文科数学模拟(含答案)

文科数学模拟一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（14浙江文）设集合S={x|x ≥2}，T={x|x ≤5}，则S ∩T=（ ） A ．]5,(-∞ B ．),2[+∞ C ．(2,5) D ．[2,5] 解析：选D.2.（14辽宁文理2）设复数z 满足(z –2i)(2–i)=5，则z=（ ）A ．2+3iB ．2-3iC ．3+2iD ．3-2i答案：A3.（11课标文3）．下列函数中，既是偶函数又在(0，+≦)单调递增的函数是 A ．y=x 3 B ．y=|x|+1 C ．y=–x 2+1 D ．y=2–|x| 答案:B4.（12辽宁文）在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24 解析: a 4+a 8= a 2+a 10=16,故选B5. (13课标1文理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[–1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[–3,4]B ．[–5,2]C ．[–4,3]D ．[–2,5]解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6. (14课标2文理06）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A.2717 B. 95 C. 2710 D. 31解析:几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：2710 7.(13课标1文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝1/25.≧A ∈(0，π2)，≨cos A ＝15.≧72=62+b 2–2×6×b ×cos A ，≨b ＝5或b=–13/5 (舍)．故选D.8.（14福建文10）设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则+OB +OC +OD 等于（ ）A. OMB.2OMC. 3OMD. 4OM解析:≧O 为任意一点，不妨把A 点看成O 点，则OA +OB +OC +OD =0+AB +AC +AD ，≧M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，≨0+AB +AC +AD =2AC =4OM 故选：D9. (14课标2文07）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A ﹣B 1DC 1的体积为（ ）A.3B. 32C.1D. 32解析:≧正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，≨底面B 1DC 1的面积：12×2×3=3，A 到底面的距离就是底面正三角形的高3．三棱锥A ﹣B 1DC 1的体积为1×3×3=110.(11课标文12)已知函数y ＝f(x)的周期为2，当x ∈[–1,1]时f(x)＝x 2，那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lgx|的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 解析：由y ＝f(x)与y ＝|lgx|图象(如图)可知，选A.11.(13课标1文9)函数f(x)＝(1－cos x)sin x 在[–π，π]的图像大致为()．解析：由f(x)＝(1－cos x)sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈(0，π2]时，f(x)＞0，排除A.当x ∈(0，π)时，f ′(x)＝sin 2x ＋cos x(1－cos x)＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x)＝0，得x=2π3.故极值点为x=2π3，可排除D ，故选C.12.（14重庆文8）. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2–y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|–|PF 2|)2=b 2–3ab 则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.15 C. 4 D. 17答案：D 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分．）13. (14天津文理09）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.解析:由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×44＋5＋5＋6＝6014.（14浙江文12）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x ，则x+y 的取值范围是_____________；解析：不等式组表示的平面区域为∆ABC ，令z=x+y ，当z=x+y 过B （1，0）时，z min =1，当z=x+y 过C （2，1）时，z max =3，15.(13课标1文理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x –2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.解析：f(x)＝sin x –2cos x ＝5sin(x+α)，其中cos α＝ 5，sin α＝–25，当f(x)取最大值时，θ+α=2k π+π2(k∈Z)cos θ＝cos(2k π+π2–α)= cos(π2–α)=sin α=–25516.（14重庆文14）已知直线x-y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x –4y –4=0相交于A,B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为_______. 答案：a=0或a=6三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.(13江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{a n }满足：a n 2–(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n =na n )1(1+，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a n 2－(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n)(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n.(2)由a n ＝2n ，b n =n a n )1(1+，则b n =)111(21)1(21+-=+n n n n ，T n =)1(2)1113121211(21+=+-++-+-n nn n18.（11陕西文20）（本小题满分12分）如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：（1）试估计40．．（2 ）分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率； （3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解:（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，∴用频率估计相应的概率为0.44.（2 ）选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为：（3）用A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；用B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由（2）知P(A 1) =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A 2)=0.1+0.4=0.5， P(A 1)> P(A 2)，∴甲应选择路径L 1； P(B 1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P （B 2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P(B 2)＞P(B 1)，∴ 乙应选择路径L 2.19. (13课标1文19) （本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B. 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB.由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB. 因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C.故AB ⊥A 1C. (2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝ 3.又A 1C ＝6，则A 1C 2＝OC 2＋OA 12，故OA 1⊥OC.因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20. (12北京文19）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 22＋y 22＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为2.直线y ＝k(x –1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝k x－1 ，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k(x 1－1)，y 2＝k(x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN|＝ 1＋k 2[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2]＝2 1＋k 2 4＋6k 21＋2k 2.又因为点A(2,0)到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN|·d＝|k|4＋6k 21＋2k 2.由|k|4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.21.（12福建文）（本小题满分12分）已知函数f(x)=axsinx –32(a ∈R)，且在[0，π2]上的最大值为π2–32,(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数,并加以证明.解: ≧f′(x)=a(sinx+xcosx) x ∈(0，π2)，≨f′(x)=a(sinx+xcosx) ≧x ∈(0，π2) ≨sinx+xcosx >0当a=0时,f(x)= –32不合题意;当a<0时, f′(x)<0, f(x)单调递减,f max (x)=f(0)= –32,不合题意;当a>0时, f′(x)>0, f(x)单调递增, f max (x)=f(π)=πa –3a=1,所以综上f(x)=xsinx –32(2) f(x)在(0，π)上有两个零点.证明如下:由(1)知f(x) f(x)=xsinx –32, f(0)= –32, f(π2)=π2a –32>0 f′(x)=a(sinx+xcosx)≨f(x)在[0，π2]上至少有一个零点,又由(1)知f(x)在[0，π2]上单调递增,故在[0，π2]上只有一个零点,当x ∈[π2，π]时,g(x)=f′(x)=sinx+xcosx, g(π2)=1>0，g(π)= –π<0设g(m)=0，m ∈[π2，π],g ′(x)=2cosx –xsinx<0, ≨g(x)在[π2，π]上递减,当x ∈[π2，m]时, g(x)>g(m)=0 f′(x)>0,f(x)递增,≨当x ∈(π2，m)时, f(x)≥f(π2)=π2–32>0≨f(x)在(m ，π)上递增,≧f(m)>0，f(π)<0 ≨f(x)在(m ，π)上只有一个零点综上f(x)在(0，π)上有两个零点.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22.(13天津文) （本小题满分10分）如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为__________．解析：因为在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，所以AD ＝BC ，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠ABE ＝∠BCD. 所以∠BAD ＋∠ABE ＝180°.又因为AE 为圆的切线，所以AE 2＝BE ·EC ＝4×9＝36，故AE ＝6.在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠ABE ＝812222=⋅-+BE AB AE BE AB ，cos ∠BAD ＝cos(1800 –∠ABE)＝–cos ∠ABE＝81-，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝4225，所以BD ＝215.23.（12江苏文理）（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π＝– 32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ 2 2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ.24. (13辽宁文理) （本小题满分10分）已知函数f(x)＝|x –a|，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4–|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a) –2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，求a 的值．解：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-4,6242,22,62x x x x x当x ≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x ≤1或x ≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则h(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤-ax a a x a x x a ,20,240,2 由|h(x)|≤2，解得2121+≤≤-a x a . 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-221121a a 于是a ＝3.。