(完整版)常州市2019中考数学试卷
江苏常州市中考数学试题及答案
2019江苏常州市中考数学试题及答案2019年江苏常州市初中毕业暨升学统一考试数学试卷注意事项：1、全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
2、答卷前将密封线内的项目填写清楚，并将座位号填写在试卷规定的位置上。
3、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔将答案直接填写在试卷上。
4、考生在答题过程中，可以使用CZ1206、HY82型函数计算器，若试题计算结果没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号和π）。
一、填空题（本大题每个空格1分，共18分，把答案填写在题中横线上）1．3的相反数是，的绝对值是，9的平方根是。
2．在函数中，自变量的取值范围是；若分式的值为零，则。
3．若的补角是120°，则＝°，。
4．某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是环，中位数环，方差是环。
5．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长是，扇形的面积是。
6．已知反比例函数的图像经过点（1，），则这个函数的表达式是。
当x时，的值随自变量值的增大而（填“增大”或“减小”）7、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上的一点，DF平分CE于点G，，则，△ADE与△ABC的周长之比为，△CFG与△BFD的面积之比为。
8．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米。
二、选择题（下列各题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填在题后括号内，每小题2分，共18分）9．下列计算正确的是( )A．B．C．D．10．如图，已知⊙O的半径为5，弦，则圆心O到AB的距离是( ) A．1 B．2 C．3 D．411．小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元，设1元的贺卡为张，2元的贺卡为张，那么、所适合的一个方程组是( )A．B．C．D．12．刘翔为了备战2019年奥运会，刻苦进行110米跨栏训练，为判断他的成绩是否稳定，教练对他10次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这10次成绩的( )A．众数B．方差C．平均数D．频数13、图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在( )A．P区域B．Q区域C．M区域D．N区域14、下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为( )15．锐角三角形的三个内角是∠A、∠B、∠C，如果，，，那么、、这三个角中( )A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角16、如果，那么下列关系式中正确的是( )A．B．C．D．17．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2的速度沿图1的边线运动，运动路径为：GàCàDàEàFàH，相应的△ABP的面积关于运动时间的函数图像如图2，若，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的BC长是8 ②图2中的M点表示第4秒时的值为24③图1中的CD长是4 ④图2中的N点表示第12秒时的值为18 A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题共2小题，共20分，解答应写出演算步骤）18．（本小题满分10分）计算或化简：（1）（2）19．（本小题满分10分）解方程或解不等式组：（1）（2）四、解答题（本大题共2小题，共12分，解答应写出证明过程）20．（本小题满分5分）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交与点O，AB∥CD，，求证：四边形ABCD是平行四边形。
江苏省常州市2019年中考数学试题含答案解析
常州市2019年中考数学试题一、选择题（每小题2分，共16分） 1．－3的绝对值是A ．3B ．－3C ．31D ．－312．要使分式23x 有意义，则x 的取值范围是 A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≠－2 D ．x ≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B ＝40°，则∠ECD 的度数是E DCA BA ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是ODBCAA ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB6．已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b7．已知二次函数y ＝2x ＋（m －1）x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是A ．m ＝－1B ．m ＝3C ．m ≤－1D ．m ≥－18．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是AA ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．3316cm 2 D ．16cm 2二、填空题（每小题2分，共20分） 9．计算12)1(-+-π＝_________．10．太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________．11．分解因式：2222y x -＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，DE ＝2，则BC 的长是______．EDBCA14．已知x ＝2是关于x 的方程a x a 21)1(=+＋x 的解，则a 的值是______________．15．二次函数y ＝－2x ＋2x －3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O ，古塔位于点A （400，300），从古塔出发沿射线OA 方向前行300m 是盆景园B ，从盆景园B 向左转90°后直行400m 到达梅花阁C ，则点C 的坐标是_______________．y （单位：m ）（单位：m ）Ox300400CBA17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；8＝3＋5；16＝3＋13＝5＋11；10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11；…通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）．18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC 的长是_______________．C OBAD三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：)2()1(2x x x --+，其中x ＝2．20．（8分）解方程和不等式组： ⑴x x x 311213--=-； ⑵⎩⎨⎧->->+.521,042x x21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．1.5小时 24％1小时0.5小时 20％2小时时间/小时人数2小时1.5小时20018016014012010080601小时400200.5小时22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝120°，分别延长DC 、BC 到点E ，F ，使得△BCE 和△CDF都是正三角形． ⑴求证：AE ＝AF ； ⑵求∠EAF 的度数．ABDFEC24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m 元，3公里后按n 元/公里计费．光明中学市图书馆光明电影院2公里5公里⑴求m ，n 的值，并直接写出车费y （元）与路程x （公里）（x ＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．⑴若AD＝2，求AB；⑵若AB＋CD＝23＋2，求AB．CDA B26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连接AH ，EH ．∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE ＝90° ∴ ∠HAE ＋∠HEA ＝90°． ∵ DH ⊥AE ∴ ∠ADH ＝∠EDH ＝90° ∴ ∠HAD ＋∠AHD ＝90°∴ ∠AHD ＝∠HED ∴ △ADH ∽_____________． ∴DEDH DH AD，即2DH ＝AD ×DE ． 又∵ DE ＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．FHBE D ACD⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．⑷拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．AC BADC B27．（10分）如图，一次函数y ＝－x ＋4的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合． ⑴写出点A 的坐标；⑵当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M 在直线l 上，且∠POM ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2111S S 的值．l yxO BQ A P28．（10分）如图，反比例函数y ＝x k 的图像与一次函数y ＝41x 的图像交于点A 、B ，点B 的横坐标是4．点P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB 的上方．⑴若点P 的坐标是（1，4），直接写出k 的值和△PAB 的面积；⑵设直线PA 、PB 与x 轴分别交于点M 、N ，求证：△PMN 是等腰三角形；⑶设点Q 是反比例函数图像上位于P 、B 之间的动点（与点P 、y xOA B PB不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．。
2019年数学中考试卷(含答案)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
24．某公司销售两种椅子，普通椅子价格是每把 180 元，实木椅子的价格是每把 400 元． (1)该公司在 2019 年第一月销售了两种椅子共 900 把，销售总金额达到了 272000 元，求两 种椅了各销售了多少把？ (2)第二月正好赶上市里开展家俱展销活动，公司决定将普通椅子每把降 30 元后销售，实 木椅子每把降价 2a%(a＞0)后销售，在展销活动的第一周，该公司的普通椅子销售量比上
22．4 月 18 日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行 ，如图，广场上有一风筝 A，小 江抓着风筝线的一端站在 D 处，他从牵引端 E 测得风筝 A 的仰角为 67°，同一时刻小芸在 附近一座距地面 30 米高(BC＝30 米)的居民楼顶 B 处测得风筝 A 的仰角是 45°，已知小江 与居民楼的距离 CD＝40 米，牵引端距地面高度 DE＝1.5 米，根据以上条件计算风筝距地
7．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
解：A 选项中，根据对顶角相等，得 1与 2 一定相等； B、C 项中无法确定 1与 2 是否相等；
D 选项中因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，所以∠2＞∠1． 故选：D
8．A
解析：A 【解析】
【分析】
【详解】
该班男生有
x
人，女生有
y
人．根据题意得：
x y 30 3x 2y 78
江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)
江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)1.选择题1.-3的相反数是（）。
A。
3 B。
-2 C。
1 D。
-12.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）。
A。
x = -1 B。
x = 3 C。
x ≠ -1 D。
x ≠ 33.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）。
A。
圆柱 B。
正方体 C。
圆锥 D。
球4.如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）。
A。
线段PA B。
线段PB C。
线段PC D。
线段PD5.若△ABC～△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为（）。
A。
2：1 B。
1：2 C。
4：1 D。
1：46.下列各数中与2+的积是有理数的是（）。
A。
2+ B。
2 C。
1：2 D。
2-77.判断命题“如果n＜1，那么n^2-1＜0”是假命题，只需举出一个反例。
反例中的n可以为（）。
A。
-2 B。
0 C。
1 D。
28.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切。
某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示时到t时PM2.5的值y1的极差（即时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）。
A。
y2随t的增大而增大 B。
y2随t的增大而减小 C。
y2与t无关 D。
y2先增大后减小2.填空题9.计算：a^3 ÷ a = ____。
答案：a^210.4的算术平方根是 ____。
答案：211.分解因式：ax^2-4a = ____。
答案：a(x+2)(x-2)12.如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 ____°。
答案：5513.如果a-b-2＝0，那么代数式1+2a-2b的值是 ____。
答案：314.平面直角坐标系中，点P(-3.4)到原点的距离是 ____。
答案：515.若(1.2)是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解，则a ＝ ____。
2019年中考数学试卷及答案
2019年中考数学试卷及答案一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．2a ＋3b ＝5abB ．( a －b )2＝a 2－b 2C ．( 2x 2 )3＝6x 6D ．x 8÷x 3＝x 5 2．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，若一次函数y ＝﹣2x +b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0，3），则不等式﹣2x +b ＞0的解集为（ ）A ．x ＞32B ．x ＜32C ．x ＞3D ．x ＜34．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ） A ．110B ．19C ．16D ．155．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为(,)a b ，则点的坐标为（ ）A ．(,)a b --B ．(,1)a b ---C ．(,1)a b --+D ．(,2)a b --+6．下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个．①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件． A ．1B ．2C ．3D ．47．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁8．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米9．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A．三棱柱B．四棱锥C．长方体D．正方体10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=5，BC=2，则sin ∠ACD的值为（）A．53B．255C．52D．2311．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是()A ．24B ．16C ．413D ．2312．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)ky x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36-二、填空题13．如图，△ABC 的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan ∠BAC =_____________．14．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n 的值为___．16．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧BC的长为 cm．17．用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_______．18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．20．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____．三、解答题21．电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示．表1：四种款式电脑的利润电脑款式A B C D利润（元/台）160200240320表2：甲、乙两店电脑销售情况电脑款式A B C D甲店销售数量（台）2015105乙店销售数量（台）88101418试运用统计与概率知识，解决下列问题：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为；（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．22．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．23．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN项部M的仰角为37°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M 的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）24．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：等级成绩（s）频数（人数）A90＜s≤1004B80＜s≤90xC70＜s≤8016D s≤706根据以上信息，解答以下问题：（1）表中的x= ；（2）扇形统计图中m= ，n=，C等级对应的扇形的圆心角为度；（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．25．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元(1)若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：A．原式不能合并，错误；B．原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；C．原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D．原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．详解：A．不是同类项，不能合并，故A错误；B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故B错误；C．（2x2）3＝8x6，故C错误；D．x8÷x3＝x5，故D正确．故选D．点睛：本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方及积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】6的大小，即可得到结果．【详解】<<，46 6.2526 2.5∴<<，则在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是2，故选：B．【点睛】此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝32，∴点B（32，0）．观察函数图象，发现：当x＜32时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜32．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．4．A解析：A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A.5．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，点A 、A′关于点C 对称，设点A 的坐标是（x ，y ），则0122a xb y++==，，解得2x a y b =-=-+，，∴点A 的坐标是(2)a b --+，．故选D ． 考点：坐标与图形变化-旋转．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】①方差是衡量一组数据波动大小的统计量，正确，是真命题； ②影响超市进货决策的主要统计量是众数，正确，是真命题； ③折线统计图反映一组数据的变化趋势，正确，是真命题； ④水中捞月是随机事件，故错误，是假命题， 真命题有3个， 故选C ． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件等知识，难度不大．7．D解析：D 【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211x x x x x-÷--=2221·1x x x x x --- =()2212·1x x x x x---- =()()221·1x x x x x ---- =()2x x--=2xx-，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键. 8．A解析：A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】本题可以根据三棱柱展开图的三类情况分析解答 【详解】三棱柱的展开图大致可分为三类：1.一个三角在中间,每边上一个长方体,另一个在某长方形另一端.2.三个长方形并排,上下各一个三角形.3.中间一个三角形,其中两条边上有长方形,这两个长方形某一个的另一端有三角形,在这三角形的一条(只有一条,否则拼不上)边有剩下的那个长方形.此题目中图形符合第2种情况 故本题答案应为：A 【点睛】熟练掌握几何体的展开图是解决本题的关键，有时也可以采用排除法．10．A解析：A 【解析】 【分析】在直角△ABC 中，根据勾股定理即可求得AB ，而∠B ＝∠ACD ，即可把求sin ∠ACD 转化为求sin B ． 【详解】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：AB ===3．∵∠B +∠BCD ＝90°，∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin ∠B AC AB ==． 故选A ． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．11．C解析：C 【解析】 【分析】由菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，AC=6，BD=4，即可得AC ⊥BD ，求得OA 与OB 的长，然后利用勾股定理，求得AB 的长，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，AC=6，BD=4， ∴AC ⊥BD ，OA=12AC=3， OB=12BD=2，AB=BC=CD=AD ，∴在Rt △AOB 中，AB=222+3=13，∴菱形的周长为413．故选C ．12．C 解析：C【解析】【分析】【详解】∵A （﹣3，4），∴OA=2234+=5，∵四边形OABC 是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B 的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B 的坐标为：（﹣8，4），将点B 的坐标代入k y x=得，4=8k -，解得：k=﹣32．故选C ． 考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 二、填空题13．【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC 连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解：如图所示由图形可知∴tan∠BAC=故答案为点睛：本题考查了锐角三角函解析：13【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格，分别延长AB 、AC ，连接它们延长线所经过的格点，可构成直角三角形，利用正切的定义即可得出答案.详解：如图所示，由图形可知，90AFE ∠=︒，3AF AC =，EF AC =，∴tan ∠BAC =133EF AC AF AC ==.故答案为1 3 .点睛：本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键.14．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x轴左边树为y轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5.∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,y min=0.5米.15．【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=ADBC∥OA根据D（84）和反比例函数的图象经过点D求出k=32C点的纵坐标是2×4=8求出C的坐标即可得出答案∵四边形ABCO是菱形∴CD=ADBC∥OA解析：【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D （8，4）和反比例函数的图象经过点D求出k=32，C点的纵坐标是2×4=8，求出C的坐标，即可得出答案．∵四边形ABCO是菱形，∴CD=AD，BC∥OA，∵D （8，4），反比例函数的图象经过点D，∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，∴，把y=8代入得：x=4，∴n=4﹣2=2，∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，故答案为2．16．【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB从而求出∠BOA的度数利用弦BC∥AO及OB=OC可得出∠BOC的度数代入弧长公式即可得出∵直线AB是⊙O 的切线∴OB⊥AB（切线的性质）又∵∠A=30°∴∠B解析：2π．【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB，从而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出∵直线AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB（切线的性质）．又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°（直角三角形两锐角互余）．∵弦BC∥AO，∴∠CBO=∠BOA=60°（两直线平行，内错角相等）．又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形（等边三角形的判定）．∴∠BOC=60°（等边三角形的每个内角等于60°）．又∵⊙O的半径为6cm，∴劣弧BC的长=606=2180ππ⋅⋅（cm）．17．2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长列出方程即可解决问题【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R由题意：2πR=解得R=2故答案为2解析：2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题.【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：2πR=1804 180π⨯，解得R=2．故答案为2.18．【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值PEPC不能直接求可考虑通过作辅助线转化PEPC的值从而找出其最小值求解试题解析：如图连接AE∵点C关于BD 的对称点为点A∴PE+PC=PE+AP根据两点之间【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．试题解析：如图，连接AE，∵点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，∴BE=1，∴AE=22125+=．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．19．110°或70°【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角解析：110°或70°．【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．20．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果从中找到积为大于-4小于2的结果数根据概率公式计算可得【详解】列表如下：-2 -1 1 2 -2 2 -2 -4 -1 2 -1 -2 1 -2 -解析：1 2【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．【详解】列表如下：∴积为大于-4小于2的概率为612=12， 故答案为12． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 三、解答题21．（1）310（2）应对甲店作出暂停营业的决定 【解析】【分析】（1）用利润不少于240元的数量除以总数量即可得；（2）先计算出每售出一台电脑的平均利润值，比较大小即可得．【详解】解：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为1053201510510+=+++， 故答案为310； （2）甲店每售出一台电脑的平均利润值为160202001524010320550⨯+⨯+⨯+⨯＝204（元），乙店每售出一台电脑的平均利润值为160820010240143201850⨯+⨯+⨯+⨯＝248（元），∵248＞204，∴乙店每售出一台电脑的平均利润值大于甲店；又两店每月的总销量相当，∴应对甲店作出暂停营业的决定．【点睛】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比及加权平均数的定义．22．（1）AD=95；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；理由见解析.【解析】【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．（2）当ED与 O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE 即可．【详解】（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴，∴；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.23．人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【解析】【分析】在Rt△MED中，由∠MDE＝45°知ME＝DE，据此设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC 中，由ME＝EC•tan∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求得x的值，根据MN＝ME+EN可得答案．【详解】由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15，在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．24．（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a1和b1的概率为16．【解析】【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组人数即可得出x的值；（2）用A、C人数分别除以总人数求得A、C的百分比即可得m、n的值，再用360°乘以C等级百分比可得其度数；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a1和b1的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人，∴x=40﹣（4+16+6）=14，故答案为14；（2）∵m%=440×100%=10%，n%=1640×10%=40%，∴m=10、n=40，C等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，故答案为10、40、144；（3）列表如下：a1和b1的有2种结果，∴恰好选取的是a1和b1的概率为21 126．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1该档次蛋糕每件利润为18元;（2）该烘焙店生产的是四档次的产品．【解析】【分析】（1）依题意可求出产品质量在第五档次的每件的利润．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）10＋2×（5－1）＝18（元）．答：该档次蛋糕每件利润为18元．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：[10＋2（x－1）]×[76－4(x－1）]＝1024，整理得：x2﹣16x＋48＝0，解得：x1＝4，x2＝12（不合题意，舍去）．答：该烘焙店生产的是四档次的产品．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．。
2019年数学中考试卷及答案
2019年数学中考试卷及答案一、选择题1．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．2．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )A．B．C．D．3．有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差4．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）A．12B．5C53D．36．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A ．()11362x x -=B ．()11362x x += C ．()136x x -= D ．()136x x +=7．如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．估6的值应在（ ） A ．3和4之间 B ．4和5之间 C ．5和6之间 D ．6和7之间9．如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=，CFD 40∠=，则E ∠为( )A ．102B ．112C ．122D ．9210．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．606030(125%)x x -=+ B ．606030(125%)x x -=+ C ．60(125%)6030x x ⨯+-= D ．6060(125%)30x x⨯+-= 11．如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的，该几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥ D ．AMB CND ∠=∠二、填空题13．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22k y x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．14．如图：已知AB=10，点C 、D 在线段AB 上且AC=DB=2； P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连结EF ，设EF 的中点为G ；当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是________．15．如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y=2x的图像上，则菱形的面积为_______．16．如图所示，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角EAB ∠的角平分线相交于点P ，且60ABP ∠=︒，则APB ∠=_____度．17．不等式组3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩的整数解是x= ． 18．如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝32，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠MAP ＋∠PAB ，则AP ＝_____.19．正六边形的边长为8cm ，则它的面积为____cm 2．20．对于有理数a 、b ，定义一种新运算，规定a ☆b ＝a 2﹣|b|，则2☆（﹣3）＝_____．三、解答题21．解方程：x 21x 1x-=-. 22．某种蔬菜的销售单价y 1与销售月份x 之间的关系如图1所示，成本y 2与销售月份x 之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？23．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D 粽的人数；（4）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．24．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩25．将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D '处，折痕为EF ．（1）求证：ABE AD F '≌；（2）连结CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．【详解】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选A．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．2．C解析：C【解析】【分析】根据特殊几何体的展开图逐一进行分析判断即可得答案．【详解】A、圆柱的侧面展开图是矩形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三个三角形拼成的图形，故D错误，故选C．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．3．A解析：A【解析】【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A．【点睛】考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义.4．C解析：C【解析】【分析】【详解】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB，∵AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=12（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=12（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠OHD=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质5．D解析：D【解析】【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．【详解】连接OC、OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB为弦，点C为AB的中点，∴OC⊥AB，53在Rt△OAE中，∴AB=53，故选D．【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．6．A解析：A【解析】【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：1x（x﹣1）＝36，2故选：A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 7．A【解析】【分析】【详解】从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形．故选A ．8．C解析：C【解析】【分析】 先化简后利用的范围进行估计解答即可．【详解】 =6-3=3， ∵1.7<<2， ∴5<3<6，即5<<6， 故选C ．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．9．B解析：B【解析】【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出ADB BDF DBC ∠∠∠==，由三角形的外角性质求出1BDF DBC DFC 202∠∠∠===，再由三角形内角和定理求出A ∠，即可得到结果．【详解】 AD //BC ，ADB DBC ∠∠∴=，由折叠可得ADB BDF ∠∠=，DBC BDF ∠∠∴=，又DFC 40∠=，DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===，又ABD 48∠=，ABD ∴中，A 1802048112∠=--=，E A 112∠∠∴==，【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出ADB ∠的度数是解决问题的关键．10．C解析：C【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x +万平方米， 依题意得：606030125%x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．11．D解析：D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是一个圆形，圆形内部是一个虚线的正方形.故选：D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．12．A解析：A【解析】【分析】由平行四边形的性质可知：OA OC =，OB OD =，再证明OM ON =即可证明四边形AMCN 是平行四边形．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =，∴OB BM OD DN -=-，即OM ON =，∴四边形AMCN 是平行四边形， ∵12OM AC =， ∴MN AC =，∴四边形AMCN 是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二、填空题13．【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为然后两个三角形面积作差即可求出结果【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为∴的面积为∴∴故答案为8【点睛】本题考查反比 解析：【解析】【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ，然后两个三角形面积作差即可求出结果．【详解】解：根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ， ∴AOB ∆的面积为121122k k -，∴1211422k k -=，∴128k k -=. 故答案为8．【点睛】本题考查反比例函数k 的几何意义，解题的关键是正确理解k 的几何意义，本题属于基础题型． 14．3【解析】【分析】分别延长AEBF 交于点H 易证四边形EPFH 为平行四边形得出G 为PH 中点则G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线MN 再求出CD 的长运用中位线的性质求出MN 的长度即可【详解】如图分别延长A解析：3【解析】【分析】分别延长AE 、BF 交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出G 为PH 中点，则G 的运行轨迹为三角形HCD 的中位线MN ．再求出CD 的长，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．【详解】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G也正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD=10-2-2=6，∴MN=3，即G的移动路径长为3．故答案为：3.【点睛】本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点．15．4【解析】【分析】【详解】解：连接AC交OB于D∵四边形OABC是菱形∴AC⊥OB∵点A在反比例函数y=的图象上∴△AOD的面积=×2=1∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=4故答案为：4解析：4【解析】【分析】【详解】解：连接AC交OB于D．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB．∵点A 在反比例函数y=2x 的图象上， ∴△AOD 的面积=12×2=1， ∴菱形OABC 的面积=4×△AOD 的面积=4故答案为：416．66【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到度然后根据角平分线的定义得到度再利用三角形内角和定理得到的度数【详解】解：∵五边形为正五边形∴度∵是的角平分线∴度∵∴故答案为：66【点睛】本题考查了多 解析：66【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到108EAB ∠=度，然后根据角平分线的定义得到54PAB ∠=度，再利用三角形内角和定理得到APB ∠的度数．【详解】解：∵五边形ABCDE 为正五边形，∴108EAB ∠=度，∵AP 是EAB ∠的角平分线，∴54PAB ∠=度，∵60ABP ∠=︒，∴180605466APB ∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：66．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．17．﹣4【解析】【分析】先求出不等式组的解集再得出不等式组的整数解即可【详解】解：∵解不等式①得：x≤﹣4解不等式②得：x ＞﹣5∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4∴不等式组的整数解为x=﹣4故答案为﹣4【解析：﹣4．【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再得出不等式组的整数解即可．【详解】 解：3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩①②, ∵解不等式①得：x≤﹣4，解不等式②得：x ＞﹣5，∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4，∴不等式组的整数解为x=﹣4，故答案为﹣4．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的性质求出不等式组的解集是解此题的关键．18．6【解析】分析：根据BD=CDAB=CD可得BD=BA再根据AM⊥BDDN⊥AB即可得到DN=AM=3依据∠ABD=∠MAP+∠PAB∠ABD=∠P+∠BAP即可得到△APM是等腰直角三角形进而得到解析：6【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AM=6．详解：∵BD=CD，AB=CD，∴BD=BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，∴∠P=∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM=6，故答案为6．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM是等腰直角三角形．19．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角形∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD【解析】【分析】【详解】如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形，∴∠COD=60°；∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OE=CE•tan60°=83432⨯=cm，∴S△OCD=12CD•OE=12×8×43=163cm2．∴S正六边形=6S△OCD=6×163=963cm2．考点：正多边形和圆20．1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1故答案为1点睛：此题考查有理数的混合运算掌握规定的运算方法是解决问题的关键解析：1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1．故答案为1．点睛：此题考查有理数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．三、解答题21．2x=.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：x2-2x+2=x2-x，解得：x=2，检验：当x=2时，方程左右两边相等，所以x=2是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．（1）6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．【解析】分析：（1）找出当x=6时，y1、y2的值，二者作差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1、y2关于x的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时，y1﹣y2的值，设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：（1）当x=6时，y 1=3，y 2=1，∵y 1﹣y 2=3﹣1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y 1=mx+n ，y 2=a （x ﹣6）2+1．将（3，5）、（6，3）代入y 1=mx+n ，3563m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴y 1=﹣23x+7； 将（3，4）代入y 2=a （x ﹣6）2+1，4=a （3﹣6）2+1，解得：a=13， ∴y 2=13（x ﹣6）2+1=13x 2﹣4x+13． ∴y 1﹣y 2=﹣23x+7﹣（13x 2﹣4x+13）=﹣13x 2+103x ﹣6=﹣13（x ﹣5）2+73． ∵﹣13＜0， ∴当x=5时，y 1﹣y 2取最大值，最大值为73， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大． （3）当t=4时，y 1﹣y 2=﹣13x 2+103x ﹣6=2． 设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据题意得：2t+73（t+2）=22， 解得：t=4，∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．点睛：本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y 1﹣y 2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y 1、y 2关于x 的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．（1）600（2）见解析（3）3200（4）【解析】（1）60÷10%=600（人）．答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2分）（2）如图；…（5分）（3）8000×40%=3200（人）．答：该居民区有8000人，估计爱吃D 粽的人有3200人．…（7分）（4）如图；（列表方法略，参照给分）．…（8分）P （C 粽）==．答：他第二个吃到的恰好是C 粽的概率是．…（10分）24．114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】 先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）四边形AECF 是菱形．证明见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA 判定△ABE ≌△AD′F ；（2）四边形AECF 是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．【详解】解:（1）由折叠可知：∠D=∠D′，C D=AD′，∠C=∠D′AE ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，AB=CD ，∠C=∠BAD ．∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD ，即∠1+∠2=∠2+∠3．∴∠1=∠3．在△ABE 和△AD′F 中∵{13D BAB AD ∠'=∠='∠=∠∴△ABE ≌△AD′F （ASA ）．（2）四边形AECF 是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC ，∠4=∠5．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE ．∵AE=EC ，∴AF=EC ．又∵AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵AF=AE ，∴平行四边形AECF是菱形．考点：1.全等三角形的判定；2.菱形的判定．。
2019年常州市中考数学试题、答案（解析版）
2019年常州市中考数学试题、答案（解析版）2019年常州市中考数学试题、答案（解析版）(满分：120分考试时间：120分钟)⼀、选择题(本⼤题共8⼩题,每⼩题2分,共16分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是正确的) 1.3-的相反数是( )A .13B .13-C .3D .3- 2.若代数式13x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( )A .1x =-B .3x =C .1x ≠-D .3x ≠3.下图是某⼏何体的三视图,该⼏何体是( )A .圆柱B .正⽅体C .圆锥D .球(第3题) (第4题) 4.如图,在线段PA 、PB 、PC 、PD 中,长度最⼩的是 ( ) A .线段PA B .线段PB C .线段PC D .线段PD5.若ABC A B C '''△∽△,相似⽐为1:2,则ABC A B C '''△∽△的周长的⽐为 ( ) A .2:1 B .1:2 C .4:1 D .1:46.下列各数中与2的积是有理数的是( )A .2+B .2CD .27.判断命题“如果1n ＜,那么210n -＜”是假命题,只需举出⼀个反例.反例中的n 可以为 ( )A .2-B .12-C .0D .12⽶8.随着时代的进步,⼈们对 2.5PM (空⽓中直径⼩于等于2.5微的颗粒)的关注⽇益密切.某市⼀天中 2.5PM 的值()31/y ug m 随极时间()t h 的变化如图所⽰,设2y 表⽰0时到t 时 2.5PM 的值的函差(即0时到t 时 2.5PM 的最⼤值与最⼩值的差),则2y 与t 的数关系⼤致是( )ABCD⼆、填空题(本⼤题共10⼩题,每⼩题2分,共20分) 9.计算：3a a ÷= . 10.4的算术平⽅根是 . 11.分解因式：24ax a -= .12.如果35α∠=?,那么α∠的余⾓等于 ?.13.如果20a b --=,那么代数式122a b +-的值是 . 14.平⾯直⾓坐标系中,点()3,4P -到原点的距离是 .15.若12x y =??=?是关于x 、y 的⼆元⼀次⽅程3ax y +=的解,则a = .16.如图,AB 是O 的直径,C 、D 是O 上的两点,120AOC ∠?＝,则CDB ∠＝ .(第16题)(第17题)(第18题)17.如图,的O 与边长为8的等边三⾓形ABC 的两边AB 、BC 都相切,连接OC ,则tan OCB ∠= .18.如图,在矩形ABCD 中,3AD AB ==,点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上.若PMN △是等腰三⾓形且底⾓与DEC ∠相等,则MN = .三、解答题(本⼤题共10⼩题,共84分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题满分8分)计算：(1)1212π-??+-；(2)(1)(1)(1)x x x x -+--.20.(本题满分6分)解不等式组1038x x x +>??--?…并把解集在数轴上表⽰出来.21.(本题满分8分)如图,把平⾏四边形纸⽚ABCD 沿BD 折叠,点C 落在点C '处,BC '与AD 相交于点E .(1)连接AC ',则AC '与BD 的位置关系是； (2)EB 与ED 相等吗？证明你的结论.22.(本题满分8分)在“慈善⼀⽇捐”活动中,为了解某校学⽣的捐款情况,抽样调查了该校部分学⽣的捐款数(单位：元),并绘制成下⾯的统计图.(1)本次调查的样本容量是 ,这组数据的众数为元； (2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学⽣参与捐款,请你估计该校学⽣的捐款总数.23.(本题满分8分)将图中的A 型(正⽅形)、B 型(菱形)、C 型(等腰直⾓三⾓形)纸⽚分别放在3个盒⼦中,盒⼦的形状、⼤⼩、质地都相同,再将这3个盒⼦装⼊⼀只不透明的袋⼦中.(1)搅匀后从中摸出1个盒⼦,盒中的纸⽚既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的概率是；(2)搅匀后先从中摸出1个盒⼦(不放回),再从余下的2个盒⼦中摸出1个盒⼦,把摸出的2个盒中的纸⽚长度相等的边拼在⼀起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠⽆缝隙拼接)24.(本题满分8分)甲、⼄两⼈每⼩时共做30个零件,甲做180个零件所⽤的时间与⼄做120个零件所⽤的时间相等.甲、⼄两⼈每⼩时各做多少个零件？25.(本题满分8分)如图,在□OABC 中,OA =45AOC ∠=?,点C 在y 轴上,点D 是BC 的中点,反⽐例函数(0)ky x x=＞的图像经过点A 、D . (1)求k 的值； (2)求点D 的坐标.26.(本题满分10分)【阅读】数学中,常对同⼀个量．．．．(图形的⾯积、点的个数、三⾓形的内⾓和等)⽤两种不同的⽅法计算,从⽽建⽴相等关系,我们把这⼀思想称为“算两次”.“算两次”也称做富⽐尼原理,是⼀种重要的数学思想.图1图2【理解】(1)如图1,两个边长分别为a b c 、、的直⾓三⾓形和⼀个两条直⾓边都是c 的直⾓三⾓形拼成⼀个梯形.⽤两种不同的⽅法计算梯形的⾯积,并写出你发现的结论；(2)如图2,n ⾏n 列的棋⼦排成⼀个正⽅形,⽤两种不同的⽅法计算棋⼦的个数,可得等式：2n = ；【运⽤】(3)n 边形有n 个顶点,在它的内部再画m 个点,以()m n +个点为顶点,把n 边形剪成若⼲个三⾓形,设最多可以剪得y 个这样的三⾓形.当3n =,3m =时,如图3,最多可以剪得7个这样的三⾓形,所以7y =.①当4n =,2m =时,如图4,y = ；当5n =,m = 时,9y =；图3图4②对于⼀般的情形,在n 边形内画m 个点,通过归纳猜想,可得y = (⽤含m 、n的代数式表⽰).请对同⼀个量．．．．⽤算两次的⽅法说明你的猜想成⽴.27.(本⼩题满分10分)如图,⼆次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为()1,0-,点D 为OC 的中点,点P 在抛物线上.(1)b = ；________________ _____________(2)若点P 在第⼀象限,过点P 作PH x ⊥轴,垂⾜为H ,PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N .是否存在这样的点P ,使得PM MN NH ==？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由；(3)若点P 的横坐标⼩于3,过点P 作PQ BD ⊥,垂⾜为Q ,直线PQ 与x 轴交于点R ,且2PQB QRB S S =△△,求点P 的坐标.28.(本题满分10分)已知平⾯图形S ,点P 、Q 是S 上任意两点,我们把线段PQ 的长度的最⼤值称为平⾯图形S 的“宽距”.例如,正⽅形的宽距等于它的对⾓线的长度. (1)写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1,上⽅是半径为1的半圆,下⽅是正⽅形的三条边的“窗户形”：；(2)如图2,在平⾯直⾓坐标系中,已知点()10A -，、()10B ，,C 是坐标平⾯内的点,连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ,记S 的宽距为d .①若2d =,⽤直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的⾯积(所在区域⽤阴影表⽰)；②若点C 在上运动,M 的半径为1,圆⼼M 在过点()02，且与y 轴垂直的直线上.对于M 上任意点C ,都有58d ≤≤,直接写出圆⼼M 的横坐标x 的取值范围.图1图22019年常州市中考数学答案解析⼀、选择题 1.【答案】C【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可. 解：()330-+=. 【考点】相反数的意义 2.【答案】D【解析】分式有意义的条件是分母不为0. 解：代数式13x x +-有意义， 30x ∴-≠， 3x ∴≠.故选：D .【考点】分式有意义的条件 3.【答案】A【解析】通过俯视图为圆得到⼏何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断⼏何体为圆锥.解：该⼏何体是圆柱. 故选：A .【考点】由三视图判断⼏何体 4.【答案】B【解析】由垂线段最短可解.解：由直线外⼀点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B . 故选：B .【考点】直线外⼀点到直线上所有点的连线中，垂线段最短. 5.【答案】B【解析】直接利⽤相似三⾓形的性质求解解：ABC A B C '''△∽△，相似⽐为1:2，ABC A B C '''△∽△的周长的⽐为1:2.故选B .【考点】相似三⾓形的性质 6.【答案】D【解析】利⽤平⽅差公式可知与2+的积是有理数的为2；解：()(232431+=-=；故选：D .【考点】⼆次根式的有理化以及平⽅差公式 7.【答案】A【解析】反例中的n 满⾜1n ＜，使210n -≥，从⽽对各选项进⾏判断. 解：当2n =-时，满⾜1n ＜，但2130n -=＞，所以判断命题“如果1n ＜，那么210n -≥”是假命题，举出2n =-. 故选：A .【考点】命题与定理 8.【答案】B【解析】根据极差的定义，分别从0t =、010t ＜≤、1020t ＜≤及2024t ＜≤时，极差2y 随t 的变化⽽变化的情况，从⽽得出答案. 解：当0t =时，极差285850y =-=，当010t ＜≤时，极差2y 随t 的增⼤⽽增⼤，最⼤值为43；当1020t ＜≤时，极差2y 随t 的增⼤保持43不变；当2024t ＜≤时，极差2y 随t 的增⼤⽽增⼤，最⼤值为98；故选：B . 【考点】函数图象⼆、填空题 9.【答案】2a【解析】直接利⽤同底数幂的除法运算法则计算得出答案. 解：32a a a ÷=. 故答案为：2a .【考点】同底数幂的除法 10.【答案】2【解析】根据算术平⽅根的含义和求法，求出4的算术平⽅根是多少即可. 解：4的算术平⽅根是2. 故答案为：2.【考点】算术平⽅根的概念 11.【答案】()()22a x x +-【解析】先提取公因式a ，再对余下的多项式利⽤平⽅差公式继续分解. 【解答】解：24ax a -()24a x =- ()()22a x x =+-.【考点】提公因式法与公式法的综合运⽤ 12.【答案】55【解析】若两⾓互余，则两⾓和为90?，从⽽可知α∠的余⾓为90?减去α∠，从⽽可解. 【解答】解：35α∠=?，α∴∠的余⾓等于903555?-?=?，故答案为：55. 【考点】余⾓ 13.【答案】5【解析】将所求式⼦化简后再将已知条件中a ﹣b=2整体代⼊即可求值；【解答】解：20a b --=，2a b ∴-=，()12212145a b a b ∴+-=+-=+=；故答案为5.【考点】求代数式的值 14.【答案】5【解析】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =，再根据勾股定理求解. 【解答】解：作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =. 则根据勾股定理，得5OP =. 故答案为5.【考点】点到原点的距离求法15.【答案】1【解析】把12x y =??=?代⼊⼆元⼀次⽅程3ax y +=中即可求a 的值.【解答】解：把12x y =??=?代⼊⼆元⼀次⽅程3ax y +=中，23a +=，解得1a =.故答案是：1.【考点】⼆元⼀次⽅程的解 16.【答案】30【解析】先利⽤邻补⾓计算出BOC ∠，然后根据圆周⾓定理得到CDB ∠的度数. 【解答】解：180********BOC AOC ∠=?-∠=? -?=?，30CDB BOC ∴∠=∠=?.故答案为30. 【考点】圆周⾓定理 17.【解析】根据切线长定理得出1302OBC OBA ABC ∠=∠=∠=?，解直⾓三⾓形求得BD ，即可求得CD ，然后解直⾓三⾓形OCD 即可求得tan OCB ∠的值. 【解答】解：连接OB ，作OD BC ⊥于D ，O 与等边三⾓形ABC 的两边AB 、BC 都相切，1302OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠=?，tan ODOCB∴∠=， 3tan30OD BD ∴===?，835CD BC BD ∴=-=-=，tan 5OD OCB CD ∴∠==. .【考点】切线的性质，等边三⾓形的性质，解直⾓三⾓形 18.【答案】6或158【解析】3AD AB ==，AB ∴=四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴==ABCD ∴==90A C ∠=∠=?，10BD∴==，2CE BE=，CE ∴=，BE =DE ∴=，1tan 2CD DEC CE ∠===，点P 是AD 的中点，12PD AD ∴==①如图1，当MN 为底边时，则PM PN =，PMN PNM DEC ∠=∠=∠，过点P 作PQ MN ⊥，则MQ NQ =，2MN MQ ∴=，90A PQD ∠=∠=?，ADB PDQ ∠=∠，BAD PQD ∴△∽△， 2PD PQ AB BD∴==，210= 解得32PQ =；在Rt PMQ △中，1tan tan 2PQ PMN DEC MQ ∠==∠=， 12PQ MQ ∴=，即3122MQ =， 3MQ ∴=， 26MN MQ ∴==.②如图2，当MN 为腰时，则PM MN =，MPN MNP DEC ∠=∠=∠，过点M 作MQ PN ⊥于点Q ，则PQ NQ =，MNP DEC ∠=∠，PND DEB ∴∠=∠，⼜AD BC ∥，PDN DBE ∴∠=∠，PND DEB ∴△∽△， PD PNBD DE ∴=，210∴=解得PNNQ ∴在Rt MNQ △中，1tan tan 2MQ MNP DEC NQ ∠==∠=， 12MQ NQ ∴=，即132MQ =，MQ ∴158MN ∴==.综上所述，MN 的值为6或158.【考点】矩形的性质，等腰三⾓形的性质，相似三⾓形的判定与性质，勾股定理三、解答题19.【答案】（1）12112302π-??+-=+-=；（2）22(1)(1)(1)11x x x x x x x x -+--=--+=-.【解析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；【考点】实数的运算20.【答案】解：解不等式10x +＞，得：1x -＞，解不等式38x x --≤，得：2x ≤，∴不等式组的解集为12x -＜≤，将解集表⽰在数轴上如下：【解析】分别求出每⼀个不等式的解集，根据⼝诀：同⼤取⼤、同⼩取⼩、⼤⼩⼩⼤中间找、⼤⼤⼩⼩⽆解了确定不等式组的解集.【考点】不等式组的解法及在数轴上表⽰不等式的解集 21.【答案】（1）AC BD '∥（2）EB 与ED 相等.证明：由折叠可得，'CBD C BD ∠=∠，AD BC ∥， ADB CBD ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠， BE DE ∴=.【解析】（1）根据'AD C B =，ED EB =，即可得到'AE C E =，再根据三⾓形内⾓和定理，即可得到''EAC EC A EBD EDB ∠=∠=∠=∠，进⽽得出'AC BD ∥；（2）依据平⾏线的性质以及折叠的性质，即可得到EDB EBD ∠=∠，进⽽得出BE DE =. 【考点】折叠变换的性质，平⾏四边形的性质，平⾏线的判定与性质，等腰三⾓形的判定与性质22.【答案】（1）30,10 （2）这组数据的平均数为6511108155201230+++=（元）；（3）估计该校学⽣的捐款总数为600127200?=（元）.【解析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530+++=，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总⼈数乘以平均数即可得出答案.【考点】条形统计图的综合运⽤，平均数，众数的求法以及利⽤样本估计总体的思想 23.【答案】（1）23；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为21=63. 【解析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒⼦，可能为A 型（正⽅形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直⾓三⾓形）这3种情况，其中既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的有2种，即可得到盒中的纸⽚既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C和A ，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率.解：（1）搅匀后从中摸出1个盒⼦，可能为A 型（正⽅形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直⾓三⾓形）这3种情况，其中既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的有2种，∴盒中的纸⽚既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的概率是23；故答案为：23；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为21 =63. 【考点】⽤列表法或画树状图求事件的概率以及轴对称图形和中⼼对称图形的识别 24.【答案】解：设甲每⼩时做x 个零件，则⼄每⼩时做()30x -个零件，由题意得：18012030x x=-，解得：18x =，经检验：18x =是原分式⽅程的解，则301812-=（个）.答：甲每⼩时做18个零件，则⼄每⼩时做12个零件.【解析】设甲每⼩时做x 个零件，则⼄每⼩时做()30x -个零件，根据关键语句“甲做180个零件所⽤的时间与⼄做120个零件所⽤的时间相等”列出⽅程，再求解即可. 【考点】分式⽅程的应⽤25.【答案】解：（1）2OA =45AOC ∠=?，()22A ∴，4k ∴=，4y x∴=；（2）四边形OABC 是平⾏四边形OABC ，AB x ∴⊥轴，B ∴的横纵标为2，点D 是BC 的中点，∴D 点的横坐标为1，()14D ∴，.【解析】（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；（2）四边形OABC 是平⾏四边形OABC ，则有AB x ⊥轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解.【考点】平⾏四边形的性质，等腰直⾓三⾓形的性质，反⽐例函数图像上点的坐标特点及⽤待定系数法求反⽐例函数的解析式26.【答案】解：（1）有三个Rt △其⾯积分别为ab ，12ab ，212c . 直⾓梯形的⾯积为1()()2a b a b ++. 由图形可知：21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 整理得22222()2,22a b ab c a b ab ab c +=+++=+，222a b c ∴+=.故结论为：直⾓长分别为a 、b 斜边为c 的直⾓三⾓形中222a b c ∴+=. （2）135721n +++++-（3）①6 3 ②2(1)y n m =+-⽅法1.对于⼀般的情形，在n 边形内画m 个点，第⼀个点将多边形分成了n 个三⾓形，以后三⾓形内部每增加⼀个点，分割部分增加2部分，故可得2(1)y n m =+-.⽅法2.以ABC △的⼆个顶点和它内部的m 个点，共(3)m +个点为顶点，可把ABC △分割成32(1)m +-个互不重叠的⼩三⾓形.以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共(4)m +个点为顶点，可把四边形分割成42(1)m +-个互不重叠的⼩三⾓形.故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成21n m +-（）个互不重叠的⼩三⾓形.故可得2(1)y n m =+-.【解析】（1）此等腰梯形的⾯积有三部分组成，利⽤等腰梯形的⾯积等于三个直⾓三⾓形的⾯积之和列出⽅程并整理.（2）由图可知n ⾏n 列的棋⼦排成⼀个正⽅形棋⼦个数为2n ，每层棋⼦分别为135721n -，，，，，.故可得⽤两种不同的⽅法计算棋⼦的个数，即可解答.（3）根据探画出图形究不难发现，三⾓形内部每增加⼀个点，分割部分增加2部分，即可得出结论.解：（1）有三个Rt △其⾯积分别为ab ，12ab ，212c . 直⾓梯形的⾯积为1()()2a b a b ++. 由图形可知：21111()()2222a b a b ab ab c ++=++ 整理得22222()2,22a b ab c a b ab ab c +=+++=+，222a b c ∴+=.故结论为：直⾓长分别为a 、b 斜边为c 的直⾓三⾓形中222a b c ∴+=.（2）n ⾏n 列的棋⼦排成⼀个正⽅形棋⼦个数为2n ，每层棋⼦分别为135721n -，，，，，. 由图形可知：135721n +++++-.故答案为135721n +++++-.（3）①如图4，当4n =，2m =时，6y = 如图5，当5n =，3m =时，9y =.②⽅法1.对于⼀般的情形，在n 边形内画m 个点，第⼀个点将多边形分成了n 个三⾓形，以后三⾓形内部每增加⼀个点，分割部分增加2部分，故可得2(1)y n m =+-.⽅法2.以ABC △的⼆个顶点和它内部的m 个点，共(3)m +个点为顶点，可把ABC △分割成32(1)m +-个互不重叠的⼩三⾓形.以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共(4)m +个点为顶点，可把四边形分割成42(1)m +-个互不重叠的⼩三⾓形.故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共()m n +个点作为顶点，可把原n 边形分割成21n m +-（）个互不重叠的⼩三⾓形.故可得2(1)y n m =+-. 故答案为：①6，3；②21n m +-（）. 【考点】列代数式，求代数式的值，规律探究以及运⽤知识解决问题 27.【答案】（1）2（2）存在满⾜条件呢的点P ，使得PM MN NH ==. ⼆次函数解析式为23y x bx =-++，当0x =时3y =，()03C ∴，，当0y =时，2230x x -++=，解得：11x =-，23x =.()10A ∴﹣，，()30B ，.∴直线BC 的解析式为3y x =-+.点D 为OC 的中点，302D ??∴，.∴直线BD 的解析式为1322y x =-+，设()()2,2303P t t t t -++<<，则(),3M t t -+，1322N t t ??-+ ??，，()0H t ，. 2223(3)3PM t t t t t ∴=-++--+=-+，131332222MN t x t ??=-+--+=-+ ，1322NH t =-+，MN NH ∴=.PM MN =，213322t t t ∴-+=-+.解得：112t =，23t =（舍去）.11524P ??∴，.P ∴的坐标为115,24??，使得PM MN NH ==.（3）过点P 作PF x ⊥轴于F ，交直线BD 于E .3OB =，32OD =，90BOD ?∠=，BD ∴==.cos OB OBD BD ∴∠===PQ BD ⊥于点Q ，PF x ⊥轴于点F ， 90PQE BQR PFR ∴∠=∠=∠=?. 90PRF OBD PRF EPQ ∴∠+∠=∠+∠=?. EPQ OBD ∴∠=∠，即cos cos EPQ OBD ∠=∠=. 在Rt PQE △中，cos 5PQ EPQ PE ∠==，PQ ∴=. 在Rt PFR △中，cos PF RPF PR ∠==PR ∴==2PQB S S QRB =△△，12PQBSBQ PQ =，12QRB S BQ QR =△ 2PQ QR ∴=设直线BD 与抛物线交于点G ，2132322x x x -+=-++，解得：13x =（即点B 横坐标），212x =- ∴点G 横坐标为12-设()2,23(3)P t t t t -++<，则13,22E t t ?-+223PF t t ∴=-++，221353232222PE t t t t t ??=-++--+=-++①若132t -＜＜，则点P 在直线BD 上⽅，如图2，223PF t t ∴=-++，25322PE t t =-++2PQ QR =23PQ PR ∴=253PE PF =，即65PE PF =()2253652322t t t t ?∴-++=-++ ??解得：12t =，23t =（舍去）(2,3)P ∴②若112x --＜＜，则点P 在x 轴上⽅、直线BD 下⽅，如图3，此时，PQ QR <，即2PQB QRB S S =△△不成⽴. ③若1t <-，则点P 在x 轴下⽅，如图4，()222323PF t t t t ∴=--++=--，()221353232222PE t t t t t =-+--++=--2PQ QR = 2PQ PR ∴=52PF =，即25PE PF = ()2253252322t t t t ?∴--=-- ??解得：143t =-，23t =（舍去）413,39P ??∴--综上所述，点P 坐标为()23，或413,39??-- .【解析】（1）把点A 坐标代⼊⼆次函数解析式即求得b 的值. ⼆次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点(1,0)A -130b ∴--+=解得：2b =. 故答案为：2.（2）求点B 、C 、D 坐标，求直线BC 、BD 解析式.设点P 横坐标为t ，则能⽤t 表⽰点P 、M 、N 、H 的坐标，进⽽⽤含t 的式⼦表⽰PM 、MN 、NH 的长.以PM MN =为等量关系列得关于t 的⽅程，求得t 的值合理（满⾜P 在第⼀象限），故存在满⾜条件的点P ，且求得点P 坐标.（3）过点P 作PF x ⊥轴于F ，交直线BD 于E ，根据同⾓的余⾓相等易证EPQ OBD ∠=∠，所以cos cos EPQ OBD ∠=∠=，即在PQE Rt △中，cos PQ EPQ PE ∠==；在PQE Rt △中，cos PF RPF PR ∠==PQ ，PR PF =.设点P 横坐标为t ，可⽤t 表⽰PE 、PF ，即得到⽤t 表⽰PQ 、PR .⼜由2PQB QRB S S =△△易得2PQ QR =.要对点P 位置进⾏分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的⽅程.求得t 的值要注意是否符合各种情况下t 的取值范围.【考点】⼆次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，函数图像的交点问题，⽤坐标表⽰线段的长度，⼆次函数图像上点的坐标特征以及⼀元⼆次⽅程的解法 28.【答案】解：（1）①2理由：①根据宽距的定义，可知在半径为1的半圆中，宽距为半圆的直径即宽距为2；②如图，作AB 的垂直平分线交半圆于点E ，交AB 于点F ，连接AE ，则AE 的长为该图形的宽距，由题意知1AF =，3EF =，∴宽距AE =；（2）①如图，阴影部分就是点C 所在的区域：()10A -，，()10B ，，2AB ∴=，S 的宽距2d =,∴点C 所在的区域是以AB 为直径的圆的圆⾯，点C 所在的区域的⾯积π=；②当M 在y 轴右侧时，如图，连接AM 1，过点M 1作x 轴的垂线，垂⾜为C ，设点()12M x ，，则12M C =，1AC x =+，22221(1)2(1)4AM x x ∴=++=++，58d ≤≤，147AM ∴≤≤，216(1)449x ∴++≤≤，解得11x ≤≤；当M 在y 轴的左侧时，如图，连接BM ?，过点M ?作x 轴的垂线，垂⾜为D ，设点()2,2M x ，则22M D =，1BD x =-，22222(1)2(1)4BM x x ∴=-+=-+，58d ≤≤，。
2019年数学中考试题(附答案)
9．如图，已知 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）
A．1B．0，1C．1，2D．1，2，3
11．二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为( )
2019年数学中考试题(附答案)
一、选择题
1．下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个．
①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件．
A．1B．2C．3D．4
2．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（）
A． B． C． D．
∴∠DAB=90°，
∴∠DAM=30°，
∴AM= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质及折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质求得∠MAN=∠DAM,
4．A
解析：A
【解析】
试题分析：∵今后项目的数量﹣今年的数量=20，∴ ．故选A．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
5．C
解析：C
【解析】
试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；
（收集数据）
甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80
乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83
（整理数据）
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常州市二○一九年初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1.
本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生应将答案全部填写在答题卡相应
位置上，写在本试卷上无效.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.考试时不允许使用计算器.
2. 答题前,考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上,并填写好答题卡上的考生信息.
3.
作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项 是正确的）
1. －3的相反数是（ )
A .13
B .－13
C .3
D .－3
2. 若代数式x ＋1
x －3
有意义，则实数x 的取值范围是（ )
A .x ＝－l
B . x ＝3
C . x ≠－ 1
D .x ≠3 3. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ )
A .圆柱
B .正方体
C .圆锥
D .球
(第3题） （第4题） 4. 如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ) A.线段PA B.线段PB C.线段PC D.线段PD
5. 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1:2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的周长的比为（ ) A. 2 : 1 B. 1 : 2 C. 4 : 1 D. 1 : 4
6. 下列各数中与2＋3的积是有理数的是（ ) A. 2＋ 3 B. 2 C. 3 D. 2－ 3
7. 判断命题“如果n ＜l ，那么n 2
－1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n 可以为 ( )
A.－2
B. －12
C. 0
D.1
2
8. 随着时代的进步，人们对PM 2. 5(空气中直径小于等于2. 5微米的
颗 粒）的关注日益密切.某市一天中PM 2.5的值y 1(μg /m 3
)随时间t (h )的 变化如图所示，设y 2表示0时到t 时PM 2. 5的值的极差（即0时到t 时 PM 2. 5的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数关系大致是（ )
A B C D
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 9.
计算:a 3
—a ＝ ______. 10. 4的算术平方根是______.
11. 分解因式:ax 2
— 4a ＝ ______.
12. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于______ °. 13. 如果a －b －2 ＝ 0，那么代数式1十2a －2b 的值是______. 14. 平面直角坐标系中，点P (－3，4)到原点的距离是______.
15. 若x ＝1
y ＝2
是关于：x 、y 的二元一次方程a x ＋y ＝3的解，则a ＝ ______.
16. 如图，AB 是⊙0的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝______°.
(第16题) (第17题) (第18题) 17. 如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则 tan
∠OCB ＝ ______.
18. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝310，点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ，点M 、N
在线段BD 上.若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝________.
三、解答题(
本大題共10小题，共84分.请在卞率亨亭等内作答，如无特殊说明，解答应
写 出文字说明、演算步费或推理过程） 19. (本题满分8分）
计算：
（
1)1
2
0132π-⎛⎫
+-
⎪⎝⎭
; (2)(x －1)(x ＋1)—x (x －l ).
20. (本题满分6分)解不等式组10,38,x x x +>⎧⎨
-≤-⎩
并把解集在数轴上表示出来.
如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E.
(1)连接AC′，则AC′与BD的位置关系是______;
(2)EB与ED相等吗？证明你的结论.
(第21题）
22.(本题满分8分）
在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位:元），并绘制成下面的统计图.
(1)本次调查的样本容量是______，这组数据的众数为______元；
(2)求这组数据的平均数；
(3)该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数.
（第22题）
23.(本题满分8分）
将图中的A型(正方形）、B型(菱形）、C型(等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装人一只不透明的袋子中.
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是______;
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的 2
个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.（不重叠无缝隙拼接）
甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？
25. (本题满分8分）
如图，在□OABC 中，OA ＝22,∠AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y ＝k x
(x ＞0)的图像经过点A 、D.
(1) 求k 的值； (2) 求点D 的坐标.
26. (本题满分10分）
【阅读】 数学中，常对同一个量．．．．（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计 算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.
【理解】
(1) 如图26－1,两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角 形
拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
(2) 如图26－2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等
式:n2＝ ______;
【运用】
(3)n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m＋n个点为顶点，把n边形剪成若干个三
角形，设最多可以剪得y个这样的三角形.当n＝ 3，m＝ 3时，如图26－3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7.
①当n＝ 4,m＝ 2 时，如图 26－4,y＝ ______;当n＝ 5,m＝ ______时，y＝9;
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝ ______(用含m的代数
式表示）.请对同．一个
．．量．算两次的方法说明你的猜想成立。
27.(本题满分10分）
如图，二次函数：y＝－x2＋bx＋3的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C，点A的坐标为（－1，0)，点D为OC的中点，点P在抛物线上•.
⑴b＝ ______；
(2)若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在
这样的点P，使得PM＝MN＝NH，若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由；(3)若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△Q RB，求点P的坐标.
28.(本题满分10分）
已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度.
(1)写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：______;
②如图28－1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：______；
(2)如图28－2，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，
连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d.
②若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2)且与y轴垂直的直线上. 对于
⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.
图28－1 图28－2
（第28题）。