北师大七年级丰富的图形世界

第一章丰富的图形世界重点知识复习
1.1 生活中的立体图形
一、常见的几何体分类：
1、2、
二、图形是由点、线、面构成。

点动成线，线动成面，面动成体。

面与面相交得到线，线与线相交得到点。

面动成体可以通过平移和旋转实现。

例如：五棱柱、圆柱分别可以看作是由五边形或圆沿着竖直方向平移形成。

圆柱又可以看作是矩形绕着一边旋转一周形成。

易错点：
1、观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来( D )
2、如图,第二行的图形绕虚线旋转一周便能形成第一行的某个几何体,用线连一连.
易错点：
将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4厘米、宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大？
参考答案：
48πcm 3
（2）以宽所在的直线为轴旋转一周
（1
）以长所在的直线为轴旋转一周36
πcm 3
三、棱柱的特征：
1、棱柱的上、下两底面平行且形状相同，大小一样；
2、棱柱的侧面形状都是长方形；
3、侧面的个数和底面图形的边数相等.
4、棱柱的侧棱的长度都相等。

5、n 棱柱有2n 个顶点，3n 条棱，（n+2）个面。

6、n 棱锥（n+1）个顶点，2n 条棱，（n+1）个面。

四、侧面积与表面积计算：
柱体的S 侧＝ch （c 为底面周长，h 为高，当柱体为棱柱时，h 为侧棱的长）
锥体为棱锥时S 侧＝所有侧面三角形的面积之和；
锥体为圆锥时S 侧＝S 扇＝360
R n 2
π（n 为圆心角的度数，R 为圆的半径） 柱体的S 表＝S 侧＋S 底（此时S 底为2个） 锥体的S 表＝S 侧＋S 底（此时S 底为1个）
1.2 展开与折叠
一、正方体的展开图（长方体也是类似的展开图）：
正方体有12条棱，需要剪7刀才能展开成平面图形。

二、圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图：
圆柱的底面圆的周长和高分别是侧面展开图中长方体的长与宽，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个
扇形的半径就是圆锥的母线（即圆锥的顶点与圆锥底面上任意一点的连线长，而扇形的弧长就是圆锥底面
圆的周长。

三、特殊的展开图中的数量关系：
1、底面圆直径等于高的圆柱侧面展开图是正方形。

2、侧面展开图是半圆的圆锥轴截面是等边三角形。

易错点：
1、一个几何体全部展开后铺在平面上，不可能是（ B ）
A 、一个三角形
B 、一个圆
C 、三个正方形
D 、一个小圆和半个大圆
2、如图是一个正方体的展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：
（1）若A 面为底面，则哪一面在上面？（答：F ）
（2）若A 面为前面，B 面在左面，则哪一面在上面？（答：E ）
（3）若C 面为后面，D 面在右面，则哪一面在下面？（答：A ）
1.3 截一个几何体
一、正方体的截面：三角形、四边形、五边形、六边形。

二、正方体切去一个角，截面形状可以是一般的锐角三角形、锐角的等腰三角形、等边三角形，不能截出
直角三角形和钝角三角形。

图（1）（2）（3）（4）中木块的顶点数，棱数，面数如下表：
顶点数，棱数，面数之间的关系仍然符合欧拉公式：f+v-e=2
三、正方体的截面可以是特殊的四边形，有正方形、长方形、梯形、平行四边形、菱形。

四、圆柱、圆锥的截面：
1、
圆柱的截面形状可以是圆、长方形、椭圆、不规则图形。

2、圆锥的截面形状可以是圆、椭圆、等腰三角形、不规则图形，其中只有轴截面才能得到三角形，其余图形都含有曲线。

圆锥的轴截面可以是等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形。

五、三棱锥的截面可以是三角形、长方形、四边形。

其中四边形可以是特殊的矩形、梯形。

易错点：
1、几何体正方体、长方体、三棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥中，截面可能是长方形的有（ 4 ）种。

2、用一个平面去截掉一个正方体的一条棱。

（1）剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？（答：10,15,7）
（2）若按此方法去截掉一个n棱柱的一条棱，则剩下的几何体有几个顶点？几条
棱？几个面？（答：2n+2,3n+3,n+3）
1.4 从不同方向看
一、三种视图之间的关系：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等。

二、三种视图完全相等的几何体只有球和正方体。

三、旋转体（圆柱、圆锥、球等）的主视图、左视图完全一样。

四、圆锥的俯视图是圆和圆心。

五、从立体图得到它的三视图是唯一的，但从三视图复原回它的立体图却不一定唯一。

例如：
易错点：
1、画出下面几何体的三视图。

解：主视
图俯视
图左视图
2、由五个小立方块搭成的一个几何体，它的主视图和左视图如图所示，你能画出它的俯视图吗（只画一种）？
解：俯视图
3、用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。

这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
解：
最少10个最少16个
4、如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立块的个数是_______。

（答：8）
4题图5题图
5、如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立块的个数是_____________。

（答：9或10或11）
6、用小正方块搭一个几何体，使它的主视图、俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？最少需几块？最多需几块？
答：最少7块。

最多9块。

7、一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由_______个这样的正方体组成。

答：最多15块。

8、用小正方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示．
（l）画出它的左视图；
（2）符合条件的几何体只有一种吗？它最小需要多少小立方块．最多需要多少块小立方块？
答：最少5块。

最多6块。

9、用小正方块搭一个几何体的主视图和俯视图如图所示．则搭建这样的几何体至少用多少个小立方体？画出这种几何体的一种左视图。

答：共有三种。

10、一个由小立方块组成的几何体的主视图、左视图相同，如图，组成这个小立方块最少有几块？最多有
几块？在俯视图中注明小立方块的块数。

答：最少9块。

最多27块。

1.5 生活中的平面图形
一、多边形：由不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形.
扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。

二、从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成（n-2）
个三角形，可以得到（n一3）条对角线。

从一个多边形内部的任意一点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成n个三角形。

从一个多边形边上除顶点外的任意一点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成（n-1）个三角形。

三、一个n边形一共有
2)3
(
n
n
条对角线。

易错点：
1、平面内有5个点，每两个点都用直线连接起来，则最多可得______条直线，最少可得______条直线。

（答：
10,1）
2、平面内的三条直线可把平面分割成最少______部分，最多_____部分。

（答：4,7）。