高数下课本笔记(2020年10月整理).pdf
《高数下》讲义笔记习题答案
22111~2x y x y +-课时一多元函数（一）考点重要程度分值常见题型1.重极限★★3~0选择、填空2.偏导数，全微分，隐函数求偏导必考10~6大题一、重极限题型1.有理化(,)(0,0)(,)(0,0)24(24)(24)lim lim(24)x y x y xy xy xy xy xy xy →→-+-+++=++41421lim )42(lim)0,0(),()0,0(),(-=++-=++-=→→xy xy xy xy y x y x 题型2.重要极限公式2lim sin lim sin lim )0,2(),()0,2(),()0,2(),(===→→→x x yx xy y xy y x y x y x 题型3.无穷小替换121lim 21lim 111lim)0,2(),(2)0,2(),(2)0,2(),(===--+→→→x xy y x e y x y x y x xy y x ☆重要极限公式1）1sin lim 0=→xxx 2）exx x x xx =+=+∞→→)11(lim )1(lim 10☆无穷小替换公式：当0→x 时1)1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+xe x x x x x x 2)x x 21~11-+221~cos 1x x -0sin lim1xy xyxy →=这里的x 要当做是一个整体，比如若0xy →，xy 作为一个整体也满足这些公式。
1~xy e xy-22()()a b a b a b +-=-xxy xz 863+=∂∂2292zx y y ∂=-∂二、偏导数、全微分、隐函数求导（对某个变量求导的时候，其余变量均看作常数）题型1.6243232+-+=y x y x z ，求：①xz ∂∂，yz ∂∂②在（1,1）点偏导解：①②题型2：22444y x y x z -+=，求22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂，xy z∂∂∂2解：2384xy x x z -=∂∂，2384yx y y z-=∂∂则2222812y x x z -=∂∂，xy y x z 162-=∂∂∂2222812x y yz -=∂∂，xy x y z 162-=∂∂∂题型3.设y xz arcsin=，)0(>y ，求dz 解：2221111()zxyx y x y∂==∂--2222(1()z x yy x y y x y∂=-=∂--dyxy y x dx xy dz 22221---=题型4.xyz arctan =，求(1,1)dz 解：2222(1,1)11(21()z y y y x x x y x ∂=⋅-=-=-∂++222(1,1)11121()z x y y x x y x∂=⋅==∂++1122dz dx dy=-+1()()1(ln )()ln u x xx xx x e e x x a a aμμ-'='='='=22(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc x x x x x x x x'='=-'='=-22(sec )sec tan 1(arctan )11(arcsin )1x x x x x x x'='=+'=-221(arccot )11(arccos )11(log )ln a x x x x x x a'=-+'=--'=注意：千万不要忘了写成全微分形式注意：y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2在区域D 内连续，则xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂223(1,1)6814z xy x x∂=+=∂22(1,1)927zx y y∂=-=∂隐函数解题方法：1）构造函数),,(z y x F ；2）求xF yF zF 3）zxF F x z-=∂∂zy F F y z-=∂∂题型5：63sin 3=--+z e z y x ，求x z ∂∂，yz ∂∂解：令63sin 3---+=ze z y x F x F x cos =，3=y F ，23zz F z e =--由公式法得2cos 3x zz F z xx F z e ∂=-=∂+233y z z F z y F z e∂=-=∂+题型6：设ln x zz y=，求(0,1)dz 解：将(0,1)点带入方程得1z =，得这个点(0,1,1)令ln ln ln x z xF z y z y z=-=-+(0,1,1)11x F z ==，(0,1,1)11y F y==，(0,1,1)2211z x x zF z z z +=--=-=-由公式法得1x zF zx F ∂=-=∂1y zF zy F ∂=-=∂dz dx dy=+练习1.1：2sin 2xy z x y e =-，求x z ∂∂，yz∂∂练习1.2：求222z y x u ++=，求(1,1,1)du -练习1.3：设ln x zz y=，求22z x ∂∂练习1.4：设()y x z ,由方程()11sin =--xyz xyz 所确定，求(0,1)dz 。
高数下册笔记精
第七萃微分方程§ 1微分方程的根木概念一•根木概念：1.微分方程；凡表示未知函数,未知函数的导数与自变址之间的关系式称为微分方程.2•常微分方程；如果微分方程中的未知函数是一元函数，那么称此类方程为常微分方程.3•偏微分方程；如果微分方程中的未知函数是多元函数，那么称此类方程为偏微分方程.4.微分方程的阶；微分方程中所出现的未知函数的最商阶导数的阶数.就称为此微分方程的阶.5.微分方程的解；将某个函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此函数为此微分方程的解.6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任总常数.并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等.那么这样的解就称为此微分方程的通解.7.微分方程的初始条件与特解.8.微分方程的积分曲线：微分方程的解的图象是一条平面曲线.称此曲线为微分方程的积分曲线.二•例题分析P263. 5.写出由以下条件所确定的曲线所满足的微分方程：例1.曲线在点处(兀的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解：设该曲线的方程为y = f(x),那么由題总得：y* = x2. ------------- 这就是所需确定的曲线应满足的微分方程.例2.曲线上点P(x, y)处的法线与X轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分.解：设该曲线的方程为y = 且设曲线在点P处的法线记为L.那么其斜率为一1/才：设法线L与Y轴的交点为点A,再设法线L上任总:一点M的坐标为进而得法线L的方程为：Y — y = k(X—x)且&=一1/〉「即y-y = -(X-x)/y'：那么易求得：X Q=x+y・y‘且Y A = y + x/y l ........................ ①由題意知点A为线段P0的中点知：X Q+X P=2X A且命+"=2齐........................ ②由上述①.②两式最终可得：2x=y・y‘-------------- 这就是所需确定的曲线应满足的微分方程.§2.可别离变址的一阶微分方程(注：它是一类最易求解的微分方程！〕一・一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：一般形式：F(x,”y) = Ou>对称形式：P(x. y)dx + Q(x. y)dy = 0二•何为可别离变址的一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式：P(x.y)dx + Q(x. y)dy = 0 >可等价地转化为f(x)dx + g(y)dy = 0的形式，那么称原方程为可别离变虽的微分方程.三.可别离变量的一阶微分方程的根木解法：(可由如下两步來完成求解过程)第一步：进展自变址兀，dx与因变虽dy的左右别离：第二步方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解.§3. —阶齐次微分方程(注：它是一类经变虽代换之后.可转化为"变址左右别离的一阶微分方程！)一・一阶齐次微分方程的定义：在某个一阶微分方^ — = /(兀刃中，如果方程右边的函数/(%, V)可写成丄的函数式即/(俎刃=0(上)・dx x x ....................... 高数下册辅导材料……徐松林版...........................也即丿京方程形如：© = 0(上)，那么称此微分方程为一阶齐次微分方程.dx X二. 一阶齐次微分方程的根本解法：转化求解法——即首先将原一阶齐次微分方程转化为变址别离方程：然后再按变虽别离方程的解法去求解即可！具体地说.第一步，作变虽:代换令"=—，那么y = ux,— = u + x—•代入原一阶齐次微分方程© =卩(丄)得：it + x— =(p(u): x ” dxdx dx x dx第二步•进展变駅"与x的左右别离得： ----------- =—:(p(u)-u X第三步•两边求不定积分即可得其解・・・・三・例题分析参见P271.例1・又如.P276. 1. (4).求方程(%3 + y3)dx-3xy2dy = 0的通解.八dy X s + y3x2 y y dy duM：原方程可转化为3—= ——=—4■-＞作变虽代换令u = -.那么y = ux.— = u + x—,dx xy* 厂兀x dx dx那么原方程转化为：3(M+X—) = -V+H (注意：齐次方程在进展变虽代换之后.一定是可以进展变虽别离的！) dx irf J w紧接着就进展自变址与因变量的左右别离=＞x—= —-2M =＞上■上=—・最后两边作不定积分即可・・・dx ir 1-2M x § 4・一阶线性微分方程一. 一阶线性微分方程的定义：dy称形如：—+ P(x) v = Q(x)的方程为一阶线性微分方程.dx(注：因为方程的左边对未知函数y及其导数來说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为”线性”方程！)dy(i)・QM = 0时，那么称— + P(x)y = 0为一阶线性齐次微分方程.dxdy(ii)・•、勺0(x)HO时，那么称— + p(x)y = QM为一阶线性非齐次微分方程.dx二. 一阶线性微分方程的解法(常数变易法是求解线性非齐次方程的根木方法)1.所谓的”常数变易法"：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程：然后在所得齐次方程的通解中.将任总常数C代换成一个待定的未知函数u(x)來构造生成非齐次方程的解：最后再将由此法构造生成的解，代回原非齐次方程中去确定那个待定函数"(X)的表达式. --------- 整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法・(可参考P278 ■例1 )2.一阶线性微分方程：半+ P(x)y = 0(x)的通解公式如下：y = eT"M・[jQ(x)』"M〃x + c] ------------------- 请牢记！三•伯努利方程(注：它是一类经变址代换之后可转化为可别离变虽的一阶微分方程！)1・伯努利方程的定义dy我们称形如：— + PMy = Q(x)^y n.... (* )的方程为”伯努利方程”(或称” 〃级伯努利方程”).dx2・伯發利方程的解法(变址代换转化法)只要令z = 严,那么虫= (l —〃)yj •空.将其代入原川级伯努利方程(*)可得dx dx=> —+ (1 —x)”(x)・z = (1 —戸)・Q(x)——这是一个一阶线性非齐次方程！dx进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解,这样也就求出原伯纺利方程(*)的解！3・变虽代换法在求解微分方程中的运用利用变虽代换(包括自变虽的变址代换和因变址的变虽代换)，把一个微分方程转化为可别离变虽方程，或转化为一个其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法.例1・解方程.P282. 9. (1). — = (X+y)2dx解：可令u = x+y9那么原方程转化为© = —-l = zr => —= w2 + l=>-^ = ^两边积分就可得其解…… dx dx dx ir+1例2. P282.9. (3)解方程xyy = y(In x + In y)解：可令"=Inx + In y = In小=> 小=e u两边关于自变量X求导得=> y +小‘=”仁—代入原方程得: dxue ll x~] =e l<• —=> MX"1=— => — = —两边枳分就可得其解.......dx dx u x§ 6・可降阶的商阶微分方程(木节着重学握三种容易降阶的岛阶微分方程的解法)一・)")=/(“)型微分方程------------ 这类尚阶微分方程的解法很简也，只要两边枳分"次，就可得其通解・二y^ = f(x,y r)型微分方程首先此方程y M = 的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是”不显含I対变虽y ”・此类方程的解法：运用变量代换进展降阶求解.具体地.可令/? = —，那么«< =仝.dx dx" dx进而原方程转化为：—= ----------------- 这是一个一阶显微分方程.根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的dx解法去求解.....得其通解设为p =(p(x、C\ )又/? = —.也即有—=(p(x.q ) => dy =(p{x,c} )dx .最后只耍两边再作dx dx一次积分，就可得原二阶显微分方程的解.三・* = /(”)')型微分方程首先方程)严=f(y.y r)的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是”不显含自伏I变虽兀“・dy d2y dp dp dy dp此类方程的解法：也是运用变址代换进展降阶求解.具体地.可令p = ——，那么一六=斗=斗•十=P•斗,进而原dx dx^ dx dy dx dy方程转化为P-—= f(y.p)一一这也是一个一阶显微分方程•根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法dy、dy z dy去求解… 设得其通解为p =(p(y.c{)又/? = —>也即有一= 0(”q)=>必=—:一•最后只要两边再作一次积分, dx dx0(” C|)就可得原二阶显微分方程的解.四・例題分析P292. 1. (5)求解方程：=从而原方程的参数方y = |ln(l + /j2) + c2解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变Sy >即)』= 型.dy d^y dp dp接着可令厂矿那么京二矿进而原方程转化为：莎刁-这是-阶线性非齐次方斤4-p = X. dx由一阶线性非齐次方程的通解公式知：p = e『欣• [j*x•丿皿dx + c] = e x-[J A^^Z V + C]=-X + e2x + ce x :进而知：p = — = -x + e1' +ce x =>dy = {e2x +ce x-x)dx .最后只要两边再作一次积得原方程的通解••… dx五.微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问題中的运用所谓”微分方程的参数方程形式的隐式通解”就是将微分方程的通解用参数方程形式來刻画. 即将微分方程的自变址x 与因变虽y都表达成某个参数p的函数式的形式.例如：P292. 1. (4)求解方程：= l +解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变址X和y.它同屈y” =与y M = 所以解法相对由自.以下我们來介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！先设/? = —.那么2 =—.进而原方程转化为：—=1 + /< => -化 =tZx=> [ 〃、- = f dx .dx dx^ dx dx 1 + jr J 1 + /?" J=> x = arctan /? + q ------ 这就求得了自变址x关于参数p的函数式：以下再來求出因变址y关干参数p的函数式.进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解.由p = — =>dy = pdx = "'P、,所以y = L In(l + 〃')+dx 1 + /广 2 ・x = arctan p + q注：运用同样的方法.大家可以尝试一下去求解P292. 1・(8)： (9)： (10).§7・商阶线性微分方程(主婆的是学习二阶线性微分方程的有关理论！)一. 二阶线性微分方程的定义：称形如：y1•+ PWy t+Q(x)y = f(x)…… (*)的方程为二阶线性微分方程.(注：方程的左边对未知函数y及其导数这三者來说，是一次线性组合形式！)⑴•'勺/(x) = 0时，那么称y"+P(x)y'+Q(x)y = 0为二阶线性齐次微分方程.(ii).当/WHO时，那么称y"+P(x)y'+Q(x)y = /(x)为二阶线性非齐次微分方程.二. 二阶线性微分方程的解的构造1・二阶线性齐次微分方程“解的磴加原理••定理1 ：设y}W与儿匕)都是二阶线性齐次微分方程y M+ PMy9+Q(x)y = 0的解，那么此两解的任意线性组合y = q •(x) + c2・y2(x)也是此二阶线性齐次微分方程的解.---- 定理1提醜r齐次方程的解所满足的一种性质.此性质常称为齐次方程••解的腔加原理”・2・藝个函数间的线性相关性与线性无关性的定义(参见教材P296从略) 特别地，两个函数y\W与北(X)在区间I上线性相关O丄山=常数.Vxe I・3.二阶线性齐次微分方程的通解的构造定理2 :设”(x)与y2(x)是二阶线性齐次微分方程y ” + P(x)・y 4 Q(x)・y = 0的解•且牙(x)与y2(x)线性无关，那么此两解的任总线性组合y = c t・才(兀)+彳・)‘2(羽就是原二阶线性齐次微分方程的通解.---- 定理2提程了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解！4・二阶线性非齐次微分方程通解的构造定理3：设y\x)是二阶线性非齐次微分方程y M+ P(x)y'+ Q(x)y = f(x)... (* )的一个特解.且Y(x)是对应的二阶线性齐次方程y"+P(x)y'+O(x)y = 0的通解，那么y=r(x) + /(x)就是原二阶线性非齐次微分方程(*) 的通解.---- 定理3提駁了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解！即：非齐次通解y =齐次通解Y +非齐次特解y *・ 5・二阶线性非齐次微分方程解的磴加原理(P297定理4)定理4：设有二阶线性非齐次微分方程y，'+P(x)y'+Q(x)y = f(x),(其中/(x) = /(x) + /2(x).)而 (%)是y"+ P(x)y'+ QWy = f x(x)的特解，且y2(x)是y"+ P(x)y'+ Q(x)y = f2(x)的持解那么Y{x) = x(x) + y2(x)就是原二阶线性非齐次方程y"+ P(x)y'+Q(x)y = f(x)的一个特解.---- 定埋4提醜了如何去求非齐次方程特解的一种方法.它通常又称为非齐次方程解的叠加原理！6.定理5：设比(X)与〉，2(x)是二阶线性非齐次微分方程y "+P(x)y'+Q(x)y = /(x)... (*)的两个不相等的特解，那么Y(x) = y2(x) - y,(x)是对应的二阶线性齐次方程y"+ P(x)y'+ Q(x)y = 0的一个非零特解.---- 此定理提程了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解！7 •例题分析P326. 1・(4). y}=\.y2=x,y3=x2是某二阶线性非齐次微分方程的三个解•试求该方程的通解？分析与解答：设此二阶线性非齐次微分方程为y"+ P(A-)y'+ Q(x)y = /(A)....(*),那么由定理3知：非齐次通解y =齐次通解Y +非齐次持解y* ,现由题意知”非齐次特解y* ”可取X =1」2 =匕儿=疋之中的任总:一个，故以下只要求出”齐次通解孑”來即可・再由定理2知：”齐次通解丫 "是两个线性无关的齐次持解的任意线性组合即：Y(X)= C}Y{M+ C2'Y2(X)(其中Y}{X\Y2(X)是两个线性无关的齐次持解).而现在又应如何來求得两个线性无关的齐次特解呢？这可根据”定理5 ”來得到！由"定理5”知，可令：y;(x)仝儿(力一儿(兀)三x-i且冬(无)兰儿co一x(x)三戸一1・且显然两者线性无关，所以原非齐次方程的通解为y = y（X）+ X（X）= C]・Y｝（x） + C2 Y2（x） +儿（x） = q・（x — 1） + —•（妒一1） +1・三. 二阶线性非齐次微分方程的求解过程中的常数变易法与二阶线性非齐次微分方程的通解公式1・二阶线性非齐次微分方程求解过程中的”常数变易法11・为了求解二阶线性非齐次微分方程y1•+ PMy'+Q（x）y = /（%）..・（1 ）,可先求解与之对应的齐次方程：第一步：先求得对应的二阶线性齐次微分方程+ P（x）y9+Q（x）y = O..・（2）的两个线性无关特解”（x）与儿（切・那么由定理2知：y = q・比（0 + 02・儿（％）•…（3）就是原二阶线性齐次微分方程（2）的通解：第二步：对齐次方程的通解（3 [作常数变豺去构造生成非齐次微分方程（1 ）的解为y = M（X）・” （x） + v（x）・儿（兀）…（4）（其中u（x\v（x）是两个待定的未知函数h第三步：接下來将（4 ）式代入原非齐次方程（1 ）并设法去求出这样也就求出了原非齐次方程（1 ）的解G 这就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法.2・二阶线性非齐次微分方程的通解公式定理6・设y｝（x）与"（X）是二阶线性齐次方程y n+P（x）y'+Q（x）y = O・・・・・（1）的两个线性无关的特解，记必/=刃儿H0 ■那么与之对应的二阶线性非齐次方程+ P（x）y l+Q（x）y = f（x）•• (2)31 ”有通解公式：y =）订罟1厶一）订耳亠仪.§ 8・常系数齐次线性微分方程（重点是卑握二阶线性常系数微分方程的有关理论！）一. 二阶线性常系数微分方程的定义：在二阶线性微分方程：y M+P（x）y*+C（x）y = O.... （1 ）之中.（i）.如果y；y的系数p（x\Q（x）都是常数，即（1）式成为y n+py l+qy = O（其中为常数）,那么称其为二阶线性常系数微分方程：（门）・如果不全为常数，那么称y^+py'+gy = 0为二阶线性变系数微分方程.二. 二阶常系数齐线性微分方程y ,f4- py'+qy = 0的解法：（如下方法通常称为"特征根公式法”）第一步，写出原微分方程的特征方程r + pr + q = 09并求出此方程的二个特征根第二步•根据特征根斤卡的不同情形，原方程y"+py+qy = 0的通解公式如下：（i）.假设特征根GE不相等，那么原方程的通解为：y = c/1V+cZ2X：（ii）・假设持征根G 3为相等，那么原方程的通解为y = （q + C2x）e r'x :假设特征根斤上为一对共純复根r｝ 2=a + i/3，那么原方程的通解为：y = - （q cos px + c2 sin px）.三. 二阶常系数齐次线性微分方程y^+py'+qy = 0的求解举例：参见教材P301-305例1；例2；例3等.6 / 126 §9.常系数非齐次线性微分方程（重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式！）....................... 高数下册辅导材料……徐松林版...........................一. 关于二阶线性常系数非齐次微分方程y"+py9+gy = fM (其中为常数)有如下结论：定理6J设y^x)与比(X)是二阶线性常系数非齐次微分方程y v+py9+qy = O••… 门)的两个线性无关的特解.记W = N "工° .那么与之对应的二阶线性非齐次方程)严+ py9+qy = f(x)••…(2 )有通解公式：--------------------------------------- 请记牢！------- 注：此定理6’只不过是第七节中介绍的"定理6 ”的一个特例而已！二. 常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例例如P313.例2・求方程y”一5y'+6y = 的通解.解：由定理5’应首先求对应的齐次方程y”一5>「+6y = 0的通解•再运用定理5’來求原非齐次方程的通解.易知齐次方程y"一5y'+ 6y = 0的持征方程为r2-5r + 6 = 0,特征根斤=2,“ = 3.于是，齐次方程的两个线性无关的特解为X =纟"，儿==> IV =" 儿=芒:・X >1、：— dx-e2x | "_、：— dx 进而原非齐次方程的通解为：y = yA丄亠dx一yJ - dx = /T"_■J W J W J e J e=> y = e'x (~xe~x - e~x + c J _ e2x (^x2 +c2) = d}e2x + d2e yx - * (A2 + jv)e".三. 木草朵例P327. 7.设有可导函数0(x)满足(P(x)cosx + 2£l(p(t)sin tdt = x +1.求(p(x) = ?分析与解答：这是一个”积分方程”，求解”积分方程”的思路：首先我们把它转化为一个与其对应的微分方程，再來求解.现由(p{x)cos x + 2£ 0(/)sin tdt = x + l两边关于自变虽X求导数得：(p\x) cos x一(p{x) sin x + 2(p(x) sin x = 1 => (p\x} cos x +(p(x) sin x = 1现记y = 0(x),那么有y*cosx +ysinx = l <=> y*+y tanx = secx——这是H一阶线性非齐次微分方程H・-fp(x)dr r \p(x}dx - lanxdx f Itan.vdr ,由通解公式得：y = e J -[I Q(x)-e J dx + c] = y = e J -[I sec x-e J dx + c] =sinx+c cosx ・又由条件(p{x)cos x + 2£(p(t)sin tdt = x +1 >l1 x = 0时.那么y = 0(O) = l,所以c = l・综上得原方程的解为：y = sin x + cos x・四. 综述”求解微分方程的一般程序“如下：第一步，判定方程的类型，它是一阶微分方程还是二阶微分方程？(我们知道标准求解步骤的一阶方程类型包括：①可别离变量方程：②齐次方程：③一阶线性(非)齐次方程：④贝努利方程)：第二步•根据我们在木章所讲的各种方程的标准解法去求解！补充说明：如果方程类型是我们很陌生的形式.那么就首先考虑运用“变虽代换法”将其转化为我们所熟悉的方程类型：然后再按上面的标准步骤去解决问題.第八草空间解析几何....................... 高数下册辅导材料-•-…徐松林版..........................§ 1向虽及其线性运算一. 一些根本概念①向虽与自由向址;②讥位向虽与零向址;③向虽的共线与共面;④向虽的模，方向角，以及投影等.二. 向虽的加法运算与数乘运算的定义三•向虽的线性运算在空间直角坐标系下的表达借助干空间直角坐标系.向量间的线性运算可以转化为它们坐标之间的线性运算.§ 2向虽的数址积向址枳混合积一•两个向量的数量积1.数虽积的定义a-b=\a\-\b\cos0.(其中8为向虽方/之间的夹角)2.数址积与投影之间的关系------ a b =1 a I Pr j ./? =1 b I Pr3・数址积的运算规律二•两个向虽:的向址积1.向址积的定义axb=\a\-\b\sin 0,(其中&为向虽0,乙之间的夹角)2.向址枳的模的几何总义：它表示以向:sN乙为邻边所成的平行四边形的面枳.三. 三个向虽的混合枳1・混合枳的定义［adc］仝(“xZ?)・c2・三个混合积的模的几何意义：它表示以向虽a.b.c为邻边所成的平行六面体的"有向体积11・即［a,b9c］ = s V； (i)当N恥呈右手系时,£ = 1： (ii)当a.b.c呈左手系时,£ = -\.§ 3曲面及其方程一.曲面方程的概念1.如果某曲而s上的点的坐标= v与某个三元方程F(x,y,z) = 0的解之间能构成一一对应，那么称这个三元方程F(x, y, z) = 0为此曲面s的方程；2.建立曲面方程的一般方法:首先在所求曲倆上任取一点M.记其坐标为M(x, y, z),然后利用该曲面的特征并将其等价地表达为点M(x, >\ z)的坐标应满足的条件式即可！例如：试求球心在点MoCxdy。
(完整版)高等数学笔记
(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。
函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。
2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。
隐函数： F(x,y ）= 04。
反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。
㈡ 函数的几何特性1。
函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。
函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。
函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。
常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。
三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。
反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。
高一数学下册知识点笔记整理
高一数学下册知识点笔记整理1.高一数学下册知识点笔记整理篇一行列式运算法则1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。
计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。
2、交换行列式中的两行(列)，行列式变号。
3、行列式中某行(列)的公因子，可以提出放到行列式之外。
4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。
5、若行列式中，两行(列)完全一样，则行列式为0;可以推论，如果两行(列)成比例，行列式为0。
6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行(列)的每个元素与其代数余子式乘积的和;但若是另一行(列)的元素与本行(列)的代数余子式乘积求和，则其和为0。
7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代。
8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程。
9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。
当D=0时，有非零解;当D!=0时，方程组无非零解。
2.高一数学下册知识点笔记整理篇二函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数。
3.高一数学下册知识点笔记整理篇三定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
高等数学下册学习笔记第八章1到4节
⾼等数学下册学习笔记第⼋章1到4节1向量1.1 线性运算向量的加法满⾜平⾏四边形法则，满⾜交换律和结合律向量的数乘满⾜结合律和分配率。
以上运算统称为向量的线性运算。
1.1.1 ⼀些定理设向量 a ≠0 则向量 b 平⾏于向量 a 的充分必要条件是存在唯⼀的实数 α 使得 b =αa 。
1.1.2 坐标变换利⽤空间直⾓坐标系可以把向量的线性运算转化为坐标变换。
设 a =a x i +a y j +a z k ,b =b x i +b y j +b z k ，那么利⽤向量的线性运算可以得到：a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k αa =(αa x )i +(αa y )j +(αa z )k于是向量的线性运算可以转化为坐标之间的线性运算。
同理，定理 1.1.1.1 也可以⽤坐标来表⽰，即在不考虑分母为 0 的条件下，若 a xb x=a yb y=a zb z，那么 a ,b 平⾏。
2 公式|r |=√x 2+y 2+z 2|AB |=(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2+(z 2−z 1)2向量与坐标轴的三个夹⾓的余弦值称为该向量的⽅向余弦。
(cos a ,cos b ,cos c )=(x |r |,y |r |,z |r |)=1|r |(x ,y ,z )=r|r |=e r ⇒cos 2a +cos 2b +cos 2c =1投影具有与坐标相同的性质。
投影是⼀个实数⽽⾮⼀个向量，代表那段投影向量的长度。
记作 Prj u r ,(r )u 。
向量的坐标分别是向量在三个坐标轴上的投影。
Prj u a =|a |cos α,(α为向量a 和u 轴的夹⾓)(a +b )u =(a )u +(b u )(xa )u =x (a )u1.2 数量积，向量积，混合积1.2.1 数量积a ·b =|a ||b |cos α=|a |(b )a =|b |(a )b a ·a =|a |2a ⊥b ⇔a ·b =0向量数量积满⾜交换律分配律，实数的结合律。
《高等数学：慕课版(下册)》读书笔记模板
同步习题9.3
同步习题9.4
9.5方向导数1Fra bibliotek与梯度
2
同步习题9.5
3 9.6多元函数
微分学的几何 应用
4
同步习题9.6
5 ∗9.7二元函数
的泰勒公式
同步习题9.7
9.8 MATLAB在多元 函数微分学中的应用
第9章思维导图 第9章总复习题
9.1.1多元函数的概念 9.1.2二元函数的极限 9.1.3二元函数的连续
11.4.1对面积的曲面积分的概念和性质 11.4.2对面积的曲面积分的计算法
11.5.1对坐标的曲面积分的概念和性质 11.5.2两类曲面积分之间的关系 11.5.3对坐标的曲面积分的计算法
11.6.1高斯公式 ∗11.6.2沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 ∗11.6.3通量和散度
11.7.1斯托克斯公式 ∗11.7.2空间曲线积分与路径无关的条件 ∗11.7.3环流量与旋度
10.4.1空间物体的质量 10.4.2三重积分的概念 10.4.3空间直角坐标系下三重积分的计算 10.4.4柱面坐标系下三重积分的计算 10.4.5球面坐标系下三重积分的计算
10.5.1重积分在几何中的应用 10.5.2重积分在物理中的应用
11.1对弧长的 1
曲线积分
2
同步习题11.1
3 11.2对坐标的
第11章思维导图
11.8用MATLAB求曲 线积分和曲面积分
第11章总复习题
11.1.1对弧长的曲线积分的概念和性质 11.1.2对弧长的曲线积分的计算法
11.2.1对坐标的曲线积分的概念和性质 11.2.2对坐标的曲线积分的计算法 11.2.3两类曲线积分之间的关系
11.3.1格林公式 11.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件 11.3.3二元函数的全微分求积 ∗11.3.4曲线积分的基本定理
高中数学知识点笔记 PDF版
基本函数---高中数学知识点笔记1.函数解析式：)()(x f y b kx f y =⇔+=2.函数的定义域：指x，图像在x 轴上的影子有3种情况：分母≠0，平方根内≥0，对数真数>0解法：先列不等式组，解交集3.函数的值域：指y，图像在y 轴上的影子解法：利用函数单调性；图像法；均值不等式法4.函数单调性单调递增：函数在区间上，图像由左向右上升，x 变大，y 变大;x 变小，y 变小;即同向变化单调递减：函数在区间上，图像由左向右下降，x 变大，y 变小;x 变小，y 变大;即反向变化会由图像求单调区间；单调区间有多个时，用逗号分隔5.比较大小的方法利用函数的单调性6.函数求值；分段函数问题注意x 的取值范围；不同题型的解法7.函数图像：会画图像利用函数图像，求定义域、值域、单调区间8.二次函数：0,2≠++=a c bx ax y 图像：开口方向，对称轴，顶点坐标，韦达定理，单调区间，值域9.一次函数：bkx y +=会画图像：会求单调区间、定义域、值域10.反比例函数:ky =会画图像：会求单调区间、定义域、值域11.对勾函数:0,>+=k k x y 会画图像，会求单调区间、定义域、值域12.函数零点方程0)(==x f y 的根；图像与x 轴的交点；求法：正负值之间必有零点13.指数指数与根式的互化，指数为负数时的含义，指数运算公式14.指数函数时，单调递减；时，单调递增；当；当1010,,1,0,)(<<>>∈≠>=a a y R x a a a x f x 会画图像，会判断单调性、定义域、值域15.对数对数和指数的互化，对数的求值运算公式：,log log log ,log log log yx y x xy y x aa a a a a =-=+x a x m x x a m a a ==log ,log log 16.对数函数时，单调递减；时，单调递增；当；当101,0,1,0,log )(<<>∈>≠>=a a R y x a a x x f a 会画图像，会判断单调性、定义域、值域集合---高中数学知识点笔记1.集合和元素用描述法表示集合，集合表示的含义，元素的分类，元素的特征表示常用集合的符号，集合与元素的关系，符号表示2.集合之间的关系包含和包含于，子集和真子集，子集的个数，符号表示3.集合的3种运算集合的交集、并集、补集运算，符号表示命题、充要条件、逻辑---高中数学知识点笔记1.命题4种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题；判断命题的真假命题的否定，全称量词，特称量词，符号表示；4种命题形式之间的真假关系2.充分、必要条件若Q P ⇒,则P 是Q 的充分条件；若Q P ⇐,则P 是Q 的必要条件；3.逻辑连接词：且、或、非命题的且、或、非运算。
《高等数学》笔记-知识归纳整理
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。
否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
18.不定积分的概念和性质
19.不定积分换元法
第一类换元法——凑微分法
第二类换元法——换元法
1.三角代换
20.不定积分的分部积分法（一）分部积分法
（二）几种特殊类型的积分
21.定积分
22.微积分的基本定理
23.定积分的换元法
定积分的换元法和不定积分的换元法解决的积分是类似的，一般都是为了去掉根号，所以
定积分换元法计算完之后还需还原，这是和不定积分不一样的地方。
24.定积分的部分积分
25.反常积分
（一）无穷区间上的反常积分
、（二）无界函数的反常积分
26.定积分求面积、体积
（一）平面图形的面积。