2019-2020学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷试题及答案(解析版)
2024-2025学年湖南省长沙市湖南师大附中高二(上)入学数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。
1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M⫋N⫋U ，则下列运算结果为U 的是( )A. M ∪NB. (∁U N)∪(∁U M)C. M ∪(∁U N)D. N ∪(∁U M)2.已知α为锐角，且cosα−sinα=15，则下列选项中正确的有( )A. α∈(π4,π2)B. tanα=43C. sinαcosα=1225D. sinα+cosα=753.下列命题正确的是( )A. 若直线a//b ，a//平面α，则b//平面αB. 若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C. 三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D. 已知直线a 与b 异面，不同的两点P ∈a ，Q ∈a ，不同的两点M ∈b ，N ∈b ，则直线PM 与QN 可能相交4.“函数f(x)=log 12(3−ax)在区间[1,2]上单调递增”的充分必要条件是( )A. a ∈(0,+∞) B. a ∈(0,1) C. a ∈(0,32) D. a ∈(0,32]5.2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2mg/cm 3，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过0.1mg/cm 3，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要( )小时？(结果取整数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A. 12B. 8C. 10D. 116.已知M 是△ABC 所在平面内一点，满足AM =34AB +15AC ，则△ABM 与△BCM 的面积之比为( )A. 3B. 4C. 58D. 1257.已知5−a =lna ，b =log 43+log 917，7b +24b =25c ，则以下关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A. b >c >aB. a >c >bC. b >a >cD. a >b >c8.已知函数f(x)={1+log a |x−2|,x ≤1,(x−1)2+4a,x >1(a >0且a ≠1)在R 上为单调函数，若函数y =|f(x)|−x−2有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是( )A. 116 B. 14 C. 12 D. 13169.下列命题为假命题的是( )A. 在复数集C 中，方程x 2+x +1=0有两个根，分别为−12+ 32i ，−12− 32i B. 若三个事件A ，B ，C 两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C. 若OP =xOA +yOB +zOC ，则x +y +z =1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件D. 复平面内满足条件|z +i|≤2的复数z 所对应的点Z 的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆10.已知函数f(x)=sin (ωx +φ)，如图A ，B 是直线y =12与曲线y =f(x)的两个交点，若|AB|=π6，则( )A. f(0)=− 32B. 函数f(x)的最小正周期为7π12C. 若x 1+x 2=91π12，则f(x 1)=f(x 2)D. 若|x 1−x 2|=π24，则|f(x 1)−f(x 2)|的最大值大于1− 3211.如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，B 1C ⊥BC ，AC ⊥B 1C ，BC =CB 1=A 1C 1=2，下列结论中正确的有( )A. 平面BCC 1B 1⊥平面ACC 1A 1B. 直线AA 1与BC 1所成的角的正切值是13C. 三棱锥C−A 1B 1C 1的外接球的表面积是12πD. 该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2019-2020学年湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题答案
& !
0"%$ '("$故"($ '!
#)!%#&#"#"!%!&$或#"!
"解析#%#&由"!12#0"!1%#知$"#2"&2"(22"!"#$0#"#"!
%!&由"!10"!1%!2'%1%#&$知"!20"!2%"'%"!&22%"!2%"!2%!&
湖南师大附中!"#$%!"!"学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学参考答案%!#
所以$&2$'01%#&2#'%!&0#%2!!11!$
湖南师大附中!"#$%!"!"学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学参考答案%!&
% & 所以线段34 的中点- 的坐标为
!1! #2!1!
$#2%!11!
! +分
由题意可知$346-+$1/"$
% & 故直线+- 的方程为$2#21!1!0%1# #%#2!1!!1! !
)!/!"解析#&#'%&(0")2"*22"#'0$%")!2"#'&0$%"!!2"#+&0#''!
+!/!"解析#正确的是!
$!,!"解析#因为$'(!$0$')$$则点 ' 满足'$'(#$2$'(!$0$(#)$0'%$(#(!$0!$故点 '
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期期中考试数学答案
设 "%&2!'2&!由0('"1#"(',!得* +&2110$&+! ,'21'$+!
数学参考答案!!"
'+
3直线 3"
%#&由已知可得 -.1-51-%1.51#!
所以%-.5 为正三角形!-31槡$!
又因为 .%1槡#!所以 %51槡#!所以 %3".5! 于是分别以 3.!3%!3- 为& 轴!' 轴!: 轴建立如图所示空间直角坐 标系!
则 3%+!+!+&!.%"!+!+&!%%+!"!+&!-%+!+!槡$&!5%!"!+!+&! 则.('%1%!"!"!+&!%('-1%+!!"!槡$&!%('51%!"!!"!+&! )分
当()!= 时;&3+所以/&在区间+上单调递增
当!=&(&"时由于;&在区间 +上 单 调 递 减所 以 存 在 &+ . +使 ;&+1+且 当 &.+&+时;&#+所以/&在区间+&+上单调递增当&.&+时;&&+ 所以/&在区间&+上单调递减与已知不符! 故所求的(的取值范围是!4!=4"04! "#分
2019-2020学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷
2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ）A．B．C．D．2．（5分）对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．33．（5分）写出命题p：“∃x 0∈R，使得”的否定并判断￢p的真假，正确的是（ ）A．￢p是“”且为真B．￢p是“∃x 0∈R，使得”且为真C．￢p是“”且为假D．￢p是“∃x 0∉R，使得”且为假4．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A．12.5，12.5B．13.5，13C．13.5，12.5D．13，135．（5分）已知如表所示数据的回归直线方程为，且由此得到当x＝7时的预测值是28，则实数m的值为（ ）x23456y3712m23A．18B．20C．21D．226．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，已知a2+a18＝32，则S14﹣S5＝（ ）A．2S10B．144C．288D．5（a1+a14）7．（5分）“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A．“m＝7”B．“7＜m＜9”C．“5＜m＜9”D．“5＜m＜9”且“m≠7”8．（5分）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示A的对立事件，表示B的对立事件）：①，②F＝AB，③F ＝A+B，④G＝A+B，⑤，⑥P（F）＝1﹣P（E），⑦P（F）＝P（A）+P（B）．其中正确的关系式的个数是（ ）A．3B．4C．5D．69．（5分）已知圆，定点F2（1，0），点P在圆F1上移动，作线段PF2的中垂线交PF1于点M，则点M的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝（ ）A．随P点变化而变化B．2C．4D．511．（5分）如图，椭圆的左右焦点分别是F1，F2，点P、Q 是C上的两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆过定点（1，1），则的最大值是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．14．（5分）设a，b∈R，则“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）15．（5分）设函数f（x）＝x2﹣3x+a，已知∃t0∈（1，3]，使得当x∈[1，t0]时，f（x）≤0有解，则实数a的取值范围是 ．16．（5分）设数列{a n}满足，则：（1）a1+a3+a5+…+a2019＝ ；（2）数列中最小项对应的项数n为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a•sin C＝c•sin2A．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．18．（12分）“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．19．（12分）设双曲线时，正项数列{x n}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有是Γ上的点．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）记，是否存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．20．（12分）某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份123456销售单价x（元）99.51010.5118销售量y（元）111086514.2（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？＜注：利润＝销售收入一成本＞．参考数据：．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣）21．（12分）已知椭圆经过点（0，1），且离心率为．（1）设过点的直线与椭圆E相交于M、N两点，若MN的中点恰好为点P，求该直线的方程；（2）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点Q（0，m），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）若命题：“∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，求a的取值范围；（2）若a＝2，x1＞0，x2＞0，x1+x2＝1，求f（x1）+f（x2）的最小值；（3）若，函数f（x）在区间[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】根据随机抽样时每个个体被抽到的概率相等，即可得出结论．【解答】解：从353名学生干部中任意选取35名学生，先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，因为被剔除与被选中的概率相同，所以甲被选中的概率为P＝．故选：C．【点评】本题考查了随机抽样的应用问题，是基础题．2．（5分）对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】①随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③一种彩票买一张中奖的概率是，买这种彩票一千张也有可能不会中奖；④根据古典概型的概率特征判断即可．【解答】解：对于①，随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关，而频率是实验值，与试验重复的次数有关，∴①错误；对于②，抛掷两枚均匀硬币一次，出现的基本事件是：{正、正}、{正、反}、{反、正}、{反、反}共4种，出现一正一反的概率是P＝，∴②错误；对于③，若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张也有可能不会中奖，∴③错误；对于④，“姚明投篮一次，求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种，但是这两种事件的概率是不同的，不属于古典概型概率问题，④错误．综上知，正确的个数是0．故选：A．【点评】本题考查了随机事件的概率应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．3．（5分）写出命题p：“∃x 0∈R，使得”的否定并判断￢p的真假，正确的是（ ）A．￢p是“”且为真B．￢p是“∃x 0∈R，使得”且为真C．￢p是“”且为假D．￢p是“∃x 0∉R，使得”且为假【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，且命题p与它的否定命题￢p一真一假，由此判断正误．【解答】解：由sin x+cos x＝sin（x+）≤＜，所以命题p：“∃x 0∈R，使得”是假命题；所以该命题的否定￢p：“”，它是真命题．故选：A．【点评】本题考查了全称量词命题与存在量词命题的否定与真假性判断问题，是基础题．4．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A．12.5，12.5B．13.5，13C．13.5，12.5D．13，13【分析】根据频率分布直方图的数据，结合平均数数和中位数的对应进行判断即可．【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3＝13，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15]的的位置，即中位数为10+（15﹣10）×＝13．故选：D．【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，要求熟练掌握中位数和平均数的定义以及计算方式．5．（5分）已知如表所示数据的回归直线方程为，且由此得到当x＝7时的预测值是28，则实数m的值为（ ）x23456y3712m23A．18B．20C．21D．22【分析】由已知求出样本点的中心的坐标，然后结合题意列关于a与m的方程组求解．【解答】解：，，则，①又28＝5×7﹣a，②联立①②解得：a＝7，m＝20．故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，已知a2+a18＝32，则S14﹣S5＝（ ）A．2S10B．144C．288D．5（a1+a14）【分析】利用等差数列{a n}的通项公式求出a1+9d＝16，由此能求出S14﹣S5．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，a2+a18＝32，∴a1+d+a1+17d＝32，解得a1+9d＝16，∴S14﹣S5＝（14a1+）﹣（）＝9（a1+9d）＝9×16＝144．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前14项和与前5项和之差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A．“m＝7”B．“7＜m＜9”C．“5＜m＜9”D．“5＜m＜9”且“m≠7”【分析】由椭圆的定义可列出m满足的不等式组，从而求出m的取值范围，注意9﹣m≠m﹣5，再结合选项选出必要不充分条件．【解答】解：因为方程的曲线是椭圆，则由椭圆的定义可知：，解得：5＜m＜9且m≠7，所以“方程的曲线是椭圆”的充要条件为“5＜m＜9且m≠7”，所以“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“5＜m＜9”．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件，必要条件，充要条件的判定，做题时注意9﹣m≠m﹣5的限制，还需注意要选的是必要不充分条件而不是充要条件，是基础题．8．（5分）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示A的对立事件，表示B的对立事件）：①，②F＝AB，③F ＝A+B，④G＝A+B，⑤，⑥P（F）＝1﹣P（E），⑦P（F）＝P（A）+P（B）．其中正确的关系式的个数是（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】解：甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，在①中，事件E是指事件A与事件B同时不发生，∴，故①正确；在②中，事件F表示事件A和事件B至少有一个发生，故F＝A+B，故②错误；在③中，F＝A+B，故③正确；在④中，，故④错误；在⑤中，，故⑤正确；在⑥中，由对立事件概率计算公式得P（F）＝1﹣P（E），故⑥正确；在⑦中，由互斥事件概率计算公式得P（F）＝P（A）+P（B），故⑦正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）已知圆，定点F2（1，0），点P在圆F1上移动，作线段PF2的中垂线交PF1于点M，则点M的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．【分析】先确定F1、F2的坐标，再根据线段PF2的中垂线与PF1交于M点，结合双曲线的定义，可得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，从而可得点M的轨迹C的方程．【解答】解：由题意得，F1（﹣1，0），则F2（1′，0），圆F1的半径|PF1|＝4，且|MF2|＝|MP|，|MF1|+|MF2|＝|PF1|＝4＞2＝|F1F2|；∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中实轴2a＝4，焦距2c＝2，则虚半轴b＝，椭圆的方程为：．．故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线方程的求法，是中档题．10．（5分）已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝（ ）A．随P点变化而变化B．2C．4D．5【分析】由题设条件结合等腰三角形的性质可得|PH|＝|PF2|，由双曲线的定义推出PF1|﹣|PH|＝|F1H|＝2a，由中位线定理可得|OM|＝a，由双曲线的方程可得所求值．【解答】解：双曲线的左右焦点分别是F1，F2，延长F2M交PF1于H，∵PM是∠F1PF2的角平分线，∴|PH|＝|PF2|，∵P在双曲线上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|﹣|PH|＝|F1H|＝2a，∵O是F1F2的中点，M是F2H的中点，∴OM是△F2F1H的中位线，∴|HF1|＝2|OM|，即|OM|＝a，双曲线中a＝4，则|OM|＝4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用等腰三角形的性质和中位线定理，考查推理能力，属于中档题．11．（5分）如图，椭圆的左右焦点分别是F1，F2，点P、Q是C上的两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的性质和正弦定理求出e．【解答】解：设QF2的倾斜角α，延长QF2到P'，显然PP'关于O对称，根据椭圆的极坐标方程P'F2＝，F2Q＝，由，e cosα＝，又根据正弦定理e＝，所以e sinα+e cosα＝1，的e sinα＝，所以e2cos2α+e2sin2α＝，e2＝，e＝．故选：A．【点评】本题利用椭圆在交点处的极坐标方程，还用了正弦定理，中档题．12．（5分）已知椭圆过定点（1，1），则的最大值是（ ）A．B．C．D．【分析】代入（1，1），再利用基本不等式求出．【解答】解：把（1，1）代入得，则＝≤，当且仅当成立，即a2＝，b2＝4，故选：C．【点评】考查椭圆的性质，基本不等式的用法，基础题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．【分析】根据红灯持续时间结合几何概率公式，即可求出至少需要等待10秒才出现绿灯的概率．【解答】解：因为红灯持续时间为40秒，所以根据已知条件可得至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为P＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型，是基础题．14．（5分）设a，b∈R，则“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【分析】由log2（a﹣b）＞0可得出a＞b，然而由a＞b，只能得到a﹣b＞0，得不到a﹣b＞1，故推不出log2（a﹣b）＞0，从而“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的充分不必要条件．【解答】解：由log2（a﹣b）＞0可知，a﹣b＞1，所以a﹣b＞0，从而得出a＞b，然而由a＞b，只能得到a﹣b＞0，得不到a﹣b＞1，故推不出log2（a﹣b）＞0，所以“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，是基础题．15．（5分）设函数f（x）＝x2﹣3x+a，已知∃t0∈（1，3]，使得当x∈[1，t0]时，f（x）≤0有解，则实数a的取值范围是 （﹣∞，2] ．【分析】二次函数的值域问题需要三步走：一、判断开口方向；二、得出对称轴；三、判断对称轴与区间端点的位置关系，结合草图得出结论．【解答】解：∵f（x）的对称轴为x＝，所以，当t0∈（1，]时，x∈[1，t0]位于对称轴左侧，草图如下：此时f（x）min＝f（t0）＝，又对于任意t0∈（1，]均成立，因此a≤﹣（）min＝2；又，当t0∈（，3]时，x∈[1，t0]越过对称轴，草图如下：此时f（x）min＝f（）＝+a≤0，解得a≤；综上，a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题属于基础题，掌握二次函数值域的求解是关键．16．（5分）设数列{a n}满足，则：（1）a1+a3+a5+…+a2019＝ 1010 ；（2）数列中最小项对应的项数n为 9或10 ．【分析】（1）当n为奇数时，可得奇数项的值都为1，从而求出前2020项奇数项的和为1010．（2）当n为偶数时，a n+2﹣a n＝2n，属于累加法的题型，运用累加法求出a n，从而求出，再结合均值不定式求出最小项，注意n的取值．【解答】解：（1）数列{a n}满足，则：＝1，，……，，所以a1+a3+a5+…+a2019＝．故答案为：1010．（2）由题意知：，因为n为偶数，所以a n+2＝a n+2n，整理得a n+2﹣a n＝2n，a n﹣a n﹣2＝2（n﹣2），……，a6﹣a4＝2×4，a4﹣a2＝2×2，累加得：a n+2﹣a2＝2（2+4+…+n），整理得：，所以：（n为偶数），从而得到，由于，又因为n∈N*且n为偶数，所以当n＝18或20时，的值最小．所以数列中最小项对应的项数n为9或10．故答案为：9或10．【点评】考查了由数列的递推公式求通项公式的常用方法累加法，又与均值不等式结合到一起考查最值问题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a•sin C＝c•sin2A．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简即可求解；（2）利用余弦定理求解c，即可求解△ABC的面积．【解答】解：（1）因为知a•sin C＝c•sin2A．由正弦定理：sin A•sin C＝sin C•sin2A．因为sin2A＝2sin A cos A，sin A•sin C≠0，所以cos A＝．因为0＜A＜π，所以A＝．（2）因为a＝，b＝2，A＝．由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2cb cos A得c2﹣6c+5＝0，解得：c＝1或c＝5，均适合题．当c＝1时，△ABC的面积．为S＝bc sin A＝．当c＝5时，△ABC的面积．为S＝bc sin A＝．【点评】本题考查正、余弦定理和面积公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【分析】（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这40辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出[60，75）对应的频率为0.35，[75，80）对应的频率为0.3，由此能求出中位数的估计值．（2）车速在[60，70）内频率为0.15，从而车速在[60，70）内的车辆有6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有2辆，车速在[65，70）内的车辆有4辆，由此能求出从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，∴这40辆小型汽车车速的众数为：＝77.5（km/h）．由频率分布直方图知[60，75）对应的频率为：（0.010+0.020+0.040）×5＝0.35，[75，80）对应的频率为：0.060×5＝0.3，∴中位数的估计值为：＝77.5（km/h）．（2）车速在[60，70）内频率为（0.010+0.020）×5＝0.15，∴车速在[60，70）内的车辆有0.15×40＝6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有：0.010×5×40＝2辆，车速在[65，70）内的车辆有：0.020×5×40＝4辆，∴从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数n＝，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数m＝＝8，∴车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率p＝＝．【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．19．（12分）设双曲线时，正项数列{x n}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有是Γ上的点．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）记，是否存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．【分析】（1）由题意可得得x n2﹣x n﹣12＝1，即有{x n2}为首项和公差均为1的等差数列，由等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得＝＝﹣，运用数列的裂项相消求和可得S n，假设存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线，求得双曲线的渐近线，解方程可得m，即可判断存在性．【解答】解：（1）正项数列{x n}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有是双曲线上的点，可得x n2﹣x n﹣12＝1，即有{x n2}为首项和公差均为1的等差数列，可得x n2＝1+n﹣1＝n，即x n＝；（2）＝＝﹣，则＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1，假设存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线，即有y＝±x与y＝±x相同，可得＝，即S m＝99，即﹣1＝99，解得m＝9999，则存在正整数m＝9999，使得与Γ有相同的渐近线．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查数列的裂项相消求和，以及存在性问题解法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．（12分）某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份123456销售单价x（元）99.51010.5118销售量y（元）111086514.2（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？＜注：利润＝销售收入一成本＞．参考数据：．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣）【分析】（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；根据回归直线方程，计算x＝8时对应的y数值，判断回归直线方程是否理想；（3）求销售利润函数W，根据二次函数的图象与性质求最大值即可．【解答】解：（1）（9+9.5+10+10.5+11）＝10，×（11+10+8+6+5）＝8，＝＝﹣3.2，则＝8﹣（﹣3.2）×10＝40，于是y关于x的回归直线方程为；取x＝8，得，∵|14.4﹣14.2|＝0.2＜0.5，∴所求得的回归直线方程是理想的；（2）令销售利润为W，则W＝（x﹣2.5）（﹣3.2x+40）＝﹣3.2x2+48x﹣100（2.5＜x＜12.5），当x＝7.5时，W取最大值80．∴该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是综合题．21．（12分）已知椭圆经过点（0，1），且离心率为．（1）设过点的直线与椭圆E相交于M、N两点，若MN的中点恰好为点P，求该直线的方程；（2）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点Q（0，m），求实数m的取值范围．【分析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆E的方程，再利用点差法求直线的方程；（2）由题意设出直线l的方程，设出A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程得韦达定理，根据A、B的坐标得到线段AB的垂直平分线方程，用t表示出m，再求m的范围．【解答】解：设椭圆的焦距为2c，由题意，，解得，∴椭圆E的标准方程为，（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式作差得，由点P为MN的中点得直线的斜率k＝，∴该直线的方程为：，化简得一般式方程为：2x﹣2y+1＝0；（2）由椭圆的方程可得F（1，0），由题意可设直线l的方程为x＝ty+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，由韦达定理得，，易求得线段AB的垂直平分线的方程为，由x＝0得：m＝，①当t＝0时，m＝0；②当t≠0时，，当t＜0时，，，当t＞0时，，，综上：实数m的取值范围是．【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，注意对直线的设法，属于中档题．22．（12分）已知函数．（1）若命题：“∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，求a的取值范围；（2）若a＝2，x1＞0，x2＞0，x1+x2＝1，求f（x1）+f（x2）的最小值；（3）若，函数f（x）在区间[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）由题意可知在定义域上单调递减，由∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，可知f（x）max＞1，可求（2）由题意可知f（x）＝，然后结合基本不等式和对数的运算性质即可求解（3）由函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，可知f（t）﹣f（t+1）≤1，然后结合函数的性质可求．【解答】解：（1）∵在定义域上单调递减，∵∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，∴f（x）max＝f（1）＝log2（1+a）＞1，∴a+1＞2，∴a＞1，a的取值范围（1，+∞）；（2）若a＝2，f（x）＝，∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＝1，∴＝，∴≥4，∴f（x1）+f（x2）＝，＝＝≥4，即最小值4；（3）∵，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，故f（t）﹣f（t+1）≤1，∴≤1，即，∴＝，设1﹣t＝r，则r，∴＝＝当r＝0时，0＝，当r≠0时，＝，根据对勾函数的单调性可知，当r＝，时，r+取得最小值，∴≤，∴．故a的取值范围[，+∞）．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．。
2019学年湖南师大附中高二上学期期中文科数学试卷【含答案及解析】
2019学年湖南师大附中高二上学期期中文科数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________、选择题4.下列不等式中成立的是（）A .若 ■' > . ，贝寸-------------------------------------- B .若氓=，则--护C •若■■- - 1 ，^ U --…- ____________________D .若：,■| ,则一一n a5. 若 I 为等差数列，、 为其前n 项和，若首项门二飞,公差，- ,则使、最大的序号n 为（ ）I ■A . 2 ____________________________B . 3 _____________________________1. 在等差数列；.中，首项 -公差 -' - -,则项数()A .13B . 14C .15 D . 162. 在_ ,「 中 , 已知；厂: ，则/ C=() A .30° B . 45°C .150°D . 135°3.已知2 ,：, 4成等比数列，则实数■'等于（ )n 为A . <■ 二2运B .-丿D . 8C . 4 ________________________________D . 5r x+.v-2 <06. 在平面直角坐标系中，不等式组X->+2>0 ,表示的平面区域的面积是、•咚 9,()A ■昇:------------------------------------B - 4----------------------------------------------------- c . < -------------------------------------------------- D - 27. 下列结论中正确的是( )A.当彳2 0且X T1时，1喪上•一1RXB . 当：1时C.当「一时，H十-的最小值是2rD . 时1 戸._L- /古当.- , - —无最人值二、填空题8. "RC中,B = 二迈卫二1，则角A等于_______________ .49. 若实数口、生满足"十b = 2 ,则科+*的最小值是_______________________ .10. 设久是等差数列的前n项和，若S =42,贝V耳= ______________ .三、解答题11. 已知■分别为内角A , B , C的对边，，—",,且b> a(1 )求A;(2) 若广—工二卫，求2 的面积.12・已知函数(1)求关于•的不等式， I 的解集； (2 )设；| ,且当I • 时，不等式^_•恒成立，求r 的取值范围.13. 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验 ，计划搭载若干件新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来 决定具体搭载安排，有关数据如下表： P14. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 每件产品A 每件产品B 研制成本、搭载费用之和(万元)20 30计划最大资金额300万元 产品重量(千克 )10 5 最大搭载重量110千克 预计收益(万元 )80 60 如何安排这两种产品的搭载件数，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？15. 已知正项等比数列；「 满足：： --(1) 求数列 匕｝ 的通项公式； (2)记数列；■；.■'的前，，项为.，求证：对于任意正整数，—「一四、选择题仃. 已知向量 a =(C0-& 75° 75'36 = (cos.1 sin 15^ ),则 口-为 的值为()A.- B . 1 C . 2 D . 318.将正方形ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,有如下四个结论:① 川匚一 ED ；② 氐斗CD 是等边三角形； ③j 与平面所成的角为60°;16. “二为真命题”是“A .充分而不必要条件 C •充分必要条件D戸“为真命题”的()B .必要而不充分条件•既不充分也不必要条件④曲与CD所成的角为60°.其中正确结论的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 4五、填空题19.将函数 二，厂，的图像向右平移-:fif得至9函数 V = S 1U 2A 的图像 ，贝V 炉= ____________________20. 设正实数• | 满足.则当—取得最小值时-X.V1 + q r - 的最大值为 _______________________ .六、解答题21.已知圆C :I ..(1 )写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小 ；(2 )是否存在斜率为1的直线m ,使m 被圆C 截得的弦为AB ,且•：_•：；(O为坐标原点).若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由.22. 对于函数」 ■ I ,如果存在实数:、.使得.'■'',那么称为汀r 「、[的生成函数.(1)下面给出两组函数，是否为. 的生成函数？并说明理由; 式3h- C V ) + 2Z J (.V ) + /<0在.*[2期 上有解，求实数t 的取值范围.第一组:第二组: (2 )设 ■' 、:二[亠 | ■ — 、 - ]/.： ■' —:；/(A } = r 2 -= r 2 +x-h l,A(x)= x 2 - r+1I' - , ' " ^ ,打 一「 1 ,生成函数•，若不等参考答案及解析第1题【答案】【解析】试题分析：羊差埶列的通项公式为6 十(片-1)汁，2+(n-1)^2 ,解彳昌片二16 .故选D U第2题【答案】E【解析】试题分析：因対于+护二厂所以仝,所以由余^定理得，abcm C二° 7 Y二总,则dC =45°・故选B・lab2第3题【答案】b【解析】试题分析：因为2, & , 4成對渕列，所以初=三7 = 8"=±2亦-故1虹・第4题【答案】D【解析】试题井析：Sc =0时，ac- =bc:J故选项也错貝営打=1上时，a-<；『故选项E错论当* X 0时J显然宀宀选咏错误,岂* X 0时』/ 汀将其两边同时乘以丄仏占》0QD、得，T>- ■故选山b 戏第5题【答案】【解析】试题分析：可箒血“-如-由｛殆-- ■又因讥肝，所以心4 .［口心—7 i 0 T T% F, J Mi W故选c・第6题【答案】【解析】试题分析；不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABQ及茸内部.可得皿⑵0)」B (0, 2八 C (-2, 0),显婕三角形ABC的面积为卜4V" ”故选氏第7题【答案】【解析】试题分析：当2 1时，不尊式成立』S 0 < < 1时」有v +- J所臥选项端氓选项E显Igx然正甌当23时，函数严"丄单调递増，所決卄丄 >-，故选项匚错误j当Os引时x耳3L 酗7卞x-丄单调递増，所決工-乞的最大值为0,故选项D错误.综上，选B.x x第8题【答案】717【解析】1 … VI 肝気试题分折：由正弦定理得，贏・解得啊貝二丄,所人*仝或吐二•又因—r sin一 2 6 64所以*A月.则A-—*6第9题【答案】【解析】试题井析：因为”22 ,所以罗"歹"斥十当且仅当""1时取等.第10题【答案】6【解析】试题分析：由等差数列的性质知」丄三七：所以叫=6 ■1 *第11题【答案】(1) A-—；(2) S = 2>/36【解析】应8分析：禹结合已知并由正弦定理亀smZi = -』然后张。
湖南省长沙市湖南师大附中19年-20年学年高二上学期期中数学试题
高二年级期中考试数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，）1.已知集合{}2|M x x x ==，{}1,0,1N =-，则（ ）A. M N N =B. M N M ⋃=C. M N ∈D. M N ⊆【答案】D 【解析】 【分析】求出集合M ，进而求出集合,M N 的交集、并集可选出答案.【详解】由题意，{}{}2|0,1M x x x ===，{}1,0,1N =-，则M N ⊆，M N M ⋂=，M N N ⋃=，即只有选项D 成立.. 故选：D.【点睛】本题考查了集合的交集与并集，考查集合间的包含关系，属于基础题. 2.命题“函数()()y f x x M =∈是偶函数”的否定可表示为（ ） A. ()()000,x M f x f x ∃∈-≠ B. ()(),x M f x f x ∀∈-≠ C. ()(),x M f x f x ∀∈-= D. ()()000,x M f x f x ∃∈-=【答案】A 【解析】 【分析】该命题为全称命题，其否定是特称命题，除了将量词进行变化以外，还要将结论进行否定，最后用数学符号表示即可.【详解】命题“()()y f x x M =∈”的否定为：“存在某个函数()()y f x x M =∈不是偶函数”， 即：()()000,x M f x f x ∃∈-≠， 故选：A .【点睛】本题主要考查的知识点是命题的否定，全（特）称命题的否定是本考点的重要考查形式，属于基础题.3.设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ） A. p 为真 B. q ⌝为假C. p q ∧为假D. p q ∨为真【答案】C 【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C.考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.4.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．5.曲线()ln y f x x x ==在点()()1,1f 处的切线方程是（ ） A. 1y x =+B. 1y x =-C. y x =D. y ex e =-【答案】B 【解析】 【分析】求导，并结合导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式可求出切线方程. 【详解】由题意，()1ln10f ==，()ln 1f x x '=+，则()1ln111f '=+=， 所以曲线在点()()1,1f 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，属于基础题. 6.设非零向量,a b 满足a b a b +=-，则（ ） A. ||||a b = B. ||||a b >C. //a bD. a b ⊥【答案】D 【解析】 【分析】由数量积性质把模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算律求解．【详解】因为a b a b +=-，所以22()()a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以0a b ⋅=，所以a b ⊥． 故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的性质，考查向量数量积与垂直的关系，解题关键是利用22a a =对已知式变形．7.已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】由y ＝f′(x)的图象知，y ＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B.8.设1F ，2F 为椭圆C ：2213620x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则12MF F △的面积为（ ） A. 3 B. 103 C. 215 D. 15【答案】D 【解析】 【分析】设1F ，2F 分别为椭圆C的左右焦点，可得12MF MF >，结合122MF MF a +=，及122F F c =，可判断出等腰三角形12MF F △中112=MF F F ，然后求出点M 的坐标，进而可求出12MF F △的面积. 【详解】设(),M m n ，,0m n >，则()0,6m ∈，(0,25n ∈，椭圆C ：2213620x y +=的6a =，25b =4c =. 设1F ，2F 分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得12MF MF >，1228F F c ==， 因为12212MF MF a +==，所以16MF >，26MF <，12MF F △为等腰三角形，只能128MF c ==，则24MF =，由勾股定理得()2222416MF m n =-+=，又2213620m n +=，联立并消去n 得218450m m -+=，且()0,6m ∈，解得3m =，则15n =.则12MF F △的面积为18154152⨯⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.9.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1A C 的长为5 B. 2214 17【答案】A 【解析】 【分析】由几何图形可得111111AC A B A D A A =++，然后两边平方，根据向量的数量积可得21||AC ，进而得到1A C 的长度．【详解】因为111111AC A B A D A A =++， 所以|1A C |2=(11111A B A D A A ++)2=|11A B |2+|11A D |2+|1A A |211111111112(?··A B A D A B A A A D A A +++) ()11920131?20131?20cos cos =++++⨯⨯︒+⨯⨯︒5=．故A 1C 5 故选A ．【点睛】本题考查向量数量积的应用，利用数量积可解决垂直、长度、夹角等问题，用向量求长度时，可将向量用基底或坐标表示出来，然后根据数量积的运算或坐标运算求解即可，体现了向量具有数形二重性的特点． 10.“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）11.已知(),1,3a x =，()1,3,9b =-，若向量a 与b 共线，则x 的值是______.【答案】13- 【解析】 【分析】由向量a 与b 共线，可知存在λ使得b a λ=，代入计算即可. 【详解】因为向量a 与b 共线，所以存在λ使得b a λ=，则()()1,3,9,1,3x λ-=，即3193x λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得13λ=，13x =-.故答案为：13-.【点睛】本题考查空间向量共线问题，考查学生的计算求解能力，属于基础题12.若三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，则双曲线C 的离心率为______.【答案】2【解析】 【分析】由双曲线的图象关于原点对称，可知点()2,1-，()2,1-在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程可求得a ，进而可求出离心率.【详解】三个点()2,1-，()2,3-，()2,1-中恰有两个点在双曲线C ：()22210x y a a-=>上，又双曲线的图象关于原点对称，所以()2,3-不在双曲线上，点()2,1-，()2,1-在双曲线上，则()24110a a -=>，解得a =1b =2==. 故答案【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查离心率的求法，属于基础题. 13.已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.【答案】()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.14.已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，且图中三角形（正四面体的截面）的面积是42，则该球的表面积为______.【答案】24π 【解析】 【分析】作出图形，由三角形ABF 的面积可求得a 的值，然后求出正四面体的外接球半径，即可求出答案. 【详解】设正四面体的棱长为a ，过该球球心的一个截面如图为ABF ， 于是图中AB a ，E 为AB 中点，则EF DC ⊥.在DCE中，32aDE EC==，DC a=，∴22aEF=.因为三角形ABF的面积是42，所以有124222a a⨯⨯=，∴4a=.该正四面体的高22462sin603ah a︒⎛⎫=-=⎪⎝⎭，设球的半径为R，则22246332R R⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪-+=⎪⎝⎭ ⎪⨯⎪,解得6R=，∴24π24πS R==.故答案为：24π.【点睛】本题考查正四面体结构特征的应用，考查外接球，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知公差不为零的等差数列{}n a的前n项和为n S，312S=，且1a，2a，4a成等比数列，数列{}n b满足11242nnb a a a a-=+++⋯+，1,2,n=⋅⋅⋅.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式n a、n b；（2）若在数列{}n a中去掉数列{}n b中的项，剩下的项按原来顺序排成新数列{}n c，求2019c的值.【答案】（1）2na n=，nb=122n+-；（2）4058【解析】【分析】（1）由等差数列的性质，并结合32123S a ==，2214a a a =⋅，可求出1,a d,即可求出n a ，由11242n n b a a a a -=+++⋯+，结合n a 的表达式，可求出n b ；（2）由（1）知21n n b a -=，可判断10b 和11b 与n a 的关系，从而可知20192029c a =，求解即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠. 由题设知，32123S a ==，∴24a =. 又2214a a a =⋅，∴()()44216d d -+=，解得2d =，12a =.所以2n a n =，*N n ∈.()121124221222n n n b a a a a --=+++⋅⋅⋅+=++++122n +=-，*N n ∈.（2）由（1）知21n n b a -=，所以101023b a =，112047b a =， 由此可知201920294058c a ==.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等比中项的应用，考查学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.16.如图所示，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，22CD AE ED ===，23ADC ∠=π，π3BEC ∠=，CED α∠=.（1）求sin α的值； （2）求BE 的长. 【答案】（1）217；（2）47【解析】 【分析】（1）在CDE △中，由余弦定理2222cos EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠，可求得EC ，再由正弦定理得sin sin EC CD EDC α=∠，可求出sin α； （2）先求出cos α，结合2π3AEB α∠=-，可得2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭，再由cos AE BE AEB =∠可求出答案.【详解】（1）在CDE △中，由余弦定理，得2222cos 24122cos π37EC CD DE CD ED EDC =+-⋅⋅∠-=+⨯=⨯， 在CDE △中，由正弦定理，得sin sin EC CD EDC α=∠.于是，2πsin23sin CD EC α⋅===.（2）由题设知，π03α<<，于是由（1）知，cos α===. 而2π3AEB α∠=-，所以2πcos cos 3AEB α⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭2π2πcos cos sin sin 33αα=+= 在直角EAB中，BE ==. 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.17.某企业为了检查生产A 产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在[)195,210内，则为合格品，否则为不合格品.下表是甲流水线样本的频数分布表，下图是乙流水线样本的频率分布直方图. 甲流水线样本的频数分布表[)205,210 8[)210,2156乙流水线样本的频率分布直方图（1）根据图形，估计乙流水线生产的A 产品的该项质量指标值的中位数；（2）设该企业生产一件合格品获利100元，生产一件不合格品亏损50元，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了1000件产品，若将频率视为概率，则该企业本月的利润约为多少元？【答案】（1）205.5；（2）125000元【解析】【分析】（1）求出前三组频率之和，可知中位数位于第四组，设中位数为a ，列式计算即可；（2）求出甲、乙两条流水线生产的A 产品中合格品和不合格品的件数，进而可求出利润.【详解】（1）因为前三组频率之和为()0.0120.0320.04850.46++⨯=，所以中位数位于第四组，设中位数为a ，则()2050.080.04a -⨯=，解得205.5a =.（2）由题意知，甲流水线随机抽取的50件A 产品中合格品有1017835++=（件） 则甲流水线生产的A 产品为合格品的概率是13575010P ==. 乙流水线生产的A 产品为合格品的概率是()240.0320.0480.08055P =++⨯=. 则本月内甲、乙两条流水线均生产1000件A 产品中合格品总件数为781000100015001010⨯+⨯=件，故该企业本月获得的利润为150010050050125000⨯-⨯=元.【点睛】本题考查中位数，考查频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于基础题.18.已知AO 是圆锥的高，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，E 是CD 的中点，平面ABC 和平面ACD 将圆锥截去部分后的几何体如图所示.（1）求证：平面AEO ⊥平面ACD ；（2）若2==AC BD ，2BC =B ACD --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）17-【解析】【分析】（1）连结CO ，易证EO CD ⊥，AO CD ⊥，从而可证明CD ⊥平面AEO ，进而可证明平面AEO ⊥平面ACD ；（2）先证明OB ，OC ，OA 两两垂直，进而建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的方法求得二面角B AC D --的余弦值即可.【详解】（1）连结CO ，则1CO OD ==，又因为E 是CD 的中点，所以EO CD ⊥.因为AO 是圆锥的高，所以AO ⊥平面BCD ， CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥，又AO EO O =，所以CD ⊥平面AEO ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEO ⊥平面ACD .（2）由已知可得2AB AD AC BD ====，所以ABD △为正三角形，3AO =又因为2BC =2CD =，所以CO BD ⊥.于是分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(003A ,,，()1,0,0D -.则()1,1,0BC =-，(0,3CA =-，()1,1,0CD =--.设平面ABC 的法向量为()111,,m x y z =， 由00m BC m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：1111030x y y z -=⎧⎪⎨=⎪⎩. 令11z =，得13y =13x = 即()3,3,1m =. 设平面ACD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n CA n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：2222300y z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 令21z =，得23y =23x =-()3,3,1n =-. 设二面角B AC D --的大小为θ，由图可知，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1cos 7m n m n θ⋅==. 故所求二面角B AC D --的余弦值为17-.【点睛】本题考查圆锥的结构特征，考查面面垂直的证明，考查空间向量方法求二面角，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.19.已知函数()e cos xf x x ax =-，()()g x f x '=，R a ∈. （1）试判断函数()g x 在[]0,2π上的单调性，并说明理由；（2）若()f x 是在区间[]0,π上的单调函数，求a 的取值范围.【答案】（1）()g x 在区间[]0,π上单调递减，在区间(]π,2π上单调递增，理由见解析；（2）([)π,e 1,⎤-∞-+∞⎦ 【解析】【分析】（1）对()g x 求导，可得当()0,πx ∈时，()0g x '<，当()π,2πx ∈时，()0g x '>，从而可判断()g x 的单调性；（2）由（1）知，()g x 在区间[]0,π上单调递减，从而可求得()min g x 和()max g x ，由函数()f x 是在区间[]0,π上的单调函数，可知()min 0g x ≥或()max 0g x ≤时，满足题意.【详解】（1）因为()e cos x f x x ax =-，所以()()()e cos sin x g x f x x x a '==--，所以()()e cos sin sin cos 2e sin x x x g x x x x x =--=-'-.当()0,πx ∈时，()0g x '<，所以()g x 在区间[]0,π上单调递减；当()π,2πx ∈时，()0g x '>，所以()g x 在区间(]π,2π上单调递增.（2）由（1）知，()g x 在区间[]0,π上单调递减，所以()()()πe π01a g g x g a --=≤≤=-.当1a ≥时，()10g x a ≤-≤，所以()f x 在区间[]0,π上单调递减；当πe a ≤-时，()0g x ≥，所以()f x 在区间[]0,π上单调递增；当πe 1a -<<时，由于()g x 在区间[]0,π上单调递减，所以存在()00,πx ∈，使()00g x =，且当()00,x x ∈时，()0g x >，所以()f x 在区间[]00,x 上单调递增；当()0,πx x ∈时，()0g x <，所以()f x 在区间()0,πx 上单调递减，与已知不符.故所求的a 的取值范围是([)π,e 1,⎤-∞-+∞⎦.【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为3，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=.（1）求椭圆C 和圆O 的标准方程；（2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值.【答案】（1）椭圆C 的标准方程为2214x y +=，圆O 的标准方程221x y +=；（26【解析】【分析】（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，易知四边形P FPF ''为平行四边形，则2PF PF PF P F a ''+=+=3,,a b c ，即可求得椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，代入椭圆方程可得到00,x y 的关系式，然后分别求得,OFP OTP S S 的面积的表达式，即可得到四边形OFPT 面积的表达式，结合00,x y 的关系式，求OFPT 面积的最大值即可.【详解】（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，因为P O PO '=，OF OF '=，所以四边形P FPF ''为平行四边形，所以24PF PF PF P F a ''+=+==，所以2a =， 又离心率3，所以3c =，1b =. 故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=，圆O 的标准方程221x y +=. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220014x y +=，故220014x y =-. 所以222000222314TP OP OT x y x =+-==-，所以032TP x =， 所以0132OTP S OT TP x =⋅=. 又()0,0O ，()3,0F ，所以00132OFP S OF y y =⋅=. 故00322OFP OTP OFPT x y S S S ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭四边形22000000331242x x y y x y =++=+.由220014x y +=，得2200214x y ⋅≤，即001x y ⋅≤， 所以0036122OFPT S x y =⋅+≤四边形， 当且仅当2200142x y ==，即02x =，022y =时等号成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质，考查三角形的面积公式的应用，考查利用不等式求最值，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.。
湖南师大附中2019-2020学年度高二第一学第一次阶段性检测数学试卷(word无答案)
湖南师大附中2019-2020学年度高二第一学第一次阶段性检测数 学命题：黄祖军、刘伟才、邓云时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.学校要从353 名学生干部中任意选取35 名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ） A.101 B.3533 C.35335 D.35032.对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是31；③若一种彩票买一张中奖的概率是10001，则买这种彩票一千张就会中奖； ④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题． 其中正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.33. 写出命题:p “R x ∈∃0，使得3cos sin 00=+x x ”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是（ ） A.p ⌝是“3cos sin ,≠+∈∀x x R x ”且为真 B.p ⌝是“R x ∈∃0，使得3cos sin 00≠+x x ”且为真 C.p ⌝是“3cos sin ,=+∈∀x x R x ”且为假D.p ⌝是“R x ∉∃0，使得3cos sin 00≠+x x ”且为假4.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ） A.12.5，12.5 B.13.5，13 C.13，12.5 D.13,135.已知下表所示数据的回归直线方程为a x y -=5ˆ，且由此得到当7=x 时的预测值是28，则实数m 的值为（ ）A.18B.20C.21D.226.设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知32182=+a a ，则=-514S S （ ） A.102S B.144 C.288 D.()1415a a +7.“方程15922=-+-m y m x 的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A.“7=m ”B.“97<<m ”C.“95<<m ”D.“95<<m ” 且“7≠m ”8.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件=A “甲击中靶”，事件=B “乙击中靶”，事件=E “靶未被击中”，事件=F “靶被击中”，事件=G “恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①B A E =,②AB F =，③B A F +=，④B A G +=，⑤B A B A G +=，⑥()()E P F P -=1，⑦()()()B P A P F P +=.其中正确的关系式的个数是（ ）A.3B.4C.5D.69.已知圆()161:221=++y x F ，定点()0,12F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A.14322=+y xB.191622=+y xC.13422=+y xD.13422=-y x 10.已知双曲线1916:22=-y x C 的左右焦点分别是21,F F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作21PF F ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则=MO （ ） A.随P 点变化而变化 B. 2 C. 4 D. 511.如图，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别是21,F F ，点Q P 、是C 上的两点，若212QF PF =,且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为（ ）A.35 B.37 C.55 D.5712.已知椭圆12222=+b y a x 过定点()1,1，则22222ba b +的最大值是（ ）A.165 B.21 C.169 D.43二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 .14.设R b a ∈,，则“()0l og 2>-b a ”是“b a >”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）15.设函数()a x x x f +-=32，已知(]3,10∈∃t ，使得当[]0,1t x ∈时,()0≤x f 有解，则实数a 的取值范围是 .16.设数列{}n a 满足()n n a a a a nn n 1,180,1221-++===+，则：（1）=+⋅⋅⋅+++2019531a a a a ；（2）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 22中最小项对应的项数n 为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知A c C a 2sin sin 3⋅=⋅． （1）求角A 的大小；（2）若32,7==b a ，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h ）分成六段：[)[)[)[)[)[)90,85,85,80,80,75,75,70,70,65,65,60后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[)70,60内的车辆中任意抽取2辆，求车速在[)70,65内的车辆至少有一辆的概率．19.（本小题满分12分）设双曲线时13:22=-Γy x ，正项数列{}n x 满足11=x ，对任意的*∈≥N n n ,2，都有()13,-n n x x 是Γ上的点.（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记13221111+++⋅⋅⋅++++=n n n x x x x x x S ，是否存在正整数m ，使得13322=-x S y m 与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．20.（本小题满分12分）某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出关于的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的.试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是 2.5 元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本> ． 参考数据:5.502,39225151=∑=∑==i i i i i x y x .参考公式:对于一组数据()()()n n y x y x y x ,,,,,2211⋅⋅⋅,其回归直线a x b yˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为:()()()x b y a xx yy x x x n x y x n y x b i n i i i ni i ni i i n i ˆˆˆ,ˆ2112211-=-∑--∑=-∑⋅-∑=====.21.（本小题满分12 分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x E 经过点()1,0，且离心率为22. （1）设过点⎪⎭⎫⎝⎛-61,31P 的直线与椭圆E 相交于N M 、两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A,B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(), m Q 0，求实数m 的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数()0,1log 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a x x f . （1）若命题：“[]()1,4,100>∈∃x f x ”是真命题，求a 的取值范围； （2）若1,00,22121=+>>=x x ,x x a ，求()()21x f x f +的最小值；（3）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀1,21t ，函数()x f 在区间[]1,+t t 的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．。
高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一-2019年精选教育文档
高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担心，看了高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一以后你会有很大的收获：高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z＝(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a的值为A．2 B．－2(1) C.2(1) D．－22．如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是A．概念与分类是从属关系B．等差数列与等比数列是从属关系C．数列与等差数列是从属关系D．数列与等比数列是从属关系，但数列与分类不是从属关系3．下列说法中错误的是A．对于命题p：?x0R，sin x01，则綈p：?xR，sin x1；B．命题若01，则函数F(X)＝AX在R上是增函数的逆命题为假命题；C．若pq为真命题，则p，q均为真命题；D．命题若x2－x－2＝0，则x＝2的逆否命题是若x2，则x2－x－2．4．7是方程K－2(X2)＋K－6(Y2)＝1表示双曲线的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件5．某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：x3456y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是A.^(y)＝0.7x＋0.35B.^(y)＝0.7x＋1C.^(y)＝0.7x＋2.05D.^(y)＝0.7x＋0.456．三角形的面积为S＝2(1)(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为A．V＝3(1)abcB．V＝3(1)ShC．V＝3(1)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D．V＝3(1)(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)7．函数f(x)＝5(1)x5－x4－4x3＋7的极值点的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知椭圆25(x2)＋9(y2)＝1，F1、F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|(O 为原点)的长为A．1 B．2 C．3 D．4选择题答题卡题号12345678得分答案二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．9．已知复数z＝1＋1＋i(1－i)，则|－(z)|＝____________．10．读下面的程序框图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中的白色地面砖有______________块．12．曲线f(x)＝xsin x在点2()处的切线方程是______________．13．已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a，b0)的顶点到渐近线的距离等于2(a)，则双曲线的离心率e是________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．(本小题满分11分)在某测试中，卷面满分为100分，60分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：分数段[29～40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 午休考生人数23473021143114不午休考生人数1751671530173参考公式及数据：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(n （ad－bc）2)P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879(1)根据上述表格完成列联表：及格人数不及格人数总计午休不午休总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系？对今后的复习有什么指导意义？15．(本小题满分12分)已知：a，b，c0.求证：a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)6abc.通过阅读高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题一这篇文章，小编相信大家对高中数学的学习又有了更进一步的了解，希望大家学习轻松愉快!。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为( ) A ．110B ．3353C ．35353D ．33502．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关； ②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖； ④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题． 其中正确的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．写出命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是()A ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+≠B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠C ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+=D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5，12.5B ．13.5，13C ．13.5，12.5D ．13，135．已知如表所示数据的回归直线方程为ˆ5yx a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．226．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102SB ．144C ．288D ．1145()a a +7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<”且“7m ≠”8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A ．22134x y += B ．221169x y += C ．22143x y += D ．22143x y -= 10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．511．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )A B C D 12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则22222b a b +的最大值是( )A ．516B ．12C ．916D ．34二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ∃∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 ．16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++⋯+= ；（2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积．18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．19．设双曲线时22:13yxΓ-=，正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是Γ上的点．（1）求数列{}nx的通项公式；（2）记12231111nn nSx x x x x x+=++⋯++++，是否存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．参考数据：5211392,502.5ni i ii ix y x====∑∑．参考公式：对于一组数据1(x，1)y，2(x，2)y，(nx⋯，)ny，其回归直线ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)．（1）设过点11(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 22．已知函数21()log (),0f x a a x=+>．（1）若命题：“0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；（3）若1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为()A．110B．3353C．35353D．3350【解答】解：从353名学生干部中任意选取35名学生，先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，因为被剔除与被选中的概率相同，所以甲被选中的概率为35353P=．故选：C．2．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关，而频率是实验值，与试验重复的次数有关，∴①错误；对于②，抛掷两枚均匀硬币一次，出现的基本事件是：{正、正}、{正、反}、{反、正}、{反、反}共4种，出现一正一反的概率是12P=，∴②错误；对于③，若一种彩票买一张中奖的概率是1 1000，则买这种彩票一千张也有可能不会中奖，∴③错误；对于④，“姚明投篮一次，求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种，但是这两种事件的概率是不同的，不属于古典概型概率问题，④错误． 综上知，正确的个数是0． 故选：A ．3．写出命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是( )A ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+≠B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠C ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+=D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠【解答】解：由sin cos )4x x x π+=+<…所以命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=所以该命题的否定p ⌝：“,sin cos x R x x ∀∈+≠，它是真命题． 故选：A ．4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5，12.5B ．13.5，13C ．13.5，12.5D ．13，13【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2， 第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3， 则平均数为7.50.212.50.517.50.313⨯+⨯+⨯=，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10，15]的35的位置，即中位数为310(1510)135+-⨯=．故选：D ．5．已知如表所示数据的回归直线方程为ˆ5yx a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．22【解答】解：2345645x ++++==，371223955m my ++++==+，则9545ma +=⨯-，① 又2857a =⨯-，②联立①②解得：7a =，20m =． 故选：B ．6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102SB ．144C ．288D ．1145()a a +【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，21832a a +=， 111732a d a d ∴+++=，解得1916a d +=， 14511141354(14)(5)22S S a d a d ⨯⨯∴-=+-+ 19(9)916144a d =+=⨯=．故选：B ．7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<”且“7m ≠”【解答】解：因为方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：905095m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得：59m <<且7m ≠，所以“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“59m <<且7m ≠”，所以“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“59m <<”． 故选：C ．8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：甲、乙两人对同一个靶各射击一次， 设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”， 在①中，事件E 是指事件A 与事件B 同时不发生，∴E AB =，故①正确； 在②中，事件F 表示事件A 和事件B 至少有一个发生， 故F A B =+，故②错误； 在③中，F A B =+，故③正确； 在④中，G AB AB =+，故④错误； 在⑤中，G AB AB =+，故⑤正确；在⑥中，由对立事件概率计算公式得()1P F P =-（E ），故⑥正确； 在⑦中，由互斥事件概率计算公式得()P F P =（A ）P +（B ），故⑦正确． 故选：C ．9．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A ．22134x y += B ．221169x y += C ．22143x y += D ．22143x y -= 【解答】解：由题意得，1(1,0)F -，则2(1,0)F '， 圆1F 的半径1||4PF =，且2||||MF MP =， 12112||||||42||MF MF PF F F +==>=；∴点M 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆，其中实轴24a =，焦距22c =，则虚半轴b =，椭圆的方程为：22143x y +=．．故选：C ．10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．5【解答】解：双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ， 延长2F M 交1PF 于H ，PM 是12F PF ∠的角平分线，2||||PH PF ∴=， P 在双曲线上，12||||2PF PF a ∴-=， 11||||||2PF PH F H a ∴-==，O 是12F F 的中点，M 是2F H 的中点， OM ∴是△21F F H 的中位线，1||2||HF OM ∴=，即||OM a =，双曲线22:1169x y C -=中4a =，则||4OM =． 故选：C ．11．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )ABCD【解答】解：设2QF 的倾斜角α，延长2QF 到P '，显然PP '关于O 对称， 根据椭圆的极坐标方程221cos b a P F e α'=-，221cos b a F Q e α=+， 由221cos 21cos P F e QF e αα'+==-，1cos 3e α=， 又根据正弦定理12122sin 902sin cos F F c e a PF PF αα︒===++， 所以sin cos 1e e αα+=，的2sin 3e α=， 所以22225cos sin 9e e αα+=， 259e =，e =故选：A ．12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则22222b a b +的最大值是( )A ．516B ．12C ．916D ．34【解答】解：把(1,1)代入得22111a b +=， 则22222222111211192()()22216b ab a b a b +++=+=…，当且仅当221112a b =+成立，即243a =，24b =， 故选：C ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 4． 【解答】解：因为红灯持续时间为40秒，所以根据已知条件可得至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为40103404P -==， 故答案为：34． 14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )【解答】解：由2log ()0a b ->可知，1a b ->，所以0a b ->，从而得出a b >， 然而由a b >，只能得到0a b ->，得不到1a b ->，故推不出2log ()0a b ->， 所以“2log ()0a b ->”是“a b >”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ∃∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ． 【解答】解：()f x 的对称轴为32x =， 所以，当0(1t ∈，3]2时，[1x ∈，0]t 位于对称轴左侧，草图如下：此时2000()()30min f x f t t t a ==-+…，又对于任意0(1t ∈，3]2均成立，因此200(3)2min a t t --=…；又，当03(2t ∈，3]时，[1x ∈，0]t 越过对称轴，草图如下：此时399()()0242min f x f a ==-+…，解得94a …； 综上，2a …．故答案为：(-∞，2]．16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++⋯+= 1010 ； （2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为 ．【解答】解：（1）数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-， 则：1311(1)11a a =++-=，3533(1)31a a =++-=，⋯⋯，2017201920172017(1)20171a a =++-=，所以135********10102a a a a +++⋯+==． 故答案为：1010．（2）由题意知：22180,(1)n n n a a a n n +==++-， 因为n 为偶数，所以22n n a a n +=+， 整理得22n n a a n +-=， 22(2)n n a a n --=-， ⋯⋯， 6424a a -=⨯， 4222a a -=⨯，累加得：222(24)n a a n +-=++⋯+， 整理得：2211802n a n n +=++， 所以：21180(2n a n n n =-+为偶数），从而得到 ()18012n a n n n n=+-为偶数，由于18018022n n n n n+==当且仅当即…， 又因为*n N ∈且n 为偶数，所以当18n =或20时，na n的值最小． 所以 数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为9或10．故答案为：9或10．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积．【解答】解：（1sin sin 2C c A =．sin sin sin 2A C C A =． 因为sin 22sin cos A A A =，sin sin 0A C ≠，所以cos A =． 因为0A π<<， 所以6A π=．（2）因为a =b =6A π=．由余弦定理：2222cos a b c cb A =+- 得2650c c -+=，解得：1c =或5c =，均适合题．当1c =时，ABC ∆的面积．为1sin 2S bc A ==当5c =时，ABC ∆的面积．为1sin 2S bc A ==．18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80)对应的小矩形最高， ∴这40辆小型汽车车速的众数为：758077.5(/)2km h +=． 由频率分布直方图知[60，75)对应的频率为： (0.0100.0200.040)50.35++⨯=， [75，80)对应的频率为：0.06050.3⨯=，∴中位数的估计值为：(0.50.35)75577.5(/)0.3km h-+⨯=．（2）车速在[60，70)内频率为(0.0100.020)50.15+⨯=，∴车速在[60，70)内的车辆有0.15406⨯=辆，其中车速在[60，65)内的车辆有：0.0105402⨯⨯=辆，车速在[65，70)内的车辆有：0.0205404⨯⨯=辆，∴从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数2615n C==，车速在[65，70)内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数11428m C C==，∴车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率815mpn==．19．设双曲线时22:13yxΓ-=，正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是Γ上的点．（1）求数列{}nx的通项公式；（2）记12231111nn nSx x x x x x+=++⋯++++，是否存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．【解答】解：（1）正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是双曲线22:13yxΓ-=上的点，可得2211n nx x--=，即有2{}nx为首项和公差均为1的等差数列，可得211nx n n=+-=，即nx=；（2）11n nx x+==+，则1223111111 nn nSx x x x x x+=++⋯+=+-+-=+++，假设存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线，即有y=与y==，即99m S =199-=， 解得9999m =，则存在正整数9999m =，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线． 20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出y 关于z 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．参考数据：5211392,502.5ni i i i i x y x ====∑∑．参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，(n x ⋯，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 【解答】解：（1）1(99.51010.511)105x =++++=，1(1110865)85y =⨯++++=，23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯， 则ˆˆ8( 3.2)1040ay bx =-=--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为ˆ 3.240y x =-+； 取8x =，得ˆ 3.284014.4y=-⨯+=， |14.414.2|0.20.5-=<，∴所求得的回归直线方程是理想的；（2）令销售利润为W ，则2( 2.5)( 3.240) 3.248100(2.512.5)W x x x x x =--+=-+-<<，当7.5x =时，W 取最大值80．∴该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)．（1）设过点11(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：设椭圆的焦距为2c ，由题意，222211b c e a a b c⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=，（1）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得121212122()y y x x x x y y -+=--+， 由点P 为MN 的中点得直线的斜率231123k -=-=，∴该直线的方程为：1163y x -=+，化简得一般式方程为：2210x y -+=； （2）由椭圆的方程可得(1,0)F ，由题意可设直线l 的方程为1x ty =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(2)210t y ty ++-=，由韦达定理得12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 易求得线段AB 的垂直平分线的方程为202ttx y t +-=+， 由0x =得：22tm t =+， ①当0t =时，0m =； ②当0t ≠时，12m t t=+，当0t <时，2t t +-…，0m <，当0t >时，2t t+…0m <…综上：实数m的取值范围是[． 22．已知函数21()log (),0f x a a x=+>．（1）若命题：“0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；（3）若1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【解答】解：（1）21()log (),0f x a a x=+>在定义域上单调递减，0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题， ()max f x f ∴=（1）2log (1)1a =+>， 12a ∴+>， 1a ∴>，a 的取值范围(1,)+∞；（2）若2a =，21()(2)f x log x =+，10x >，20x >，121x x +=， ∴212121()24x x x x +=…， ∴1214x x …，12221211()()(2)(2)f x f x log log x x ∴+=+++， 122212121223(4)(4)4x x log log x x x x ++=+=+…，即最小值4；（3）1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +上单调递减，故()(1)1f t f t -+…，∴2211()()11log a log a t t +-++…，即112()1a a t t +++…， ∴1211(1)ta t t t t --=++…， 设1t r -=，则1[0,]2r ∈，∴21(1)(1)(2)32t r rt t r r r r -==+---+ 当0r =时，2032rr r =-+，当0r ≠时，212323r r r r r=-++-，根据对勾函数的单调性可知，当r =，12时，2r r +取得最小值92， ∴22323r r r -+…， ∴23a …．故a 的取值范围2[3，)+∞．。