湖南师大附中2019-2020学年高二第二学期期中考试数学(理科)试题Word版含答案

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湖南省师大附中学高二数学下学期期中试题文

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(文科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A ．∅ B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为A ．[1，2)∪(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，＋∞)3．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定4．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．25．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5y ＝－20IF x <0 THEN x ＝y －3 ELSEy ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos (A ＋B)的值为A ．－1665B ．－5665C .1665或5665D .16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，48 9．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A .15B .13C .14D ．不确定10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是__________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x >0），2x （x ≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为__________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为__________．14．不等式sin x ≥12的解集是__________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________________________________________________________________________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)已知函数f ()x ＝－x 2＋2x .(1)证明：f ()x 在[1，＋∞)上是减函数；(2)当x ∈[]－5，2时，求f ()x 的最大值和最小值．17．(本小题满分8分)在等比数列{a n }中，其前n 项和记为S n ，若a 6－a 4＝216，a 3－a 1＝8，S n ＝13，求公比q ，首项a 1及项数n .18．(本小题满分8分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．已知直线l：y＝x＋2，一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切，该圆经过点A(－1，2)．(1)求圆C的方程；(2)求直线l被圆截得的弦长．第Ⅱ卷一、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分． 21．如图所示，图①是棱长为1的小正方体，图②，③是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，…，第n 层的小正方体的个数记为S n ，解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S n ＝__________．22．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________________________________________________________________________．二、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围．24.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e 2x＋mx ，其中m ≤0.(1)当m ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若不等式f (x )>0在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围．25．(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试文科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(文科)参考答案第Ⅰ卷11．4 12.14 13．614.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)略；(3分)(2)f (x )max ＝1，f (x )min ＝－35.(6分)17．【解析】设公比为q ，则q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1q 2－a 1＝8，a 1（1－q n）1－q ＝13，(5分)解得：⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝1，n ＝3.(8分)18．【解析】(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，∵AD 1⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ， ∴D 1A ∥平面C 1BD .(4分) (2)由(1)知，AD 1∥BC 1，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角即为∠C 1BD ，由题可知，△C 1BD 为等边三角形， ∴∠C 1BD ＝60°，即异面直线D 1A 与BD 所成的角为60°.(8分)19．【解析】(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(4分)(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.(8分)20．【解析】(1)∵圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切， ∴设圆心C (a ，0)，半径r ＝|a |，a ≠0，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，将点A (－1，2)代入得(－1－a )2＋22＝a 2， ∴a ＝－52，∴所求圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254.(5分)(2)方法一：联立方程y ＝x ＋2与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254得交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，Q (－4，－2)．∴直线l 被圆截得的弦长|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋22＝722.(10分)方法二：∵圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0到直线l ：y ＝x ＋2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52－0＋22＝24， ∴直线l 被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝2254－216＝722.(10分) 第Ⅱ卷一、填空题 21．(1)10 (2)n ()n ＋12【解析】(1)图①有1层，第1层正方体的个数为S 1＝1；图②有2层，第2层正方体的个数为S 2＝1＋2；图③有3层，第3层正方体的个数为S 3＝1＋2＋3；依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为S 4＝1＋2＋3＋4＝10.(2)由(1)猜想：第n 个图有n 层，第n 层正方体的个数为S n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋n ＝n ()n ＋12.22．10 【解析】由f (x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＝－2cos πx .函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象都关于直线x ＝1对称，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象，如图所示．由图象可知在[－4，6]上共有5对关于x ＝1对称的交点，不妨设关于x ＝1对称的其中一对交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝1，即x 1＋x 2＝2，∴所有10个交点横坐标之和为5(x 1＋x 2)＝5×2＝10，即所有零点之和为10.二、解答题23．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0 ①(1分)当x ＜－1时，①式可化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式可化为x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式可化为x 2＋x －4≤0，解得－1－172≤x ≤－1＋172，∴1<x ≤－1＋172.(4分)综上所述，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172.(6分) (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，∴不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2恒成立．(8分)又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)或f (1)，∴只需f (－1)≥2且f (1)≥2，解得－1≤a ≤1，即a 的取值范围为[－1，1]．(12分)24．【解析】(1)当m ＝－1时，f (x )＝e 2x－x ，∴f ′(x )＝2e 2x－1，则f ′(0)＝1.(2分)又f (0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(4分)(2)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f ′(x )＝2e 2x＋m (m ≤0)．(6分)①当m ＝0时，f (x )＝e 2x>0恒成立，满足条件；(7分)②当m <0时，由f ′(x )>0，得x >12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，＋∞上单调递增；同理函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2上单调递减．(9分)因此f (x )在x ＝12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2处取得最小值m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－1.(10分)∴m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－1>0，解得－2e<m <0.(12分)综上所述，当m ∈(－2e ，0]时，不等式f (x )>0在定义域(－∞，＋∞)内恒成立．(13分)25．【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(3分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.(7分)在这里遇见你我的缘分在这里遇见你我的缘分同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.(8分) 所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|，(10分) 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34，当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.(13分)。

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湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A ．∅ B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为A ．[1，2)∪(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，＋∞)3．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定4．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．25．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5y ＝－20IF x <0 THEN x ＝y －3 ELSEy ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos (A ＋B)的值为A ．－1665B ．－5665C .1665或5665D .16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是 A .15 B .13 C .14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答题卡11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是__________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x >0），2x （x ≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为__________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为__________．14．不等式sin x ≥12的解集是__________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD＝163，则球O 的表面积是________________________________________________________________________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)已知函数f ()x ＝－x 2＋2x .(1)证明：f ()x 在[1，＋∞)上是减函数；(2)当x ∈[]－5，2时，求f ()x 的最大值和最小值．17．(本小题满分8分)在等比数列{a n }中，其前n 项和记为S n ，若a 6－a 4＝216，a 3－a 1＝8，S n ＝13，求公比q ，首项a 1及项数n .18．(本小题满分8分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)证明：D1A∥平面C1BD；(2)求异面直线D1A与BD所成的角．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．已知直线l：y＝x＋2，一个圆的圆心C在x轴上且该圆与y轴相切，该圆经过点A(－1，2)．(1)求圆C的方程；(2)求直线l被圆截得的弦长．第Ⅱ卷一、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．21．如图所示，图①是棱长为1的小正方体，图②，③是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，…，第n 层的小正方体的个数记为S n ，解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S n ＝__________．22．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________________________________________________________________________．二、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围．24.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e 2x＋mx ，其中m ≤0.(1)当m ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若不等式f (x )>0在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围．25．(本小题满分13分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．湖南师大附中2019-2020学年高二下学期（在线）期中考试数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷二、填空题 11．4 12.14 13．614.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)略；(3分)(2)f (x )max ＝1，f (x )min ＝－35.(6分)17．【解析】设公比为q ，则q ≠1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1q 2－a 1＝8，a 1（1－q n）1－q ＝13，(5分)解得：⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝1，n ＝3.(8分)18．【解析】(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，∵AD 1⊄平面C 1BD ，BC 1⊂平面C 1BD ， ∴D 1A ∥平面C 1BD .(4分) (2)由(1)知，AD 1∥BC 1，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角即为∠C 1BD ，由题可知，△C 1BD 为等边三角形， ∴∠C 1BD ＝60°，即异面直线D 1A 与BD 所成的角为60°.(8分)19．【解析】(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(4分) (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.(8分)20．【解析】(1)∵圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切， ∴设圆心C (a ，0)，半径r ＝|a |，a ≠0，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，将点A (－1，2)代入得(－1－a )2＋22＝a 2， ∴a ＝－52，∴所求圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254.(5分)(2)方法一：联立方程y ＝x ＋2与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522＋y 2＝254得交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，Q (－4，－2)．∴直线l 被圆截得的弦长|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋22＝722.(10分) 方法二：∵圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0到直线l ：y ＝x ＋2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52－0＋22＝24， ∴直线l 被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝2254－216＝722.(10分) 第Ⅱ卷一、填空题 21．(1)10 (2)n ()n ＋12【解析】(1)图①有1层，第1层正方体的个数为S 1＝1；图②有2层，第2层正方体的个数为S 2＝1＋2；图③有3层，第3层正方体的个数为S 3＝1＋2＋3；依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为S 4＝1＋2＋3＋4＝10.(2)由(1)猜想：第n 个图有n 层，第n 层正方体的个数为S n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋n ＝n ()n ＋12.22．10 【解析】由f (x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1＝－2cos πx .函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象都关于直线x ＝1对称，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1和y ＝－2cos πx 的图象，如图所示．由图象可知在[－4，6]上共有5对关于x ＝1对称的交点，不妨设关于x ＝1对称的其中一对交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝1，即x 1＋x 2＝2，∴所有10个交点横坐标之和为5(x 1＋x 2)＝5×2＝10，即所有零点之和为10.二、解答题23．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0 ①(1分)当x ＜－1时，①式可化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式可化为x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式可化为x 2＋x －4≤0，解得－1－172≤x ≤－1＋172，∴1<x ≤－1＋172.(4分)综上所述，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172.(6分) (2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，∴不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2恒成立．(8分) 又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)或f (1)，∴只需f (－1)≥2且f (1)≥2，解得－1≤a ≤1，即a 的取值范围为[－1，1]．(12分)24．【解析】(1)当m ＝－1时，f (x )＝e 2x－x ，∴f ′(x )＝2e 2x－1，则f ′(0)＝1.(2分)又f (0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(4分)(2)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且f ′(x )＝2e 2x＋m (m ≤0)．(6分)①当m ＝0时，f (x )＝e 2x>0恒成立，满足条件；(7分)②当m <0时，由f ′(x )>0，得x >12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，＋∞上单调递增；同理函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2上单调递减．(9分)因此f (x )在x ＝12ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2处取得最小值m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－1.(10分)∴m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2－1>0，解得－2e<m <0.(12分)综上所述，当m ∈(－2e ，0]时，不等式f (x )>0在定义域(－∞，＋∞)内恒成立．(13分)25．【解析】(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(3分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.(7分) 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.(8分)所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2 ＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16＝82k 2＋1|4k －3|，(10分) 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34，当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.(13分)。

湖南师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)(含答案)

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式x 2－5x ＋6<0的解集是 A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－3<x <2} C ．{x |2<x <3} D ．{x |－3<x <－2}2．在等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则{a n }的前11项的和为 A ．22 B ．－33 C ．－11 D ．113．在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆面积为 A.π4B ．πC ．2πD ．4π 4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．35．若a ，b ，c ，d ∈R ，则下列说法正确的是A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若a <b <0，则1a <1bD ．若a >b ，则a －c >b －c6．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知数列{a n }满足：a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，且a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为A.113 B ．－113 C.111 D ．－111 答题卡二、填空题：本大题共38．在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，则sin B ＝________． 9．将等差数列1，4，7，…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是________．10．若x，y均为正数，且9x＋y＝xy，则x＋y的最小值是________．三、解答题：(本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 11．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝(2a－b)cos C.(1)求角C的大小；(2)若AB＝4，求△ABC的面积S的最大值，并判断当S最大时△ABC的形状．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？已知函数f(x)＝x2－ax(a∈R)．(1)解不等式f(x)≤1－a；(2)若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥－x2－2恒成立，求a的取值范围．设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是各项都为正数的等比数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 3＋b 3＝11，a 5＋b 5＝37. (1)求数列{}a n ，{}b n 的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，数列{}c n 的前n 项和为T n ，求证：T n ≤n 2·2n －1＋2.第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)17．已知向量a ≠e ，|e |＝1t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则A ．a ⊥eB ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e ) 答题卡题号 15 16 17答案二、填空题(本大题共2小题，18．已知直线l 1：2x －y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点P 在抛物线C 上运动，当点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小时，直线PF 被抛物线所截得的线段长是________．19．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值．(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，求m 的最小值．21.(本题满分13分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)参考答案第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 【解析】不等式x 2－5x ＋6<0的解集是(2，3)，故选C.2．D 【解析】等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则a 5＋a 7＝2，∴a 6＝12(a 5＋a 7)＝1，∴{a n }的前11项的和为S 11＝11×（a 1＋a 11）2＝11a 6＝11×1＝11.故选D.3．B 【解析】在△ABC 中，A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2R ＝c sin C，解得R ＝1，故△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝π，故选B.4．D 【解析】x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0的可行域如图(阴影部分)：z ＝x ＋y 即y ＝－x ＋z ，当直线过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，z 的值最大．由⎩⎨⎧y ＝0，x ＋3y ＝3，解得A (3，0)，所以z ＝x ＋y 的最大值为3.故选D. 5．D6．A 【解析】在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，由AB 2＝BC 2＋AC 2－2AC ·BC cos C ，可得：13＝9＋AC 2＋3AC ，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.7．B 【解析】a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，可得数列{a n }为等差数列，设公差为d ，由a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，即为2a 1＋12d ＝－2，解得d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －15.1a n a n ＋1＝1（2n －15）（2n －13）＝12⎝⎛⎭⎫12n －15－12n －13，即有数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为12⎝⎛⎭⎫1－13－1－11＋1－11－1－9＋…＋111－113＝12×⎝⎛⎭⎫－113－113＝－113.故选B.二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 8.5716【解析】∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，∴a ∶b ∶c ＝6∶5∶4，不妨取a ＝6，b ＝5，c ＝4，则cos B ＝62＋42－522×6×4＝916，B ∈(0，π)．则sin B ＝1－cos 2B ＝5716.9．577 【解析】由题意可得等差数列的通项公式为a n ＝3n －2，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为第1＋2＋3＋4＋…＋19＋3＝193个数，a 193＝3×193－2＝577.10．16 【解析】根据题意，若9x ＋y ＝xy ，则有1x ＋9y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9xy＝16，当且仅当y x ＝9xy时，等号成立，即x ＋y 的最小值是16，故答案为16.三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．【解析】(1)∵c cos B ＝(2a －b )cos C ，∴由正弦定理可知，sin C cos B ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分 sin C cos B ＋sin B cos C ＝2sin A cos C ，sin(C ＋B )＝2sin A cos C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin A cos C ．4分 ∵sin A ≠0，∴cos C ＝12.∵0<C <π，∴C ＝π3.6分(2)由题知，c ＝4，C ＝π3，∴S △ABC ＝34ab .7分∵由余弦定理可知：a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，8分a 2＋b 2＝16＋ab ≥2ab ，10分∴ab ≤16.当且仅当“a ＝b ”时等号成立，11分∴S △ABC 最大值是43，此时三角形为等边三角形.12分 12．【解析】设分别向甲、乙两组项目投资x 万元，y 万元，利润为z 万元，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，3分目标函数z ＝x ＋0.5y ，作出可行域6分作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝6，10分此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)，∴x ＝4，y ＝6时，z 最大．答：投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大.12分 13．【解析】(1)由f (x )≤1－a 可得x 2－ax ＋a －1≤0，即(x －1)[x －(a －1)]≤0，3分当a >2时，不等式解集为[1，a －1]；4分当a ＝2时，不等式解集为{1}；5分当a <2时，不等式解集为[a －1，1].6分(2)f (x )≥－x 2－2即a ≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，8分令h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，等价于a ≤h (x )min 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，10分又h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4x ·1x ＝4，当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立， ∴a ≤4，∴a 的取值范围为(－∞，4].13分14．【解析】(1)设数列{}a n 的公差为d ，数列{}b n 的公比为q ，依题意有⎩⎨⎧2d ＋2q 2＝10，4d ＋2q 4＝36，2分解得⎩⎨⎧d ＝1，q 2＝4，又b n >0，∴q ＝2，4分于是a n ＝a 1＋()n －1d ＝n ，b n ＝b 1q n －1＝2n .6分(2)易知c n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋()n －1·2n ＋n ·2n ＋1，8分两式相减，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝()1－n ·2n ＋1－2，∴T n ＝()n －1·2n ＋1＋2，11分∵T n －()n 2·2n －1＋2＝－2n －1·()n －22≤0，∴T n ≤n 2·2n －1＋2.13分第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．A 【解析】设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a .①由a <－1得tan θ>1，可知倾斜角为θ大于π4；②由倾斜角为θ大于π4得－a >1或－a <0，即a <－1或a >0.由①②可知“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的充分而不必要条件，选A. 16．C 【解析】∵g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即y ＝f (x )与y ＝－x －a 有两个交点，f (x )的图象如下图所示：要使得y ＝－x －a 与f (x )有两个交点，则有－a ≤1即a ≥－1，∴选C.17．C 【解析】由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得t 2－2a ·e t ＋2a ·e －1≥0，由t ∈R ，得Δ＝(－2a ·e )2＋4－8a ·e ≤0，即(a ·e －1)2≤0，所以a ·e ＝1，从而e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )，选C.二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)18．20 【解析】直线l 2为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离．点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小即转化为点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小，当点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小时，直线PF ⊥l 1，从而直线PF 方程为y ＝－12(x －1)，代入C 方程得x 2－18x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝18，从而所求线段长为x 1＋x 2＋p ＝18＋2＝20. 19.32【解析】由题设条件可知，m ∥BD ，n ∥A 1B ，因此直线m 、n 所成的角即直线BD 与A 1B 所成的角，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△A 1BD 是正三角形，BD 与A 1B 所成的角是60°，其正弦值为32. 三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．【解析】(1)由题设知f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.1分因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π，即2x 0＝k π－π6(k ∈Z ).3分所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6.4分当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34，5分当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.6分 (2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.9分因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，m ，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2m ＋π3. 要使得h (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为1. 所以2m ＋π3≥π2，11分即m ≥π12.所以m 的最小值为π12.12分 21．【解析】(1)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)．∵M 点在椭圆上，∴y 20＝34(4－x 20)． ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2.由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2.7分从而BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2.8分 ∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝2x 0＋2(x 20－4＋3y 20)． ②10分将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0).11分 ∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内.13分方法2：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差||BQ 2－14||MN 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－22＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222－14[]（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ③6分直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④8分又点M 在椭圆上，则x 214＋y 213＝1，即y 21＝34(4－x 21) ⑤9分于是将④、⑤代入③，化简后可得||BQ 2－14||MN 2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.12分从而点B 在以MN 为直径的圆内.13分。

湖南师大附中高二下学期期中理数(答案)

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2019-2020学年高二下学期期中段考数学试题 Word版含解析

2019-2020学年二师附中高二期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【★答案★】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=A. 4-B. 2-C. 2D. 4【★答案★】B 【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B3.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】B 【解析】【详解】2(2,3)N ⇒12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c ="2," 所以选B.4.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A.16625B.96625C.192625D.256625【★答案★】B 【解析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．5.从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（） A. 3264A A ⋅B. 2364C C ⋅C. 510CD. 3264C C ⋅【★答案★】D 【解析】【分析】利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果. 【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人，所以不同的抽取方法种数为3264C C ⋅. 故选：D .【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.6.若,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为（） A.45B.35C.25D.15【★答案★】B 【解析】【分析】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，先求总排列数n ，然后利用插空法得出，A ，B 两位同学不相邻的排列数m ，利用np m=即可求解. 【详解】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，基本事件总数55120n A ==，A，B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，则A ，B 两位同学不相邻的概率为7231205n p m === 故★答案★选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题.7.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A. 100 B. 200C. 300D. 400【★答案★】B 【解析】【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为ξ，则(1000,0.1)B ξ~，2X ξ=，所以()2()210000.1200E X E ξ==⨯⨯=考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.8.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【★答案★】B 【解析】A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 考点：相互独立事件的概率.9.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（）A. B. C. D.【★答案★】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.10.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） A. 160 B. 163 C. 166 D. 170【★答案★】C 【解析】【详解】由已知22.5,160x y ==,160422.570,424166ˆ70ay ∴=-⨯==⨯+=，故选C. 11.若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（） A. 8B. 15C. 16D. 32【★答案★】C 【解析】试题分析：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，所以方差为64，由()()214D X D x -=可得数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差为464⨯，所以标准差为46416⨯= 考点：方差与标准差12.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. [5,3]-- B. 9[6,]8-- C. [6,2]-- D. [4,3]--【★答案★】C 【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当(0,1]x ∈时，原式等价于2max 343()x x a x --≥恒成立；当[2,0)x ∈-时，原式等价于2min 343()x x a x --≤恒成立；令2343(),[2,0)(0,1]x x f x x x--=∈-⋃，232343143()x x f x x x x x--==--，令1t x =，即3234y t t t =--+，2'981y t t ∴=--+，可知1(1,)9-为y 的增区间，1(,1),(,)9-∞-+∞为y 的减区间，所以当(0,1]x ∈时，即[1,)t ∈+∞时，t=1时max 6y =-，即max ()66f x a =-∴≥-；当[2,0)x ∈-时，即1(,)2t ∈-∞-时，y 在(,1)-∞-上递减，在1(1,]2--上递增，所以t=-1时min 2y =-，即min ()22f x a =-∴≤-；综上，可知a 的取值范围是[6,2]--，故选C.考点：不等式恒成立问题.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为64，则n =________．【★答案★】3 【解析】【分析】取1x =，则各项系数之和464n =，解得★答案★. 【详解】取1x =，则各项系数之和464n =，解得3n =. 故★答案★为：3.【点睛】本题考查了根据二项展开式的系数和求参数，属于简单题.14.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则yx的最大值．【★答案★】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法15.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .【★答案★】84【解析】试题分析：由题分三类：种两种花有A 42种种法；种三种花有2A 43种种法；种四种花有A 44种种法．共有A 42+2A 43+A 44=84．考点：分类加法及运用排列数计数.16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【★答案★】0.18 【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和*()n N ∈，且335,9.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T 【★答案★】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】【分析】⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到★答案★⑵由{}n a 的通项公式得到{}n b 的通项公式，然后根据裂项相消法求前n 项和n T【详解】（1）由已知条件得11a 25,3a 69,d d +=⎧⎨+=⎩解得1a 1,d 2,==所以通项公式为；n a 2n 1=-（2）由（1）知，n a 2n 1=-， ∴()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭数列{}n b 的前n 项和n 12n S b b b =+++ =111111111--)1.2335212122121n n n n n ⎛⎫++⋯+-=-= ⎪-+++⎝⎭（【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题，遇到形如11n n n b a a +=形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式． 18.已知函数32()f x x ax bx =++在2x =-与12x =处都取得极值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3,2]-的最大值与最小值．【★答案★】（1）329()34f x x x x =+-；（2）max ()11,f x =min 13()16f x =-．【解析】【分析】（1）求导，根据极值点得到(2)0102f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝''⎭⎩，代入数据解得★答案★.（2）计算极值点和端点比较大小得到★答案★.【详解】（1）因为32()f x x ax bx =++，所以2()32f x x ax b '=++．由(2)124013024f a b f a b -=-+=⎧⎪⎨⎛⎫=++= ⎪⎝⎭''⎪⎩，解得943a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，329()34f x x x x ∴=+-．（2）()291()333222f x x x x x '⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，计算极值点和端点得到：1193132816216f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，(2)8967f -=-++=，819(3)27944f -=-++=，(2)89611f =+-=．所以max ()11,f x =min 13()16f x =-．【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积. 【★答案★】(1) 120.C =（2） 3. 【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果. 试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=即（2）由余弦定理可得()222223222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin 3,2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆的面积为 3. 20.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【★答案★】（1）4960；（2）分布列见解析，()65E X =．【解析】【详解】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．随机变量X 的分布列为X0 1 2 3X随机变量X 的数学期望．21.已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线30x y -+=平行，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【★答案★】（1）2a =；（2）当0a ≤时，递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞；当02a <<时，递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；当2a =时，递增区间为(0,)+∞；当2a >时，递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）解方程(2)1f '=可得结果；（2）对a 分类讨论，解不等式()0f x '>可得递增区间，解不等式()0f x '<可得递减区间. 【详解】（1）由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{|0}x x >，且()2(2)a f x x a x'=-++，依题意，(2)4(2)12a f a '=-++=，解得2a =．（2）依题意，(2)(1)()2(2)(0)a x a x f x x a x x x --'=-++=>，令()0f x '=，得11x =，22a x =． ①当0a ≤时，02a ≤，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<．则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． ②当012a <<，即02a <<时，由()0f x '>，得02a x <<或1x >，由()0f x '<，得12a x <<．则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． ④当12a >，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2a x >，由()0f x '<，得12a x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当2a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了分类讨论思想，属于中档题.22.某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y和月销售价()1,2,3,,10ix i=⋅⋅⋅数据进行了统计分析，得到了下面的散点图.（1）根据散点图判断，lny c d x=+与y bx a=+哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量×当月售价）参考公式、参考数据及说明：①对一组数据()11,v w，()22,v w，…，(),n nv w，其回归直线w vαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ni iiniiw w v vv vβ==--=-∑∑，w vαβ=-.②参考数据：x y u()1021iix x=-∑()1021iiu u=-∑()()101i iix x y y=--∑()()101i iiu u y y=--∑6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 -143.25 -27.54表中lni iu x=，101110iiu u==∑.③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.06 1.40≈.【★答案★】（1）lny c d x=+，24.4510.20lny x=-（2）月销售量10.17y=（千件）时，月销售额预报值最大.【解析】【分析】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型，令ln u x =，根据提供数据求出,d c ，即可求出回归方程；（2）由z xy =，由（1）得到z 关于x 的函数，求导，求出单调区间，进而求出极值最值，即可得出结论.【详解】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型.令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.5410.202.70i ii i i y y u u d u u ==---===--∑∑， 6.610.20 1.7524.45c y du =+⨯==-，所以y 关于u 的线性回归方程为24.4510.20y u =-，因此y 关于x 的回归方程为24.4510.20ln y x =-.（2）依题意得：()24.4510.20ln z xy x x ==-，()'24.4510.20ln '14.2510.20ln z x x x =-=-⎡⎤⎣⎦，令'0z =，即14.2510.20ln 0x -=，解得ln 1.40x ≈，所以 4.06x ≈，当()0,4.06x ∈时，z 递增，当()4.06,x ∈+∞时，z 递减，故当 4.06x =，z 取得极大值，也是最大值即月销售量10.17y =（千件）时，月销售额预报值最大.【点睛】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题.综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

湖南省长沙市师大附中高新实验中学2019-2020学年高二数学理联考试卷含解析

湖南省长沙市师大附中高新实验中学2019-2020学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设正数满足，则的最大值是( )A．2 B．10 C．4D．40参考答案：A略2. 平面向量与夹角为，，则（）A．7 B． C．D．3参考答案：C3. 已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（A）4（B）3（C）2 (D)参考答案：A4. 840和1764的最大公约数是（）A．84 B．12 C．168D．252参考答案：A5. 设命题是的充要条件；命题，则（ )A. 为真B. 为真C.真假D. 均为假参考答案：A略6. 函数y=sin2x的图象向右平移（>0）个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则的最小值为( )A. B. C. D.以上都不对参考答案：A7. 如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（）A． B．C． D．参考答案：A8. 在中，，则此三角形中最大角的度数是A． B． C．D．参考答案：B9. 已知直线与直线平行，则的值为参考答案：D略10. 下列命题中的真命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.参考答案：a或2a略12. 如图，已知球的面上有四点，平面,,,则球的表面积为．参考答案：13. 设，则＝★★★★★★．参考答案：略14. 命题“”的否定是．参考答案：15. 双曲线的渐近线为.参考答案：略16. 观察下列等式：（1+x+x2）1=1+x+x2，（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，…由以上等式推测：对于n∈N*，若（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n则a2= ．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，归纳后即可推断出a2的等式．【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式中a2为：1+2+3+4+…+n=故答案为：．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．17. 已知为互相垂直的单位向量，若向量与的夹角等于60，则实数= .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学试卷附答案解析

况，则电路接通的情况有 3×7=21 种；故选 C．
【考点】分步计数原理
点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解
题的条件．
6．设函数 f x 1 2 ，若 a, b, c 成等差数列（公差不为 0），则 f a f c （）
xb
A．2
5
C．命题“若 x, y 都是偶数，则 x y 是偶数”的否命题是“若 x, y 都不是偶数，则 x y 不是偶数”
D．设命题 p：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数，则 p q 为真命题
【答案】C 【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确
2i 2i 2 1i2
由i2
1
，所以
2i 1i
2i 2 2
i1
所以 2i i 1 12 12 2
1i
故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（）
A．“ x 1”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
D．2
B．命题“ x R, sin x 1 ”的否定为“ x0 R, sin x0 1 ”
4
22．已知函数 f x x ln x ，函数 g x a x2 x a(a R) .
2
（1）求函数 f x 在 e, e 1 上的最小值；
（2）函数 F x f x g x ，若 F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求 a 的取值范围；
（3）记 F x f x g x 的两个极值点分别为 x1, x2 ，且 x1 x2 .已知 0 ，若不等式 e1 x1 x2 恒

湖南师大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理) Word版含答案

湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学第页(共8页)(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定3．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．24．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B＝A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π3 5．如图的程序运行后输出的结果为 x ＝5 y ＝－20IF x<0 THEN x ＝y －3 ELSE y ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A.15B.13C.14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π3，πC.⎣⎡⎭⎫π3，πD.⎣⎡⎦⎤π6，π11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是________．12．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x （x>0），2x （x ≤0），则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19的值为________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)；(2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．已知函数f(x)＝a·2x －12x ＋1的图象经过点⎝⎛⎭⎫1，13. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域； (3)证明：函数f(x)是奇函数．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面AEC ； (2)求证：CD ⊥平面PAD ；(3)若三棱锥C －ADE 的体积为23，求四棱锥P －ABCD 的侧面积．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求tan x 的值；(2)设函数f(x)＝(a ·b )·cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求f(x)的值域．20．(本小题满分10分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)若b n ＝n·a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)对于(2)中的T n ，设c n ＝T n －2a 2n ＋1，求数列{}c n 中的最大项．第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．21．给出下列四个命题①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”； ②命题“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“x ∈R ，x 2＋x －1>0”； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题； ④“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件．其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A 1，A 2，其虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是A.5－1B.3＋52C.5＋12D.3＋123．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数称为a i (i ＝1，2，…，n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A ．96B ．144C ．192D ．240 答题卡题号 21 22 23 得分答案二、填空题24．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||AF ＋||BF 的值为________．25．若存在实数a ，b(0<a<b)满足a b ＝b a ，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．(本小题满分12分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A作与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且||QF 1＝||F 1F 2.(1)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m ，0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．27．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln ()x ＋1，g(x)＝12ax 2＋bx.(1)若a ＝0，f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立，求b 的取值范围；(2)设数列c n ＝nn ＋1，S n 为数列{c n }的前n 项和，求证：S n <n －ln ⎝⎛⎭⎫n ＋22； (3)当a ≠0时，设函数f(x －1)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M ，N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)参考答案第Ⅰ卷 (满分100分)二、填空题11．4. 12.14 13.6 14.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π. 三、解答题 16．【解析】(1)由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内．设中位数为x ，则有(x －70)×0.03＝0.5－0.4，解得x ≈73.3. 所以中位数约为73.3.(3分)(2)因为不低于80分的频率＝(0.025＋0.005)×10＝0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.(6分) 17．【解析】(1)由已知，f(1)＝2a －13＝13，解得a ＝1.(1分)(2)由(1)知，f(x)＝2x －12x ＋1，∵2x >0，2x ＋1>1，∴f(x)的定义域为R .∵f(x)＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，又∵2x ∈(0，＋∞)，∴22x ＋1∈(0，2)，∴f(x)的值域为(－1，1)．(5分)(3)∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(8分)18．【解析】(1)连结BD ，交AC 于点O.连结OE.因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以OE 为△PBD 的中位线，所以OE ∥PB.又PB 平面AEC ，OE平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(3分)(2)因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA.又AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD.(6分) (3)因为V C －ADE ＝V E －ACD ＝13·h·S △ACD ＝23，又因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以S △ACD ＝2，所以h ＝1. 又因为E 是PD 的中点，所以PA ＝2h ＝2.所以PB ＝PD ＝2 2.所以四棱锥P －ABCD 的侧面积＝2S △PAB ＋2S △PBC ＝2⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.(8分)19．【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin x －3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x －3cos x ＝0，解得tan x ＝ 3.(4分)(2)f(x)＝()sin x －3cos x cos x ＝sin xcos x －3cos 2x ＝12sin 2x －3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，1－32.(8分) 20．【解析】(1)∵2a n ＝2＋S n ， ①∴2a n －1＝2＋S n －1(n ≥2)． ②①－②得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又2a 1＝2＋a 1，a 1＝2，∴a n ＝2n .(3分) (2)b n ＝n·a n ＝n·2n ，用错位相减法得：T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ， ①2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1， ②①－②，得T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(6分)(3)c n ＝T n －2a 2n ＋1＝（n －1）·2n ＋122n ＋1＝n －12n ，由⎩⎨⎧c n ≥c n ＋1，c n ≥c n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n －12n≥n2n ＋1，n －12n≥n －22n －1，解得2≤n ≤3(n ∈N *)． ∴n ＝2或n ＝3时，c n 最大，即c 2＝c 3＝14为{}c n 中的最大项．(10分)第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题 21．A 【解析】①为假命题，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；②为假命题，“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定应为“x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；③正确；④为假命题，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件．选A.22．C 【解析】解：由题意可得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b)，B 2(0，－b)， F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且a 2＋b 2＝c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为b 2＋c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D. 由面积相等，可得12·2b·2c ＝12a·4b 2＋c 2，即为b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，即有c 4＋a 4－3a 2c 2＝0，由e ＝ca，可得e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，可得e ＝1＋52，或e ＝5－12(舍去)．故选C.23．B 【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，(1)5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A 44＝48种．(2)6在5前面， 5在第7位，有4A 44＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.二、填空题24.163 【解析】抛物线C 的直角坐标方程为x 2＝4y ，直线l 的方程为x ＝3(y －1)，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）解得y 1＋y 2＝103，又直线过抛物线的焦点F(0，1)，所以||AF ＋||BF ＝y 1＋1＋y 2＋1＝103＋2＝163.25．(1，e) 【解析】因为0<a<b ，对等式a b＝b a的两边取自然对数，得bln a ＝aln b ，即ln a a ＝ln b b .构造函数f(x)＝ln xx (x>0)，则f′(x)＝1－ln x x 2，令f′(x)＝0得x ＝e.易知f(x)在区间(0，e)内单调递增，在区间(e ，＋∞)内单调递减，所以f(x)max ＝f(e)＝1e .因为f(1)＝0，所以当x ∈(0，1)时f(x)<0；当x>1时f(x)>0.如图所示，a ，b 可以看成是函数f(x)＝ln xx (x>0)的图象与直线y＝k(k>0)的两个交点的横坐标．因为0<a<b ，所以a 的取值范围是(1，e)．三、解答题 26．【解析】(1)设Q(x 0，0)，由F 2(c ，0)，A(0，b)，知F 2A →＝(－c ，b)，AQ →＝(x 0，－b)，∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c .由于||QF 1＝||F 1F 2，故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即c ＝12a ，于是F 2⎝⎛⎭⎫12a ，0，Q ⎝⎛⎭⎫－32a ，0. 又因为△AQF 2的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫－12a ，0，半径r ＝a.该圆与直线x －3y －3＝0相切，所以⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a a ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由(1)知F 2(1，0)，设l ：y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消掉y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(6分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)，(7分)PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)，由于菱形的对角线垂直，故(PM →＋PN →)·MN →＝0，(9分)故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即：k 2⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0，由已知条件知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m<14，故存在满足的点P(m ，0)且m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14.(12分) 27．【解析】(1)a ＝0时，f(x)<g(x)ln(x ＋1)<bx ，设h(x)＝ln(1＋x)－bx ，则h′(x)＝11＋x－b. 若b ≤0，显然不满足题意；若b ≥1，则x ∈[)0，＋∞时，h ′(x)＝11＋x －b ≤0恒成立， ∴h(x)在()0，＋∞上为减函数，有ln(x ＋1)－bx<h(0)＝0在()0，＋∞上恒成立；若0<b<1，则h′(x)＝11＋x－b ＝0时，x ＝1b －1，x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时h′(x)≥0，所以h(x)在⎣⎡⎭⎫0，1b －1上单调递增． ∵h(0)＝0，∴x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时，h(x)>0，不满足题意．综上，b ≥1时f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立．(4分)(2)由(1)得ln(x ＋1)<x 在()0，＋∞上恒成立．令x ＝1n ＋1有 ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1<1n ＋1，1－1n ＋1<1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1，则c n ＝1－1n ＋1<1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1)， ∴S n <()1－ln 3＋ln 2＋(1－ln 4＋ln 3)＋…＋(1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1))，即S n <n －ln ⎝⎛⎭⎫n ＋22.(8分) (3)f(x －1)＝ln x ，设点P ，Q 的坐标是P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且0<x 1<x 2，则点M ，N 的横坐标为x ＝x 1＋x 22. C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝⎪⎪1x x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ |ax ＋b x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2.即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b.所以2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝a （x 22－x 21）2＋b(x 2－x 1) ＝⎝⎛⎭⎫a 2x 22＋bx 2－⎝⎛⎭⎫a 2x 21＋bx 1＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1. 所以ln x 2x 1＝2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2x 1－11＋x 2x 1.(10分) 设u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2（u －1）1＋u，u>1. ① 令r(u)＝ln u －2（u －1）1＋u，u>1，则r′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2. 因为u>1，所以r′(u)>0，所以r(u)在[1，＋∞)上单调递增．故r(u)>r(1)＝0，则ln u>2（u －1）u ＋1. 这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行．(13分)(这是边文，请据需要手工删加)。

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湖南师大附中2019-2020学年第二学期期中考试高二数学(理科)试题时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝A ．B ．{0，2，4}C ．{1，3}D ．{－1，1，3}2．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定3．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．24．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B ＝A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π35．如图的程序运行后输出的结果为x ＝5 y ＝－20IF x<0 THEN x ＝y －3 ELSE y ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是A ．异面B ．相交C ．平行D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－16658．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，489．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A.15B.13C.14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是________．12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x>0），2x （x ≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)； (2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．17.(本小题满分8分)已知函数f(x)＝a ·2x－12x ＋1的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域； (3)证明：函数f(x)是奇函数．18.(本小题满分8分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)求证：PB ∥平面AEC ； (2)求证：CD ⊥平面PAD ；(3)若三棱锥C －ADE 的体积为23，求四棱锥P －ABCD 的侧面积．19.(本小题满分8分)已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求tan x 的值；(2)设函数f(x)＝(a ·b )·cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f(x)的值域．20．(本小题满分10分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝n ·a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)对于(2)中的T n ，设c n ＝T n －2a 2n ＋1，求数列{}c n 中的最大项．第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．21．给出下列四个命题①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”；②命题“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“x ∈R ，x 2＋x －1>0”； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件．其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A 1，A 2，其虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是A.5－1B.3＋52C.5＋12D.3＋123．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数称为a i (i ＝1，2，…，n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A ．96B ．144C ．192D ．240 答题卡题号 21 22 23 得分答案二、填空题：本大题共224．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||AF ＋||BF 的值为________．25．若存在实数a ，b(0<a<b)满足a b ＝b a，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．(本小题满分12分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 作与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且||QF 1＝||F 1F 2.(1)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m ，0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．27．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln ()x ＋1，g(x)＝12ax 2＋bx.(1)若a ＝0，f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立，求b 的取值范围；(2)设数列c n ＝n n ＋1，S n 为数列{c n }的前n 项和，求证：S n <n －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22；(3)当a ≠0时，设函数f(x －1)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M ，N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．湖南师大附中2019-2020学年第二学期期中考试高二数学(理科)试题参考答案第Ⅰ卷 (满分100分)二、填空题11．4. 12.14 13.6 14.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内．设中位数为x ，则有(x －70)×0.03＝0.5－0.4，解得x ≈73.3. 所以中位数约为73.3.(3分)(2)因为不低于80分的频率＝(0.025＋0.005)×10＝0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.(6分) 17．【解析】(1)由已知，f(1)＝2a －13＝13，解得a ＝1.(1分) (2)由(1)知，f(x)＝2x－12x ＋1，∵2x >0，2x＋1>1，∴f(x)的定义域为R.∵f(x)＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，又∵2x∈(0，＋∞)，∴22x ＋1∈(0，2)，∴f(x)的值域为(－1，1)．(5分)(3)∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝2－x－12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(8分)18．【解析】(1)连结BD ，交AC 于点O.连结OE. 因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以OE 为△PBD 的中位线，所以OE ∥PB.又PB 平面AEC ，OE 平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(3分)(2)因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA.又AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD.(6分) (3)因为V C －ADE ＝V E －ACD ＝13·h ·S △ACD ＝23，又因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以S △ACD ＝2，所以h ＝1.又因为E 是PD 的中点，所以PA ＝2h ＝2.所以PB ＝PD ＝2 2.所以四棱锥P －ABCD 的侧面积＝2S △PAB ＋2S △PBC ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.(8分) 19．【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin x －3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x －3cos x ＝0，解得tan x ＝ 3.(4分)(2)f(x)＝()sin x －3cos x cos x ＝sin xcos x －3cos 2x＝12sin 2x －3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，1－32.(8分) 20．【解析】(1)∵2a n ＝2＋S n ， ① ∴2a n －1＝2＋S n －1(n ≥2)． ②①－②得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又2a 1＝2＋a 1，a 1＝2，∴a n ＝2n.(3分)(2)b n ＝n ·a n ＝n ·2n，用错位相减法得：T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， ①2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， ②①－②，得T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(6分) (3)c n ＝T n －2a 2n ＋1＝（n －1）·2n ＋122n ＋1＝n －12n ，由⎩⎪⎨⎪⎧c n ≥c n ＋1，c n ≥c n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n －12n≥n2n ＋1，n －12n≥n －22n －1，解得2≤n ≤3(n ∈N *)． ∴n ＝2或n ＝3时，c n 最大，即c 2＝c 3＝14为{}c n 中的最大项．(10分)第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题21．A 【解析】①为假命题，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；②为假命题，“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定应为“x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；③正确；④为假命题，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件．选A.22．C 【解析】解：由题意可得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b)，B 2(0，－b)， F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且a 2＋b 2＝c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为b 2＋c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D. 由面积相等，可得12·2b ·2c ＝12a ·4b 2＋c 2，即为b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，即有c 4＋a 4－3a 2c 2＝0，由e ＝c a，可得e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，可得e ＝1＋52，或e ＝5－12(舍去)．故选C.23．B 【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，(1)5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A 44＝48种．(2)6在5前面， 5在第7位，有4A 44＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.二、填空题24.163 【解析】抛物线C 的直角坐标方程为x 2＝4y ，直线l 的方程为x ＝3(y －1)，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）解得y 1＋y 2＝103，又直线过抛物线的焦点F(0，1)，所以||AF ＋||BF ＝y 1＋1＋y 2＋1＝103＋2＝163.25．(1，e) 【解析】因为0<a<b ，对等式a b ＝b a的两边取自然对数，得bln a ＝aln b ，即ln a a ＝ln b b .构造函数f(x)＝ln x x (x>0)，则f ′(x)＝1－ln xx2，令f ′(x)＝0得x ＝e.易知f(x)在区间(0，e)内单调递增，在区间(e ，＋∞)内单调递减，所以f(x)max ＝f(e)＝1e .因为f(1)＝0，所以当x ∈(0，1)时f(x)<0；当x>1时f(x)>0.如图所示，a ，b 可以看成是函数f(x)＝ln xx(x>0)的图象与直线y ＝k(k>0)的两个交点的横坐标．因为0<a<b ，所以a 的取值范围是(1，e)．三、解答题 26．【解析】(1)设Q(x 0，0)，由F 2(c ，0)，A(0，b)，知F 2A →＝(－c ，b)，AQ →＝(x 0，－b)，∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c .由于||QF 1＝||F 1F 2，故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即c ＝12a ，于是F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0. 又因为△AQF 2的外接圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，0，半径r ＝a.该圆与直线x －3y －3＝0相切，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a －32＝aa ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.∴所求椭圆方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2)由(1)知F 2(1，0)，设l ：y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消掉y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(6分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)，(7分)PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)，由于菱形的对角线垂直，故(PM →＋PN →)·MN →＝0，(9分)故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即：k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0，由已知条件知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k2＋4，∴0<m<14，故存在满足的点P(m ，0)且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(12分) 27．【解析】(1)a ＝0时，f(x)<g(x)ln(x ＋1)<bx ，设h(x)＝ln(1＋x)－bx ，则h ′(x)＝11＋x－b. 若b ≤0，显然不满足题意；若b ≥1，则x ∈[)0，＋∞时，h ′(x)＝11＋x－b ≤0恒成立， ∴h(x)在()0，＋∞上为减函数，有ln(x ＋1)－bx<h(0)＝0在()0，＋∞上恒成立；若0<b<1，则h ′(x)＝11＋x －b ＝0时，x ＝1b －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1时h ′(x)≥0，所以h(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1上单调递增．∵h(0)＝0，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1时，h(x)>0，不满足题意．综上，b ≥1时f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立．(4分)(2)由(1)得ln(x ＋1)<x 在()0，＋∞上恒成立．令x ＝1n ＋1有ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1<1n ＋1，1－1n ＋1<1－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1，则c n ＝1－1n ＋1<1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1)， ∴S n <()1－ln 3＋ln 2＋(1－ln 4＋ln 3)＋…＋(1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1))，即S n <n －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22.(8分)(3)f(x －1)＝ln x ，设点P ，Q 的坐标是P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且0<x 1<x 2，则点M ，N 的横坐标为x ＝x 1＋x 22.C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝ ⎪⎪⎪1x x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ |ax ＋b x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2. 即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b. 所以2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝a （x 22－x 21）2＋b(x 2－x 1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 22＋bx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 21＋bx 1＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1. 所以ln x 2x 1＝2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－11＋x 2x 1.(10分) 设u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2（u －1）1＋u，u>1. ① 令r(u)＝ln u －2（u －1）1＋u ，u>1，则r ′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2. 因为u>1，所以r ′(u)>0，所以r(u)在[1，＋∞)上单调递增．故r(u)>r(1)＝0，则ln u>2（u －1）u ＋1. 这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行．(13分)。