2018-2019学年福建省龙岩市上杭县第一中学等六校高一下学期期中考试数学试题
福建省上杭县第一中学等六校2018_2019学年高二数学下学期期中试题理
福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高二数学下学期期中试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A．－2 B．4 C．－6 D．62．函数在点处的切线方程为（）A． B． C． D．3.函数的递增区间是（）A.B. C. D.4．函数的图象如右图所示，则导函数的图象的大致形状是 ( )5．计算为( )A．B．C．D．6．用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是 ( )A． B． C． D．7.已知函数在处取得极值10，则=（）A．或 B．或 C． D．8．右下图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）A． B． C． D．9.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝11－3t＋ (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（）A．4＋25ln5 B． C．D．10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则（）A． B．3 C．6 D．11.函数在的最大值为2，则的取值范围是（）A． B．C. D．12.已知是定义在上的增函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（）A.对于任意，B. 对于任意，C.当且仅当D. 当且仅当第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在复平面内，复数对应的点的坐标为14．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.15.定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应如图所示的4个图形：那么以下4个图形中，可以表示A*D的是（填与图形对应的序号）16.任意，使得成立，则的取值范围是_______.三、解答题：共70分。
2018-2019学年福建省龙岩市上杭一中等六校高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年福建省龙岩市上杭一中等六校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数， 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.B. 4C.D. 62. 函数f （x ）=e x+1在点（0，f （0））处的切线方程为（ ）A. B. C.D.3. 函数f （x ）=2x 2-ln x 的递增区间是（ ）A.B. 和C.D.和4. 函数y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象的大致形状是（ ）A.B.C.D.5. 计算（cos x +e x）dx 为（ ）A.B.C.D.6. 用数学归纳法证明不等式++…+＞（n ＞1，n N *）的过程中，从n =k 到n =k +1时左边需增加的代数式是（ ）A.B.C.D.7. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处取极值10，则a =（ ）A. 4或B. 4或C. 4D.8. 如图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A. nB.C.D.9. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v （t ）=11-3t +（t 的单位：s ，v 的单位：m /s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）A. B.C.D.10. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（ ）A.B. 3C. 6D.11. 函数f （x ）=在[-2，2]的最大值为2，则a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.12. 已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，其导函数f ′（x ）满足′ ＞ ，则下列结论正确的是（ ）A. 对于任意 ，B. 对于任意 ，C. 当且仅当 ，D. 当且仅当 ，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在复平面内，复数对应的点的坐标为______．14. 如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为______．15.定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应如所示的4个图形：那么以下4个图形中，可以表示A*D的是______（填与图形对应的序号）16.任意x[1，e]，使得x+＞a ln x（a＞0）成立，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设复数z1=2+ai（其中a R），z2=3-4i．（Ⅰ）若z1+z2是实数，求z1-z2的值；（Ⅱ）若是纯虚数，求|z1|．18.已知函数，其中a，b R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．19.如图：在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥面PBD；（Ⅱ）求二面角E-PC-B的余弦值．20.某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①＜；②＜；③＜（Ⅰ）请从以上三个式子中任选一个，根据，，（1.73，1.74），（2.23，2.24），验证其正确性（注意不能近似计算）；（Ⅱ）请将此规律推广至一般情形，并证明之．21.已知函数f（x）=ax-e x（a R），g（x）=（Ⅰ）讨论函数y=f（x）的零点个数；（Ⅱ）∀x[1，+∞），不等式f（x）≥g（x）-e x恒成立，求a的取值范围．22.已知函数f（x）=x cosx-sin x，x[-，]．（Ⅰ）求证：f（x）≥0；（Ⅱ）若a＜＜对x（-，）恒成立，求a的最大值与b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：若复数为虚数单位）==，∵复数是一个纯虚数，∴a-6=0，∴a=6经验证成立，故选：D．首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成最简形式，根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于0，而虚部不为0，得到结果．本题考查复数的基本概念，考查复数的除法运算，考查复数是一个纯虚数，要求实部为零，而虚部不为0，本题是一个基础题．2.【答案】B【解析】解：函数f（x）=e x+1可得f′（x）=e x，f′（0）=1，f（0）=2，故切线方程是：y-2=x-0，整理为：y=x+2；故选：B．求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．3.【答案】C【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=4x-==，由f′（x）=＞0，解得x ＞，故函数f（x）=2x2-lnx的递增区间是（，+∞）故选：C．利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可．本题考查利用导数求函数的单调区间知识，属基础题．4.【答案】D【解析】解：因为函数f（x）的图象先减后增然后为常数函数，所以对应的导函数的值先负后正，最后等于0，由此可得满足条件的图象是D．故选：D．由原函数的单调性得到导函数的函数值的符号，由此逐一核对四个选项即可得到答案．本题考查了函数的图象，考查了函数的单调性和导函数的函数值符号间的关系，是基础题．5.【答案】A【解析】解：（cosx+e x）dx=（sinx+e x）=（）-（sin0+e0）=1+-1=．故选：A．根据定积分的知识，直接积分即可．本题考查了定积分，考查对简单的被积函数的定积分问题，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：当n=k时，左边的代数式为++…+，当n=k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：+-=-．故选：B．求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．7.【答案】C【解析】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，∴f′（x）=3x2+2ax+b，且，解得a=4，b=-11或，a=-3，b=3；a=-3，b=3时：f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，根据极值的定义知道，此时函数f（x）无极值；a=4，b=-11时，f′（x）=3x2+8x-11，令f′（x）=0得x=1或-，符合条件；∴a=4．故选：C．根据函数f（x）在x=1处取极值10，得，由此求得a、b的值，再验证a、b是否符合题意即可．本题考查了极值的定义与应用问题，解题时求出a，b后须验证对应的函数是否有极值．8.【答案】C【解析】解：第1代“勾股树”中，正方形的个数3=21+1-1=3个，如图一，设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，根据勾股定理得a2+b2=c2，所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1，第2代“勾股树”中，正方形的个数7=22+1-1，如图二，所有的正方形的面积之和为3=（2+1）×1，…以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1-1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1=n+1．故选：C．第1代“勾股树”中，正方形的个数3，所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1，第2代“勾股树”中，正方形的个数7，所有的正方形的面积之和为3=（2+1）×1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1-1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为n+1．本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．9.【答案】C【解析】解：令V（t）=0可得11-3t+=0，解得t=-（舍）或t=5，∴此期间汽车继续行驶的距离为（11-3t+）dt=[11t-+24ln（1+t）]=+24ln6．故选：C．求出刹车时间，再利用定积分的几何意义得出刹车距离．本题考查了定积分的意义与定积分计算，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，则3+=m2，即3+m=m2，解得，m=，或m=舍去．故选：A．通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．本题考查类比推理，考查代数式求值、函数性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数f（x）在[-1，0]上导数为负，在（-∞，-1]上导数为正，故函数f（x）在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2；要使函数f（x）=在[-2，2]的最大值为2，则当x=2时，e2a-1的值必须小于等于2，即e2a-1≤2，解得a（-∞，+ln2）．故选：D．运用导数，判断函数在x≤0时f（x）的单调性，求得当x[-2，0]上的最大值为2；欲使得函数f（x）在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a-1的值必须小于等于2，从而解得a的范围．本题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．12.【答案】B【解析】解：f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴f′（x）≥0，其导函数f′（x）满足，∴f′（x）＞0．于是不等式化为：2xf（x）+x2f′（x）-f′（x）＞0．令g（x）=（x2-1）f（x），g（1）=0，则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）-f′（x）＞0．g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x＞1时，g（x）＞g（1）=0，∴f（x）＞0．0＜x＜1时，g（x）＜g（1）=0，∴f（x）＞0．由2xf（x）+x2f′（x）-f′（x）＞0．∴2f（1）＞0，解得f（1）＞0．综上可得：x（0，+∞），f（x）＞0．故选：B．f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，可得f′（x）≥0，其导函数f′（x）满足，可得f′（x）＞0．于是不等式化为：2xf（x）+x2f′（x）-f′（x）＞0．令g（x）=（x2-1）f（x），g（1）=0，可得g′（x）=2xf （x）+x2f′（x）-f′（x）＞0．g（x）在（0，+∞）上单调递增，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、构造法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】（-1，1）【解析】解：∵，∴复数在复平面上对应的点的坐标是（-1，1）故答案为：（-1，1）首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，得到最简形式即复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，要写点的坐标，需要把复数写成代数形式的标准形式，实部做横标，虚部做纵标，得到点的坐标．14.【答案】【解析】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：S===，由几何概型计算公式可得：黄豆落在阴影部分的概率为p=，故答案为：．利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式求解．本题考查定积分的几何意义，几何概型计算公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．15.【答案】（2）【解析】解：由定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应如所示的4个图形可知：A对应的图象为竖直的直线、B对应的图象为大矩形、C对应的图象为水平的直线、D对应的图象为小矩形，即可以表示A*D的是（2），故答案为：（2）．先对图象的分析得：A对应的图象为竖直的直线、B对应的图象为大矩形、C对应的图象为水平的直线、D对应的图象为小矩形，再结合简单的合情推理得：可以表示A*D的是（2），得解．本题考查了对图象的分析能力及简单的合情推理，属中档题．16.【答案】（0，）【解析】解：由x+＞alnx（a＞0）成立，令f（x）=x+-alnx＞0则f′（x）=1--=，∵a＞0，∴x（0，1+a）时，f′（x）＜0；x（1+a，+∞）时，f′（x）＞0．故f（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数．当0＜a≤e-1时，存在x[1，e]，使得f（x）＜0成立，可化为f（x）min=f（1+a）=1+a-aln（1+a）+1＜0，无解．当e-1＜a时，存在x[1，e]，使得f（x）＜0成立，可化为f（x）min=f（e）=e-a+＞0，解得0＜a＜．综上可得：a的取值范围为（0，），故答案为：（0，）．利用导函数讨论其单调性，存在x[1，e]，使得f（x）＜0成立，⇔∀x[1，e]，使得f（x）min f（x）＜0成立．对a分类讨论，即可求解a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵z1=2+ai，z2=3-4i，∴z1+z2=5+（a-4）i，由题意得a=4，则z1=2+4i，∴z1-z2=（2+4i）-（3-4i）=-1+8i；（Ⅱ）∵是纯虚数，∴ ，即a=，则，故|z1|=．【解析】（Ⅰ）由z1+z2是实数求得a，再由复数代数形式的加减运算化简得答案；（Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a，再由复数模的计算公式求|z1|．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=ax2-（a+1）x+1，由导数的几何意义得f'（2）=5，于是a=3．由切点P（2，f（2））在直线y=5x-4上可知2+b=6，解得b=4．所以函数f（x）的解析式为f（x）=x3-2x2+x+4．（Ⅱ）′，当0＜a＜1时，＞，函数f（x）在区间（-∞，1）及，上为增函数；在区间，上为减函数；当a=1时，，函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数；当a＞1时，＜，函数f（x）在区间 ，及（1，+∞）上为增函数；在区间，上为减函数．【解析】（1）先求函数f（x）的导数，令f'（2）=5求出a的值，切点P（2，f（2））在函数f（x）和直线y=5x-4上，可求出b的值，最后得到答案．（2）对f'（x）的解析式因式分解后讨论可得答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．19.【答案】（Ⅰ）证明：连接BD，在△ABC中，∠B=90°．∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，∵PB⊥面ABC，EF⊂平面ABC，∴PB⊥EF，又PB∩BD=B，∴EF⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵∠PAB=45°，∴PB=BC=2，如图建立空间直角坐标系，则E（1，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），则=（-1，2，0），=（-1，0，2），设平面PEC的一个法向量为=（x，y，z），则=0，=0，即，令x=2，得=（2，1，1），由已知可得，向量=（2，0，0）为平面PBC的法向量，∴cos＜，＞===．∴二面角E-PC-B的余弦值为．【解析】（I）连接BD，证明EF⊥BD，EF⊥PB得出EF⊥面PBD；（II）建立空间坐标系，求出平面PCB和平面PCE的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）验证①式成立：∵＞1.41，∴2＞2.82，∴2-1＞1.82，又＜1.74，∴＜2-1，（Ⅱ）一般结论为：若n N*，则＜2-，证明如下：要证：＜2-只需证：+＜2即证：（+）2＜（2）2，也就是证：2n+2+2≤4n+4即证：＜n+1只需证：n（n+2）＜n2+2n+1即证：0＜1，显然成立故＜2-【解析】（1）结合此范围，验证其正确性，（2）一般结论为：若n N*，则＜2-，用分析法即可证明．本题考查了分析法，关键掌握证明格式，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=a-e x，x R；当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减，且f（）=1-＞0，f（0）=-1＜0，∴f（x）有且只有一个零点；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln a；由f′（x）＞0，得f（x）的单调递增区间为（-∞，ln a）；由f′（x）＜0，得f（x）的单调递减区间为（ln a，+∞）；∴f（x）的最小值为f（ln a）=a lna-a=a（ln a-1）；当a（ln a-1）＜0，即0＜a＜e时f（x）无零点，当a（ln a-1）=0即a=e时f（x）有一个零点，当a（ln a-1）＞0，即a＞e时f（0）=-1＜0，且x→+∞时，f（x）→-∞，∴f（x）有两个零点；…（6分）（Ⅱ）∵∀x[1，+∞），f（x）≥g（x）-e x，则ax≥，即a≥；设h（x）=，则问题转化为a≥，由h′（x）=，令h′（x）=0，x=；当x[1，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；x（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；∴当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为，∴a的取值范围是a≥．…（12分）【解析】（Ⅰ）求函数f（x）的导数，利用导数判断函数的单调性和极值，从而得出函数零点的个数；（Ⅱ）由题意不等式恒成立，转化为∀x[1，+∞）时a≥恒成立，构造函数h（x）=，求h（x）的最大值，即可求得a的取值范围．本题考查了利用导数求函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．22.【答案】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为函数f′（x）=x cosx-sin x，x[-，]．∴f′（x）=cos x+x（-sin x）-cos x=-x sinx，当x[-，0]时，f′（x）≥0，从而f（x）在[-，0]单调递增，所以f（x）≥f（0）=0．…（4分）解：（Ⅱ）令g（x）=，x（-，0），则′，由（Ⅰ）知g′（x）＞0，∴函数g（x）在（-，0）单调递增，故a≤g（x）min=g（-）=，∴a的最大值为．…（6分）∵＜等价于sin x-bx＞0，令h（x）=sin x-bx，x（-，0），则h′（x）=cos x-b，（1）当b≤0时，h（x）＜0对任意x（-，0）恒成立，不符合题意；（2）当b≥1时，因为对任意x（-，0），h′（x）=cos x-b＜0，∴h（x）在（-，0）单调递减，∴h（x）＞h（0）=0对任意x（-，0）恒成立，符合题意；（3）当0＜b＜1时，构造φ（x）=cos x-b，则φ′（x）=-sin x＞0，∴φ（x）在（-，0）单调递增，又∵φ（-）=-b＜0，φ（0）=1-b＞0，∴存在唯一零点，，使得φ（x0）=0，当x（-，x0），φ（x）＜0，h（x）在（-，x0）单调递减，当x（x0，0），φ（x）＞0，h（x）在（x0，0）上单调递增，∴h（x0）＜h（0），不符合题意，综上，b的最小值为1．…（11分）∴a＜＜对x（-，0）恒成立，a的最大值为，b的最小值为1．…（12分）【解析】（Ⅰ推导出f′（x）=-xsinx，从而f（x）在[-，0]单调递增，由此能证明f（x）≥f（0）=0．（Ⅱ）令g（x）=，x（-，0），则，函数g（x）在（-，0）单调递增，从而a≤g（x）min=g（-）=，进而a的最大值为.等价于sinx-bx＞0，令h（x）=sinx-bx，x（-，0），则h′（x）=cosx-b，由此根据b≤0，b≥1，0＜b＜1分类讨论，利用导数性质能求出a的最大值与b的最小值．本题考查不等式的证明，考查实数的最大值、最小值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查分为讨论思想，是难题．。
【高一数学试题精选】福建六校2018
综上，≤3．…………12分
19（1）解由得，解得
由因为，所以……5分
（2）函数在上是增函数，证明如下……6分
设，且，
则……10分
因为，所以，所以，
即是上的增函数……12分
ax即(a-1)x2+(a+1)x+2 0
①当a＝1时，原不等式的解为x -1；
②当a 1时，原不等式化为（a-1）(x+ )(x+1) 0即(x+ )(x+1) 0
若a＝3，原不等式化为,(x+1)2 0，原不等式的解为x≠-1
若a 3原不等式的解为x -1或x -
③当a 1时，原不等式化为（a-1）(x+ )(x+1) 0即(x+ )(x+1) 0，
则- -1，原不等式的解为-1 x -
综上所述
当a 1时，原不等式的解集为｛x|-1 x -｝；
当a＝1时，原不等式的解集为｛x|x -1｝；
当1 a 3时，原不等式的解集为｛x|x -1或x -｝；
当a＝3时，原不等式的解集为｛x|x≠-1｝；
当a 3时，原不等式的解集为｛x|x -或x -1｝…………12分
5
福建六校2018
5
“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考
1}，c (A∩B)，求实数的取值范围．
19．（本小题12分）已知函数在其定义域上为奇函数
（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并给出证明．
3,5]．A∪B=[-3,8]
A∩B={x|-1≤x≤5}，…………6分
（2）①若c=，则+1 2-1，∴2．…………8分
福建省六校2019-2020学年高一下学期期中联考试题数学-附答案(精校版)
“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考2017－2018学年第二学期半期考高一数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上.)1．若的 120终边上有一点），（a 1-,则a 的值是( ) 33.-A 3.-B 33.C 3.D 2．某扇形的圆心角为 135,所在圆的半径为4,则它的面积是（ ）π6.A π5.B π4.C π3.D3． 54tan 66tan 354tan 66tan -+的值是( )33.-A 3.B 3.-C 33.D 4．下列命题中： ①∥b ⇔存在唯一的实数R ∈λ，使得a b λ=；②e 为单位向量，且∥e ，则a =； ③2||||a a a =⋅；④与b 共线，b 与c 共线，则与c 共线； ⑤若c a b c b b a =≠⋅=⋅则且,0正确命题的序号是（ ）.A ①⑤ .B ②③ .C ②③④ .D ①④⑤5．设270cos 1,17tan 117tan 2,6sin 236cos 212-=+=+=c b a 则有（ ） c b a A >>.a c b B <<.b c a C <<.c b a D <<.6．已知534cos 3cos =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-απα,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+34sin πα的值为（ ）532.-A 532.B 54.-C 54.D7．在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是（ ）.A .B .C .D8．201923sin 2018+⎪⎭⎫⎝⎛-=x y π单调增区间为（ ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12.ππππk k A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125.ππππk k B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3.ππππk k C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6.ππππk k D 以上Z k ∈ 9．函数x k y 2sinπ=)0(>k 在[]6,0内至少出现3次最大值，则k 的最小值为（ ） 23.A 45.B 34.C 25.D 10．设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若=+⋅-)()(OC OB PC PB0)()()()(=+⋅-=+⋅-OB OA PB PA OA OC PA PC ，则O 为ABC ∆的（ ）.A 内心 .B 外心 .C 重心 .D 垂心11．已知,54)6cos(,20=+<<πθπθ则）（122tan πθ+的值为（ ）1731.A 1731.-B 3117.C 3117.-D12．已知向量,,)2(),()(,1-⊥-⊥-=，237=的最大值和最小值分别为n m ,，则n +m 等于（ ）23.A 25.B 37.C 253.D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置.) 13．=+ 33sin 63sin 33cos 63cos ； 14．函数)32tan()(π-=x x f 的对称中心为：； 15．已知1cos sin cos sin )(,20-++=≤≤x x x x x g x 则π的最大值为： ；16．已知平面向量b a ,1==,若e 6≤+恒成立，则b a ⋅的最大值是：_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知1)2sin()cos()23cos(2)sin(=---+++x x x x ππππ． （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求x x 2cos 2sin -的值．18．（本小题满分12分）已知：)13,()12,4()5,(λλ-C B A ，，三点,其中0<λ.（Ⅰ）若C B A ,,三点在同一条直线上，求λ的值； （Ⅱ）当⊥19．（本小题满分12分）设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f ,)(x f y =图像的一条对称轴是直线85π=x ． （Ⅰ）求ϕ的值并画出函数)(x f y =在[]π,0上的图像； （Ⅱ）若将)(x f 向左平移4π个单位,得到)(x g 的图像,求使22)(>x g 成立的x 的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，各边长为2的ABC ∆中，若长为2的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与的夹角θ取何值时，⋅的值最大？并求出这个最大值.21．（本小题满分12分）为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形MNPQ 的两个顶点N M ,及PQ 的中点S 处，km MN 310=，km NP 35=，现要在该矩形的区域内（含边界），且与N M ,等距离的一点O 处设一个宣讲站，记O 点到三个乡镇的距离之和为)(km L ． （Ⅰ）设)(rad x OMN =∠，将L 表示为x 的函数；（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定宣讲站O 的位置，使宣讲站O 到三个乡镇的距离之和)(km L 最小．22．（本小题满分12分）已知函数),(12cos sin )(R b a x b x a x f ∈++=（Ⅰ）当1,1-==b a 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 时，求)(x f 的值域；（Ⅱ）若1-=b ,存在实数[]π,0∈x 使得2)(a x f ≥成立，求实数a 的取值范围.“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考2017－2018学年第二学期半期考高一数学试题参考答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.) ＤＡＣＢＢ ＣＤＢＡＢ ＣＤ二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.)2ππ+∈14.(,0),46k k Z1216．41三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．解：（Ⅰ）3sin()2cos()2cos()sin()2x x x x ππππ+++---x x x x cos cos sin 2sin --+-=1tan 21=-=x -----5分2tan -=∴x -----------------------6分（Ⅱ）原式=xx x x x 222cos sin cos cos sin 2+-=1tan 1tan 22+-x x------------------------9分=1- ------------------------10分18．解：（Ⅰ）依题有：)1,4(),7,4(--=-=λλBC AB ， -----------------2分C B A ,, 共线0)4(7)4(=++-∴λλ -----------------------５分316-=∴λ -----------------------6分（Ⅱ）由BC AB ⊥得：07)4)(4(=++-λλ------------------------8分3±=∴λ又0<λ3-=∴λ------------------------9分)8,6()8,2(=-=∴λAC10=------------------------12分 19．解：（Ⅰ）依题有:)(24Z k k ∈+=+ππϕπ.∴)(4Z k k ∈+=ππϕ又0<<-ϕπ.∴ϕ＝－34π. ------------------------2分 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=432sin πx y ，列表如下：------------------------6分 描点连线，可得函数)(x f y =在区间π⎡⎤⎣⎦0,上的图像如下．------------------------8分（Ⅱ）依题有：)4()(π+=x f x gsin(2)4x π=- ------------------------10分()sin(2)4g x x π>->由()42k x k k Z ππππ∴+<<+∈ ------------------------12分20．解法一：依题有：21===-=AP AQ--=-=-=, ------------------------3分()()BP CQ AP AB AP AC ∴⋅=-⋅-- ------------------------4分1AP AC AB AP AB AC =--⋅+⋅+⋅1()AP AB AC AB AC =-+⋅-+⋅------------------------６分112PQ BC =+⋅ ------------------------8分12cos θ=+------------------------10分.3.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即⋅==∴θθ------------------12分解法二:如图所示建立平面直角坐标系xy A -.则)3,1(),0,2(),0,0(C B A ,且2==BC PQ , 1=AP . 依题有Q P ,两点在单位圆上可设)sin ,(cos x x P ,则)sin ,cos (x x Q --,[)360,0∈x . ∴)sin ,2(cos x x BP -=,)3sin ,1cos (----=x x CQ . ∴)3sin (sin )1cos )(2(cos --+---=⋅x x x x CQ BP . =)cos sin 3(1x x --=)30sin(21 --x300=∴x .3.,)(00其最大值为最大时方向相同与即CQ BP BC PQ ⋅=θ21．解：（Ⅰ）如图，延长SO 交MN 于点T ，由题设可知12MT NT MN ===OM ON =，OS OT =，在Rt OTM ∆中，,cos OM OT x x==，--------３分L OM ON OS ∴=++cos x x=+，)cos 4x x x π=-+≤≤-------------6分（Ⅱ） ()L x ∴=+---------------------- 8分令2sin ,0cos 4x t x x π-=≤≤，则cos sin 2t x x +=)2,(tan )x t ϕϕ+==，sin()1x ϕ+=≤由得：t ≥或t ≤（舍）， ------------------------10分当t =时，,[0,]364x πππϕ==∈，L 取最小值，即宣讲站位置O 满足：,10,5)6x MO NO km SO km π====时可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小．---------------12分22.解：（Ⅰ）8141sin 2sin sin 2)(22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x f.1sin 1:22≤≤-≤≤-x x 得由ππ-----------------------------------2分.3)(1sin ,81)(41sin max min ==-=-=∴x f x x f x 时当时当.3,81)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∴的值域为：x f ---------------------------------------------------4分（Ⅱ）2()2sin sin ,f x x a x =+[]sin ,0,1,t x t =∈令则[]2201t at a +≥2依题有：在，内有解，[]22()22,0,148a ag t t at t t ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭2令max (),a g t ≤2则---------------------------6分（1）000()24aa g t a ≤≥≤≤+当-即：时 max ()2,a g t a ∴≤=+22a ≤≤解得：-102a ∴≤≤ -------------------------------------7分 （2）2100()2428a a a g t a <<<<-≤≤+当-即：-2时()2242088a a a +⎛⎫+--=> ⎪⎝⎭max ()2,a g t a ∴≤=+22a ≤≤解得：-10a ∴≤<-1 -----------------------------------------------9分（3）212()048a a a g t ≤<<≤--≤≤1当-即：-4时22max(),8a a g t ∴≤=2无解 ------------------------------10分 （4）142()04a a a g t ≥≤-+≤≤当-即：时 max ()2,a g t a ∴≤=--2无解 ---------------------------------------- 11分2a ≤≤综上所述：-1 ----------------------------------------------------12分。
2018-2019学年福建省龙岩市上杭县第一中学等六校高二下学期期中考试数学(理)试题
如图建立空间直角坐标系，则 E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则
EC =(-1,2,0), EP =(-1,0,2)
设平面 PEC 的一个法向量为 n =（x，y，z），
则 n EC =0， EP n =0
即 x 2 y 0, x 2z 0
3 2
,
z1
2
3 2
i，
故 z1
4 9 5 ．.................10 分 42
18. （本小题满分 12 分）
解（Ⅰ） f ' (x) ax 2 (a 1)x 1. 由导数的几何意义得 f ' (2) 5 ，于是 a 3 .
由切点 p(2, f (2)) 在直线 y 5x 4 上可知 b 4 .
B. 对于任意 x (0,) ， f (x) 0
C.当且仅当 x (1,)，f (x) 0
D. 当且仅当 x (1, ), f (x) 0
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.在复平面内，复数 2i 对应的点的坐标为 1i
只需证： n(n 2) n2 2n 1
即证： 0 1，显然成立
故 n 2 2 n 1 n .．..........................................................12 分
）
A．[1 (ln 2 1),) 2
C. (,0)
B．[0，1 (ln 2 1)] 2
D． (, 1 (ln 2 1)] 2
福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题附答案
福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．若复数3i (,i 12iR a a +∈-为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．4C ．－6D ．62．函数1)(+=xe xf 在点))0(,0(f 处的切线方程为（ ）A ．1-=x yB ．2+=x yC ．12-=x yD ．22+=x y 3.函数2()2ln f x x x =-的递增区间是（ ）A.1(0,)2B. ),21()0,21(+∞-和C.1(,)2+∞ D. )21,0()21,(和--∞4．函数)(x f y =的图象如右图所示，则导函数)('x f y =的 图象的大致形状是 ( )5．计算dx e x x ⎰+20)(cos π为( )A ．2πe B ．2-2πe C ．12+πe D ．1-2πe6．用数学归纳法证明不等式),1(211.2111*N n n n n n n ∈>>++++++ 的过程中，从k n =到1+=k n 时左边需增加的代数式是 ( ) A ．221+k B ．221121+-+k k C ．221121+++k k D ．121+k 7.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处取得极值10，则a =（ ） A ．4或3- B ．4-或3 C ．3- D ．48．右下图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．12+n C ．1+n D ．2+n9.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝11－3t ＋t+124(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ）A ．4＋25ln5B ．6ln 24225+ C ．6ln 24235+ D ．6ln 48235+ 10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式+++11111中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程x x=+11，求得251+=x ，类似上述过程，则 +++333（ ）A ．2113+ B ．3 C ．6 D ．2211. 函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=-)0()0(132)(123x e x x x x f ax 在]2,2[-的最大值为2，则a 的取值范围是（ ）A ．)),12(ln 21[+∞+ B ．)]12(ln 210[+， C. )0,(-∞ D ．)]12(ln 21,(+-∞ 12.已知()f x 是定义在),0(+∞上的增函数，其导函数)(x f '满足1)()(22>+'x x f x xf ，则下列结论正确的是（ ）A .对于任意),0(+∞∈x ，()0f x <B . 对于任意),0(+∞∈x ，()0f x >C .当且仅当0)(),1(<+∞∈x f x ，D . 当且仅当(1,),()0x f x ∈+∞>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为 14．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆， 则它落在阴影部分的概率为_______.15.定义A*B ，B*C ，C*D ，D*B 依次对应如图所示的4个图形：那么以下4个图形中，可以表示A*D 的是 （填与图形对应的序号）16.任意],1[e x ∈，使得ln (0)x ax a a a x++>>成立，则a 的取值范围是_______.三、解答题：共70分。
福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题
“长汀、连城、武平、永定、漳平、上杭六地一中”联考2018-2019学年第二学期半期考高二数学(文)试题命题人：漳平一中 陈美兰 永定一中 邱冬兰 上杭一中 李小红（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若i 为虚数单位，则复数iiz -+=12的共轭复数z 是（ ） A. i 53- B. i 53 C. i 2321- D. i 2321+2. 设R x ∈,则“21<<x ”是“022<--x x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直。
在以上三段论的推理中（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论错误 4.若洗水壶要用 1分钟、烧开水要用12分钟、洗茶杯要用2分钟、取茶叶要用1分钟、 沏茶 1分钟，那么较合理的安排至少也需要 （ ）A. 12分钟B. 13分钟C. 14分钟D. 15分钟5. 用反证法证明命题:“若,,R b a ∈且02=+b a ，则b a ,全为0”时，应假设为（ ） A.0≠a 且0≠b B.b a ,不全为0 C.b a ,中至少有一个为0 D.b a ,中只有一个为6.若7++=a a P ，43+++=a a Q ()0≥a ，则Q P ,的大小关系是（ ）A. Q P <B. Q P =C. Q P >D. Q P ,的大小由a 的取值确定 7.下列有关命题的说法正确的是（ ） A.若q p ∨为真命题，则q p ,均为真命题.B.命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为假命题.C.命题p ：12sin ,0->>∃x x x ，则￢p 为：12sin ,0-≤>∀xx x .D.命题“若,02=-x x 则0=x 或1=x ”的否命题为“若,02≠-x x 则0≠x 或1≠x ”.8.当3,6==n m 时，执行如右图所示的程序框图， 输出的S 值为（ ）A.6B. 30C. 120D. 360 9. 给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,,R b a ∈则b a b a =⇒=-0”类比推出“若,,C b a ∈则b a b a =⇒=-0”；②“若,,,,R d c b a ∈则复d b c a di c bi a ==⇒+=+且” 类比推出“若,,,,Q d c b a ∈则d b c a d c b a ==⇒+=+且22”； ③“若,,R b a ∈则b a b a >⇒>-0”类比推出“若,,C b a ∈则b a b a >⇒>-0”.其中类比结论错误．．的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 310. 一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲 B ．乙 C ． 丙 D ．丁11. 已知函数()()x m x x x f -++=52ln 22在()5,4上单调递增，则实数m 的取值范围是( )A ．]225,(+-∞B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-219,C ．()225,+∞- D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-219,12.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与圆222a y x =+相切，且2121F PF PF F ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ） A.3100B. 34C. 2D. 35第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上) 13. 将极坐标⎪⎭⎫⎝⎛6,2π化为直角坐标是 . 14.已知抛物线x y 82=的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5=PF ，则POF ∆的面积 为 .15.已知命题p ：存在[]1,0∈x ，使得0≥-xe a 成立，命题:q 对任意R x ∈，042>++a x x 恒成立，若命题q p ⌝∧是真命题，则实数a 的取值范围是 .16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 ,10,6,3,1记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：2019b 是数列{}n a 中的第 项．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.（本题满分10分）已知函数()bx ax x x f --=23，其中b a ,为实数，且()x f 在1=x 处取得的极值为2。
福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
福建省上杭县第一中学等六校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.)1.中，角的对边分别为，若，则角A为（）A. B. 或 C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理，得sin A，所以A＝45°或135°．再结合三角形内角和定理得A＜120°，得135°不符合题意，则A可求【详解】∵△ABC中，∴sin A∵，∴A＝45°或135°∵B＝60°，得A+C＝120°，A＜120°∴A＝45°（舍去135°）故选：C．【点睛】本题着重考查了用正弦定理解三角形的知识，准确计算是关键，注意A的范围舍去135°是易错点．2.如果,那么下列不等式中正确的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．【详解】A、如果a＜0，b＞0，那么，∴，故A正确；C、取a＝﹣2，b＝1，可得a2＞b2，故C错误；D、取a，b＝1，可得|a|＜|b|，故D错误；故选：A．【点睛】此题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，此题是一道基础题．3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】C【解析】由题意得等差数列中求，选C.4.已知满足，则的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】试题分析：因为对于三角形形状的判定要不就通过角，要不就通过边，那么可以利用正弦定理进行边角转化，由，得到sinC2R=2sinA2RcosB.化简得到为sinC=2cosBsinA=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,这样可得到sin(B-A)=0，故有A=B因此该三角形为等腰三角形，考点：本试题主要考查了正弦定理、两角和差的三角公式和三角形的内角和定理的综合运用， 点评：解决该试题的关键是对于边化角后，能运用内角和定理中sinA=sin(C+B),化简变形得到结论。
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福建省龙岩市上杭县第一中学等六校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.) 1.ABC ∆中，角的对边分别为，若060,3,2===B b a ，则角A 为（）A ．0135B ．0135或045 C ．045 D ．0302．如果0,0><b a ，那么下列不等式中正确的是( ) A.11a b<< C.22a b < D. a b > 3.《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第 五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．164.若ABC ∆满足2cos c b A =，则ABC ∆的形状是（） A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.不等式112x ≥-的解集是（）A. [2,3]B.(]2,3C.()[)+∞⋃∞-,32,D.[)+∞⋃-∞,3]2,(6．已知{n a }是等差数列，{n b }是等比数列，若13579a a a a a ++++＝50，461416b b b b ⋅⋅⋅＝625，则1082b a a +＝（） A ．4 B ．4- C ．±4 D ．±57．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，M 是BC 的中点，4AM =，则BC 等于（） ABCD8 . 若点（n ，a n ）都在函数324y x =-图象上，则数列{a n }的前n 项和最小时的n 等于,,A B C ,,a b c( ) A. 7或8B. 7C. 8D. 8或99.各项均正的数列{}n a 满足14a =，1122n n n a a ++=+，则n a 等于（）A. 12-⋅n nB.n n 2)1(⋅+C.12+⋅n n D. nn 2)1(⋅-10.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010=S ，7030=S ，则40S 等于( ) A. 150B.-200C.150或 -200D. 400或 -5011.等比数列{}n a 的各项均正，412=a ，其前n 项和n n a S )21(-=，则 nn a a a a a 1)1(1-11-114321+-+⋅⋅⋅++的值为（） A.])2(1[2n --B.)21(2n- C.)21(32n +D.])2(1[32n --.12．若数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为a a n n 2018)1(+-=，n b n n 2019)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1B.[)1,1-C.[)1,2-D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若b =A ，B ，C成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于________.14．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角120=∠ABC ；从B 处攀登4千米到达D 处，回头看索道AC ， 发现张角150=∠ADC ；从D 处再攀登8千米方到达C 处，则索道AC 的长为________ 千米．15. 数列{}n a 满足11=a ，1212+=++n a a n n ，则数列{}n a 的前21项和为.16.ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值等于.三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）在中，角的对边分别为，且222a b c bc --=. （1）求角；（2）若，且的面积为，求的值.18.（12分）已知不等式2320ax x -+>的解集为{}b x x x ><或1. （1）求实数a ，b 的值；（2）解不等式2()0ax ac b x bc -++≤().c ∈R19.（12分）如图，半圆O 的直径长为2，A 为直径的延长线上的一点，2OA =，B 为半圆周上的动点，以AB 为边，向半圆外作等边ABC∆，设AOB θ∠=，四边形OACB 的面积为().f θABC ∆,,A B C ,,a b c A 2=b ABC ∆32=S a（1）求()f θ表达式； （2）求()f θ的最大值．20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n S a +=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)当)3(log 123+=n n a b 时，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T .21.（12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,,c b a 且a CBc C b =⋅-)tan cos sin (3（1）求角A ； (2)若ABC ∆的面积为243c λ，求实数λ的范围.22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33=a ，216=S ，数列{}n b 满足：112b =， 112n n n b b n++=()n ∈N*，数列{}n b 的前n 项和为.n T （1）求数列{}n a 的前n 项和；（2）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n T ； （3）记集合(2)(2),2n n n M n S T n λ+⎧⎫=-≥∈⎨⎬⎩⎭*N ，若M 的子集个数为32，求实数λ的 取值范围.【参考答案】一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.)二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 1 14. 16. 4三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17.解：（1）bc a c b 2cosA 222-+= ，又222,a b c bc --=-------2分1cos ,2A ∴=------4分，2.3A π∴= -------5分（2）bc bc A bc S ABC 4332sin 21sin 21===∆π， 又，， 4.c ∴=----9分28cos 2222=-+=∴A bc c b a，故a =-----10分18.解：（1）由题意可知，解得a =1，b =2.--------5分（2）不等式2()0ax ac b x bc -++≤，即2(2)20x c x c -++≤， 所以(2)()0,x x c --≤ 若，不等式的解集为[],2c ； ，不等式的解集为{}2；，不等式的解集为[]2,c ……（11分） 综上：若，不等式的解集为[],2c ；，不等式的解集为{}2；，不等式的解集为[]2,c .（12分）19.解：（1）在AOB ∆中，2222cos 54cos AB OA OB OA OB θθ=+-⋅=-，()sin 2sin()3AOB ABC f S S πθθθθ∆∆∴=+=-+=-+(0)ϑπ≤≤（6分）0A π<<又32=S 2=b（2）()2sin()3f πθθ=-+0θπ≤≤，2333πππθ∴-≤-≤，56πθ∴=时，()f θ的最大值为2+（12分）20、解：(1)12+=n n a s ，)2(21≥=∴-n a s n n ，得n n n na a s s 2211-=-+-，)2(231≥=∴+n a a n n ， 又11=a ，2312≠∴a a ． 故21,(1).13,(2)22n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩-------6分(2)n a b n n ==+)3(log 123，11111,(1)1n n b b n n n n +∴==-++ 11111111.22311n T n n n ∴=-+-++-=-++---12分 21.解：（1）a C Bc C b =-)tan cos sin (3 .sin cos cos )sin ,B C B C A -=A CB sin )cos(3=+-∴，sin ,A A =3tan =∴A ，A 为锐角，.3A π∴=----6分(2)243sin 21c A bc S λ==，24343c bc λ=∴， CC CBc b sin )32sin(sin sin -===∴πλ=21tan 123sin sin 21cos 23+=+C C C C ， 2320ππ<-<C ，26ππ<<∴C ， 33tan >∴C ，3tan 10<<∴C，所以实数λ的范围是221<<λ.---12分 22.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则：⎩⎨⎧=+=+211563211d a d a 解得11{ ,1a d ==n a n ∴=，2.2n n nS +=--3分（2）由题意得111,2n n b n b n++=⋅-----5分 当2n ≥时，121121112,21212nn n n n n n b b b n n n b b b b b n n ----⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅⋅⋯⋅= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 又112b =也满足上式，故,2n n nb =故23123,2232n n nT =+++⋯+ ——①2311121,22322n n n n nT +-=++⋯++ ——② ①－②得：23111111222222n n n nT +=+++⋯+-＝111112221,12212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=-- 22.2n n n T +∴=--------8分（3）由题意得2)2(2+-≤n T S n n λ，由（1）（2）知：()22222n nnST n nn -+=+， 令()2,,2nn nf n n +=∈N* 则()11f =，()322f =，()332f =， ()544f =，()15516f =，3221)6(=f ，()()()()()221111121,222n n n n n n n n n f n f n ++++++-++-=-=∴当3n ≥时，()()10f n f n +-<，()()1,f n f n +<集合M 的子集个数为32，M ∴中的元素个数为5，2,2n n nn λ+∴≥∈N *的解的个数为5，故16153221≤<λ---12分。