2005年高考文科数学试卷及答案(福建)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|，Q P N x x Q 则},|{∈=等于 （ ）A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2} 2．不等式01312>+-x x 的解集是（ ）A ．}2131|{>-<x x x 或B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x x D ．}31|{->x x3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 4．函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππC ．]2,0[πD ．],2[ππ5．下列结论正确的是（ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值6．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a7．已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题： ①若m//α，n//α，则m//n ； ②若m//α，n ⊥α，则n ⊥m ； ③若m ⊥α，m//β，则α⊥β. 其中真命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知q p ab q a p 是则,0:,0:≠≠的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）A ．21B ．23C ．27D ．510．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种11．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是 （ ）A ．515arccosB ．4πC ．510arccos D ．2π12．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13．（6)12xx -展开式中的常数项是 （用数字作答）.14．在△ABC 中，∠A=90°，k AC k AB 则),3,2(),1,(==的值是 .15．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为 .16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数x x f 2log3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g =.（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （Ⅰ）求x x cos sin -的值； （Ⅱ）求xxx tan 1sin22sin 2-+的值.18．（本小题满分12分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与.（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.19．（本小题满分12分）已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n的大小，并说明理由.20．（本小题满分12分）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.21．（本小题满分12分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.22．（本小题满分14分）已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅ON OM cot∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.2005年高考文科数学试题参考答案（福建卷）一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1.D 2.A 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B 11.D 12.B 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.13．240 14．23-15．9 16．如：①x 轴，x 2log3-- ②y 轴，)(log 32x -+③原点，)(log 32x --- ④直线32,-=x x y三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）由,251coscos sin 2sin,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得整理得 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）.1752457512524sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1)sin (cos sin 2tan 1sin 22sin 2-=⨯-=-+=-+=-+xx x x x x xxx x x xx x解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos252=--x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或 故 .57cos sin -=-x x①②（Ⅱ）.1752454531)53(254)53(2cos sin 1sin2cos sin 2tan 1sin22sin 222-=---+⋅-⋅=-+=-+xx xx x xxx18．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分.解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则 .53)(,21)(,52)(,21)(====B P A P B P A P∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为B A B A ⋅+⋅ .2152215321)()()(=⨯+⨯=⋅+⋅=⋅+⋅∴B A P B A P B A B A P 答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.21（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 100953532121=⨯⨯⨯=P∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 .10091100911=-=-=P P答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.1009119．本小题主要考查等差数列，等比数列及不等式的基本知识，考查利用分类讨论思想分析问题和解决问题的能力. 满分12分.（Ⅰ）由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即 .012,021=--∴≠q q a.211-=∴或q（Ⅱ）若.2312)1(2,12n n n n n S q n +=⋅-+==则当.02)2)(1(,21>+-==-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >若.49)21(2)1(2,212nn n n n S q n +-=--+=-=则当,4)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当 20．本小题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知 .6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.21．本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）⊥BF 平面ACE. .AE BF ⊥∴∴二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥， ⊥∴CB 平面ABE..AE CB ⊥∴ .B C E AE 平面⊥∴（Ⅱ）连结BD 交AC 于C ，连结FG ， ∵正方形ABCD 边长为2，2,=⊥∴BG AC BG⊥BF 平面ACE ，由三垂线定理的逆定理得FG ⊥AC.BGF ∠∴是二面角B —AC —E 的平面角.由（Ⅰ）AE ⊥平面BCE ， 又EB AE = ， ∴在等腰直角三角形AEB 中，BE=2.又 直角,6,22=+=∆BEBCEC BCE 中332622=⨯=⋅=ECBE BC BF ，.362332sin ,===∠∆∴BGBF BGF BFG 中直角∴二面角B —AC —E 等于.36arcsin（Ⅲ）过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O. OE=1.∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD. 设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --= .3131EO S h S ACD ACB ⋅=⋅∴∆∆⊥AE 平面BCE ，.EC AE ⊥∴ .3326221122212121=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴ECAE EO DC AD h∴点D 到平面ACE 的距离为.332解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直 线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行 于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 O —xyz ，如图.⊥AE 面BCE ，BE ⊂面BCE ， BE AE ⊥∴， 在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点， ).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.1C E A OE -∴=∴).2,2,0(),0,1,1(==AC AE 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,0,0,0z y y x n AC n AE 即解得⎩⎨⎧=-=,,x z x y令,1=x 得)1,1,1(-=n 是平面AEC 的一个法向量.又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=m ，.3331),cos(===∴n m∴二面角B —AC —E 的大小为.33arccos（III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=AD ，∴点D 到平面ACE 的距离.33232,cos |||==>=<⋅=n AD AD d22．本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.（I ）解法一：直线333:-=x y l ， ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ②解①②得.23=x∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上， .32322=⨯=∴ca∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴bac 故椭圆C 的方程为.12622=+yx③解法二：直线333:-=x y l .设原点关于直线l 对称点为（p ，q ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=.1332232p qp q解得p=3.∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上， .32=∴ca∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴bac 故椭圆C 的方程为.12622=+yx③（II ）解法一：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++kx k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴kk x x kk x x,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=kk kk kk kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=,cot 634MON ON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMON MON ON OM,634||.632,634sin ||||=⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN即).13(6341||6422+=+k kk整理得.33,312±=∴=k k当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S .故直线m 的方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM .所以所求直线方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x解法二：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++kx k x k,13122221+-=+∴kk x x∵E （－2，0）是椭圆C 的左焦点，∴|MN|=|ME|+|NE|=.13)1(6262)1312(622)()()(2222212212++=++-⋅=++=+++k k k k a x x ac x c a e x c a e以下与解法一相同.解法三：设M （11,y x ），N （22,y x ）.设直线2:-=ty x m ，代入③，整理得.024)3(22=--+ty y t,32,34221221+-=+=+∴t y y t t y y.)3(242438)34(4)(||222222212121++=+++=-+=-t t t t t y y y y y y,cot 634MON ON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMON MON ON OM.632,634sin ||||=∴=∠⋅∴∆OMN S MON ON OM=-⋅=+=∆∆∆||||2121y y OE S S S OEN OEM OMN .)3(2424222++t t∴222)3(2424++t t =632，整理得.324t t=解得,3±=t 或.0=t故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足.0≠⋅ON OM所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x。