012江苏常州2分）为了参加中学生篮球运动会，某校篮球队准备购买10双运动鞋，经统计10双运动鞋的尺码（cm ）如下表所示：尺码 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双）24211则这10双运动鞋的众数和中位数分别为【 】A.25.5 cm 26 cmB.26 cm 25.5 cmC.26 cm 26 cmD.25.5 cm 25.5 cm 【答案】B 。
【考点】众数，中位数。
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是25.5 cm ，故这组数据的众数为25.5 cm 。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。
由此这组10个数据的中位数是第5，6个数据的平均数，而第5，6个数据都是25.5 cm ，故这组数据的中位数为25.5 cm 。
故选B 。
5. （2012江苏常州2分）已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】 A.外离 B.内切 C.相交 D.内含 【答案】B 。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
因此，∵两半径之差7－3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。
故选B 。
6. （2012江苏常州2分）已知三角形三边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为【 】 A.13 B.17 C.22 D.17或22 【答案】C 。
2022年常州市中考数学试题含答案解析
2022年常州市中考数学试题含答案解析一、选择题(每小题3分，共10小题，合计30分)1.-2的相反数是().A．-12B．12C．±2D．2答案：D.解析：数a的相反数是-a,所以-2的相反数是2，故选D．2.下列运算正确的是().A．m·m=2mC．(m2)3=m6答案：C.解析：m·m=2m2,(mn)3=m3n3,(m2)3=m6,m6÷a3=a4,故正确的是C，故选C．B．(mn)3=mn3D．m6÷a3=a33.右图是某个几何体的三视图，则该几何体是().A．圆锥C．圆柱答案：B.解析：由三视图确定几何体，从三视图可以确定此几何体为三棱柱，故选B．4.计算:B．三棱柱D．三棱锥某11+的结果是().某某1A．某2某12B．2某C．D．1答案：D.解析：本题考查分式的加法，同分母分式，分子相加减，原式=某11=1，故选D．某5.若3某>-3y,则下列不等式中一定成立的是().A．某+y>0B．某-y>0C．某+y<0D．某-y<0答案：A.解析：不等式的两边都除以3得某>-y,移项得某+y>0,故选A．6.如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD,∠1＝60°,则∠2的度数是(A．100°B．110°C．120°D．130°答案：C.解析：∵AB∥CD,∠1＝60°,∴∠3＝∠1＝60°,所以∠2＝180°-60°=120°,故选C．7.如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在某轴、y轴上，OD=2OA=6,AD：2).AB=3:1,则点C的坐标是().A．(2,7)C．(3,8)答案：A.解析：作BE⊥某轴于E，由题意知△ABE∽△DAO，因为OD=2OA=6,所以OA=3,由勾股定理得AD=35,因为AD：AB=3：1,所以AB=5，所以BE=1,AE=2,由矩形的性质知，将点D向上平移一个单位，向右平移2个单位得到点C，所以点C的坐标为(2,7),故选A．B．(3,7)D．(4,8)8.如图，已知□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC，若EF=2,FG=GC=5,则AC的长是().A．12B．13C．65答案：B.D．83解析：作AM⊥CH交CH的延长线于H，因为四条内角平分线围成的四边形EFGH为矩形，所以3AM=FG=5,MH=AE=CG=5,所以CM=12,由勾股定理得AC=13，故选B．二、填空题：(本大题共10小题，每小题2分，共20分)9.计算：|-2|+(-2)0=.答案：3.解析：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0,非零数的零次方都等于1,依此规则原式=2+1=3．10.若二次根式某2有意义，则实数某的取值范围是.答案：某≥2.解析：二次根式有意义需要满足被开方数为非负数，所以某-2≥0,解得某≥2．11.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm,则数据0.0007用科学计数法表示为.答案：7某10-4.解析：用科学记数法表示较小的数，0.0007=7某10-4．12.分解因式：a某2-ay2=.答案：a(某+y)(某-y).解析：原式=a(某2-y2)=a(某+y)(某-y)．13.已知某=1是关于某的方程a某2-2某+3=0的一个根，则a=.答案：-1.解析：将某=1代入方程a某2-2某+3=0得a-2+3=0,解得a=-1．14.已知圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,则圆锥的侧面积是.答案：3π.解析：圆锥的侧面积=11某扇形半径某扇形弧长=某l某(2πr)=πrl=π某1某3=3π．设圆锥的母线长为l，设圆锥的底面半径为r，221某扇形半径某扇形弧长2则展开后的扇形半径为l，弧长为圆锥底面周长(2πR)．我们已经知道，扇形的面积公式为：S=4=1某l某(2πr)=πrl．即圆锥的侧面积等于底面半径与母线和π的乘积.π某1某3=3π.215．(2022常州，15，2分)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是.答案：15.解析：因为DE垂直平分BC，所以DB=DC，所以△ABD的周长=AD+AB+BD=AB+AD+CD=AB+AC=6+9=15．16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点.若∠DAB＝40°,则∠ABC＝°.答案：70°.解析：连接AC，OC，因为C是弧BD的中点，∠DAB＝40°,所以∠CAB＝20°,所以∠COB＝40°,由三角形内角和得∠B＝70°.17.已知二次函数y=a某2+b某-3自变量某的部分取值和对应函数值y如下表：某y则在实数范围内能使得y-5>0成立的某的取值范围是.答案：某>4或某......-25-100-31-42-330 (5)解析：将点(-1,0)和(1,-4)代入y=a某2+b某-3得0ab3a1，解得：，所以该二次函数的解析式为y=某2-2某-3,4ab3b2若y>5,则某2-2某-3>5,某2-2某-8>0,解一元二次方程某2-2某-8=0，得某=4或某=-2.根据函数图象判断y-5>0成立的某的取值范围是某>4或某18.如图，已知点A是一次函数y=1某(某≥0)图像上一点，过点A作某轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的2右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y面积是.k(k)0)的图像过点B、C，若△OAB的面积为6,则△ABC的某答案：18.析：设点A(4a,2a),B(4a,2b),则C点的横坐标为4a+(3a-b)(a-b)=0,解得：a=b(舍去)或b=3a.S△ABC=1(2b-2a),C点的坐标为(3a+b,a+b)．所以4a·2b=(3a+b)(a+b),21(2b-2a)·4a=8a2=6,k=4a·2b=24a2=18.2三、解答题：(本大题共6个小题，满分60分)19.(6分)先化简，再求值：(某+2)(某-2)-某(某-1),其中某=-2.思路分析：先化简，再代入求值.解：原式=某2-4-某2+某=某-4,当某=-2时，原式=-2-4=-6.20.(8分)解方程和不等式组：(1)2某53某3=-3某2某26(2)2某64某15思路分析：(1)解分式方程，检验方程的解是否为增根；(2)分别解两个不等式再确定不等式组的解集.解：(1)去分母得2某-5=3某-3-3(某-2),去括号移项合并同类项得，2某=-8,解得某=-4,经检验某=4是原方程的根，所以原方程的根是某=4；(2)解不等式①得某≥-3，解不等式②得某＜1，所以不等式组的解集是-3≤某＜1.21.(8分)为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”“打球”“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况(每个学生必须选一项且只能选一项)，并根据调查结果绘制了如下统计图：根据统计图所提供的信息，解答下列问题：(1)本次抽样调查中的样本容量是.(2)补全条形统计图；(3)该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数.思路分析：(1)利用爱好阅读的人数与占样本的百分比计算，30÷30%=100；(2)其他100某10%=10人，打球100-30-20-10=40人；(3)利用样本中的数据估计总体数据.解：(1)100；(2)其他10人，打球40人；(3)2000某740=800,所以估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生为数为800人.10022.(8分)一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3、4.(1)搅匀后从中任意摸出1个球，求摸出的乒乓球球面上数字为1的概率；(2)搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球，求2次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率.思路分析：(1)列举法求概率；(2)画树状图法求概率.解：(1)从4个球中摸出一个球，摸出的球面数字为1的概率是(2)用画树状图法求解，画树状图如下：1；4第一个球第二个球数字之和1234423134124123534356457567从树状图分析两次摸球共出现12种可能情况，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率为：41=．12323.(8分)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.(1)求证：AC=CD；(2)若AC=AE，求∠DEC的度数.思路分析：(1)证明△ABC≌△DEC；(2)由∠EAC=45°通过等腰三角形的性质求解.解：(1)证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠ACB=∠DCE，又∵∠BAC=∠D，BC=CE，∴△ABC≌△DEC，∴AC=CD.(2)∵∠ACD=90°，AC=CD，∴∠EAC=45°，8∵AE=AC∴∠AEC=∠ACE=1某(180°-45°)=67.5°，2∴∠DEC=180°-67.5°=112.5°.24.(8分)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元.(1)求每个篮球和每个足球的售价；(2)如果学校计划购买这两种共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？思路分析：(1)根据等量关系列方程组求解；(2)根据不等关系列不等式求解.解：(1)解设每个篮球售价某元，每个足球售价y元，根据题意得：2某y320某100，解得：3某2y540y120答：每个篮球售价100元，每个足球售价120元.(2)设学校最多可购买a个足球，根据题意得100(50-a)+120a≤5500,解得：a≤25.答：学校最多可购买25个足球.25.(8分)如图，已知一次函数y=k某+b的图像与某轴交于点A，与反比例函数y=作BC⊥某轴于点C，点D(3-3n,1)是该反比例函数图像上一点.m(某<0)的图像交于点B(-2,n)，过点B某(1)求m的值；(2)若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=k某+b的表达式.思路分析：(1)将点B、D坐标代入反比例函数解析式求解m的值；(2)先求BD的解析式，再由线段垂直平分线的性质求得点A坐标，最后求AB的解析式.9解：(1)把B(-2,n),D(3-3n,1)代入反比例函数y=m得,某m62nm解得：，所以m的值为-6.n333nm(2)由(1)知B、D两点坐标分别为B(-2,3),D(-6,1)，1p2pq3设BD的解析式为y=p某+q,所以，解得26pq1q4所以一次函数的解析式为y=1某+4,与某轴的交点为E(-8,0)2延长BD交某轴于E，∵∠DBC=∠ABC，BC⊥AC，∴BC垂直平分AC，∴CE=6,∴点A(4,0),将A、B点坐标代入y=k某+b得1k2kb31，解得，所以一次函数的表达式为y=-某+2.224kb0b226.(10分)如图1,在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形.(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是等角线四边形(填写图形名称)；②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还需要满足时，四边形MNPQ是正方形；⑵如图2,已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D为平面内一点.②若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABCD的面积是；②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由.10思路分析：(1)①矩形是对角线相等的四边形；②四边形的中点四边形是平行四边形，等角线四边形的中点四边形是菱形，当对角线AC、BD互相垂直时四边形MNPQ是正方形；⑵①根据题意画出图形，根据图形分析确定DF垂直平分AB，从而计算面积SABED=S△ABD+S△BCD；②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE 为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，进而求得四边形ABED面积的最大值.解：(1)①矩形；②AC⊥BD；⑵①∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，∴BD=AC=5,作DF⊥AB于F，∵AD=BD，∴DF垂直平分AB，∴BF=2,由勾股定理得DF=21，由题意知SABED=S△ABD+S△BCD=1111某AB某DF+某BC某BF=某4某21+某3某2=221+3；2222②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE为斜边的直角三角形的直角顶点，所以AE=6,DO=3,在△ABC中，由面积公式得点B到AC的距离为12，所以四边形ABED面积的最大值=5S△AED+S△ABE=1211某6某3+某6某=16.2.5221127.(10分)如图，在平面直角坐标系某Oy中，已知二次函数y=-(1)求二次函数的表达式；12某+b某的图像过点A(4,0),顶点为B，连接AB、BO.2(2)若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CP的对称点为B′，当△OCB′为等边三角形时，求BQ的长度；(3)若点D在线段BO上，OD=2BD，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标.思路分析：(1)将A点坐标代入y=-12某+b某求得二次函数的表达式；2(2)根据题意画出图形，根据图形分析，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，由∠B=90°,根据特殊三角函数值求得BQ的长；(3)按点F在OB上和点B在OA上进行讨论确定点E的位置，当点F在BA上，点E与点A重合时△DOF与△DEF全等；当F在OA上，DE∥AB时△DOF与△DEF全等，点O关于DF的对称点落在AB上时△DOF与△DEF 全等.解：(1)将A(4,0)代入y=-1212某+b某得，-某4+b某4=0,解得b=2,2212某+2某；2所以二次函数的表达式为y=-12(2)根据题意画出图形，二次函数y=-12某+2某的顶点坐标为B(2,2)，与两坐标轴的交点坐标为O(0,0)、A(4,0).此时2OB=22,BC=,所以2，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，因为∠B=90°tan∠QCB=QB:CB=3,所以QB=6；(3)①当点F在OB上时，如图，当且仅当DE∥OA，即点E与点A重合时△DOF≌△FED，此时点E的坐标为E(4,0)；②点F在OA时，如图DF⊥OA，当OF=EF时△DOF≌△DEF，由于OD=2BD，所以点D坐标为(44，)，点F坐33标为(48，0)，点E坐标为(，0)；33点F在OA时，如图,点O关于DF的对称点落在AB上时，△DOF≌△DEF，此时OD=DE=2BD=13432，BE=236，作BH⊥OA于H，EG⊥OA于G，由相似三角形的性质求得HG=233，所以点E坐标为(2+233，2-233)．综上满足条件的点E的坐标为(4,0)、(82，0)、(2+333，2-233)．28.(10分)如图，已知一次函数y=-(1)求线段AB的长度；4某+4的图像是直线l，设直线l分别与y轴、某轴交于点A、B.3(2)设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.①当⊙N与某轴相切时，求点M的坐标；②在①的条件下，设直线AN与某轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交某轴于点E.直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.思路分析：(1)求A、B两点坐标，由勾股定理求得AB的长度；(2)①根据题意画出图形，根据△AOB∽△NHA，△HAN≌△FMA计算出线段FM与OF的长；②分点P位于y轴负半轴上和点P位于y轴正半轴上两种情况进行分析，借助于相似三角形的对应线段比等于相似比列方程求得交点Q坐标，再将点Q坐标代入AB及NP解析式求得交点P的坐标.解：(1)函数y=-4某+4中，令某=0得y=4,令y=0得，某=3,所以A(0,4),B(3,0).AB=3242=5.3(2)①由图1知,当⊙N与某轴相切于点E时，作NH⊥y轴于H，则四边形NHOE为矩形，HO=EN=AM=AN，14∵∠HAN+∠OAB=90°，∠HNA+∠HAN=90°,∴∠OAB=∠HAN，因为AM⊥AN，所以△AOB∽△NHA，图1∴AHHNAN==，设AH=3某，则HN=4某,AN=NE=OH=5某,∵OH=OA+AH,∴3某+4=5某,∴某=2,OBAOAB∴AH=6,HN=8,AN=AM=10.∵AM=AN，∠OAB=∠HAN，∴Rt△HAN≌Rt△FMA,∴FM=6,AF=8,OF=4,∴M(6,-4).k1b4②当点P位于y轴负半轴上时，设直线AN的解析式为y=k某+b，将A(0,4),N(8,10)代入得，解得3，b8kb104所以直线AN的解析式为y=163某+4.所以点C坐标为(-，0),过D34作某轴的垂线可得点D(16，16).设点P坐标为(0,-p),N(8，10)则直线NP解析式为y=10p某-p,作EF⊥CD于F，8CE=1640202280+8=,AC=，CD=+20=,由相似三角形性质可得EF=8,△CDE∽△APQ，则333334p点Q横坐标绝对值（34p），解得点Q的横坐标绝对值为，将点Q 横坐标绝对值代入AB及NP解析式得80108310p（34p）（34p）4·-p=·(-)+4，解得p1=-4(舍去),p2=6,所以P(0,-6).81010315。
2022年江苏省常州市中考数学试卷(含答案解析)
一、选择题（本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项
是正确的）
1．2022的相反数是
A.2022B. C. D.
2．若二次根式 有意义，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
3．下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）
（3） 、 、 是二次函数 的图像上互不重合的三点．已知点 、 的
横坐标分别是 、 ，点 与点 关于该函数图像的对称轴对称，求 的
度数．
28．（本小题满分10分）
现有若干张相同的半圆形纸片，点 是圆心，直径 的长是 ， 是半圆弧上的一点（点 与点 、 不重合），连接 、 ．
（1）沿 、 剪下 ，则 是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
25．
解：
（1） ，
故答案为：2022；
（2）根据题意有： ，
整理得： ，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
26．
（1）不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，
抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为 ．
23．
（1）解：∵一次函数 的图象 轴交于点 ，
∴ ，OB=4，
∴一次函数解析式为 ，
设点C（m，n），
∵ 的面积是2．
(中考精品卷)江苏省常州市中考数学真题(解析版)
常州市2022年初中学业水平考试数学试题一、选择题1. 2022的相反数是（ ）A. 2022B. 2022-C. 12022D. 12022- 【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义直接求解．【详解】解：实数2022的相反数是2022-，故选：B ．【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．2. x 的取值范围是（ ）A. 1≥xB. 1x >C. 0x ≥D. 0x >【答案】A【解析】0)…进行计算即可．【详解】解：由题意得： 10x -…，1x ∴…，故选：A ．0)…是解题的关键． 3. 下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：D ．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．4. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，若DE ＝2，则BC 的长度是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3 【答案】C【解析】【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案．【详解】∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∵DE ＝2，∴BC 的长度是：4．故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，正确把握三角形中位线定理是解题关键． 5. 某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A. 50y x =+B. 50y x =C. 50y x =D.50=x y 【答案】C【解析】【分析】根据：平均每人拥有绿地y =总面积总人数，列式求解． 【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地50y x=． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系． 6. 如图，斑马线作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）A. 垂线段最短B. 两点确定一条直线C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A ．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．7. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 与点1A 关于x 轴对称，点A 与点2A 关于y 轴对称．已知点1(1,2)A ，则点2A 的坐标是（ ）A. (2,1)-B. (2,1)--C. (1,2)-D.(1,2)-- 【答案】D【解析】的A点坐标，即可得出答案．【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，2【详解】解：∵点1A的坐标为（1，2），点A与点1A关于x轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），A关于y轴对称，∵点A与点2A的坐标是（-1，﹣2）．∴点2故选：D．【点睛】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．km的加速时间和满电续航里程8. 某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0~100/h进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知km的加速时间的中位数是s m，满电续航里程的中位数是nkm，相应的直线将0~100/h平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（）A. 区域①、②B. 区域①、③C. 区域①、④D. 区域③、④【答案】B【解析】【分析】根据中位数的性质即可作答．【详解】在添加了两款新能源汽车的测评数据之后，0~100km/h的加速时间的中位数m s，满电续航里程的中位数n km，这两组中位数的值不变，即可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，据此逐项判断即可：A项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m下方，不符合要求，故A项错误；B项，可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，符合要求；C 项，两款车的满电续航里程的数值均在直线n 的左侧，不符合要求，故C 项错误；D 项，两款车的0~100km/h 的加速时间均在直线m 上方，不符合要求，故D 项错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了中位数的概念，根据中位数的值不变可知新添加的一组数据分别处在中位数的左右两侧或刚好都等于该中位数，理解这一点是解答本题的关键．二、填空题9. ___．【答案】2【解析】【分析】根据立方根的定义进行计算．【详解】解：∵23=8，，故答案为：2．10. 计算：42÷=m m _______．【答案】2m【解析】【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出．【详解】解：422m m m ÷=．故答案为：2m ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 11. 分解因式：22x y xy +=______．【答案】xy (x +y )【解析】【分析】利用提公因式法即可求解．【详解】22()x y y y xy x x =++，故答案为：()xy x y +．【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键．12. 2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为______．【答案】1.38×105【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n 是正整数数．【详解】解：由题意可知：138000=1.38×105，故答案为：1.38×105【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．13. 如图，数轴上的点A 、B 分别表示实数a 、b ，则1a ______1b ．（填“>”、“=”或“<”）【答案】>【解析】【分析】由图可得：1a b <<，再根据不等式的性质即可判断．【详解】解：由图可得：1a b <<， 由不等式的性质得：11a b>， 故答案为：>．【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．14. 如图，在ABC 中，E 是中线AD 的中点．若AEC △的面积是1，则ABD △的面积是______．【答案】2【解析】【分析】根据ACE ∆的面积DCE =∆的面积，ABD ∆的面积ACD =∆的面积计算出各部分三角形的面积．【详解】解：AD 是BC 边上的中线，E 为AD 的中点，根据等底同高可知，ACE ∆的面积DCE =∆的面积1=，ABD ∆的面积ACD =∆的面积2AEC =∆的面积2=，故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．15. 如图，将一个边长为20cm 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm 时才会断裂．若60BAD ∠=︒，则橡皮筋AC _____断裂（填“会”或“不会” 1.732≈）．【答案】不会【解析】【分析】设扭动后对角线的交点为O ，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出ABD △为等边三角形，利用勾股定理算出AO =而得到AC ，再比较即可判断．【详解】解：设扭动后对角线的交点为O ，如下图：60BAD ∠=︒ ，根据正方形的性质得，得出扭动后的四边形四边相等为菱形，20AD AB ==，ABD ∴ 为等边三角形，20BD ∴=，1102BO BD ∴==，AO ∴==根据菱形的对角线的性质：234.64AC AO ==≈，34.6436< ，AC ∴不会断裂，故答案为：不会．【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质．16. 如图，ABC 是O 的内接三角形．若45ABC ∠=︒，AC =O 的半径是______．【答案】1【解析】【分析】连接OA 、OC ，根据圆周角定理得到90AOC ∠=︒，根据勾股定理计算即可．详解】解：连接OA 、OC ，45ABC ∠=︒ ，290AOC ABC ∴∠=∠=︒，222OA OC AC ∴+=，即222OA =，解得：1OA =，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．17. 如图，在四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，DB 平分ADC ∠．若1AD =，3CD =，则sin ABD ∠=______．【【解析】△为等腰三角【分析】过点D作BC的垂线交于E，证明出四边形ABED为矩形，BCD形，由勾股定理算出DE=BD=，即可求解．【详解】解：过点D作BC的垂线交于E，∴∠=︒DEB90，∠=∠=︒A ABC90∴四边形ABED为矩形，//,1∴==，DE AB AD BE∴∠=∠，ABD BDE∠，Q平分ADCBD∴∠=∠，ADB CDB，AD BE//∴∠=∠，ADB CBD∴∠CDB=∠CBDCD CB∴==，3，==AD BE1∴，CE=2∴===DEBD ∴===sin BE BDE BD ∴∠===sin ABD ∴∠=【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．18. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【解析】【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ， 解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==， 1115344DM AM AB ∴===， //BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==， 345344DN AN AB ∴===， 451530444MN DN DM ∴=-=-=， Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形， 故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．三、解答题19. 计算：（1）201(3)3---+π；（2）2(1)(1)(1)+--+x x x ．【答案】（1）43（2）2x +2【解析】【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．【小问1详解】201(3)3---+π＝2﹣1+13＝43； 【小问2详解】2(1)(1)(1)+--+x x x＝22211x x x ++-+＝2x +2．【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．20. 解不等式组510032x x x -≤⎧⎨+>-⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】12x -<≤；解集表示见解析【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：原不等式组为510032x x x -≤⎧⎨+>-⎩①②， 解不等式①，得2x ≤；解不等式②，得1x >-．∴原不等式组的解集为12x -<≤ ，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．21. 为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1~3个）、C（4~6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．（1）本次调查的样本容量是_____，请补全条形统计图；（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．【答案】（1）100，图见解析（2）合理，理由见解析【解析】【分析】（1）利用频数除以频率即可得出，结合条形统计图及扇形统计图，求出,B C涉及的户数再画图即可；（2）利用样本估计总体的思想来解释即可．【小问1详解】解：本次调查的样本容量为：201000.2=（户），C∴使用情况的户数为：10025%25⨯=，D占的比例为：1515% 100=，B∴的比例为：125%20%15%40%---=，B∴使用情况的户数为：10040%40⨯=，补全条形统计图如下：故答案为：100．【小问2详解】解：合理，理由如下：利用样本估计总体：D占的比例为：1515% 100=，150015%225∴⨯=（户），∴调查小组的估计是合理的．【点睛】本题考查了形统计图及扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是通过数形结合对数据进行分析．22. 在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y x=；②函数表达式为2y x=；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①概率是______；（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．【答案】（1）12（2）12【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是12；故答案为：12；的【小问2详解】解：画出树状图：共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，∴抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为3162=． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质．23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点C ，连接OC ．已知点(0,4)B ，BOC 的面积是2．（1）求b 、k 的值；（2）求AOC △的面积．【答案】（1）4；6（2）6【解析】【分析】（1）由点B （0，4）在一次函数y =2x +b 的图象上，代入求得b =4，由△BOC 的面积是2得出C 的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C 的坐标，从而求出k 的值； （2）根据一次函数的解析式求得A 的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．【小问1详解】解：∵一次函数2y x b =+的图象y 轴交于点(0,4)B ，∴4b =，OB =4，∴一次函数解析式为24y x =+，设点C （m ，n ），∵BOC 的面积是2． ∴1422m ⨯=，解得：m =1， ∵点C 在一次函数图象上，∴246n =+=，∴点C （1，6），把点C （1，6）代入(0)k y x x =>得：k =6； 【小问2详解】当y =0时，024x =+，解得：x =-2，∴点A （-2，0），∴OA =2， ∴12662AOC S ∆=⨯⨯=． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C 的坐标是解题的关键． 24. 如图，点A 在射线OX 上，OA a =．如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转(0360)<≤︒n n 到OA '，那么点A '的位置可以用(),︒a n 表示．（1）按上述表示方法，若3a =，37n =，则点A '的位置可以表示为______；（2）在（1）的条件下，已知点B 的位置用()3,74︒表示，连接A A '、A B '．求证：A A A B ''=．【答案】（1）(3,37°)（2）见解析【解析】【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），即可由全等三角形的性质，得出结论．【小问1详解】解：由题意，得A ′(a ,n °)，∵a=3,n=37，∴A′(3,37°)，故答案为：(3,37°)；【小问2详解】证明：如图，∵()3,37A '︒，B (3,74°)，∴∠AOA ′=37°，∠AOB =74°，OA = OB =3，∴∠A ′OB =∠AOB -∠AOA ′=74°-37°=37°，∵OA ′=OA ′，∴△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），∴A ′A =A ′B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．25. 第十四届国际数学教育大会（ICME -14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示ICME -14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是_______；（2）小华设计了一个n 进制数143，换算成十进制数是120，求n 的值．【答案】（1）2022（2）9【解析】【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；（2）根据n 进制换算成十进制的方法可列出关于n 的一元二次方程，解方程即可求解．【小问1详解】3210387848682022⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：2022；【小问2详解】根据题意有：313233143120n n n ---⨯+⨯+⨯=，整理得：244121n n ++=，解得n =9，（负值舍去），故n 的值为9．【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n 的一元二次方程是解答本题的关键．26. 在四边形ABCD 中，O 是边BC 上的一点．若OAB OCD V V ≌，则点O 叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD 中，边BC 上的点O 是四边形ABCD 的“等形点”．已知CD =，5OA =，12BC =，连接AC ，求AC 的长；（3）在四边形EFGH 中，EH //FG ．若边FG 上点O 是四边形EFGH 的“等形点”，求OF OG的值． 【答案】（1）不存在，理由见详解（2（3）1【解析】【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；（2）过A 点作AM ⊥BC 于点M ，根据“等形点”的性质可得AB =CD=OA =OC =5，OB =7=OD ，设MO =a ，则BM =BO -MO =7-a ，在Rt △ABM 和Rt △AOM中，利的用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据∥，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有EH FGOE=OH，可得OF=OG，则问题得解．【小问1详解】不存在，理由如下：假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，∴∠ABO=90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∴CD⊥DO，∵CD⊥BC，∥，∴DO BC∵O点在BC上，∴DO与BC交于点O，∴假设不成立，故正方形不存在“等形点”；【小问2详解】如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，∵O点是四边形ABCD的“等形点”，∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∵CD ，OA=5，BC=12，∴AB=CD=OA=OC=5，∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，∵AM⊥BC，∴∠AMO=90°=∠AMB，∴设MO =a ，则BM =BO -MO =7-a ，∴在Rt △ABM 和Rt △AOM 中，22222AM AB BM AO MO =-=-，∴2222AB BM AO MO -=-，即2222(7)5a a --=-， 解得：207a =，即207MO =，∴MC =MO +OC =2055577+=，AM ===∴在Rt △AMC 中，AC ===即AC ； 【小问3详解】如图，∵O 点是四边形EFGH 的“等形点”，∴△OEF ≌△OGH ，∴OF =OH ，OE =OG ，∠EOF =∠GOH ，∵EH FG ∥，∴∠EOF =∠OEH ，∠GOH =∠EHO ，∴根据∠EOF =∠GOH 有∠OEH =∠OHE ，∴OE =OH ，∵OF =OH ，OE =OG ，∴OF =OG ， ∴1OF OG=． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．27. 已知二次函数23y ax bx =++的自变量x 的部分取值和对应函数值y 如下表： x … 1- 0 1 2 3 …y… 4 3 0 5- 12- …（1）求二次函数23y ax bx =++的表达式；（2）将二次函数23y ax bx =++的图像向右平移(0)k k >个单位，得到二次函数2=++y mx nx q 的图像，使得当13x -<<时，y 随x 增大而增大；当45x <<时，y 随x 增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数2=++y mx nx q 的表达式y =______，实数k 的取值范围是_______；（3）A 、B 、C 是二次函数23y ax bx =++的图像上互不重合的三点．已知点A 、B 的横坐标分别是m 、1m +，点C 与点A 关于该函数图像的对称轴对称，求ACB ∠的度数．【答案】（1）223y x x =--+（2）()234y x -=-+（答案不唯一），45k ≤≤（3）∠ACB =45°或135°【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线1=-x k ，然后根据二次函数的增减性求出45k ≤≤，即可得到答案；（3）先分别求出A 、B 、C 三点的坐标，然后求出23B C x x m -=+，23B C y y m -=--，然后分四种情况讨论求解即可得到答案．【小问1详解】解：由题意得：403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数解析式为223y x x =--+；【小问2详解】解：∵原二次函数解析式为()222314y x x x =--+=-++由题意得平移后的二次函数解析式为()214y x k =-+-+，∴平移后的二次函数对称轴为直线1=-x k ，∵二次函数2=++y mx nx q 的图像，使得当13x -<<时，y 随x 增大而增大；当45x <<时，y 随x 增大而减小，且二次函数2=++y mx nx q 的开口向下， ∴314k ≤-≤，∴45k ≤≤，∴符合题意的二次函数解析式可以为()()2214434y x x =-+-+=--+； 故答案为：()234y x -=-+（答案不唯一），45k ≤≤；【小问3详解】解：∵二次函数解析式为()222314y x x x =--+=-++，∴二次函数223y x x =--+的对称轴为直线1x =-，∵A 、C 关于对称轴对称，点A 的横坐标为m ，∴C 的横坐标为2m --，∴点A 的坐标为（m ，223m m --+），点C 的坐标为（2m --，223m m --+）， ∵点B 的横坐标为m +1，∴点B 的坐标为（m +1，24m m --），∴23B C x x m -=+，23B C y y m -=--，如图1所示，当A 、B 同时在对称轴左侧时，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，交AC 于D ，连接BC ，∵A 、C 关于对称轴对称，∴AC x ∥轴，∴BE AC ⊥，∵23B C x x m -=+，23B C y y m -=--，∴23CD m BD =--=，∴△BDC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，同理当AB 同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB =45°，如图2所示，当A 在对称轴左侧，B 在对称轴右侧时，过点B 作直线BD 垂直于直线AC 交直线AC 于D ，同理可证△BDC 为等腰直角三角形，∴∠BCD =45°，∴∠ACB =135°，同理当A 在对称轴右侧，B 在对称轴左侧也可求得∠ACB =135°，综上所述，∠ACB =45°或135°【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．28. （现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．（1）沿AC 、BC 剪下ABC ，则ABC 是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E 、F 和直径AB 上的点G 、H ．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm 的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C ，一定存在线段AC 上的点M 、线段BC 上的点N 和直径AB 上的点P 、Q ，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm 的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．【答案】（1）直角 （2）见详解（3）小明的猜想错误，理由见详解【解析】【分析】（1）AB 是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB =90°，即可作答；（2）以A 为圆心，AO 为半径画弧交⊙O 于点E ，再以E 为圆心，EO 为半径画弧交于⊙O 点F 连接EF 、FO 、EA ，G 、H 点分别与A 、O 点重合，即可；（3）过C 点作CG NQ ∥，交AB 于点G ，连接CO ，根据MN PQ ∥，可得MN CN AB BC =，即有13CN BC =，则可求得23BN BC =，依据CG NQ ∥，NQ =4，可得GC =OC =6，即可判断．【小问1详解】如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACB 直角，即△ABC 是直角三角形，故答案为：直角，【小问2详解】以A 为圆心，AO 为半径画弧交⊙O 于点E ，再以E 为圆心，EO 为半径画弧交于⊙O 点F 连接EF 、FO 、EA ，G 、H 点分别与A 、O 点重合，即可，作图如下：是由作图可知AE =EF =FH =HG =OA =12AB =6，即四边形EFHG 是边长为6cm 的菱形；【小问3详解】小明的猜想错误，理由如下：如图，菱形MNQP 的边长为4，过C 点作CG NQ ∥，交AB 于点G ，连接CO ，在菱形MNQP 中MN =QN =4，MN PQ ∥，∵MN PQ ∥，∴~CMN CAB ， ∴MN CN AB BC=， ∵AB =12，MN =4， ∴41123MN CN AB BC ===， ∵BN =BC -CN ， ∴23BN BC =， ∵CG NQ ∥，NQ =4，~BQN BGC ，∴243NQ BN GC BC GC===， ∴GC =6，∵AB =12，∴OC =6，∴OC =GC ，显然若C点靠近A点时，要满足GC=OC=6，此时的G点必在BA的延长线上，∵P点在线段AB上，∥相矛盾，∴直线GC必与直线PM相交，这与CG PM故小明的猜想错误．【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质、平行的性质等知识，掌握菱形的性质以及平行的性质求得GC=OC是解答本题的关键。
2019年江苏常州中考数学真题--含解析
2019年江苏省常州市初中毕业、升学考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2019·江苏常州，1，2）－3的相反数是（）A．13B．－13C．3 D．－3【答案】C．【解析】本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于－3＋3＝0，从而－3的相反数是3，因此本题选C．【知识点】实数的概念；相反数2．（2019·江苏常州，2，2）若代数式13xx+-有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝－1 B．x＝3 C．x≠－1 D．x≠3【答案】D．【解析】本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x－3≠0得x≠3，因此本题选D．【知识点】分式有意义的条件3．（2019·江苏常州，3，2）下图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．3圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球【答案】A【解析】本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A．【知识点】三视图4．（2019·江苏常州，4，2）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】B第4题图DCBAP第3题图【解析】本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是PB，因此本题选B．【知识点】垂线的性质；点到直线的距离5．（2019·江苏常州，5，2）若△ABC∽△A B C'''，相似比为1﹕2，则△ABC与△A B C'''的周长的比为（）A．2﹕1 B．1﹕2 C．4﹕1 D．1﹕4【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC与△A B C'''的周长的比为1﹕2，因此本题选B．【知识点】相似三角形的性质6．（2019·江苏常州，6，2）下列各数中与2）A．2．2 C．2【答案】D【解析】本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2)(2)＝1，因此本题选D．【知识点】分母有理化；二次根式的乘法法则7．（2019·江苏常州，7，2）判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．－2 B．－12C．0 D．12【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n可以为－2，因此本题选A．【知识点】命题与证明；反证法；举反例8．（2019·江苏常州，8，2）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随着时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）ABC．2 D第8题图【答案】B【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t ≤10、10≤t ≤20、20≤t ≤24，在0≤t ≤10，y 2随t 的增大而增大；在10≤t ≤20，y 2随t 的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t ≤24，y 2随t 的增大而增大，因此本题选B ． 【知识点】极差的意义；函数图像的应用二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．（2019·江苏常州，9，2）计算：a 3÷a ＝__________． 【答案】a 2【解析】本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a 3÷a ＝a 3－1＝a 2，因此本题答案为a 2．【知识点】同底幂的除法法则 10．（2019·江苏常州，10，2）4的算术平方根是__________． 【答案】2 【解析】本题考查了算术平方根的定义，因为22＝4，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2． 【知识点】算术平方根的定义 11．（2019·江苏常州，11，2）分解因式：ax 2－4a ＝__________． 【答案】a (x ＋2)(x ＋2)【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax 2－4a ＝a (x 2－4)＝a (x ＋2)(x ＋2)，因此本题答案为a (x ＋2)(x ＋2)． 【知识点】因式分解 12．（2019·江苏常州，12，2）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°． 【答案】55°【解析】本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，∵35°＋55°＝90°，∴∠α的余角等于55°，因此本题答案为55°． 【知识点】余角的定义 13．（2019·江苏常州，13，2）如果a －b －2＝0，那么代数式1＋2a －2b 的值是__________． 【答案】5【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a －b －2＝0，∴a －b ＝2．∴1＋2a －2b ＝1＋2(a －b )＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5． 【知识点】整式的求值问题；整体思想 14．（2019·江苏常州，14，2）平面直角坐标系中，点P (－3，4)到原点的距离是__________． 【答案】5 【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，A ．B ．C ．D ．可求得点P(－3，4)5，因此本题答案为5．【知识点】平面内两点间的距离公式；勾股定理15．（2019·江苏常州，15，2）若12xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的二元一次方程ax＋y＝3的解，则a＝__________．【答案】1【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将12xy=⎧⎨=⎩代入方程ax＋y＝3，得a＋2＝3，a＝1，因此本题答案为1．【知识点】二元一次方程的解的定义16．（2019·江苏常州，16，2）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝__________°．【答案】30【解析】本题考查了圆周角定理，∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°．∴∠CDB ＝30°．因此本题答案为30．【知识点】圆周角定理17．（2019·江苏常州，17，2O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切．连接OC，则tan∠OCB＝__________．【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O与BC边相切于点D，连接OB、OD．由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，再由切线长定理易求∠OBC＝30°，而ODtan∠OBD＝ODBD，得BD＝3，于是CD＝BC－BD＝8－3＝5．在Rt△OCD第17题图第16题图BA中，由正切函数定义，得tan ∠OCB ＝OD CD．【知识点】切线长定理；等边三角形的性质；锐角三角函数18．（2019·江苏常州，18，2）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝P 是AD 的中点，点E在BC 上，CE ＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN＝__________．【答案】6．【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD ＝10，然后由“AD ＝3AB ＝P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ”，求得PD＝2，CE ＝tan ∠DEC ＝12DC EC =；第四步过点P 作PH ⊥BD 于点H ，在BD 上依次取点M 、N ，使MH ＝NH ＝2PH ，于是因此△PMN 是所求符合条件的图形；第五步由△DPH ∽△DBA ，得PH PD BA BD =，即210=，得PH ＝32，于是MN ＝4PH ＝6，本题答案为6．【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数；压轴题三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应HNMP EDC BA第18题答图第18题图第17题答图写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（2019·江苏常州，19，8）计算：（1）0121()(3)2π-+-；（2）(x －1)(x ＋1)－x (x －1) ．【思路分析】本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可． 【解题过程】解：（1）原式＝1＋2－3＝0；（2）原式＝x 2－1－x 2＋x ＝x －1． 【知识点】实数的运算；整式的加减乘除法运算20．（2019·江苏常州，20，6）解不等式组1038x x x+>⎧⎨-≤-⎩并把解集在数轴上表示出来．【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来． 【解题过程】解：不等式①的解集为x ＞－1；不等式②的解集为：3x ＋x ≤8，4x ≤8， x ≤2．∴原不等式组的解集为－1＜x ≤2，在数轴上表示如下：【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式的解集在数轴上表示法 21．（2019·江苏常州，21，8）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在C '处，BC '与AD 相交于点E ．（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是_________； （2）EB 与ED 相等吗?证明你的结论．【思路分析】本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接AC '，从图形上容易看出并证明四边形ABDC '是等腰梯形，故AC '∥BD ．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB ＝ED ．【解题过程】解：（1）AC '∥BD ；第21题答图第21题图第20题答图-4-3-2-143210（2）EB ＝ED ．理由如下：由折叠可知∠CBD ＝∠EBD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．∴∠CBD ＝∠EDB ． ∴∠EBD ＝∠EDB ． ∴EB ＝ED ．【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定 22．（2019·江苏常州，22，8）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． （1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【思路分析】本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想．将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数． 【解题过程】解：（1）30，10；（2）x ＝56101115820530⨯+⨯+⨯+⨯＝36030＝12（元）；（3）∵12×600＝7200（元），∴估计该校学生的捐款总数为7200元．【知识点】统计中的条形图的应用；众数、平均数的求法；用样本估计总体 23．（2019·江苏常州，23，8）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．根据以上信息，解决下列问题：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）第22题图/元【思路分析】本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决．【解题过程】解：（1）23；（2）现画树状图如下：由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P (拼成的图形是轴对称图形)＝26＝13．【知识点】概率的求法 24．（2019·江苏常州，24，8）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？【思路分析】本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等． 【解题过程】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(30－x )个零件，根据题意，得18012030x x=-，解得x ＝18． 经检验，x ＝18是原方程的解，则30－x ＝12． 答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件． 【知识点】分式方程的应用25．（2019·江苏常州，25，8）如图，在□ABCD 中，OA ＝，∠AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ．（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．第23题答图(C,B)(C,A)(B,C)(B,A)(A,C)(A,B)结果：第二次：第一次：开始ABC ABC CB A 第23题图111C BA【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点．（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ．由OA ＝，∠AOC ＝45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k ＝4．（2）由中点公式，易求点E 的坐标，从而D 点的横坐标与E 点相同，在y ＝4x，将点E 的横坐标代入可求y 的值，从而求出点D 的坐标． 【解题过程】解：（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ，则AF ⊥x 轴于点F ． 在Rt △AOF 中，OA ＝，∠AOC ＝45°，可得OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)． ∵反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ， ∴k ＝2×2＝4．（2）∵O (0，0)，A (2，2)，∴线段OA 的中点E 的坐标为 (1，1)．∵在y ＝kx中，当x ＝1，y ＝4，∴点D 的坐标为(1，4)．【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；反比例函数 26．（2019·江苏常州，26，10）【阅读】数学中，常对同一个量．．．．（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n 2＝___________________________．【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(m ＋n )点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7．①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝______；当n ＝5，m ＝_______时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳思想，可得y ＝__________（用含m 、n 的代数式表示）．请对同．一个量．．．用算两次的方法说明你的猜想成立．【思路分析】本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点．（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a 、b 、c 的数量关系：a 2＋b 2＝c 2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）根据图2中n 行n 列个点的计算方式，得到n 2＝1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）．（3）先观察图3和图4，不难解决第①问；②利用多边形的内角和公式，得到在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即可得到y 与m 、n 的数量关系式． 【解题过程】解：（1）∵S 梯形＝12(a ＋b )(a ＋b )＝12(a 2＋2ab ＋b 2)，又∵S 梯形＝2×12ab ＋12c 2，∴12(a 2＋2ab ＋b 2)＝2×12ab ＋12c 2． ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2． ∴a 2＋b 2＝c 2．结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）． （3）①6，3；图26—3 图26—4图26—1abc cba图26—2②n ＋2m －2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即180°•(n －2)＋m •360°，故180y ＝180(n －2)＋360 m ，故y ＝n ＋2m －2．【知识点】勾股定理的验证；数列的求和公式推导；规律探究；阅读理解题 27．（2019·江苏常州，27，10）如图，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像与x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，点A 坐标为(－1，0)，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b ＝_____；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ，求点P 的坐标．【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A 坐标代入抛物线解析式，得到关于b 的一元一次方程，解之即可；（2）先求直线BC 、BD 的解析式，然后令P (m ，－m 2＋2m ＋3)，则M (m ，－m ＋3)、N (m ，－12m ＋32)，再利用PM ＝MN ＝NH ，得到m 的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P 坐标；（3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P 的纵坐标为点Q 纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P 的坐标． 【解题过程】解：（1）∵二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像过点A (－1，0)，∴0＝－(－1)2－b ＋3． ∴b ＝2．（2）如答图1，连接BD 、BC ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 、BD 分别于点M 、N ．第27题图 第27题备用图第26题答图∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3交x 轴于点A (－1，0)、B (3，0)，交y 轴于点C (0，3)，且点D 为OC 的中点，∴D (0，32)．易求直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线BD 的解析式为y ＝－12x ＋32．假设存在符合条件点P (m ，－m 2＋2m ＋3)，则M (m ，－m ＋3)、N (m ，－12m ＋32)．∵PM ＝MN ＝NH ，∴－12m ＋32＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)．整理，得2m 2－7m ＋3＝0，解得m 1＝12，m 2＝3（不合题意，舍去）．∴P (12，154)即为所求的符合条件的点．（3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ．∵过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ， ∴PQ ＝2QR ，从而PR ＝3QR ． ∵PK ∥QJ ，∴△RQJ ∽△RPK ． ∴13QJ RQ PK RP ==． ∴PK ＝3QJ ．设P (n ，－n 2＋2n ＋3)，由BD 的解析式为y ＝－12x ＋32，且直线PQ ⊥BD ，可令直线PQ 的解析式为y ＝2x ＋t ，则－n 2＋2n ＋3＝2n ＋t ，解得t ＝3－n 2，于是，PQ ：y ＝2x ＋3－n 2．由2132223y x y x n ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得2223551955x n y n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，从而Q (22355n -，21955n -+)．由PK ＝3QJ ，得－n 2＋2n ＋3＝3(21955n -+)，整理，得n 2－5n ＋6＝0，解得n 1＝2，n 2＝3（舍去）．当n ＝2时，－n 2＋2n ＋3＝3，故P (2，3)即为所求的点．【知识点】二次函数的综合应用；用待定系数法求函数解析式；一元二次方程的解法；相似三角形的性质与判定；压轴题28．（2019·江苏常州，28，10）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：________；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0，2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上的任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【思路分析】本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可．【解题过程】解：（1）①2（直径是圆的宽距）；1．（如答图1，点A与半圆圆心的连线与半圆相交于点D，则AD的长最大）（2）①如答图2所示，分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域．S阴影＝2(21202360π⋅－112⋅)＝83π-．②1≤x≤1或1－≤x≤1－．CBA第28题答图1图28—2图28—1【知识点】新定义问题；点到圆的最大距离；扇形的面积；尺规作图；动态问题；探究问题；压轴题第28题答图3 第28题答图4。
初中数学精品试题：中考数学试卷-教师用卷
2022年江苏省常州市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共13小题，共31.0分）1.下列计算正确的是( )A. a2⋅a3=a6B. a7÷a3=a4C. (a3)5=a8D. (ab)2=ab2【答案】B【解析】解：A、a2⋅a3=a5,故此选项错误；B、a7÷a3=a4,正确；C、(a3)5=a15,故此选项错误；D、(ab)2=a2b2,故此选项错误；故选：B．直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、幂的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键．2.一个物体如图所示,它的俯视图是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】解：俯视图从图形上方观察即可得到,故选：D．从图形的上方观察即可求解；本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．3.如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,DC⏜=CB⏜.若,则∠ABC的度数等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解：连接AC ,∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,,∵DC⏜=CB ⏜, ,∵AB 是直径, ,,故选：A ．连接AC ,根据圆内接四边形的性质求出∠DAB ,根据圆周角定理求出∠ACB 、∠CAB ,计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4. 下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组{x +2>a (2a −1)x −6<0的解集的是( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由x +2>a 得x >a −2,A .由数轴知x >−3,则a =−1,∴−3x −6<0,解得x >−2,与数轴不符；B .由数轴知x >0,则a =2,∴3x −6<0,解得x <2,与数轴相符合；C .由数轴知x >2,则a =4,∴7x −6<0,解得x <67,与数轴不符； D .由数轴知x >−2,则a =0,∴−x −6<0,解得x >−6,与数轴不符；故选：B ．由数轴上解集左端点得出a 的值,代入第二个不等式,解之求出x 的另外一个范围,结合数轴即可判断．本题主要考查解一元一次不等式组,解题的关键是掌握不等式组的解集在数轴上的表示及解一元一次不等式的能力．5. 如图,菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧),顶点A 、D 在x 轴上方,对角线BD 的长是23√10,点E(−2,0)为BC 的中点,点P 在菱形ABCD 的边上运动.当点F(0,6)到EP 所在直线的距离取得最大值时,点P 恰好落在AB 的中点处,则菱形ABCD 的边长等于( )A. 103B. √10 C. 163D. 3【答案】A【解析】解：如图1中,当点P是AB的中点时,作FG⊥PE于G,连接EF．∵E(−2,0),F(0,6),∴OE=2,OF=6,∴EF=√22+62=2√10,,∴FG≤EF,∴当点G与E重合时,FG的值最大．如图2中,当点G与点E重合时,连接AC交BD于H,PE交BD于J.设BC=2a．∵PA=PB,BE=EC=a,∴PE∥AC,BJ=JH,∵四边形ABCD是菱形,∴AC ⊥BD ,BH =DH =√103,BJ =√106, ∴PE ⊥BD ,,∴∠EBJ =∠FEO ,∴△BJE∽△EOF ,∴BEEF=BJ EO , ∴a2√10=√1062, ∴a =53,∴BC =2a =103,故选：A ．如图1中,当点P 是AB 的中点时,作FG ⊥PE 于G ,连接EF.首先说明点G 与点F 重合时,FG 的值最大,如图2中,当点G 与点E 重合时,连接AC 交BD 于H ,PE 交BD 于J.设BC =2a.利用相似三角形的性质构建方程求解即可．本题考查菱形的性质,坐标与图形的性质,相似三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题．6. −3的相反数是( )A. 13B. −13C. 3D. −3【答案】C【解析】解：(−3)+3=0．故选：C ．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．本题主要考查了相反数的定义,根据相反数的定义做出判断,属于基础题,比较简单．7. 若代数式x+1x−3有意义,则实数x 的取值范围是( ) A. x =−1B. x =3C. x ≠−1D. x ≠3 【答案】D【解析】解：∵代数式x+1x−3有意义,∴x −3≠0,∴x ≠3．故选：D ．分式有意义的条件是分母不为0．本题运用了分式有意义的条件知识点,关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．8. 如图是某几何体的三视图,该几何体是( )A. 圆柱B. 正方体C. 圆锥D. 球【答案】A【解析】解：该几何体是圆柱．故选：A．通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球,然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状,首先,应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起来考虑整体形状.熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．9.如图,在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是( )A. 线段PAB. 线段PBC. 线段PCD. 线段PD【答案】B【解析】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中,垂线段最短,可知答案为B．故选：B．由垂线段最短可解．本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中,垂线段最短,这属于基本的性质定理,属于简单题．10.若,相似比为1：2,则△ABC与的周长的比为( )A. 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：4【答案】B【解析】解：,相似比为1：2,∴△ABC与的周长的比为1：2．故选：B．直接利用相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方．11.下列各数中与2+√3的积是有理数的是( )A. 2+√3B. 2C. √3D. 2−√3【答案】D【解析】解：∵(2+√3)(2−√3)=4−3=1；故选：D．利用平方差公式可知与2+√3的积是有理数的为2−√3；本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．12.判断命题“如果n<1,那么n2−1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为( )A. −2B. −12C. 0 D. 12【答案】A【解析】解：当n=−2时,满足n<1,但n2−1=3>0,所以判断命题“如果n<1,那么n2−1<0”是假命题,举出n=−2．故选：A．反例中的n满足n<1,使n2−1≥0,从而对各选项进行判断．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可．13.随着时代的进步,人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)随时间t(ℎ)的变化如图所示,设y2表示0时到t 时PM2.5的值的极差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差),则y2与t的函数关系大致是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：当t=0时,极差y2=85−85=0,当0<t≤10时,极差y2随t的增大而增大,最大值为43；当10<t≤20时,极差y2随t的增大保持43不变；当20<t≤24时,极差y2随t的增大而增大,最大值为98；故选：B．根据极差的定义,分别从t=0、0<t≤10、10<t≤20及20<t≤24时,极差y2随t的变化而变化的情况,从而得出答案．本题主要考查极差,解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．二、填空题（本大题共22小题，共44.0分）14.−2019的相反数是______．【答案】2019【解析】解：−2019的相反数是：2019．故答案为：2019．直接利用相反数的定义进而得出答案．此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键．15.27的立方根为______．【答案】3【解析】解：∵33=27,∴27的立方根是3,故答案为：3．找到立方等于27的数即可．考查了求一个数的立方根,用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．16.一组数据4,3,x,1,5的众数是5,则x=______．【答案】5【解析】解：∵数据4,3,x,1,5的众数是5,∴x=5,故答案为：5．根据众数的概念求解可得．本题主要考查众数,求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据,若几个数据频数都是最多且相同,此时众数就是这多个数据．17.若代数式√x−4有意义,则实数x的取值范围是______．【答案】x≥4【解析】解：由题意得x−4≥0,解得x≥4．故答案为：x≥4．根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件,二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义．18.氢原子的半径约为0.00000000005m,用科学记数法把0.00000000005表示为______．【答案】5×10−11【解析】解：用科学记数法把0.00000000005表示为5×10−11．故答案为：5×10−11．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10−n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10−n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．19.已知点A(−2,y1)、B(−1,y2)都在反比例函数y=−2的图象上,则y1______y2.(填x“>”或“<”)【答案】<【解析】解：∵反比例函数y=−2的图象在二、四象限,而A(−2,y1)、B(−1,y2)都在第x二象限,∴在第二象限内,y随x的增大而增大,∵−2<−1∴y1<y2．故答案为：<的图象在第二象限,在第二象限内,y随x的增大而增大,根据x的值大反比例函数y=−2x小,得出y值大小．此题主要考查了反比例函数的性质,当k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大,由x的值变化得出y的值变化情况；把x的值分别代入关系式求出y1、y2再作比较亦可．20.计算：√12−√3=______．【答案】√3【解析】解：√12−√3=2√3−√3=√3．故答案为：√3．先化简√12=2√3,再合并同类二次根式即可．本题主要考查了二次根式的加减,属于基础题型．21.如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形,,则∠1=______【答案】40【解析】解：∵△BCD是等边三角形,,∵a∥b,,由三角形的外角性质和对顶角相等可知,,故答案为：40．根据等边三角形的性质得到,根据平行线的性质求出∠2,根据三角形的外角性质和对顶角相等计算,得到答案．本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质,掌握等边三角形的三个内角都是是解题的关键．22.若关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值等于______．【答案】1【解析】解：根据题意得△=(−2)2−4m=0,解得m=1．故答案为1．利用判别式的意义得到△=(−2)2−4m=0,然后解关于m的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时,方程有两个不相等的实数根；当△=0时,方程有两个相等的实数根；当△<0时,方程无实数根．23.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置(如图),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD=______.(结果保留根号)【答案】√2−1【解析】解：∵四边形ABCD为正方形,∴CD=1,,∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置,使得点D落在对角线CF上,∴CF=√2,,∴△DFH为等腰直角三角形,∴DH=DF=CF−CD=√2−1．故答案为√2−1．先根据正方形的性质得到CD=1,,再利用旋转的性质得CF=√2,根据正方形的性质得,则可判断△DFH为等腰直角三角形,从而计算CF−CD即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质．24.如图,有两个转盘A、B在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1、2,分别转动转盘A、B ,当转盘停止转动时,若事件“指针都落在标有数字1扇形区域内”的概率是19,则转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是________【答案】80【解析】解：设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x,根据题意得：12x=19,解得x=29,∴转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：．故答案为：80．先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率,再根据圆周角等于计算即可．本题考查了概率公式,用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是______．【答案】74【解析】解：∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,∴m+n2=−4a2a=−2,∵线段AB的长不大于4, ∴当x=0时,y≥3,∴4a+1≥3,∴a≥12,∴a 2+a +1的最小值为：(12)2+12+1=74； 故答案为74． 根据题意得4a +1≥3,解不等式求得a ≥12,把x =12代入代数式即可求得．本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,根据题意得出4a +1≥3是解题的关键．26. 计算：a 3÷a =______．【答案】a 2【解析】解：a 3÷a =a 2．故答案为：a 2．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的除法运算,正确掌握运算法则是解题关键．27. 4的算术平方根是______．【答案】2【解析】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．根据算术平方根的含义和求法,求出4的算术平方根是多少即可．此题主要考查了算术平方根的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数.求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算,在求一个非负数的算术平方根时,可以借助乘方运算来寻找．28. 分解因式：ax 2−4a =______．【答案】a(x +2)(x −2)【解析】解：ax 2−4a ,=a(x 2−4),=a(x +2)(x −2)．先提取公因式a ,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止．29. 如果,那么∠α的余角等于______ 【答案】55【解析】解：, ∴∠α的余角等于故答案为：55．若两角互余,则两角和为,从而可知∠α的余角为减去∠α,从而可解．本题考查的两角互余的基本概念,题目属于基础概念题,比较简单．30. 如果a −b −2=0,那么代数式1+2a −2b 的值是______．【答案】5【解析】解：∵a −b −2=0,∴a −b =2,∴1+2a −2b =1+2(a −b)=1+4=5；故答案为5．将所求式子化简后再将已知条件中a −b =2整体代入即可求值；本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．31. 平面直角坐标系中,点P(−3,4)到原点的距离是______．【答案】5【解析】解：作PA ⊥x 轴于A ,则PA =4,OA =3．则根据勾股定理,得OP =5．故答案为5．作PA ⊥x 轴于A ,则PA =4,OA =3,再根据勾股定理求解．此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用.点到x 轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．32. 若{x =1,y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y =3的解,则a =______． 【答案】1【解析】解：把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y =3中, a +2=3,解得a =1．故答案是：1．把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y =3中即可求a 的值． 本题运用了二元一次方程的解的知识点,运算准确是解决此题的关键．33. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 是⊙O 上的两点,,则∠CDB =______【答案】30【解析】解：,．故答案为30．先利用邻补角计算出∠BOC ,然后根据圆周角定理得到∠CDB 的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．34. 如图,半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切,连接OC ,则tan ∠OCB =______．【答案】√35【解析】解：连接OB,作OD⊥BC于D,∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,,∴tan∠OBC=ODBD,∴BD=ODtan30∘=√3√33=3,∴CD=BC−BD=8−3=5,∴tan∠OCB=ODCD =√35．故答案为√35．根据切线长定理得出,解直角三角形求得BD,即可求得CD,然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．本题考查了切线的性质,等边三角形的性质,解直角三角形等,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．35.如图,在矩形ABCD中,AD=3AB=3√10,点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,则MN=______．【答案】6【解析】解：作PF⊥MN于F,如图所示：则,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,BC=AD=3AB=3√10,,∴AB=CD=√10,BD=√AB2+AD2=10,∵点P是AD的中点,∴PD=12AD=3√102,∵∠PDF=∠BDA, ∴△PDF∽△BDA,∴PFAB =PDBD,即PF√10=3√10210,解得：PF=32,∵CE=2BE,∴BC=AD=3BE,∴BE=CD,∴CE=2CD,∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,PF⊥MN, ∴MF=NF,∠PNF=∠DEC,,∴△PNF∽△DEC , ∴NF PF =CE CD =2, ∴NF =2PF =3,∴MN =2NF =6；故答案为：6．作PF ⊥MN 于F ,则,由矩形的性质得出AB =CD ,BC =AD =3AB =3√10,,得出AB =CD =√10,BD =√AB 2+AD 2=10,证明△PDF∽△BDA ,得出PF AB =PD BD ,求出PF =32,证出CE =2CD ,由等腰三角形的性质得出MF =NF ,∠PNF =∠DEC ,证出△PNF∽△DEC ,得出NF PF =CE CD =2,求出NF =2PF =3,即可得出答案．本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质,证明三角形相似是解题的关键．三、解答题（本大题共21小题，共165.0分）36. (1)计算：； (2)化简：(1+1x−1)÷x x 2−1．【答案】解：=1+3−1=3；(2)(1+1x −1)÷x x 2−1 =(x −1x −1+1x −1)÷x x 2−1 =x x −1⋅(x +1)(x −1)x=x +1．【解析】(1)根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；(2)根据分式的混合运算法则计算．本题考查的是分式的混合运算、实数的混合运算,掌握它们的运算法则是解题的关键．37. (1)解方程：2x x−2=3x−2+1；(2)解不等式：4(x −1)−12<x【答案】解；(1)方程两边同乘以(x −2)得2x =3+x −2∴x =1检验：将x =1代入(x −2)得1−2=−1≠0x =1是原方程的解．∴原方程的解是x =1．(2)化简4(x−1)−12<x得4x−4−12<x∴3x<9 2∴x<3 2∴原不等式的解集为x<32．【解析】(1)方程两边同乘以(x−2)化成整式方程求解,注意检验；(2)按照去括号,移项,合并同类项,系数化为1来解即可．本题分别考查了分式方程和一元一次不等式的求解问题,属于基础题型．38.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别在AD、BC上,AE=CF,过点A、C分别作EF的垂线,垂足为G、H．(1)求证：△AGE≌△CHF；(2)连接AC,线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．【答案】(1)证明：∵AG⊥EF,CH⊥EF,,AG∥CH,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∵∠AEG=∠DEF,∠CFH=∠BFE,∴∠AEG=∠CFH,在△AGE和△CHF中,{∠G=∠H∠AEG=∠CFHAE=CF,∴△AGE≌△CHF(AAS)；(2)解：线段GH与AC互相平分,理由如下：连接AH、CG,如图所示：由(1)得：△AGE≌△CHF,∴AG=CH,∵AG∥CH,∴四边形AHCG是平行四边形,∴线段GH与AC互相平分．【解析】(1)由垂线的性质得出,AG∥CH,由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG=∠CFH,由AAS即可得出△AGE≌△CHF；(2)连接AH、CG,由全等三角形的性质得出AG=CH,证出四边形AHCG是平行四边形,即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键．39.小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作,请用画树状图或列表格的方法,求小丽和小明在同一天值日的概率．【答案】解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数,其中小丽和小明在同一天值日的有3种,则小丽和小明在同一天值日的概率是39=13．【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数,然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．40.如图,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B．(1)求证：直线AB与⊙O相切；(2)若AB=5,⊙O的半径为12,则tan∠BDO=______．【答案】23【解析】(1)证明：连接AB,如图所示：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ACB=∠OCD,∴∠ABC=∠OCD,∵OD⊥AO,,,∵OB=OD,∴∠OBD=∠D,,即,∴AB⊥OB,∵点B在圆O上,∴直线AB与⊙O相切；(2)解：,∴OA=√AB2+OB2=√52+122=13,∵AC=AB=5,∴OC=OA−AC=8,∴tan∠BDO=OCOD =812=23；故答案为：23．(1)连接OB,由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB,∠OBD=∠D,证出,得出AB⊥OB,即可得出结论；(2)由勾股定理得出OA=√AB2+OB2=13,得出OC=OA−AC=8,再由三角函数定义即可得出结果．本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握切线的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键41.如图,点A(2,n)和点D是反比例函数y=mx(m>0,x>0)图象上的两点,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C,过点D作DE⊥x 轴,垂足为E,连接OA,OD.已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE=3：4．(1)S△OAB=______,m=______；(2)已知点P(6,0)在线段OE上,当∠PDE=∠CBO时,求点D的坐标．【答案】3 8【解析】解：(1)由一次函数y=kx+3知,B(0,3)．又点A的坐标是(2,n),∴S△OAB=12×3×2=3．∵S△OAB：S△ODE=3：4．∴S△ODE=4．∵点D是反比例函数y=mx(m>0,x>0)图象上的点,∴12m=S△ODE=4,则m=8．故答案是：3；8；(2)由(1)知,反比例函数解析式是y=8x．∴2n=8,即n=4．故A(2,4),将其代入y=kx+3得到：2k+3=4．解得k=12．∴直线AC的解析式是：y=12x+3．令y=0,则12x+3=0,∴x=−6,∴C(−6,0)．∴OC=6．由(1)知,OB=3．设D(a,b),则DE=b,PE=a−6．∵∠PDE=∠CBO,, ∴△CBO∽△PDE,∴OBDE =OCPE,即3b=6a−6①,又ab=8②．联立①②,得{a=−2b=−4(舍去)或{a=8b=1．故D(8,1)．(1)由一次函数解析式求得点B的坐标,易得OB的长度,结合点A的坐标和三角形面积公式求得S△OAB=3,所以S△ODE=4,由反比例函数系数k的几何意义求得m的值；(2)利用待定系数法确定直线AC函数关系式,易得点C的坐标；利用∠PDE=∠CBO,判定△CBO∽△PDE,根据该相似三角形的对应边成比例求得PE、DE的长度,易得点D的坐标．考查了反比例函数综合题,需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征,反比例函数系数k的几何意义,三角形的面积公式,相似三角形的判定与性质等知识点,综合性较强,但是难度不是很大．42.在三角形纸片ABC(如图1)中,,AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图2)．(1)∠ABC=______；(2)求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：,,．【答案】30【解析】解：(1)∵五边形ABDEF是正五边形,,,故答案为：30；(2)作CQ⊥AB于Q,,在Rt△AQC中,sin∠QAC=QCAC∴QC=AC⋅sin∠QAC≈10×0.98=9.8,在Rt△BQC中,,∴BC=2QC=19.6,∴GC=BC−BG=9.6．(1)根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；(2)作CQ⊥AB于Q,根据正弦的定义求出QC,根据直角三角形的性质求出BC,结合图形计算即可．本题考查的是正多边形、解直角三角形的应用,掌握正多边形的性质、正弦的定义是解题的关键．43.陈老师对他所教的九(1)、九(2)两个班级的学生进行了一次检测,批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计(各类别的得分如下表),并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图(不完整)．各类别的得分表得分类别0A：没有作答1B：解答但没有正确3C：只得到一个正确答案6D：得到两个正确答案,解答完全正确已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案,解答完全正确,九(1)班学生这道试题的平均得分为3.78分.请解决如下问题：(1)九(2)班学生得分的中位数是______；(2)九(1)班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？【答案】6分【解析】解：(1)由条形图可知九(2)班一共有学生：3+6+12+27=48人,将48个数据按从小到大的顺序排列,第24、25个数据都在D 类,所以中位数是6分． 故答案为6分；(2)两个班一共有学生：(22+27)÷50%=98(人),九(1)班有学生：98−48=50(人)．设九(1)班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是x 人、y 人．由题意,得{5+x +y +22=500×5+x +3y +6×22=3.78×50, 解得{x =6y =17． 答：九(1)班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人．(1)由条形图可知九(2)班一共有学生48人,将48个数据按从小到大的顺序排列,第24、25个数据都在D 类,所以中位数是6分；(2)先求出两个班一共有多少学生,减去九(2)班的学生数,得出九(1)班的学生数,再根据条形图,用九(1)班的学生数分别减去该班A 、D 两类的学生数得到B 类和C 类的人数和,再结合九(1)班学生这道试题的平均得分为3.78分,即可求解．本题考查的是统计图表与条形图的综合运用.读懂统计图表,从统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.也考查了中位数与平均数．44. 【材料阅读】地球是一个球体,任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星,我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”),尺的两边互相垂直,角顶系有一段棉线,棉线末端系一个铜锤,这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点,当工具尺的长边指向北极星时,短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A 在图1所示的⊙O 上,现在利用这个工具尺在点A 处测得α为,在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ,用同样的工具尺测得α为是⊙O 的直径,PQ ⊥ON ．(1)求∠POB的度数；(2)已知OP=6400km,求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB⏜的长.(π取3.1)【答案】解：(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E,HD⊥BC于D,CH⊥BH交BC于点C,如图所示：则,,,∵ON∥BH,,,∵PQ⊥ON,,；(2)同(1)可证,,=3968(km)．∴AB⏜的弧长=36×π×6400180【解析】(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E,HD⊥BC于D,CH⊥BH交BC于点C,则,证出,由平行线的性质得出,由直角三角形的性质得出,得出；(2)同(1)可证,求出,由弧长公式即可得出结果．本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．45.如图,二次函数y=−x2+4x+5图象的顶点为D,对称轴是直线l,一次函数y=2x+1的图象与x轴交于点A,且与直线DA关于l的对称直线交于点B．5(1)点D的坐标是______；(2)直线l 与直线AB 交于点C ,N 是线段DC 上一点(不与点D 、C 重合),点N 的纵坐标为n.过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ,使得△DPQ 与△DAB 相似． ①当n =275时,求DP 的长；②若对于每一个确定的n 的值,有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似,请直接写出n 的取值范围______．【答案】(2,9)95<n <215【解析】解：(1)顶点为D(2,9)； 故答案为(2,9)； (2)对称轴x =2, ∴C(2,95),由已知可求A(−52,0),点A 关于x =2对称点为(132,0),则AD 关于x =2对称的直线为y =−2x +13, ∴B(5,3), ①当n =275时,N(2,275), ∴DA =9√52,DN =185,CD =365当PQ ∥AB 时,△DPQ∽△DAB ,∵△DAC∽△DPN , ∴DPDA =DN DC, ∴DP =9√54；当PQ 与AB 不平行时,△DPQ∽△DBA , ∴△DNQ∽△DCA , ∴DPDB =DN DC, ∴DP =2√53；综上所述,DN =9√54或2√53；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012年中考数学卷精析版——常州卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）3. （2012江苏常州2分）如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图．．．是【】【答案】B。
【考点】简单组合体的三视图。
【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得上层右边有1个正方形，下层有2个正方形。
故选B。
4.（2012江苏常州2分）为了参加中学生篮球运动会，某校篮球队准备购买10双运动鞋，经统计10双运动鞋的尺码（cm ）如下表所示：尺码 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双）24211则这10双运动鞋的众数和中位数分别为【 】A.25.5 cm 26 cmB.26 cm 25.5 cmC.26 cm 26 cmD.25.5 cm 25.5 cm 【答案】B 。
【考点】众数，中位数。
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是25.5 cm ，故这组数据的众数为25.5 cm 。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。
由此这组10个数据的中位数是第5，6个数据的平均数，而第5，6个数据都是25.5 cm ，故这组数据的中位数为25.5 cm 。
故选B 。
5. （2012江苏常州2分）已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】 A.外离 B.内切 C.相交 D.内含 【答案】B 。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
因此，∵两半径之差7－3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。
故选B 。
6. （2012江苏常州2分）已知三角形三边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为【 】 A.13 B.17 C.22 D.17或22 【答案】C 。
【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。
【分析】由三角形三边的长分别为4，9，知三角形三边的长分别为4，4，9或4，9，9，但由于4，4，9与三角形的构成条件 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”不符，因此，三角形三边的长只能分别为4，9，9 ，周长为22。
故选C 。
7. （2012江苏常州2分）已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x ，3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是【 】A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 213y y y <<D. 312y y y << 【答案】 B 。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】由二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-知，它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。
根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y 值相等。
由于二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-在对称轴x=2左侧，y 随x 的增大而减小，而0＜1＜2，因此，123y y y <<。
故选B 。
8. （2012江苏常州2分）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a cb d<，给出下列四个不等式： ①a c a+b c+d <；②c a c+d a+b <；③d b c+d a+b <；④b da+b c+d<。
其中不等式正确的是【 】A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③ 【答案】A 。
【考点】不等式的性质。
【分析】根据不等式的性质，计算后作出判断： ∵a 、b 、c 、d 都是正实数，且a cb d <，∴ac +1+1bd <，即a+b c+db d<。
∴b d a+b c+d >，即d bc+d a+b<，∴③正确，④不正确。
∵a 、b 、c 、d 都是正实数，且a c b d <，∴b d a c >。
∴b d +1+1a c >，即a+b c+da c>。
∴a c a+b c+d<。
∴①正确，②不正确。
∴不等式正确的是①③。
故选A 。
二、填空题（本大题共9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分）11. （2012江苏常州2分）若∠α=600，则∠α的余角为 ▲ ，cosα的值为 ▲ 。
【答案】300，12。
【考点】余角定义，特殊角的三角函数值。
【分析】根据余角定义，∠α的余角为900－600=300；由特殊角的三角函数值，得cosα=12。
12. （2012江苏常州2分）已知扇形的半径为3 cm ，圆心角为1200，则此扇形的的弧长是 ▲ cm ，扇形的面积是 ▲ cm 2（结果保留π）。
【答案】2π，3π。
【考点】扇形的的弧长和面积。
【分析】直接根据扇形的的弧长和面积公式计算即可：扇形的的弧长=1203=2180ππ⋅⋅（cm ），扇形的面积=21203=3360ππ⋅⋅（cm 2）。
13. （2012江苏常州2分）已知函数y=x 2-x 的取值范围是 ▲ ；若分式x 3x+1-的值为0，则x= ▲ 。
【答案】x 2≥；x 1≠-。
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，因此，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使x 2-在实数范围内有意义，必须x 20x 2-≥⇒≥。
根据分式分母不为0的条件，要使x 3x+1-在实数范围内有意义，必须x+10x 1≠⇒≠-。
14. （2012江苏常州2分）已知关于x 的方程22x mx 6=0--的一个根是2，则m= ▲ ，另一根为 ▲ 。
【答案】1，32-。
【考点】方程根的意义，解一元二次方程。
【分析】∵关于x 的方程22x mx 6=0--的一个根是2，∴2222m 6=0⋅--，解得m=1。
∴方程为22x x 6=0--，解得另一根为3x=2-。
【本题或用根与系数的关系求角】15. （2012江苏常州2分）已知x=y+4，则代数式22x 2xy+y 25--的值为 ▲ 。
【答案】－9。
【考点】代数式化简求值。
【分析】由x=y+4得x y=4-，∴()2222x 2xy+y 25=x y 25=425=9------。
16. （2012江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （3，0），⊙P 是以点P 为圆心，2为半径的圆。
若一次函数y=kx+b 的图象过点A （－1，0）且与⊙P 相切，则k+b 的值为 ▲ 。
【答案】23或23-。
【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。
【分析】如图，设一次函数y=kx+b 与y 轴交于点C ，与⊙P 相切于点P 。
则OA=1，OC=∣b ∣，OP=3，BP=2，AP=4。
∴2222AB AP BP 4223=-=-=。
由△AOC ∽△ABP ，得OC AOBP AB =，即b 223=， 解得3b =。
∴b OC 3k ==AO 1=。
由图和一次函数的性质可知，k ，b 同号，∴23k+b=或23k+b=-。
17. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数()11k y=k 0x >和()22ky=k 0x<。
点A 在y 轴的正半轴上，过点A 作直线BC ∥x 轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B 和C ，连接OC 、OB 。
若△BOC 的面积为52，AC ：AB=2：3，则1k = ▲ ，2k = ▲ 。
【答案】2，－3。
【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设点A （0，a ）（∵点A 在y 轴的正半轴上，∴a ＞0），则点B （2k a a ，），点C （1ka a，）。
∴OA= a ，AB=2k a -（∵2k 0<），AC=1k a （∵1k 0>），AB=12k ka a-。
∵△BOC 的面积为52，∴12k k 15a=2a a 2⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭，即12k k =5-①。
又∵AC ：AB=2：3，∴12k k =23a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭：：，即123k +2k =0②。
联立①②，解得1k =2，2k =－3。
三、解答题（本大题共2小题，共18分） 18. （2012江苏常州8分）化简（1）（2012江苏常州40019+2sin 302⎛⎫⎪⎝⎭；【答案】解：原式=131+2=32-⨯。
【考点】实数的运算，算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值。
【分析】针对算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
（2）（2012江苏常州4分）x+1xx 1x+1--。
【答案】解：原式=()()()()()()()()2222 x+1x x1x+2x+1x+x3x+1==x1x+1x+1x1x+1x1x1-------。
【考点】分式的加减法。
【分析】分式的加减法通分，后化简。
19. （2012江苏常州10分）解方程组和不等式组：（1）（2012江苏常州5分）解方程组：3x2y=5x+3y=9-⎧⎨⎩；【答案】解：3x2y=5x+3y=9-⎧⎨⎩①②，②×3－①，得11y=22，y=2；将y=1代入②，得x＋6=9，x=3。
∴方程组的解为x=3y=2⎧⎨⎩。
【考点】解二元一次方程组。
【分析】解二元一次方程组的解题思想是消元，方法有加减消元法和代入消元法。
本题可用加减消元法，也可将②化为x=9－3 y代入①，消元求解。
（2）（2012江苏常州5分）解不等式组：x74x+252x154x<<-⎧⎨--⎩。
【答案】解：x74x+252x154x<<-⎧⎨--⎩①②，解①，得x＞－3，解②，得x＜5。
∴不等式组的解为－3＜x＜5。
【考点】解一元一次不等式组。
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。
四、解答题（本大题共2小题，共15分）20. （2012江苏常州7分）为了迎接党的十八大的召开，某校组织了以“党在我心中”为主题的征文比赛，每位学生只能参加一次比赛，比赛成绩分A、B、C、D四个等级，随机抽取该校部分学生的征文比赛成绩进行分析，并绘制了如下的统计图表：成绩等级 A B C D人数60 x y 10占抽查学生总数的百分比30% 50% 15% m根据表中的信息，解决下列问题：（1）本次抽查的学生共有▲ 名；（2）表中x、y和m所表示的数分别为x= ▲ ，y= ▲ ，m= ▲ ；（3）补全条形统计图。