空间两点间距离公式
2.空间两点间的距离公式
通过建立直角坐标系可以确定空间中点的位置。 z z
M （x，y，z）
O x x y y
如何计算空间两点之间的距离?
4.3.2 空间两点间的 距离公式
思考
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 ( x1,y1,z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2|
|P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2
| P1P2 | (x1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2 (z1 z 2 )2
空间内两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 )的距离公式是：
| AB | (10 4) 2 ( 1 1) 2 (6 9) 2 7 | BC | (4 2) 2 (1 4) 2 (9 3) 2 7 | AC | (10 2) 2 ( 1 4) 2 (6 3) 2 98
因为 7 7 98,
所以
| OP |
x2 y2 z 2
思考
如果|OP|是定长r，那么 x2 y 2 z 2 r2 表示什 么图形？ z
O
x y
表示以原点为球心，r为半径的球体。
空间任意两点间的距离. R2 z S2 O x Q1 y Q2
P2 (x2,y2,z2) S1 P1 (x1,y1,z1) R1
| P1 P2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
4.3.2 空间两点间的距离公式
O
M1 M M2 H N2 y N
N1
在xOy平面上, MN ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 . 过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP 1 z1 , NP 2 z2 , 所以 HP2 z2 z1 .
P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N z
解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA MB
2
2
2 2 2 2 2 2 即 (0 4) (0 1) ( z 7) (3 0) (5 0) (2 z)
14 解之得 z 9 14 (0, 0, ). 所以所求点的坐标是 9
在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为A(2，1，1)， 2 B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=_____. 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离 2x+2y-2z-3=0 相等，则x、y、z满足的关系式是_______________. 4．已知点P在z轴上满足|OP|=1（O是坐标原点），则点P到
P2
在Rt PHP 1 2中，
2 2 PH MN ( x x ) ( y y ) 1 2 1 HP ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , 2 2
因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
2或 6 。 点A(1，1，1)的距离是_________
5．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(-1，
4 。 2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的棱长为_____
空间两点间距离公式含详解
一、选择题
1．点 P 22， 33，－ 66到原点的距离是
()
30 A. 6
B．1
33 C. 6
35 D. 6
[答案] B
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是
()
A．|a|
二、填空题 4．已知点A在x轴上，点B(1,2,0)，且d(A，B)＝，则点 A的坐标是____________． [答案] (0,0,0)或(2,0,0) [解析] 设点A坐标为(x,0,0)，
解得x＝0或x＝2. ∴点A的坐标为(0,0,0)或(2,0,0)．
5．已知点P在z轴上，且d(P，O)＝1(O是坐标原点)， 则点P到点A(1,1,1)的距离是________．
[例3] 求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐 标满足的条件．
[解析] 设 P(x，y，z)， 则 PA＝ (x－2)2＋(y－3)2＋z2， PB＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. ∵PA＝PB， ∴ (x－2)2＋(y－3)2＋z2＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2. 化简得 6x－4y－13＝0. ∴点 P 的坐标满足的条件为 6x－4y－13＝0.
[解析] 以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标 系．
则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，
已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、 B、C三点在同一条直线上．
[解析] d(A，B)＝ (2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝ 21， d(B，C)＝ (3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝ 21， d(A，C)＝ (3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝2 21， ∴AB＋BC＝AC，故 A、B、C 三点共线．
空间距离公式
空间距离公式空间距离公式是描述物体之间距离的重要公式。
空间距离可以用来研究物理地理等科学方面，以及描述不同物体之间的关系。
空间距离公式可以分为两类：一类是距离公式，这类公式可以计算两个物体之间的距离；另一类是空间关系公式，这类公式可以用来研究不同物体间的关系。
在物理学中，通常使用距离公式来确定物体之间的距离，例如直线的距离公式：d =(x2-x1)2+(y2-y1)2其中，d表示两点之间的直线距离，(x2,y2)和(x1,y1)表示两点的坐标，平方表示平方根。
还有一种更为常用的公式是曲线距离公式：C =a b (1+y2)1/2dx其中，C表示曲线距离，y表示曲线函数的导数，a和b表示曲线上两点的参数值。
这个公式可以应用于曲线上两点之间的距离。
除了距离公式之外，空间距离公式还有空间关系公式。
空间关系是两个物体之间的关系，它可以用来研究物体之间的相互作用。
例如，距离方程：d =(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2其中，d表示两物体之间的空间距离，(x2,y2,z2)和(x1,y1,z1)表示两物体的位置。
这个公式可以被用来计算物体之间的直线距离。
此外，还有一个常用的公式，称为距离交换公式：D =((x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2+(h2-h1)2)其中，D表示两物体之间的距离交换，(x2,y2,z2,h2)和(x1,y1,z1,h1)表示两物体的位置和高度。
这个公式可以用来计算物体之间的距离交换，广泛用于无人机勘测中。
空间距离公式对于空间领域有着重要的意义。
距离公式可以用来估计物体间的距离，空间关系公式可以用来研究物体间的关系。
它们都是由几何原理推导出来的，它们有着很强的实用性，可以用于许多不同的科学领域，例如物理地理、机器人技术、无人机勘测等。
因此，空间距离公式可以说是一个重要的科学知识，是科学家们精心挖掘的宝藏，我们可以利用它来研究物体间的距离和关系，进而帮助我们更好地理解自然界的奥秘。
高中数学课件空间两点间的距离公式
在本课件中，我们将介绍空间中两点间的距离公式，从什么是空间两点开始， 以及如何用公式计算两点之间的距离。让我们开始吧！
什么是空间两点？
空间中的两点是指在三维坐标系中确定的两个位置点。这两个点可以表示物体的位置、人的定位等等。 在数学中，我们可以使用坐标表示这两个点，例如：点A的坐标为(x1, y1, z1)，点B的坐标为(x2, y2, z2)。
4 地理信息系统
用于测绘、地理分析等领域，计算地物之间 的距离和相对位置。
结束语
通过本课件，我们学习了空间两点间的距离公式，了解了直线距离计算方法 和空间距离计算方法，并举例说明了其应用领域。 希望这些知识对你有所帮助，谢谢观看！
直线距离计算方法演示
让我们通过一个简单的示例演示直线距离计算方法：
1
Step 1
确定点A和点B的坐标：A(2, 3, 4d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)计算直线距离。
3
Step 3
代入点的坐标计算：d = √((5-2)² + (7-3)² + (1-4)²)。
如何用公式计算两点之间的距 离？
通过直线距离计算方法和空间距离计算方法，我们可以计算空间两点之间的 距离。
直线距离计算方法使用勾股定理，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)，其 中d表示两点之间的直线距离。
空间距离计算方法利用向量的知识，将两点按照向量形式表示后，计算两个 向量的模的差，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
4
Step 4
2.4.2空间两点间的距离公式
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点 ． △ 中 ° 的坐标为A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x， ， ， ， ， ， ， 的坐标为 ， 0，1)，则x= ， ， 2 .
3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1， 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1， 0)两点的距离相等，则x、y、z满足的关 两点的距离相等， 、 、 满足的关 两点的距离相等 系式是 2x+2y－2z－3=0 － － .
2
M 3 M 1 = (4 − 5) + ( 3 − 2) + (1 − 3) = 6,
2
2 2 2
∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,
原结论成立. 原结论成立
轴上， 例 2 设 P在 x轴上，它到 P (0, 2,3)的距离 1 的距离的两倍， 的坐标. 为到点 P (0,1,−1)的距离的两倍， 求点 P的坐标 2
解:
轴上， 点坐标为 因为 P 在 x 轴上， P点坐标为 ( x ,0,0), 设
PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 3 2 = x 2 + 11, PP2 = x + (− 1) + 12 = x 2 + 2 ,
2 2
Q PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2
C1 A1 B1
C A B
（1）建立适当的坐标系，并写出 、B1、 ）建立适当的坐标系，并写出B、 C、C1的坐标； 、 的坐标； 解：（1）如图建立空间直角坐标系， ：（ ）如图建立空间直角坐标系， 则B(0，a，0)，B1(0，a，2 a)， ， ， ， ， ， ，
空间两点间距离公式
d x y02 z02 y d y x02 z02
d z x02 y02
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面 Oyz上是否存在一点C，使ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3
3 2 3 12 3 2
2
2
y
3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
课堂小结
一、空间两点间的距离公式：
d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
二、空间中点坐标公式：
x
y
ห้องสมุดไป่ตู้
z
x1 y1 z1
x2
2 y2
2 z2
2
AC 1 32 5 12 2 52 29
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (2)BC边上中线AM的长。
AM ?
例2:求证以 M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3), 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
4.3.2 空间两点间的距离公式
两点之间的距离公式
两点之间的距离公式两点之间的距离是一个非常重要的概念，它在很多科学领域都是必不可少的，可以帮助我们更好地理解和描述我们的世界。
按照不同的定义，两点之间的距离可以定义为点间的直线距离，面积距离，地理距离，信息距离等。
其中最常见的就是点间的直线距离，也被称为直角坐标系中的直线路径距离。
它是一个简单的距离，可以用来衡量任意两个点之间的距离。
在数学中，两点之间的距离是通过一个简单的数学公式计算出来的，这个公式就是所谓的“两点之间的距离公式”，它是这样的：d=√[(x2-x1)2+(y2-y1)2]其中d表示两点之间的距离，x1、x2表示两个点的横坐标，y1、y2表示两个点的纵坐标。
这个公式很容易理解，只要简单地分析一下，就能得出它的含义。
比如，当x1=x2时，显然d=0，这就表明两个点的横坐标相等，所以两点之间的距离为零。
当两个点之间的距离不为零时，可以进一步分析这个公式，发现它反映了构成这两点之间距离的横纵向坐标之间的关系，也就是说，若两点的横坐标相等，且纵坐标相等，则两点之间的距离为零；若横坐标不同，则两点的距离为点的横坐标差值；若纵坐标不同，则两点的距离为点的纵坐标差值；若横纵坐标都不同，则两点的距离为此公式计算出来的路径距离。
这个公式广泛用于研究空间结构，如空间物理学和地理学，它也被广泛用于工程、科学、机械、技术、电子等领域。
比如，建筑设计中，可以使用它来测量建筑物之间的距离；电子工程中使用它来计算电子元件之间的距离；机械工程中可以使用它来计算机械设备之间的距离；科学研究中可以用它来测量星球之间的距离，以及分析空间结构的属性等。
此外，两点之间的距离公式还在涉及图的算法中得到了广泛的应用。
比如，最短路径算法是一种常见的图算法，它用来解决在连接着各个节点和边的图中，从某个节点到另一个节点的最短路径问题。
这个最短路径算法就是基于两点之间的距离公式，来计算任意两点之间的距离，再根据距离来判断最短路径。
上面我们简要介绍了两点之间的距离公式，可以看出，它是一个非常有用的公式，广泛应用于许多领域，可以为我们的生活和工作带来极大的方便。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AP ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 ) 即是：空间两点间的距离公式
2
总结:在空间直角坐标系中，点P（x1，y1，z1） 和点Q（x2，y2，z2）的距离，怎么求？
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根
例１ 求空间两点Ａ（３，－２，５ ） Ｂ（６，０，－１）的距离ＡＢ
分析：利用两点间距离公式可得
练1：P(1,2,-2)和Q(-1,0,-1)的 3 距离是________ 练2：给定空间直角坐标系，在x轴上找 一点P，使它与点P0(4,1,2) 距离为 30 分析：设P(x,0,0),由已知求得x=9或-1 (9,0,0)或(-1,0,0)
例２：在xoy平面内的直线x+y=1上确定 一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小 略解：设M(x,1-x,0),利用距离公式构造 出一个二次函数后求最值
MN ( x 6) (1 x 5) (1 0)
2 2
2
2( x 1) 51
2
当x 1时， min 51 MN
z P z0 y x x0
0
d xOy z d yOz x d xOz y
y
O
问题4：在空间直角坐标系中，P（x0，y0，z0） 到坐标轴的距离，怎么求？
dx dy
y z
2 0 2 0
2 0 2 0 2 0
z d y0 P z0 x0
x z
2 0
dz
y
x y
O x
问题5：给出空间两点 A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2)可否类比得到一个 距离公式？ z 1、设 O(0,0,0),P(x0,y0,z0) P C 则 o y OP A B 2 2 2 x
z M A H y
B
例３.平面上到坐标原点的距离为１的点 的轨迹是单位圆，其方程 2 2 为 x y 1 ． 在空间中，到坐标原点的距离为１ 的点的轨迹是什么？试写出它的方程．
x y z 1
2 2 2
轨迹是球面
练3:设A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB 的中点M到C的距离为_________ 13 分析：介绍空间直角坐标系中的中点坐标 公式；
已知点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2) 则线段AB中点C的坐标是
1 (X +X ) X= 1 2 2 1 Z= 2 (z1+z2)
y=
1 2
(y1+y2)
M(2,1,3)
例4：如图：M—OAB是棱长为a的正四 面体，顶点M在底面OAB上的射影为H， 分别求出点B、H、M的坐标
O(0,0,0), A(0,0, a) 3 a 3 a B( a, ,0), H ( a, ,0) 2 2 6 2 O 3 a 6 M( a, , a) 6 2 3 x
OA OB OC
2 0 2 0 2 0
x y z
2、空间任意两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2) 作长方体使A、P z 为其对角线的顶点 由已知得： C(x2,y1,z1), B(x2,y2 ,z1)
AP AC CB BP
2 2 2
P A C o
2
B
y
x
2 2
2.3.2空间两点间的距离
问题1：长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎 么求？
d a
2 2
c b
2
d a b c
问题2：在空间直角坐标系中点O（0，0，0） 到点P（x0，y0，z0）的距离，怎么求？
z d y0 P z0 x0
பைடு நூலகம்
O x
y y
d
x y z
2 0 2 0
2 0
问题3：在空间直角坐标系中点P（x，y，z） 到点xOy平面的距离，怎么求？