浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估数学试题(全WORD版)

台州市2019届高三年级期末质量评估试卷数 学 2019．01本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：11221()3V S S S S h =++ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24πV R = 球的体积公式：34π3V R =，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,2,3,4}A =，{B x =∈N |33}x -≤≤，则A B =A ．{1,2,3,4}B ．{3,2,1,0,1,2,3,4}---C ．{1,2,3}D ．{1,2}2．设复数z 满足i 2i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2314a a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则31S S 的值为 A.94 B. 94- C. 32D. 32-4．已知实数a ，b 满足224a b +=，则ab 的取值范围是 A ．[0,2]B ．[2,0]-C ．(,2][2,)-∞-+∞D ．[2,2]-5．设不为1的实数a ，b ，c 满足：0a b c >>>，则 A ．log log c a b b >B ．log log a a b c >C ．a cb b >D ．b ba c >6．在341(2)x x x-+的展开式中常数项为A ．28B ．28-C ．56-D ．567．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则A. 12E E ξξ<，12D D ξξ<B. 12E E ξξ=，12D D ξξ>C. 12E E ξξ=，12D D ξξ<D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>8．设1F ，2F 为双曲线C :22221x y a b-=的左右焦点，点P 为双曲线C 的一条渐近线l 上的点，记直线1PF ，l ，2PF 的斜率分别为1k ，k ，2k ．若1PF 关于x 轴对称的直线与2PF 垂直，且1k ，2k ，2k 成等比数列，则双曲线C 的离心率为A ．62 B ． 52C ．5D ．2 9．已知函数sin cos y x a x =+，π[0,]3x ∈的最小值为a ，则实数a 的取值范围是A ．[0,3]B ．[3,3]-C ．(,3]-∞D ．3(,]3-∞ 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为AB 的中点，将△ADM 沿DM 翻折．在翻折过程中，当二面角A —BC —D 的平面角最大时，其正切值为A ．33B ．12C ．23D ．14非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如右图，正方形ABCD 中，F ，G 分别为AD 和AB 的中点，若EF AD ⊥，=30EF ，GH AB ⊥，=750GH ，且EH 过点A ，则正方形ABCD 的边长为 ▲ ．12．已知23,0,()1,0,x x f x x x x +<⎧=⎨+-≥⎩则(2)f = ▲ ；不等式()(1)f x f >的解集为 ▲ ．13．已知x ，y 满足条件0,40,10,x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2x y +的最大值是 ▲ ，原点到点(),P x y 的距离的最小值是 ▲ ．14．小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有 ▲ 种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为 ▲ .15．已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱长和为 ▲ ，其体积为 ▲ ．16．若函数21()()3f x x a x b =+++在[1,1]-上有零点，则23a b -的最小值为 ▲ ．17．设圆1O ，圆2O 半径都为1，且相外切，其切点为P ．点A ，B 分别在圆1O ，圆2O 上，则PA PB ⋅的最大值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）已知函数()sin (3sin cos )222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3()2f B =，且3b =，求22a c +的取值范围．19．（本小题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -中，PC 垂直平面ABCD ，AB AD ⊥，AB CD ∥，222PD AB AD CD ====，E 为PB 的中点. （Ⅰ） 证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值.20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的n ∈N *，都有2132n n n a a a ++=-. （Ⅰ）证明数列{}+1n n a a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12nn n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意的n ∈N *都有1n nS m a ≥+，求实数m 的取值范围.21．（本小题满分15分）设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）若点P 为(1,0)-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 为圆22(2)1x y ++=上的点，记两切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求1211||k k -的取值范围．22．（本小题满分15分）设函数431()4f x x x =-，x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的实数x ，不等式()2f x a x ≥-恒成立，求实数a 的最大值；（Ⅲ）设0m ≠，若对任意的实数k ，关于x 的方程()f x kx m =+有且只有两个不同的实根，求实数m 的取值范围．台州市2018学年第一学期高三年级期末质量评估试题 数学参考答案 2019.01一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1—5 CDADD 6—10 ABBCB二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11. 300 12. 5；()()2,01,-+∞ 13. 6；2； 14. 32；1515. 163225++；173 16. 13- 17. 12三、解答题：本大题共 5 小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．解：（Ⅰ）2()3sinsin cos 222x x x f x =+31(1cos )sin 22x x =-+ π3sin()32x =-+. ………………………………………3分所以πππ2π2π232k x k -+<-<+，解得π5π2π2π66k x k -+<<+，k ∈Z. 所以函数()f x 的单调递增区间为π5π(2π,2π)66k k -++，k ∈Z. ……………7分（Ⅱ）因为π33()sin()322f B B =-+=，所以πsin()03B -=. 所以π=3B . …………………9分 又因为3b =，所以223=a c ac +-，即22=3+a c ac +.而222a c ac +≥，所以3ac ≤，即226a c +≤. ………………12分 又因为22=3+3a c ac +>，所以2236a c <+≤． ………………14分 19．（Ⅰ）证明: PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥AC ． ………………2分又AB ＝2，CD ＝1，AD ⊥AB ，所以AC ＝BC ＝2．故AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC ． ………………4分所以AC ⊥平面PBC ，所以平面ACE ⊥平面PBC ． …………………………6分 （Ⅱ）解: PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥CD ．又PD ＝2，所以PC ＝3． …………8分 在平面ACE 内，过点P 作PF 垂直CE ，垂足为F ．由（Ⅰ）知平面ACE ⊥平面PBC ，所以PF 垂直平面ACE ． …………10分 由面积法得：即12CE PF PC BC ⋅=⋅． 又点E 为AB 的中点，1522CE PB ==． 所以305PF =． ……………………………………12分 又点E 为AB 的中点，所以点P 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等． 连结BD 交AC 于点G ，则GB ＝2DG ．所以点D 到平面ACE 的距离是点B 到平面ACE 的距离的一半，即12PF ． 所以直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值为130220PFPD =．……………………15分 另解：如图，取AB 的中点F ，如图建立坐标系． 因为2PD =，所以3CP =．所以有：(0,0,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,3)P ，(1,1,0)A ，(1,1,0)B -，113(,,)222E -． …………9分 ABCDPE(第19题)x y zF(0,1,3)PD =-．(1,1,0)CA =，113(,,)222CE =-．设平面ACE 的一个法量为n (,,)x y z =，则0,30,222x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，得1y =-，233z =-． 即n 23(1,1,)3=--． …………13分 设直线PD 与平面AEC 所成角为θ，则sin |cos θ=<n ，|PD >130204223==+． …………15分 20．解：（Ⅰ）由2132n n n a a a ++=-可得2112()n n n n a a a a +++-=-． ………………2分又11a =，23a =，所以212a a -=.所以1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列. …………………3分 所以12nn n a a +-=. …………………4分 所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++-21222n =++++21n =-. …………7分（Ⅱ）因为12(21)(21)n n n n b +=--11(21)(21)(21)(21)n n n n ++---=--1112121n n +=---.………9分 所以12n n S b b b =+++223+1111111212121212121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭+11=121n --. ………12分又因为对任意的n ∈N *都有1n nS m a ≥+，所以+11112121n n m ≤----恒成立， 即1min1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭,即当1n =时，13m ≤-. ………15分 21．解：（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-.由121,,x m y y x =-⎧⎨=⎩可得2110y m y -+=. ………3分 因为PA 与抛物线相切，所以21=40m ∆-=，取12m =，则1A y =，1A x =.即(1,1)A . 同理可得(1,1)B -.所以AB ：1x =. ………6分 （Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 方程为1100y k x k x y =-+， 直线PB 方程为2200y k x k x y =-+.由11002,,y k x k x y y x =-+⎧⎨=⎩可得211000k y y k x y --+=. ………8分 因为直线PA 与抛物线相切，所以1100=14()k k x y ∆--+20101=441=0x k y k -+.同理可得20202441=0x k y k -+,所以1k ，2k 时方程200441=0x k y k -+的两根.所以0120y k k x +=，12014k k x =. ………11分 则20122001y k k x x -=-200y x x -= . .………12分 又因为2200(2)1x y ++=，则031x -≤≤-，所以1211||=k k -1212=k k k k -204=y x -20041(2)x x -+- 20513=4()24x -++4,213⎡⎤∈⎣⎦. .………15分 22. （Ⅰ）解：32()3f x x x '=-，'(1)2f =-. .………1分且3(1)4f =-，所以在1x =处的切线方程为524y x =-+. ………3分 （Ⅱ）证明：因为对任意的实数x ，不等式()2f x a x ≥-恒成立.所以4324x a x x ≤-+恒成立. .………4分 设43()24x g x x x =-+，则32'()32g x x x =-+2(1)(22)x x x =---(1)(13)(13)x x x =----+ 所以()g x 在()13,1-，()1+3,+∞单调递增，在(),13-∞-，()1,1+3单调递减. ………6分 所以min ()min{(13),(13)}g x g g =-+， 因为13-，1+3是方程222=0x x --的两根.所以430000()24x g x x x =-+20000(22)(22)24x x x x +=-++ 2200(1)2x x =+-20021x x =-++1=-. （其中013x =±） 所以a 的最大值为1-. ………9分 （Ⅲ）解:若对任意的实数k ，关于x 的方程()f x kx m =+有且只有两个不同的实根， 当0x =，得0m =，与已知矛盾.所以43444x x m k x --=有两根，即43444x x my x --=与y k =有两个交点. …10分令4344()4x x m h x x --=，则432384'()4x x mh x x-+=. 令43()384p x x x m =-+，2'()12(2)p x x x =-，则()p x 在(,2)-∞单调递减，(2,)+∞单调递增，所以min ()(2)416p x p m ==-. …11分（ⅰ）当4160m -≥时，即4m ≥时，则'()0h x ≥，即()h x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递增，且当x →-∞时，()h x →-∞；当0x -→时，()h x →+∞；当0x +→时，()h x →-∞；当x →+∞时，()h x →+∞.此时对任意的实数k ，原方程恒有且只有两个不同的解. ………12分（ⅱ）当04m <<时，()p x 有两个非负根1x ，2x ，所以()h x 在(,0)-∞，1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，12(,)x x 单调递减，所以当21((),())k h x h x ∈时有4个交点，1=()k h x 或2=()k h x 有3个交点，均与题意不合，舍去. ………13分（ⅲ）当0m <时，则()p x 有两个异号的零点1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()h x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞单调递增；()h x 在1(,0)x ，2(0,)x 单调递减.又x →-∞时，()h x →-∞；当0x -→时，()h x →-∞；当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞.所以当12()()h x h x =时，对任意的实数k ，原方程恒有且只有两个不同的解.所以有43113840x x m -+=，43223840x x m -+=，得2222121212123()()8()x x x x x x xx ++=++.由12()()h x h x =，得3232112233x x x x -=-，即221212123()x x x x x x ++=+. 所以22128x x +=，122x x =-，122x x +=. 故3344121288()3()m x x x x =+-+22222212112212128()()3[()2()]x x x x x x x x x x =+-+-+-8=-.所以1m =-.所以当4m ≥或1m =-时，原方程对任意实数k 均有且只有两个解.………15分。