湖南省师大附中12-13学年高二上学期期中考试数学文试题
2024-2025学年湖南省长沙市湖南师大附中高二(上)入学数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。
1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M⫋N⫋U ，则下列运算结果为U 的是( )A. M ∪NB. (∁U N)∪(∁U M)C. M ∪(∁U N)D. N ∪(∁U M)2.已知α为锐角，且cosα−sinα=15，则下列选项中正确的有( )A. α∈(π4,π2)B. tanα=43C. sinαcosα=1225D. sinα+cosα=753.下列命题正确的是( )A. 若直线a//b ，a//平面α，则b//平面αB. 若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C. 三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D. 已知直线a 与b 异面，不同的两点P ∈a ，Q ∈a ，不同的两点M ∈b ，N ∈b ，则直线PM 与QN 可能相交4.“函数f(x)=log 12(3−ax)在区间[1,2]上单调递增”的充分必要条件是( )A. a ∈(0,+∞) B. a ∈(0,1) C. a ∈(0,32) D. a ∈(0,32]5.2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2mg/cm 3，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过0.1mg/cm 3，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要( )小时？(结果取整数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A. 12B. 8C. 10D. 116.已知M 是△ABC 所在平面内一点，满足AM =34AB +15AC ，则△ABM 与△BCM 的面积之比为( )A. 3B. 4C. 58D. 1257.已知5−a =lna ，b =log 43+log 917，7b +24b =25c ，则以下关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A. b >c >aB. a >c >bC. b >a >cD. a >b >c8.已知函数f(x)={1+log a |x−2|,x ≤1,(x−1)2+4a,x >1(a >0且a ≠1)在R 上为单调函数，若函数y =|f(x)|−x−2有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是( )A. 116 B. 14 C. 12 D. 13169.下列命题为假命题的是( )A. 在复数集C 中，方程x 2+x +1=0有两个根，分别为−12+ 32i ，−12− 32i B. 若三个事件A ，B ，C 两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C. 若OP =xOA +yOB +zOC ，则x +y +z =1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件D. 复平面内满足条件|z +i|≤2的复数z 所对应的点Z 的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆10.已知函数f(x)=sin (ωx +φ)，如图A ，B 是直线y =12与曲线y =f(x)的两个交点，若|AB|=π6，则( )A. f(0)=− 32B. 函数f(x)的最小正周期为7π12C. 若x 1+x 2=91π12，则f(x 1)=f(x 2)D. 若|x 1−x 2|=π24，则|f(x 1)−f(x 2)|的最大值大于1− 3211.如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，B 1C ⊥BC ，AC ⊥B 1C ，BC =CB 1=A 1C 1=2，下列结论中正确的有( )A. 平面BCC 1B 1⊥平面ACC 1A 1B. 直线AA 1与BC 1所成的角的正切值是13C. 三棱锥C−A 1B 1C 1的外接球的表面积是12πD. 该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
湖南省师大附中高二上学期期中考试(数学).doc
湖南省师大附中高二上学期期中考试（数学）（开考时间：11月13日下午14﹕30—16：30）时量：1 满分：100 分一选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不．在 3x + 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是（ ） A .（0，0）B .（1，1）C .（0，2）D . （2，0）2．,a b c d >>，则一定有（ ）A .a b c d >+-B . a c b d >-+C .a b c d >-+D . b a c d >-+3.已知数列{}n a 满足11111nn a a a -=⎧⎪⎨=+⎪⎩，则3a =（ ）A .32B .2C .53D . 834.二次不等式20ax bx c ++>的解集为全体实数的条件是( ) A .00a >⎧⎨∆>⎩ B . 00a >⎧⎨∆<⎩ C . 00a <⎧⎨∆>⎩ D . 0a <⎧⎨∆<⎩5. 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 6. 在等差数列{}n a 中，11a =，3d =，当28n a =时，项数 n =( ) A .8 B .9 C .10 D . 117. 已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A .2B .5C .6D . 88. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则（ ）3132log log a a +++ 310log a = ( )A .12B .10C .11D . 32log 5+ 9. 用篱笆围成一个面积为196m 2的矩形菜园，所用篱笆最短为( )A .56B .52C .28D . 2610. 已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若111111,a b a b ==，则（ ）A .66a b =B .66a b >C . 66a b <D . 66a b >或66a b <二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共11.,,a b c成等差数列，其中33a c =+=-，则b =___________.12.0x >时，22x x+的最小值为_________.13.数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和 10S =__________________.14．在ABC ∆中，120A =︒，a =1b =，则ABC ∆的面积为_________.15. 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第4件工艺品所用的宝石数为_________ 颗；第n 件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n 表示).三、解答题：本大题共6个小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知集合{}2280A x x x =+-<，{}2log (1)B x y x ==+，求AB17.在ABC ∆中，BC =，3AC =，sin 2sin C A =. （1）求AB 的值； （2）求sin2A .18.已知等差数列{}n a 满足1491,64.a a == （1）求{}n a 的通项.n a（2）求{}n a 的前n 项和的最大值.第1件 第2件 第3件19. 如图，这是测量一座底部不可到达的高楼AB （A 为最高点，B 为底部）的测量方案示意图。
湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试化学试卷含解析
湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试化学（答案在最后）时量：75分钟 满分：100分可能用到的相对原子质量：H∼1 C∼12 N∼14 O∼16 Fe∼56 Cu∼64 Zn∼65 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关物质和反应的叙述正确的是（ ）A ．已知正丁烷()g →异丁烷()g 0H ∆<，则异丁烷比正丁烷稳定B ．为了增强高锰酸钾的氧化性，可用浓盐酸进行酸化C ．电解饱和氯化钠溶液制取氯气，可以用铁做阳极，石墨做阴极D ．50 mL12 mol/L 的浓盐酸与足量2MnO 共热反应，生成2Cl 0.15 mol 2．下列说法不正确的是（ ）A ．物质的量浓度相同的①4NH Cl 、②34CH COONH 、③44NH HSO 三种溶液中()4NH c +：③>①>②B ．在滴有酚酞的23Na CO 溶液中慢慢滴入2BaCl 溶液至过量，溶液的红色褪去C ．往23Na CO 溶液中加水，()()()323HCO OH CO c c c ---⋅增大D ．在水电离出的()12H 110c +-=⨯ mol ⋅L1-的溶液中，3Al +可能大量存在3．下列事实不能证明2HNO 是弱电解质的是（ ） A ．25℃时0.1 mol ⋅L1- 2HNO 溶液的pH 2.2=B ．2HNO 与3NaHCO 反应放出2CO 气体C ．滴入酚酞，2NaNO 溶液显红色D ．25℃时pH 1=的2HNO 溶液稀释至1000倍，pH 4< 4．下列叙述正确的是（ ）A ．冰在室温下自动融化成水，这是熵增的过程B ．若在海轮外壳上附着一些铜块，则可以减缓海轮外壳的腐蚀C ．在铜的精炼过程中，若转移1 mol 电子，则阳极一定溶解32 g CuD ．反应()()()()22H S g ZnO s H O g ZnS s ++在一定条件下可自发进行，且0S ∆<，则0H ∆>5．下列有关说法正确的是（ ）A ．升高温度，使反应物分子中活化分子数增多，但活化分子百分数不变B ．()()()22H g Br g 2HBr g +在恒温恒压条件下进行，向容器中通入()Ar g ，化学反应速率减小C ．在化学反应前后，催化剂的质量和化学性质都没有发生变化，故催化剂一定不参与化学反应D ．100 mL 2 mol ⋅L 1-的盐酸与锌反应时，加入适量的NaCl 溶液，生成2H 的速度不变 6．()3NH g 和()2CO g 在尿素合成塔中合成()()22CO NH s 是分两步进行的：①()()()32242NH g CO g NH COONH l +；②()()()()24222NH COONH l CO NH s H O g +。
湖南省师大附中―度高二数学上学期期中考试 文【会员独享】
湖南师大附中2011—2012学年度高二上学期期中考试（数学文）（时量 120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．椭圆x y 22+=14的离心率是(A)A.2 B. 42 C. 34 D. 12【解析】A2. 给出下列四个命题：其中真命题的是（C ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；B. 命题“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”；C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；D. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件.【解析】 A 为假命题，“若21x =，则1x =”的否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”； B 为假命题，“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定应为“2,10x R x x ∀∈+-≥”；C 正确； D 为假命题，“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件.选C. 3. 把67化为二进制数为 （ D )A. 110000B. 1011110C. 1100001D. 10000114已知：命题:p x R ∃∈，使sin x =:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题，②命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，③命题“p q ⌝∨”是真命题，④命题“p q ∧⌝”是假命题.其中正确的个数是（B ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确，选B. 5．某产品的成本费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ C ）A. 72.0万元B. 67. 7万元C.65.5万元D.63.6万元【解析】由表可计算2745324=+++=x ,42454392649=+++=y ,因为点)42,27(在回归直线a x b yˆˆˆ+=上,且b ˆ为9.4，所以42 =9.4×a ˆ27+, 解得a ˆ= 9.1,故回归方程为1.94.9ˆ+=x y, 令x =6得=y ˆ65.5,选C. 6．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线2211312x y -=的右焦点，则此抛物线的方程是（D ） A. 22y x = B. 24y x = C ．210y x = D. 220y x =【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，因为双曲线2211312x y -=的右焦点是(5,0)，则52p=，即10p =，所以抛物线方程为220y x =，选D. 7．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为(B)A ．2B ．6C ．3D ．8【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选B8．已知抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线y x m =+对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ A ）A ．23B ．2C ．25D ．3【解析】22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 即222212121212132()2,2[()2]2,23,2x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==选A 二、填空题(本题共7小题，每小题5分，共35分)9．在边长为2的正方形内随机地取一点，则该点到正方形中心的距离小于1的概率为4π. 【解析】边长为2的正方形内，所有到正方形中心的距离小于1的点均在以正方形中心为圆心的单位圆内，故所求概率为该圆与该正方形的面积之比，故其概率为4π. 10. 双曲线22464y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则P 到它的另个焦点的距离等于为 17 . 【解析】1711. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .【解析】10 列表分析12. 已知定圆221:(2)49C x y ++=，定圆222:(2)1C x y -+=，动圆M 与圆1C 内切且和圆2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ______【解析】2211612x x += 13．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 ______【解析】()2,214．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是____②__③_____【解析】2(,),x y a 设曲线上任意点P 曲线C 如果经过原点，1a =，与条件不符①错；若(x,y)在曲线上则(-x.-y)也在曲线上,故曲线C 关于原点对称 ②对;三角形12F F P 的面积12S =12||||PF PF 121sin 2F PF ∠≤12||||PF PF 22a =,则③对.15. 若双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线C 2：22(0)y px p =>的一个交点在x 轴上的射影在抛物线C 2的焦点的右侧，则双曲线C 1的离心率的取值范围是 .【解析】取双曲线C 1的一条渐近线方程y =x ab与抛物线C 2的方程y 2 = 2px 联立，求得两交点的横坐标分别为0，222b pa ，依题意有222bpa >2p ，故b 2<4a 2，所以e <5，故其离心率的取值范围是(1, 5).三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知0>a ,设命题p ：函数x a y =在x R ∈上单调递减，q ：设函数⎩⎨⎧<≥-=)2(,2)2(,22a x a a x a x y , 函数1>y 恒成立,若p ∧q 为假, p ∨q 为真,求a 的取值范围.【解析】若p 是真命题, 则10<<a ……………（2分） 若q 是真命题,即1min >y ，又a y 2min = ∴21a > ∴q 为真命题时12a >； ……………（4分） 又∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假． ……………（6分）若p 真q 假, 则210≤<a ; ……………（8分） 若p 假q 真, 则1≥a ……………（10分） 故a 的取值范围为10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦或[)1,+∞ ……………（12分）17．（本小题满分12分）已知动圆M 过定点F(2,0)，且与直线2x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C 的方程(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C 相交于A,B 两点，求AB 【解析】(1)依题意知动圆圆心M 的轨迹为以F(2,0)为焦点的抛物线，其方程为28y x =……（6分） (2) 依题意直线AB 的方程为y=x-2, ……………（8分） 代入方程y 2=8x 得x 2-12x+4=0,得1212x x += …………（10分）故AB =12416x x ++= …………（12分） 18．（本小题满分12分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,M p 及图中a 的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.【解析】（1）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.40.1040m p M ===. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯. ………（4分） （2）因为该校高二学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ……（8分） （3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， 所以所求概率为11411515P =-=. ……（12分） 19．（本小题满分12分）设P 为椭圆2212516x y +=上任意一点，12,F F 为左、右焦点. (1)若01260F PF ∠=，求 12PFPF ⋅； (2)椭圆上是否存在点P ，使120PF PF ⋅=若存在，求出P 点的坐标，若不存在，试说明理由.【解析】(1)解：∵ |PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100－2|PF 1|·|PF 2|， ……………..（2分） 在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， ……………..（4分）∴|PF 1|·|PF 2|＝100－2|PF 1|·|PF 2|－36，∴|PF 1|·|PF 2|＝643. ………..（6分）(2)设点P (x 0，y 0)，则x 2025＋y 2016＝1.①易知F 1（-3，0），F 2（3，0），故PF 1＝(－3－x 0，－y 0)，PF 2＝(－3－x 0，－y 0)，∵PF 1·PF 2=0，∴x 20－9＋y 20＝0，②由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P 不存在．…………..（12分） 注：（2）使用定义法结合勾股定理也可说明 20．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）。
湖南师大附中高二第一学期期中考试理科数学试题及答案
湖南师大附中高二第一学期期中测试数学(理科)时量：120分钟总分值：150分一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.抛物线),=-12x x的准线方程是A. x = 3 B . JV = —3 C ・ y = 3 D ,-32.“双色球〞彩票中有33个红色球,每个球的编号分别为01, 02, 33. 一位彩民用随机数表法选取6个号作为6个红色球的编号,选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始,从左向右读数, 那么依次选出来的第?个红色球的编号为49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A. 23B. 02C. 09D. 173.对于函数/.)="三,以下结论正确的选项是A. /")是增函数,其值域是［0,y)B. /*)是增函数,其值域是.1)C. /*)是减函数,其值域是［0,+oc)D./*)是减函数,其值域是［0,1)4.如图,在三棱锥A-3C.中,E、F分别是棱A.、8C的中点,那么向量七尸与A月、说的关系是A. EF^-AB^-CDB. EF = -^AB + -CD2 2 2 2c —- 1 — 1 —- - ―- 1 -- 1 ―・c. EF= — AB— - CD D. EF =——AB - —CD2 2 2 25.命题p： 3xo>O, xo + </-l=0,假设〃为假命题,那么〞的取值范围是A. (-xj)B. (-00J]C. (l,+oo)D. (l,+oo)6.设条件〃：函数/.) = (2-4在/?上单调递增；条件/方程三十./=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆, a那么P是夕的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要7.假设正整数N除以正整数,〃后的余数为人那么记为N=r(modM,例如10=2(mod4).以下程序框图的算法源于我国古代算术?中国剩余定理?,那么执行该程序框图输出的,•等于A. 4B. 8C. 16D. 328.在区间［0,1］内随机取两个数/〃、/?,那么关于X的方程= 0有实数根的概率为A. JB. 5C. 7D. 1o / o 39.设函数/(x) = 2sin(5 + 9)3>0,0<e<g),的最小正周期为6〃,且当x = g时,取得将函数"X )的图象向左平移1•个单位得函数g(x)的图象,那么以下结论正确的选项是.双曲线?-35,,>.吠.)与椭圆»?=|有相同的焦点人所点P 为双曲线与椭圆的一 个交点,且满足IPQI=2IPAI ,那么双曲线的渐近线方程是v>0 11 .X ,y 满足约束条件归+ 3yW4, y>0A. 2B. 1C. -2D.-1 2 212 .过抛物线f = 4y 的焦点厂作倾斜角为锐角的直线/,与抛物线相交于A, B 两点,M 为线段A8的中点, .为坐标原点,那么直线0M 的斜率的取值范围是A,叵,+8 2二、填空题：本大题共4个小题,每题5分,共20分.13 .师大附中高二年级开展“我的未来不是梦''演讲比赛,七位评委为某参赛选手给出的分数(总分值：100分) 如下茎叶图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,那么余下5个分数的方差是 茎 叶 14 .一个空间几何体的三视图如以下图所示,那么这个几何体的体积是 __________ .15 .函数 /(X ) = (〃J + 3)(X + 〃? + 1)(X + 〃?),g(x) = 2, -2 ,假设对任意 xwR ,有 /3) > 0或g(x) > 0成立,那么实数m 的取值范围是 ___ .16 .设点4L0), 4-1,0), A4为动点,直线AM 与直线8M 的斜率之积为定值 m(m 00),假设点M 的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A 、8),那么m 的值为.三、解做题：本大题共6个小题,共70分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.17 .(本小题总分值10分)在锐角&4BC 中,角A 、在C 的对边长分别为.、b 、c, &43C 的面积为S,己知4s = / + /-吠 (I )求角B 的值：(II )设,〃 =(/-1)4 +港C,假设.=地,求小的取值范围.最大值. A. B. C. g")是奇函数, g(x)是奇函数, 身(X)是偶函D. &*)是偶函数, 且在［0.3刃内单调递增且在［0,3川内单调递减且在［0,3川内单调递增且在［0,3川内单调递减A. y = ±y[2xB. y = ±yj3xC. y = ±xD.假设z = or + y 的最大值为4,贝= D.[2,+x)18.〔本小题总分值12分〕某中学有初中学生1800人,高中学生1200人.为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间,学校采用分层抽样方法,从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生〞和“高中学生〞,按学生的课外阅读时间〔单位：小时〕各分为5 [0,10〕, [10,20〕, [20,30〕, [30,40〕, [40,50],得其频率分布直方图如下图.〔I〕估计全校学生中课外阅读时间在[30, 40〕小时内的总人数约是多少：〔II〕从全校课外阅读时间缺乏10个小时的样本学生中随机抽取3人,求至少有2个初中生的概率.19.〔本小题总分值12分〕如图,在三棱柱A8C-A山1G中,如底面ABC, ACLBC, AC=BC=CCi, M. N分别是A 山、如G的中点.〔I〕求证：MN_L平而A山C：〔II〕求直线BG和平面45c所成角的大小.20.〔本小题总分值12分〕设数列他｝的各项均为正数,其前项和为s.,4s“=g-4Ll〔〃eM〕.〔I〕求数列｛4｝的通项公式；〔II〕假设对任意给定的正整数,力集合｛山4+,22,〃｝中的最小元素为〃? + 2,求实数,的取值范围. 21.(本小题总分值12分)如图,设椭圆中央在原点,焦点在X轴上,月、8为椭圆长轴的两个端点,尸为椭圆的右焦点.椭圆的离心率为手,且14〞.山Fl=2.(I)求椭圆的标准方程：(II)设M是椭圆上位于x轴上方的一个动点,直线AM, 8M分别与直线x= 3相交于点.,E,求I.臼的最小值.22.(本小题总分值12分)设函数/(x) = *+公+ 1("=0),对任意xeR,都有/(x)21-2v ,且/(x) = /(2-x)成立.令g(x) = f(x)一卜x —小其中z为常数.(I)当％=1时,求函数g(x)的所有零点；(II)当2>0时,求函数g(x)的最小值.数学(理科)参考答案一、选择题1. A【解析】由于抛物线开口向左,且2=6,那么准线方程为彳=?=3, 选A.2・B【解析】从数字35开始,从左向右读数,选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,所以选出的第6个红包球的编号为02,选II3.D 【解析】由1一2工二0,得2工W1,即nW.,所以〃工)的定义城是(一8,01由于y=2"是增函数,那么/(£)= MF2r是减函数.又0V2“〈L那么0< 八工)〈1,选口.4.C 【解析】取AC的中点A4,连结EM.FM.由于E.F分别是AD.3C的中点,那么而色=4右5,所以前方=丽方一丽芽=得百由一-,选G5.D【解析】由于p为假命题,那么「q为真命题,即V%A0,a十a 1W0, 即工二1一心所以1—a£0,即0为1,选D.6.B【角翠析】/(1)= (2—./ 在R上单调递增=2—a>],即a<l.方程^+/ = 1的曲线是焦点在' 轴上的樵圆aO<aVL a所以0<=q,选B.7.C【解析】第一次执行循环体,得i = 2,N=13,此时13f2(mod 3). 第二次执行循环体,得i=4,N=17,此时17 = 2(mod 3),但17^1 (mod 5).第三次执行循环体,得£=8,N=25,此时25关2(mod 3).第四次执行循环体,得i=16,N=4L此时41 = 2(mod 3), 且41 = l(mod5),退出循环.所以揄出i的值为16,选C.8・A【解析】方程x2—+ 〃r=0有实数根0△〃—4加拉0.(22-4"120•如图.不等式组- OWmWl表示的平面区域与正10«方形【I：,"：/的面积之比即为所求的概率,1 1 1X T X11X1 9.D【解析】由于7=6S正方•形冗.那么§ = 即.=母,由于/(手)=2,那么sin(管+中)=1 又0V/＜戈■,那么夕=奇9所以/O) =2sin(专+号).由题设,g(z) =_/ (N H--y) =2sin 4-- j 」J 乙O —- 2sin (管+ -5- ) = 2cos等,那么g( n)为偶函数,当n G [0, 3冗_时9Q S 乙J o 「.,左[那么gGr)单调递减,选D.10.B【解析】据椭圆定义,|.居|十|.凡|=6,又|.尸】|=2|PF?| ,那么|PB|=4,|PFzl=2.据双曲线定义,2a = | PF A | — \PFz | =2,那么a = L 由椭圆方程知?=2, 从.而b'=*J^.所以双曲线的渐近线方程是、=土&丁选B.11.A【解析】作可行域,如图.据题意.当直线人y=—2经过△AOB区域时,,在、轴上的展大极距为4•那么点A(2,0)为最优解.由于力=27=0,之=4•那么2.= 4•即a = 2•选 A.12.C【解析】由于焦点£(0,1),设直线/的方程为y + 1(%>0),代入立？ = 4y.得JC2—44»r — 4 =0.设点A(g,3']),反％2 O'2),」“(式0,—),那么#1十12=4瓦由于“为线段A/3的中点,,那么颉==户=2且由于点M在直战/上,那么缈=屈小+1 = 2* + 1.所以&M=a = 2空尸=归+J出■ /=",当且仅当归=乌时X Q LR乙及V £K匕取等号,选C.二、填空题13.1. 6【解析】由于i=85»那么方差、= 3X(85-84)2 + (85—86»+ (85 — 87尸=& =1g, 5 514.8穴【解析】由三视图可知,该空间几何体是一个圆柱内4t去一个圆锥所得的组合体.其中砌柱和圆锥的底半径为2,高为3.所以V=V r aH-V LB^=KX22X3-4-X7tX22 X3 = 87r.O15.( -3,-2)【解析】由gQz>>0,得2*>2,即1,那么当处W1时.f(x) >0恒成立.所以(小+3彳0 ],即_3V“V_2.16.3【解析】设点MCr,"),那么二4 • 74 =小即y =7?/<^-1),^ 彳2一?=1(1#±1).由于点M的枕迹是离心率为2的双曲线9 那么7">0 •且4? = 1•9=777 .从而 / = 1 + ???.由y/1 -- m = 2 .得TH= 3.三、解做题17,【解析】〔I 〕由于S=J~acsin B^a2 +/ —g =2^ccos B,.. 〔2 分〕那么2acsin B=2accos印sin B= cos B,即tan B= 1.又OVBVn,所以3=冷・....................................... 〔4分〕5)由于6=々,6=于,那么卷=右=磊=2,得a=2sin A,c=2sin C,且A十.=争 ............................................... 〔6分〕所以l〕sin A+2/^sin C=2〔^/3 — l〕sin A+2x/^sin 〔竽-A〕=2〔73-1〕sin A+2屈〔gcos A十备in A〕=2 J3sin A+2cos A=4sin〔A4--^- 〕. ................. 〔8 分〕由于A IC都为锐角,那么0<A〈年,且0VC=乎一A,乙 4 匕所以于<A<+. ...................................... 〔9分〕从而需V-A十专,那么'^'〈sin〔 A+专〕W1,所以〃怎〔2、,缈,41 ............................... 〔10分〕18.【解析】〔I 〕由直方图可知,初中生中课外阅读时间在［30,40〕小时内的学生人数的频率为1一〔0.005><2寸0.03十0..4〕*10=0.2・那么学生人数为1 800X8 2 = 360. ............................. 〔2 分〕高中生中课外闾读时间在［30,40〕小时内的学生人数的频率为1—〔0.005X2+0. 025 + 0. 035〕X10 = 0. 3,那么学生人数为1 200X0.3 = 360. ......................................... 〔4 分〕估计全校学生中课外阅读时间在［30,40〕小时内的总人数约是720人.............................................. 〔5 分〕〔IT〕由于抽样比例为1所〞°1^c= >•那么初中生应抽取60人,鬲中 1 ovv I 1 乙57 JU生应抽取40人. ........................................... 〔6分〕所以在课外阅读时间缺乏10小时的样本学生中,初中生有0. 005X10 X 60 —3 人•记为,% ；高中生有..005X10X40 = 2人,记为⑦ &. ................. 〔8分〕从这5人中任取3人的所有可能结果为：｛々1,牝,的?, ｛为,生,仇h 4a、>.乙号> b\ > b工 > >4 a 迅 >"：» > b\ ｝,一〕 , ｛々2 ...................................... “& ｝,｛.3,bi ,由｝9共10 个. ................................. 〔10 分〕其中至少有2个初中生的结果有：｛ 4］,々2 , 43 ｝,｛,〃2 , % ?, ,.2,戾｝ , ｛a］, ｛.1,.3,戾｝,〈02,61 ｝ , ｛〃2 ,怒,62 ｝,共7 个............................................. 〔11 分〕所以至少有2个初中生的概率户=看. ....................... 02分〕19.【解析】解法一：〔I 〕由BCA_., G所以BC±平面ACC】Ai .连结AG ,那么BC±AC V. .............................. 〔2分〕便卜CY 由,侧面ACGA 是正方形,所以AC_LAG・............................ 〔3分〕/誉父\又3CaAC=C 所以AGJ_平面A12C.……............................ 〔4 分〕A B 由于侧面A及&A］是矩形是A"的中点'连结A3］,那么点M是AB1的中点.又点N是氏C】的中点,那么MN是△ABG 的中位线, 所以MN//AC,.故平面A】BC .................................... 〔6分〕〔n 〕由于AG _L平面Al BC•设AQ与A】C相交于点D, 连结HD•那么/GBQ为直或BG 和平而ABC所成角. ....................... 〔9分〕设AC=BC=CG=2,那么CiD=V2.BCy=2V2. ............. 〔10 分〕在RtABDCi 中,sin/G BD=第=4■,那么NC BD= 30°.所以直战BCi和平面ABC所成的角为30°. ............. 〔12分〕解法二：〔I〕据题意CA、C从CC；两两垂直,以C为原点CA、CB、CG所在直或分别为工轴、y轴、2轴,建立空间直角坐标系,如图. ................................... 〔1.......................... 分〕设AC=BC=CG=2•那么点B〔0,2,0〕,Bi〔0,2,2〕,A〔2,0,0〕,以0,0,0〕,G〔O,O,2〕,A】〔2,O,2〕. ........ 〔3 分〕由于M、N分别是A1、2G的中点,那么点............................... (4 分)所以H^ = (2,-2,23^T = (2,0,2),A^=( —1,0,1). (5 分) 于是市•财=0,市•区=0,那么lMN_LHA1,A4NJ_CA1. .......................................................... 〔6 分〕又8A】DCA】=A】,所以」“Nl_平面A」BC .............. 〔7分〕〔11〕由于MN,平面A】3C ,那么而N为平面A13C的法向量, 又由=〔0,—2,2〕, ..................................... 〔9分〕那么co S<BC. ^> = wnwn=-7^^=T,所以〈而,就〉=60二 ....... 〔11分〕故直线BG和平面ABC所成的角为30°. ................ 〔12分〕2〔〕.【解析】〔I 〕由于45=鬲十】一4〃一1,那么4S W】=出一痴十3〔〃二2〕, 两式相减,得44=〃-1 一好一4,即a〉］=〔% + 2尸. 〔3分〕由于〃二>0,那么.外十］=.例十2, 所以｛.力是公差为2的等差数列.......................................................... 〔4分〕又4sl =ag-5•那么4a1=〔.】+2〕2 — 5, 即ai = l.由于m >0,那么ai =1,所以a n = 2n—l......................... 〔6分〕〔11〕由心十£=2相,得2〃-1+£62〃八即〃二利十与三..... 〔8分〕据题意,区间［帆+宁,+8〕内的戢小正整,数为6+ 2,那么m4-l<小十三十2. ................................ 〔10分〕乙即1〈与N02•所以-3<1<一1・乙故实效,的取值范围是「一3, —1〕. ................... 〔12分〕21•【解析】〔I 〕设椭圆的长半轴长为"短半轴长为从半焦距为c.由于e=4,那么—=q,即a =V2c . 2 a 2所以〃2=2.2=2〔.2—〃〕,得/ = 2〃. .................〔2分〕由于 AF\ - 6/ 1=2,那么〔a+c 〕〔a —c 〕 = 2,即.2—.2=2,艮口62 = 2.................................................. 〔4 分〕 即 3=一壶〔2—2〕.我立比=3,得点E 〔3,一3〕. .......................匕A?所以I DE| =5九十点A 归•/=/时 当且仅当54=/>0,即仁号黑时取等号.所以IDE 的最小值为/而. .................................法二：由题设,点.A 〔 — 2,0〕,点6〔2,0〕,设点. 如° ,所以〔/.一2〕〔N 0+2〕 = — 2就,即「* ,M L _9 OC Q I 乙 27. 乙 所以 ^AVf • k^i — ・ .............设直战AM 的方程为v = Hz+2〕S>>0〕, 那么直•线BM的方程为?=—/〔了—2〕.分别联立1=3,得点D 〔3,5万〕,点E 〔3,一宣〕.所以；DE = 5九十克及2 N 5归•a =J10 .当且仅当5R=2 >0, 即时取等号.所以DE 的最小值为/TO. ...................................... 〔12分〕22 •【解析】〔I 〕由于了〔工〕工1-2工恒成立,那么2^ + 〔〃+2〕］为0恒成立,所以｛△=〔,> 十 2〕y o' 所以椭圆的标准方程是1 + ¥ = 1・ ....................〔11〕法一：由题设,点A 〔 —2,0〕,设直,线AM 的方程为y =屐8+2〕〔%>0〕.联立彳=3,得点.〔3,5九〕. ...............................将?="1+2〕代入苧+ 3； =1,得 〃 + 2川〔1+2〕2=4,即〔2公十 l 〕d + 842 工+ 8/—4=0. ..................设点M 〔^ ,〕9〕•那么Xo 和一2是方程的两根,〔5分〕 〔6分〕 〔7分〕 — 4 所以一2-一港干'即须 所以点A4〔 2公+1 '2为2+1 2 7公一2公十1'彼 2〃十 1〔9分〕 又点0〔2,0〕,那么直线的方程为 1—2^^-0 2-4kj_2/十1 2〃十1乙〔10 分〕 〔12 分〕 那么苧T=19即4+ 2赍=4. 1_2,〔8分〕 〔10 分〕即a>0,6=—2. ......................................... 〔1 ................................................... 分〕由于f〔x〕 =/<2-x〕,即八1 +彳〕=/〔1 一,那么函数/〔x〕的图象关于直线#=1对称.所以一g = l.即a=—4=1,所以 /〔幻=>—2N+1.〔3分〕,,［1 /、少ciii I — 3x4~21台大=1 时,g〔N〕=jr-2z十1一 |7一1| =｛君一4夕卫VJ由/一3了十2=0〔］三1〕,得力=1或％=2；由/ 一2=0〔力VI〕,得x=0.所以g〔力的所有零点为力=19&=2,%3 = 0. ......... 〔5分〕〔U 〕由于2>0,由Mr—1»,得AI * —〔4+2〕1+2,1二十所以g〔a〕=~ ....... . 〔6分〕［兴 + 〔4一2〕i,1〈了出42—4 1 _2A_A J -2_ A2 _ 2A_2_ 〔A-l〕2-r 1 .. r.由于三一1一^ 2^- 2X〈°'那么受〈：. ......................................... 〔7分〕①假设守,即1 .那么g〔i〕在〔一8,宁〕上单调递减.在〔怨,+8〕上单洞递增,所以g〔x〕min=g〔^y^〕 = 〔^y^〕2-|-〔A-2〕•4"=一〔与"〕: ........................................ 〔8 分〕②假设要,即A>V3-L那么在〔一8,罕〕和信,牛〕上单调递减.在〔宁,十〕和〔与/,十8〕上单调递增.当①V~1•时,g〔工〕min=g〔^J^〕 = _ 〕；留神1■时,gdg〔亨〕=〔等〕2 一〔八十2〕• 考十2=2一〔守〕1 ................................. 〔10 分〕由于2一〔"〕’ +〔*〕2 = 2—2入=2〔1—；0,那么当石一1<AW1时,2一〔牛〕??一〔受〕:所以g〔l〕min = 一〔二3〕；当A>1 时.2—〔号〕2<一〔号〕2,所以gCr〕的=2—〔牛〕1综合①②知,当OQ&1时,g〔公* = 一〔三〕’；留神>1时后〔I〕.=2_〔亨〕1 .................. 〔12分〕。
湖南省师大附中2012-2013学年高二上学期期中考试数学文试题
湖南省湖南师大附中2012-2013学年高二第一学期期中考试数学（文）试题时量：120分钟满分：150 分（必考I部分100分，必考II部分50分）命题：湖南师大附中高二数学备课组必考I部分一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a b>，则下列不等式中正确的是（D）A. 22a b> B. 11a b< C. a b> D. 0b a-<2.不等式2450x x-->的解集是（B）A. {}51x x x≥≤-或 B. {}51x x x><-或C. {}15x x-<< D. {}15x x-≤≤3.在ABC∆中，已知BC=12，60,45A B==，则AC= （D）A.B.C.D.4.已知等比数列{}n a中，13a=，且14a a a23、2、成等差数列，则数列{}n a 的公比为（B）A. 1B. 2C.－1D. 125.不等式组3003x yx yx+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩所表示的平面区域的面积等于（C ）A. 3B. 9C. 18D. 366.设0,0a b >>，若是33a b 与的等比中项，则11ab+的最小值为 （B ）A. 8B. 4C. 1D.147.在ABC ∆中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形的形状是 （A ）A. 等腰三角形B. 正三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形8.已知数列{}n a 是等比数列，若2512,4a a ==，则12231n n a a a a a a ++++=（C ）A. 16(14)n --B. 16(12)n --C.32(14)3n -- D. 32(12)3n -- 二、填空题：本大题共６个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上.9.数列{}n a 中，115,3n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式是n a = 3n ＋210.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，且222b c a +=，则角A 的度数为 15011.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n a S =+，则数列{}n a 的通项公式是n a =12n -12.已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为 －213.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B 种药需甲料5毫克，乙料4毫克，今有甲料20毫克，乙料25毫克，设A 、B 两种药分别配,x y 剂(,)x y N ∈，若A 、B 两种药至少各配一剂，则x ，y 应满足的条件是1135205425x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩ 14.已知0,0,x y >>且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（－4，2）三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若ABC ∆1+，且sin sin A B C +=. （1）求边AB 的长；（2）若ABC ∆的面积为1sin 6C ，求角C 的度数. 解：设ABC ∆的三边长分别为,,a b c ， （1）由题意及正弦定理得1a b c a b ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，故1c AB ==(4分)（2）111sin sin ,263S abC C ab ∆==∴= （6分） 又1,11c a b =∴+=+-=7分） 由余弦定理得22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab +-+--==12==（9分）(0,)C π∈∴ 3C π=（10分） 16. （本题满分10分）已知变量x 和y 满足约束条件10301x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩.（1）求42z x y =+的最大值； （2）求21y k x +=+的取值范围. 解：（1）作出可行域如图.(3分) 将42z x y =+变形为22zy x =-+, 可知直线过点C 时z 取得最大值.由130y x y =⎧⎨+-=⎩得C(2，1) (5分)即2x =且1y =时，max 10z =.(6分) (2)21y k x +=+表示可行域内任一点(,)x y由图可知, PC PB k k k ≤≤. 由110y x y =⎧⎨-+=⎩ 得B(0，1).1,3,PC PB k k ∴==故k 的取值范围是[]1,3.(10分)17. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n n a S 与；（2）令21(*)1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差d357117,26,27,21026a a a a d a d =+=∴+=+=解得：13,2a d ==（4分）1(1)21n a a n d n ∴=+-=+21()22n n a a nS n n +==+（6分） （2）由（1）得221(21)14(1)n a n n n -=+-=+1111()4(1)41n b n n n n ∴==-++ （9分）故12...n n T b b b =+++111111(1)()...()42231n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦11(1)41n =-+ 4(1)nn =+（12分）18. （本题满分12分）如图，为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C 、D 两点处进行测量.在C 点测得塔顶A 在南偏西800，仰角为450，此人沿着南偏东400方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为300，试求塔的高度.A北解：由题意得，AB ⊥平面BCO ,.AB BC AB BD ∴⊥⊥（2分） 设塔高AB=x ，（3分）在Rt △ABC 中，∠ACB=450，所以BC= AB=x ，（5分） 在Rt △ABD 中，∠ADB=450, ∴BD=x AB330tan 0=，（8分） 在△BCD 中，由余弦定理得BD 2=CB 2+CD 2-2CB ·CDcos1200,∴ x x x 10100)3(22++=， 解得x=10或=-5（舍去）. （11分） 答：塔高为10米。
2020-2021学年湖南师大附中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年湖南师大附中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合2{|430}A x x x=-+<，{|230}B x x=->，则(A B=)A．3(3,)2--B．3(3,)2-C．3(1,)2D．3(2，3)2．（5分）抛物线22y x=的焦点到其准线的距离为()A．2B．1C．12D．143．（5分）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m nλ=”是“0m n⋅<”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图，在空间四边形OABC中，点E为BC中点，点F在OA上，且2OF FA=，则EF等于()A．121232OA OB OC-+B．211322OA OB OC-++C．111222OA OB OC+-D．211322OA OB OC--5．（5分）函数||xeyx=的图象是()A．B．C ．D ．6．（5分）某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线L ．根据图中数据，下列对该样本描述错误的是( )A ．据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关B ．所抽取数据中，5000名青少年平均身高约为145cmC ．直线L 的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D ．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线L 上7．（5分）等比数列{}n a 为递减数列，若7146a a =，4175a a +=，则518(a a = ) A ．32B ．23C ．16D ．68．（5分）已知函数()cos(2)(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos 2g x x =的图象，则函数()f x 的图象( ) A ．关于直线23x π=对称 B ．关于直线6x π=对称C ．关于点2(,0)3π-对称D ．关于点5(12π-，0)对称二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9．（5分）若0a b <<，则下列不等关系中成立的是( )A ．11a b>B ．11a b a >-C ．1133a b < D ．22a b > 10．（5分）已知双曲线22145x y -=上一点P 到左焦点1F 的距离为10，则当1PF 的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A ．3或7B ．6或14C ．3D ．711．（5分）用一个平面去截正方体，则截面不可能是( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形12．（5分）已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c <<且f （a ）f =（b ）f =（c ）0=．如下结论正确的为( )A ．(0)f f （1）0>B ．(0)f f （1）0<C ．(0)f f （3）0>D ．(0)f f （3）0<三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为 ． 14．（5分）如图，在一个120︒的二面角的棱上有两点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为 ．15．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 16．（5分）如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1AB =，223AD =，2AC =．则BDDC= ，BAD ∠= ．四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为前n 项和，若226n n n a a S +=+．（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 18．（12分）已知函数221()cos sin ((0,))2f x x x x π=-+∈．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，其中21a =，4b =，若f （A ）0=，求ABC ∆的面积．19．（12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．求证： （1）1//BD 平面EAC ；（2）求直线1AB 与平面EAC 所成角的大小．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>63(2，1)2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点(0,1)A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ =，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．21．（12分）已知函数()x f x e =，2()1(0)g x ax x a =++>． （1）设()()()g x F x f x =，讨论函数()F x 的单调性； （2）若12a =，证明：()()f x g x >在(0,)+∞上恒成立． 22．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数(Body Mass Index ，缩写)BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22::kg BMI m =体重单位身高单位．中国成人的BMI 数值标准为：18.4BMI 为偏瘦；18.523.9BMI 为正常；2427.9BMI 为偏胖；28BMI 为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1~8)的身高()x cm 和体重()y kg 数据，并计算得到他们的BMI 值（精确到0.1)如表：（1）现从这8名员工中选取2人进行复检，求至少一人BMI 值“正常”的概率．（2）某调查机构分析发现公司员工的身高()x cm 和体重()y kg 之间有较强的线性相关关系，在部分体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.5yx a =+，且根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg ．计算得到的其他数据如下：81170,89920i i i x x y ===∑．①求ˆa的值及表格中体重的平均值y ； ②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为增加8kg 为63kg ，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm 的员工的体重．（附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxy bay bx xnx ==-==--∑∑．2020-2021学年湖南师大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则(AB = )A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(2，3)【分析】解不等式求出集合A ，B ，结合交集的定义，可得答案． 【解答】解：集合2{|430}(1,3)A x x x =-+<=，3{|230}(2B x x =->=，)+∞，3(2AB ∴=，3)，故选：D ．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为( ) A ．2B ．1C ．12D ．14【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求得抛物线22y x =的焦点到其准线的距离． 【解答】解：抛物线22y x =化为标准方程为212x y =∴抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为111224⨯=故选：D ．【点评】本题考查抛物线的性质，将抛物线方程化为标准方程是解题的关键．3．（5分）设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】m ，n 为非零向量，存在负数λ，使得m n λ=，则向量m ，n 共线且方向相反，可得0m n ⋅<．反之不成立，非零向量m ，n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而m n λ=不成立．即可判断出结论．【解答】解：m ，n 为非零向量，存在负数λ，使得m n λ=，则向量m ，n 共线且方向相反，可得0m n ⋅<．反之不成立，非零向量m ，n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而m n λ=不成立． ∴m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是0m n ⋅<”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =，则EF 等于( )A ．121232OA OB OC -+B ．211322OA OB OC -++C ．111222OA OB OC +-D ．211322OA OB OC --【分析】利用向量的三角形法则、线性运算法则即可得出． 【解答】解：1111211()2323322EF EB BA AF CB BA AO OB OC OA OB OA OA OB OC=++=++=-+--=--，故选：D ．【点评】本题考查了向量的三角形法则、线性运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于较易题．5．（5分）函数||x e y x=的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】求出导函数判断函数的单调性以及函数的最值，结合函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：2(1)0,,x x e x e x y y x x-'>==，函数在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，最小值为e ，又函数y 为奇函数，故函数在(,1)-∞-递增，在(1,0)-递减，0x <时有最大值为e -， 故选：A ．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的单调性与函数的导数的关系，考查分析问题解决问题的能力．6．（5分）某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线L ．根据图中数据，下列对该样本描述错误的是( )A ．据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关B ．所抽取数据中，5000名青少年平均身高约为145cmC ．直线L 的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D ．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线L 上【分析】根据散点图与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【解答】解：对于A ，根据样本数据的回归直线从左向右是上升的， 估计该地区青少年身高与年龄成正相关，正确；对于B ，计算平均数为1(108128.5147.6164.5176.4)1455⨯++++=，估计这5000名青少年平均身高约为145cm ，正确； 对于C ，根据回归直线的意义知，直线L 的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，正确； 对于D ，根据回归直线的定义知，回归直线必过样本数据的中心点， 不是必过某些数据的中心点，D 错误． 故选：D ．【点评】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题． 7．（5分）等比数列{}n a 为递减数列，若7146a a =，4175a a +=，则518(a a = ) A ．32B ．23C ．16D ．6【分析】7144176a a a a ==，可得4a 与17a 为方程2560x x -+=的两个根，又1n n a a +>，解得4a ，17a ，再利用通项公式即可得出．【解答】解：等比数列{}n a 为递减数列，若7146a a =，4175a a +=， 4a ∴与17a 为方程2560x x -+=的两个根，解得42a =，173a =或43a =，172a =， 1n n a a +>，43a ∴=，172a =，1317423a q a ∴==， 则51318132a a q ==， 故选：A ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）已知函数()cos(2)(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos 2g x x =的图象，则函数()f x 的图象( )A ．关于直线23x π=对称 B ．关于直线6x π=对称C ．关于点2(,0)3π-对称 D ．关于点5(12π-，0)对称 【分析】求出函数()f x 的解析式，结合函数的对称性分别进行判断即可． 【解答】解：由题意得将()cos 2g x x =的图象向左平移6π个单位后得到()f x ， 即()cos2()cos(2)63f x x x ππ=+=+，225()cos(2)cos 13333f ππππ=⨯+=≠±，2()cos(2)cos 16633f ππππ=⨯+=≠±， 22()cos(2)cos()10333f ππππ-=-⨯+=-=-≠， A ∴，B ，C 都不正确，55()cos[2()]cos()0121232f ππππ-=⨯-+=-=， 则函数关于点5(12π-，0)对称， 故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，结合函数的对称性分别进行判断是解决本题的关键．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9．（5分）若0a b <<，则下列不等关系中成立的是( )A ．11a b >B ．11a b a>-C ．1133a b <D ．22a b >【分析】直接利用不等式的性质和作差法的应用判断A ，B ，C ，D 的结论． 【解答】解：由于0a b <<，对于11:0b a A a b ab --=>，故A 正确； 对于11:0()()a a b bB a b a a a b a a b -+-==<---，故B 错误； 对于113333:()()C a b ⨯⨯<，所以a b <，故C 正确；对于22:()()0D a b a b a b -=+->，故D 正确． 故选：ACD ．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，作差法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10．（5分）已知双曲线22145x y -=上一点P 到左焦点1F 的距离为10，则当1PF 的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A ．3或7B ．6或14C ．3D ．7【分析】连接ON ，利用ON 是三角形12PF F 的中位线，及双曲线的定义即可求得ON 的大小． 【解答】解：依题意，连接ON ，ON 是△12PF F 的中位线，212ON PF ∴=， 12||4PF PF -=，110PF =， 214PF ∴=或6，2172ON PF ∴==或3； 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查三角形的中位线定理及双曲线的定义，考查分析与运算能力，属于基础题．11．（5分）用一个平面去截正方体，则截面不可能是( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【分析】画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项． 【解答】解：画出截面图形如图显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形 可以画出五边形但不是正五边形；故选：C ．【点评】本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键．12．（5分）已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c <<且f （a ）f =（b ）f =（c ）0=．如下结论正确的为( )A ．(0)f f （1）0>B ．(0)f f （1）0<C ．(0)f f （3）0>D ．(0)f f （3）0<【分析】根据32()69f x x x x abc =-+-，a b c <<，且f （a ）f =（b ）f =（c ）0=，确定函数的极值点及a 、b 、c 的大小关系，由此可得结论． 【解答】解：求导函数可得2()31293(1)(3)f x x x x x '=-+=--， ∴当13x <<时，()0f x '<；当1x <，或3x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞和(3,)+∞，单调递减区间为(1,3)，所以()f x f =极大值（1）1694abc abc =-+-=-，()f x f =极小值（3）275427abc abc =-+-=-，要使()0f x =有三个解a 、b 、c ，则需13a b c <<<<，及函数有个零点x b =在1~3之间，所以f （1）40abc =->，且f （3）0abc =-<， 所以04abc <<， (0)f abc =-，(0)0f ∴<，(0)f f ∴（1）0<，(0)f f （3）0>，故选：BC ．【点评】本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，是一道常规题． 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为 220x y +-= ．【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将0x =代入导数方程得出在点(0,1)处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程． 【解答】解：由题意，可知：1sin 2y x '=--， 011|sin 022x y ='=--=-． 曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程：112y x -=-， 整理，得：220x y +-=． 故答案为：220x y +-=．【点评】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题．14．（5分）如图，在一个120︒的二面角的棱上有两点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为 3 ．【分析】由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求． 【解答】解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直， 2AB =1AC =，2BD =，∴222212124212()92CD CA AB BD CA BD =+++=++-⨯⨯⨯-=，即2||9CD =，得||3CD =， 故答案为：3．【点评】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 [2，)+∞ ． 【分析】若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba， ∴3b a，离心率2222224c a b e a a +==， 2e ∴，故答案为：[2，)+∞．【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．16．（5分）如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1AB =，223AD =，2AC =．则BD DC = 12，BAD ∠= ．【分析】由题意利用三角形内角平分线的性质、余弦定理，求得结果．【解答】解：ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1AB =，22AD =，2AC =，则由三角形内角平分线的性质可得，12BD AB DC AC ==． 设BAD θ∠=，则θ为锐角，设BD x =，则2DC x =．由题意在ABD ∆、ACD ∆中，分别利用余弦定理可得，2822121cos 9x θ=+-⨯，28224422cos 9x θ=+-⨯， 822822422cos 4(121cos 99θθ∴+-⨯=+-⨯)， 求得2cos θ=4πθ∴=，故答案为：12，4π． 【点评】本题主要考查三角形内角平分线的性质、余弦定理，属于中档题．四、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为前n 项和，若226n n n a a S +=+．（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】解：（1）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为前n 项和，若226n n n a a S +=+①，当1n =时，解得21160a a --=，解得12a =-或3（负值舍去），当2n 时，211126n n n a a S ---+=+，②①-②得：22112n n n n n a a a a a ---+-=， 整理得11()(1)0n n n n a a a a +-+--=， 由于10n n a a -+>， 所以11n n a a --=（常数），所以数列{}n a 是以3为首项，1为公差的等差数列． 所以2n a n =+． （2）由于2n a n =+， 所以11111(2)(3)23n n n b a a n n n n +===-++++， 所以11111111(?)34452333n S n n n =-+-++-=-+++． 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18．（12分）已知函数221()cos sin ((0,))2f x x x x π=-+∈．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c，其中a =4b =，若f（A ）0=，求ABC ∆的面积．【分析】（1）由题意利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论．（2）由题意利用余弦定理求出c 的值，再利用三角形面积公式1sin 2bc A ，计算求得结果．【解答】解：（1）函数2211()cos sin cos222f x x x x =-+=+， 令222k x k πππ+，求得2k x k πππ+，可得函数的减区间为[k π，]2k ππ+，k Z ∈．（2）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，其中21a =，4b =，若f （A ）1cos202A =+=， 1cos22A ∴=-，223A π∴=，3A π=． 再由余弦定理可得221168cos 3c c π=+-，求得5c =，故ABC ∆的面积为113sin 4553222bc A =⨯⨯⨯=． 【点评】本题主要考查二倍角公式、余弦函数的单调性，余弦定理的应用、三角形面积公式，属于中档题．19．（12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．求证： （1）1//BD 平面EAC ；（2）求直线1AB 与平面EAC 所成角的大小．【分析】（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小． 【解答】（1）证明连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，O ∴是BD 中点，E 为棱1DD 的中点，1//OE BD ∴，1BD ⊂/平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 1//BD ∴平面EAC ．（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，1(2B ，2，2)，(0C ，2，0)，(0E ，0，1)，1(0AB =，2，2)，(2AE =-，0，1)，(2AC =-，2，0)，设平面EAC 的法向量(n x =，y ，)z ，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，2)， 设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ， 则11||63sin 2||||86AB n AB n θ⋅===⋅⋅，3πθ∴=， ∴直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为3π．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>63(2，1)2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点(0,1)A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ =，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．【分析】（1）运用离心率公式和基本量a ，b ，c 的关系，以及点满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y kx t t =+≠，与椭圆方程联立，整理得222(13)63(1)0k x ktx t +++-=．由0AP AQ =，利用根与系数的关系求得t 值，从而可证明直线l 过定点1(0,)2-．【解答】（1）解：椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>3(2，1)2，可得c e a ==222a b c -=，且2291144a b+=，解得a =1b =，c =则椭圆方程为2213x y +=．（2）证明：由0AP AQ =，可知AP AQ ⊥，从而直线l 与x 轴不垂直， 故可设直线l 的方程为(1)y kx t t =+≠，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222(13)63(1)0k x ktx t +++-=． 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则122613ktx x k -+=+，21223(1)13t x x k-=+，(*) 由△222(6)4(13)3(1)0kt k t =-+⨯->，得2231k t >-，由0AP AQ =，得1(AP AQ x =，121)(y x -，22212121)(1)(1)()(1)0y k x x k t x x t -=++-++-=，将(*)代入，得12t =-，所以直线l 过定点1(0,)2-．【点评】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合，及定点问题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（12分）已知函数()x f x e =，2()1(0)g x ax x a =++>． （1）设()()()g x F x f x =，讨论函数()F x 的单调性； （2）若12a =，证明：()()f x g x >在(0,)+∞上恒成立． 【分析】（1）求出()F x 的解析式，求出其导函数，对a 分类讨论即可得出单调性．（2）代入a 的值，令21()12x h x e x x =---，利用导数研究其单调性即可证明结论在(0,)+∞上恒成立【解答】解：（1）2()1()()xg x ax x F x f x e ++==， 21()()xa ax x a F x e ---'=，①若12a =，2()0x ax F x e -'=，()F x ∴在R 上单调递减，②若12a >，则210a a ->，当0x <，或21a x a ->时，()0F x '<，当210a x a-<<时，()0F x '>， ()F x ∴在(,0)-∞或21(a a -，)+∞上单调递减，在21(0,)a a-上单调递增， ③若102a <<，则210a a-<， 当21a x a -<，或0x >时，()0F x '<，当210a x a-<<时，()0F x '>． ()F x ∴在21(,)a a --∞，(0,)+∞上单调递减，在21(a a-，0)上单调递增； 综上：①12a =时，()F x 在R 上单调递减， ②12a >时，()F x 在(,0)-∞或21(a a -，)+∞上单调递减，在21(0,)a a -上单调递增， ③102a <<时，()F x 在21(,)a a --∞，(0,)+∞上单调递减，在21(a a-，0)上单调递增； （2）证明：12a =，221112ax x x x ∴++=++， 设21()12x h x e x x =---，则()1x h x e x '=--，设()()1x p x h x e x ='=--，则()1x p x e '=-，在(0,)+∞上，()0p x '恒成立， ()h x ∴'在(0,)+∞上单调递增，又(0)0h '=，(0,)x ∴∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增， ()(0)0h x h ∴>=，21102x e x x ∴--->，2112x e x x >++， 所以221112x e x x ax x >++++， 所以()()f x g x >在(0,)+∞上恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数(Body Mass Index ，缩写)BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22::kg BMI m=体重单位身高单位．中国成人的BMI 数值标准为：18.4BMI 为偏瘦；18.523.9BMI 为正常；2427.9BMI 为偏胖；28BMI 为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1~8)的身高()x cm 和体重()y kg 数据，并计算得到他们的BMI 值（精确到0.1)如表：（1）现从这8名员工中选取2人进行复检，求至少一人BMI 值“正常”的概率．（2）某调查机构分析发现公司员工的身高()x cm 和体重()y kg 之间有较强的线性相关关系，在部分体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.5yx a =+，且根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg ．计算得到的其他数据如下：81170,89920i i i x x y ===∑．①求ˆa的值及表格中体重的平均值y ； ②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为增加8kg 为63kg ，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm 的员工的体重．（附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxy bay bx xnx ==-==--∑∑． 【分析】（1）直接由古典概型概率计算公式求解；（2）①把180x =，71y =代入线性回归方程求ˆa，再由样本点的中心一定在回归直线上求ˆy； ②求出更正后的ˆb与ˆa 的值，可得更正后的线性回归方程，则答案可求．【解答】解：（1）由表中的BMI数值可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，则从这8名员工中选取2人进行复检，至少一人BMI值“正常”的概率232825128CPC=-=；（2）①根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg，ˆ710.5180a∴=⨯+，得ˆ19a=-．样本点的中心一定在回归直线上，∴0.51701966y=⨯-=；②由①知更正前的数据170,66x y==，8182218ˆ0.58()i iiiix y xybx x==-==-∑∑，∴8822118()2(8)2(89920817066)320i i ii ix x x y xy==-=-=⨯-⨯⨯=∑∑，更正后的数据170x x'==，6688678y⨯+'==，888811181828i i i i i ii i ix y x y x x y===''=+⨯=+⨯∑∑∑，88(1)88170x y x y xy''=+=+⨯，∴8811882222118(1828)(88170)96ˆ0.50.8320()8()8()i i i ii ii ii ix y x y x y xybx x x x====''-''+⨯-+⨯===+='-'-∑∑∑∑，故ˆˆ670.817069a y bx='-'=-⨯=-．当180x=时，ˆ0.81806975y=⨯-=．∴预估一名身高为180cm的员工的体重为75kg．【点评】本题考查古典概型及其概率的求法，考查线性回归方程的计算及应用，考查运算求解能力，是中档题．第21页（共21页）。
湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试卷
湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试数 学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．当213m <<时，复数(3i)(2i)m +-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．曲线221259x y +=与曲线221925x y k k+=--（9k <且0k ≠）的（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等3．数列{}n a 的通项3(7)4,4,,4,n n t n n a t n --+≤⎧=⎨>⎩若{}n a 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(4,7)B ．32,75⎛⎫⎪⎝⎭C ．32,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．(1,7) 4．,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A B C ．2 D ．125．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介人，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，对于01R >，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数03R =，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（ ）（参考数据：653729,41024==）A ．35B ．42C ．49D ．566．半径为5的圆O 内有一点P ，已知||4OP =，过点P 的21条弦的长度构成一个递增的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差的取值范围为（ ）A ．10,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．14,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知0ω>，函数()sin f x x ω=在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，则ω的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1339,,2222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知函数2()f x x mx n =++，则存在,m n ∈R ，对任意的x ∈R 有（ ） A ．()(22022)f x f x <+ B ．2022(())2022f f x x ≥C ．22022ff x ⎛≥ +⎝⎭D ．(sin )(cos )f x f x ≤二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知圆22:230A x y y +--=，则下列说法正确的是（ ） A ．直线1x =-与圆A 相切 B ．圆A 截y 轴所得的弦长为4 C ．点(1,1)B --在圆A 外D ．圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为3 10．已知n S 是{}n a 的前n 项和，下列结论正确的是（ ） A ．若{}n a 为等差数列，则n pS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（p 为常数）仍然是等差数列 B ．若{}n a 为等差数列，则322n n n S S S =- C ．若{}n a 为等比数列，公比为q ，则()21nn nS qS=+D ．若{}n a 为等比数列，则“,,,,m n p q m n p q *+=+∈N ”是“m n q p a a a a ⋅=⋅”的充要条件11．点M 是正方体1111ABCD A B C D -中侧面正方形11ADD A 内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（ ）A ．满足1MC AD ⊥的点MB ．点M 存在无数个位置满足直线1B M ∥平面1BC DC ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒D ．若E 是1CC 的中点，则平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的正切值为12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是12,A A ，左、右两个焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上异于12,A A 的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ）A ．存在点P ，使得12||||2PA PF a -=B ．存在点P ，使得直线12,PA PA 的斜率的绝对值之和122PA PA bk k a+≤ C ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有四个D ．若212PA PA b ⋅=，则120PF PF ⋅=三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．14．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O的球面上，1120,2AB AC BAC AA ==∠=︒=，则球的表面积为___________．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若112,0F A AB F B F B =⋅=，则C 的离心率为___________．16．已知数列{}n a 满足()2211112n n n n n n a a a a a a +++++=-+．（1）若31a =，则n a =___________；（2）若对任意正实数t ，总存在1(3,)a λ∈和相邻两项1,k k a a +，使得1(21)0k k a t a +++=成立，则实数λ的取值范围是___________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，三个点(0,0),(2,0),(0,6)O A B -到直线l 的距离均为d ，且1d <． （1）求直线l 的方程；（2）若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为5，求圆C 的标准方程．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为AB 中点，F 为PD 中点，2,1AB PD BC ===．（1）证明：EF ∥平面PBC ； （2）求点E 到平面PBC 的距离． 19．（本小题满分12分）8月份，有一新款服装投入某市场．8月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当8月某日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，已知8月31日当天刚好售出3件． （1）问8月几日该款服装销售最多？最多售出几件？（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？ 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:4,(1,2),(,0)C y x A B m =，其中0m >，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点．（1）当直线l 垂直于x 轴，且AMN △为直角三角形，求实数m 的值；（2）若四边形OAPB 是平行四边形，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM AN ⊥． 21．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）设数列{}n b 满足13,,2,,2n n n ab n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++<对一切正整数k 均成立．22．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(2,0)F -．过1F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆交于()()1122,,,A a b B a b 两点，且112AF F B =．（1）求证：()2121220b b b b ++=，并求椭圆C 的方程；（2）设()()()()11223344,,,,,,,M x y P x y N x y Q x y 是椭圆C 上顺时针依次排列的四个点，求四边形MPNQ 面积的最大值并计算此时的22221212,x x y y ++的值．湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）2．C 【解析】曲线1259x y +=表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8的椭圆．曲线221925x yk k+=--（9k<且0k≠）表示焦点在y轴上，长轴长为短轴长为，焦距为8的椭圆．对照选项，则C正确．3．A 【解析】由已知得270,1,4(7)4,ttt t->⎧⎪>⎨⎪-+<⎩解得47t<<．故选A．4．B 【解析】解法一：如图，设直线PC在平面PAB的射影为PD，作CG PD⊥于点G，CH PA⊥于，点H，连接HG，有cos,cos cos,PHCPAPCPG PH PHCPD APDPC PG PC⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩故cos cos cosCPA CPD APD∠=∠⨯∠．已知60,30APC APD∠=︒∠=︒，故cos cos60coscos cos30CPACPDAPD∠︒=∠︒∠==为所求．解法二：如图所示，把,,PA PB PC放在正方体中，,,PA PB PC的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B，所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB=-==-，设平面PAB的法向量(,,)n x y z=，则0,0,n PA y zn PB x y⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ==-，所以(1,1,1)n =-，所以2cos ,3||||2PC n PC n PC n ⋅-〈〉===⋅⨯． 设直线PC 与平面PAB所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=， 所以cos θ==．故选B ． 5．B 【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染， 则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：12000111n n R R R R R +-+++⋅⋅⋅+=-，因为03R =，所以当感染人数增加到100人时，113100013n +-=-，化简得3667n =， 由563243,3729==，故得6n ≈，又因为平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天， 故答案为B ．6．A 【解析】由题知过点P 的最短弦与OP 垂直，弦长为6，最长弦为圆O 的直径，其长为10，过点P 的21条弦的长度构成递增的等差数列，则公差d 的最大值为10612115-=-，故{}n a 的公差的取值范围为10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选A ．7．D 【解析】解法一：当()sin f x x ω=取最值时，,2x k k πωπ=+∈Z ．即2,k x k ππω+=∈Z ， 由题知23k ππππω+<<，故1132k ωω<+<．即33,21,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩Z ．因为0,0k ω>=时，1322ω<<；1k =时，3922ω<<；显然当32ω>时，2232232T ππππωω==<=，此时()sin f x x ω=在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上必有最值点． 综上，所求133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法二：由()cos f x x ωω'=，()sin f x x ω=在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，即()0f x '=在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解． 即,2x k k πωπ=+∈Z 在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解． 以下同解法一． 解法三：特例代入法 分别取3,52ωω==，易知A 、B 、C 错，故选D ． 8．C 【解析】A 选项，由题意可知，函数图象开口向上，对称轴为2m x =-，当220222m x +=-时，根据二次函数性质知不成立，故A 错误；B 选项，(())f f x 为四次函数，因为2022xy =为指数函数，则x →+∞时，一定有2022(())2022xf f x <，故B 错误；C 选项，≥，则只需()f x 左边即可，即2m -≤所以m ≥即可，故C 正确；D 选项，分别取,0,,22x πππ=-，可得(0)(1)(1)f f f =-=，对二次函数来说是不可能的，故D 错误．故选C ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．BC 【解析】由圆:230A x y y +--=得(1)4x y +-=， 所以圆心(0,1)A ，半径2r =，对于A ：圆心A 到直线1x =-的距离为1，所以直线1x =-与圆A 相交，故A 错误； 对于B ：圆心A 在y 轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B 正确；对于C ：点(1,1)B --到圆心A 的距离2d ==>，所以点B 在圆A 外，故C 正确；对于D ：圆心A 到直线的距离3d ==，所以圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为321-=，故D 错误．故选BC ． 10．AC 【解析】对于A ，由211(1)222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故122n pS pdd n p a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．易知n pS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（p 为常数）是首项为1a p ，公差为2pd 的等差数列，A 正确；对于B ，由{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --仍成等差数列，故有()()2322n n n n n S S S S S -=+-，所以()323n n n S S S =-，B 不正确；对于C ，()212212n n n n n n n n n S S a a a q a a a q S ++-=+++=+++=，故()21nn n S q S =+，C 正确；对于D ，充分性易证．而若{}n a 为常数列时，如3n a =，则210013a a a a ⋅=⋅，但210013+≠+，故必要性不成立，D 不正确。
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湖南省湖南师大附中2012-2013学年高二第一学期期中考试数学（文）试题时 量：120分钟 满 分：150 分（必考I 部分100分，必考II 部分50分）命题：湖南师大附中高二数学备课组必考I 部分一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a b >，则下列不等式中正确的是 （D ） A. 22a b > B.11a b< C. a b > D. 0b a -< 2.不等式2450x x -->的解集是 （B ） A. {}51x x x ≥≤-或 B. {}51x x x ><-或 C. {}15x x -<< D. {}15x x -≤≤3.在ABC ∆中，已知BC=12，60,45A B == ，则AC= （D ）A.B.C.D. 4.已知等比数列{}n a 中，13a =，且14a a a 23、2、成等差数列，则数列{}n a 的公比为 （B ） A. 1 B. 2 C. －1 D.125.不等式组03003x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩所表示的平面区域的面积等于 （C ）A. 3B. 9C. 18D. 366.设0,0a b >>是33a b 与的等比中项，则11ab+的最小值为 （B ） A. 8 B. 4 C. 1 D.147.在ABC ∆中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形的形状是 （A ）A. 等腰三角形B. 正三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形8.已知数列{}n a 是等比数列，若2512,4a a ==，则12231n n a a a a a a ++++ = （C ） A. 16(14)n -- B. 16(12)n -- C.32(14)3n -- D. 32(12)3n -- 二、填空题：本大题共６个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上.9.数列{}n a 中，115,3n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式是n a = 3n ＋2 10.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C的对边，且222b c a ++=，则角A 的度数为 15011.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n a S =+，则数列{}n a 的通项公式是n a =12n -12.已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为 －213.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B 种药需甲料5毫克，乙料4毫克，今有甲料20毫克，乙料25毫克，设A 、B 两种药分别配,x y 剂(,)x y N ∈，若A 、B 两种药至少各配一剂，则x ，y 应满足的条件是1135205425x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩14.已知0,0,x y >>且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（－4，2）三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若ABC ∆1，且s i n s i n A B C +=.（1）求边AB 的长；（2）若ABC ∆的面积为1sin 6C ，求角C 的度数. 解：设ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，（1）由题意及正弦定理得1a b c a b ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，故1c AB ==(4分) （2）111sin sin ,263S ab C C ab ∆==∴= （6分）又1,11c a b =∴+=-=7分） 由余弦定理得22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+-+--==212113223-⨯-==⨯（9分）(0,)C π∈ ∴ 3C π=（10分）16. （本题满分10分）已知变量x 和y 满足约束条件10301x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩.（1）求42z x y =+的最大值； （2）求21y k x +=+的取值范围. 解：（1）作出可行域如图.(3分) 将42z x y =+变形为22zy x =-+, 可知直线过点C 时z 取得最大值.由130y x y =⎧⎨+-=⎩ 得C(2，1) (5分)即2x =且1y =时，max 10z =.(6分) (2)21y k x +=+表示可行域内任一点(,)x y 与定点(1,2)P --连线的斜率.(7分) 由图可知, PC PB k k k ≤≤. 由110y x y =⎧⎨-+=⎩得B(0，1).1,3,PC PB k k ∴==故k 的取值范围是[]1,3.(10分)17. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n n a S 与； （2）令21(*)1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差d357117,26,27,21026a a a a d a d =+=∴+=+=解得：13,2a d ==（4分）1(1)21n a a n d n ∴=+-=+21()22n n a a nS n n +==+（6分） （2）由（1）得221(21)14(1)na n n n -=+-=+ 1111()4(1)41n b n n n n ∴==-++ （9分）故12...n n T b b b =+++111111(1)()...()42231n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦11(1)41n =-+4(1)nn =+（12分）18. （本题满分12分）如图，为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C 、D 两点处进行测量.在C 点测得塔顶A 在南偏西800，仰角为450，此人沿着南偏东400方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为300，试求塔的高度.解：由题意得，AB ⊥平面BCO ,.AB BC AB BD ∴⊥⊥（2分） 设塔高AB=x ，（3分）在Rt △ABC 中，∠ACB=450，所以BC= AB=x ，（5分） 在Rt △ABD 中，∠ADB=450, ∴BD=x AB330tan 0=，（8分） 在△BCD 中，由余弦定理得BD 2=CB 2+CD 2-2CB ·CDcos1200,∴ x x x 10100)3(22++=， 解得x=10或=-5（舍去）. （11分） 答：塔高为10米。
（12分）必考II 部分（文）19.(本小题满分12分)ABC D东北 30° 40°80° 45°设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知cos (2)cos b C a c B =-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域.【解】（Ⅰ）由已知及正弦定理，得sin cos (2sin sin )cos B C A C B =-. （2分） 即sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，所以sin()2sin cos B C A B +=. （4分） 因为sin()sin 0B C A +=≠，则2cos 1B =，即1cos 2B =. （5分） 因为B ∈(0，π)，所以B ＝3π. （6分） （Ⅱ）因为3B =π，则()s i n ()s i n s i n c o s c o s s i n s i n333f x x x x x x πππ=-+=-+3sin )26x x x π=-=-. （9分） [0,)x π∈，则5666x πππ-≤-<，所以1sin()[,1]62x π-∈-. （11分） 故函数()f x的值域是[2-. （12分）20. (本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，一个焦点为1F ，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为2（1）求此椭圆的标准方程及离心率；（2）设F 2是椭圆的另一个焦点，P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围.解：（1）设所求椭圆方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），则222221c a a c b a b c c ⎧=⎧=⎪⎪⎪-==⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩（4分） 故所求的椭圆方程为2214x y +=，离心率c c a ==（6分）（2）由（1）知F 20），设P （x ，y ），则22222121(,),)313(38)44x PF PF x y x y x y x x =--=+-=+--=- （10分）2[2,2],04x x ∈-∴≤≤ ，故12[2,1]PF PF ∈-.（12分）21. (本小题满分13分)已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，其公差0d >，且3a ，72a +，93a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：321214222n n a a a a -++++< (n ∈N*). 【解】（Ⅰ）因为1(1)n a n d =+-，则312a d =+，716a d =+，918a d =+. （3分）由已知，2739(2)3a a a +=⋅，则2(36)3(12)(18)d d d +=++，即2210d d --=. （5分）所以(21)(1)0d d +-=.因为0d >，则1d =，故n a n =. （6分）（Ⅱ）设32121222n n n a a a S a -=++++ ，则 21231222n n n S -=++++L ，则23112322222n n nS =++++L . （8分）两式相减得，2311111111221212222222212nn n n n n n n n S --+=+++++-=-=--L . 所以1242n n n S -+=-. （12分） 因为1202n n -+>，则12442n n -+-<，故321214222n n a a a a -++++< . （13分） 22. (本小题满分13分)为了进一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求其最小值. 解：（Ⅰ）设隔热层厚度为()x cm ， 由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+．再由(0)8C =，得40k =， 因此40()35C x x =+，而建造费用为1()6C x x =（3分） 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++.（6分） （Ⅱ）8001600()6(610)1035610f x x x x x =+=++-++，（ 8分）1600(610)80610x x ++≥=+， 当且仅当1600(610)610x x =++即5x =时等号成立（10分） 对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+.答：当隔热层修建5cm 厚时总费用达到最小值70万元.（13分）。