2020年浙江高考数学试卷-(含答案)

2020年浙江高考数学试卷

参考公式：

如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()C (1)

(0,1,2,,)k k n k

n n P k p p k n -=-=

台体的体积公式121

()3

V S S h =

其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高

柱体的体积公式V Sh =

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1

3

V Sh =

其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π

球的体积公式

34

3

V R =π

其中R 表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P Q = A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤<

D ．{|14}x x <<

2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i(i 为虚数单位)是实数，则a =

A ．1

B ．–1

C ．2

D ．–2

3．若实数x ，y 满足约束条件310

30x y x y -+≤??+-≥?

，则2z x y =+的取值范围是 A ．(,4]-∞ B ．[4,)+∞ C ．[5,)+∞ D ．(,)-∞+∞

4．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是

5．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是

A ．73

B ．

143

C ．3

D ．6

6．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差0d ≠，且1

1a d

≤．记12b S =，1222–n n n b S S ++=，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是 A ．4262a a a =+

B ．4262b b b =+

C ．2

4

28a a a = D ．2428b b b =

8．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=

A ．

2

B ．

5

C D 9．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则 A ．a <0

B ．a >0

C ．b <0

D ．b >0

10．设集合S ，T ，S ?N *，T ?N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，

y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x

x

∈S ．下列命题正确的是 A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素

D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)

{

}2

n n +就是二阶等差数列．数列*(1)

{

}()2

n n n +∈N 的前3项和是_______．

12．二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________． 13．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，π

tan()4

θ-=_______．

14．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底

面半径（单位：cm ）是_______．

15．已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______． 16．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不

放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______．

17

．已知平面单位向量1e ，2e 满足122||-e e 12=+a e e ，123=+b e e ，向量a ，b 的夹角为

θ，则2cos θ的最小值是_______．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）

在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知

2sin 0b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 19．（本题满分15分）

如图，在三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ． （Ⅰ）证明：EF ⊥DB ；

（Ⅱ）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．

20．（本题满分15分）

已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足111112

1,,,n

n n n n n n b

a b c c a a c c n b +++====-=∈*N ．

（Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差0d >，证明：*1231

1,n c c c c n d

++++<+

∈N ． 21．（本题满分15分）

如图，已知椭圆2

21:12

x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，

过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若1

16

p =

，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．

22．（本题满分15分）

已知12a <≤，函数()e x f x x a =--，其中e=2.71828…是自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：

0x ≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．

2020年浙江高考数学试卷答案

1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B

7．D

8．D

9．C

10．A 11．10

12．80,122 13．31,53

-

14．1

15 16．1,13

17．

2829

18．（Ⅰ）由正弦定理得

2sin sin B A A =，故sin B ， 由题意得π3

B =.

（Ⅱ）由πA B C ++=得2π

3C A =

-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62

A ∈.

由2π1cos cos(

)cos 32C A A A =-=-得

11π13

cos cos cos cos sin()]22622

A B C A A A ++++=++∈.

故cos cos cos A B C ++的取值范围是3

]2

. 19．（Ⅰ）如图，过点D 作DO AC ⊥，交直线AC 于点O ，连结OB .

由45ACD ∠=?，DO AC ⊥得

CD ，

由平面ACFD ⊥平面ABC 得DO ⊥平面ABC ，所以DO BC ⊥.

由45ACB ∠=?，1

2

2

BC CD ==

得BO BC ⊥. 所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB .

由三棱台ABC DEF -得BC EF ∥，所以EF DB ⊥. （Ⅱ）方法一：

过点O 作OH BD ⊥，交直线BD 于点H ，连结CH .

由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC

所成角.

由BC ⊥平面BDO 得OH BC ⊥，故OH ⊥平面BCD ，所以OCH ∠为直线CO 与平面DBC 所成角.

设CD =.

由2,DO OC BO BC ====

，得BD OH =

所以sin OH OCH OC ∠=

因此，直线DF 与平面DBC

. 方法二：

由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.

如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -.

设CD =.

由题意知各点坐标如下：

(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)O B C D .

因此(0,2,0),(1,1,0),(0,2,2)OC BC CD ==-=-. 设平面BCD 的法向量(,,z)x y =n .

由0,0,

BC CD ??=???=??n n 即0220x y y z -+=??-+=?，可取(1,1,1)=n .

所以|sin |cos ,||||OC OC OC θ?==

=

?n |n n |

因此，直线DF 与平面DBC .

20．（Ⅰ）由1236b b b +=得216q q +=，解得1

2

q =．

由14n n c c +=得14n n c -=．

由1

14n n n a a -+-=得12

142

1443

n n n a a --+=++++=．

（Ⅱ）由12n n n n b c c b ++=得12111

111()n n n n n b b c d c b b

d b b +++==-， 所以1231

11

(1)n n d c c c c d b ++++++=

-， 由11b =，0d >得10n b +>，因此*1231

1,n c c c c n d

++++<+

∈N ． 21．（Ⅰ）由116

p =

得2C 的焦点坐标是1

(,0)32．

（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．

将直线l 的方程代入椭圆2

21:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，

所以点M 的纵坐标22

M mt

y m =-+．

将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，

所以02M y y pt =-，解得202(2)

p m y m +=，

因此22

02

2(2)p m x m +=．

由220012

x y +=得242

122

4()2()160m m p m m

=+++≥， 所以当

m =t =

时，p ． 22．（Ⅰ）因为(0)10f a =-<，22(2)e 2e 40f a =--≥->，所以()y f x =在(0,)+∞上存在零点．

因为()e 1x f x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，故函数()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以函数以()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点．

（Ⅱ）（ⅰ）令21

()e 1(0)2

x g x x x x =---≥，()e 1()1x g'x x f x a =--=+-， 由（Ⅰ）知函数()g'x 在[0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)0g'x g'>=， 所以函数()g x

在[0,)+∞单调递增，故()(0)0g x g ≥=

．

由

0g ≥得00()f a f x =

-≥=，

因为()f x 在[0,)+∞0x ≥．

令2()e 1(01)x h x x x x =---≤≤，()e 21x h'x x =--，

令1()e 21(01)x h x x x =--≤≤，1()e 2x

h'x =-，所以

故当01x <<时，1()0h x <，即()0h'x <，所以()h x 在[0,1]单调递减， 因此当01x ≤≤时，()(0)0h x h ≤=．

由0h ≤得00()f a f x =-≤=，

因为()f x 在[0,)+∞0x ．

0x ≤

（ⅱ）令()e (e 1)1x u x x =---，()e (e 1)x u'x =--，所以当1x >时，()0u'x >， 故函数()u x 在区间[1,)+∞上单调递增，因此()(1)0u x u ≥=．

由0

0e x x a =+可得0

22

000000(e )()(e 1)(e 2)(e 1)x a a x f x f x a x a x ax =+=-+-≥-，

由0x ≥得0

0(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．