第三章 流体运动学

u1
dA2
u2
总流
过流断面为有限面积的流管中的流动叫总 流。总流可看作无数个元流的集合。
流 量
单位时间内通过某
一过流断面的流体体 积，称为流量 ，单位 为 m3/s
dA1
u1
dA2
u2
dQ udA
Q
dQ
Q

udA
A
断面平均流速
设想过流断面上各点的流速都均匀分布，且等
于v，按这一流速计算所得的流量与按各点的真 实流速计算所得的流量相等，则把流速v定义为 断面平均速度 ，单位为 m/s
' x
dm
x

(u x ) x
dxdydzdt
同理： M y
M
(u y ) y
(u z ) z
dxdydzdt
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
(u x ) (u y ) (u z ) M M x M y M z dxdydzdt y z x u dxdydzdt div ( u ) dxdydzdt
加 速 度
ax u t u t u t
z y x
u
u
x
x
x u
y
u
u
y
x
y u
y
u
u
z
x
z u
y
a
y
u u
x
x u
z
u u
y
y u
z
u u
z
z u
z
az
x
x
y
y
z
z
当地加速度
迁移加速度
a ax ay az
注意：恒定流中流线与迹线重合
流管、微小流束、总流、过流断面
在 流 场 中 ， 取
一条不与流线重 L 合的封闭曲线L， 在同一时刻过 L 上每一点作流线， 由这些流线围成 的管状曲面称为 流管。
流管
流线
• 与流线一样，
流管是瞬时概念。
过流断面
与流动方向正交的流管的横断面
元流
过流断面为面积微元 的 流 管 叫 元 流 管 ， 其 dA 1 中的流动称为元流 （微小流束）。
uz
z பைடு நூலகம்a , b, c, t ) t
加速度：
ax u x (a, b, c, t ) t
ay u y (a, b, c, t ) t
az u z (a, b, c, t ) t
2.欧拉法——以流动空间作为对象，观察不同时刻各 空间点上流体质点的运动情况，并将其汇总，从 而得到整个流体的运动情况。（空间法）
dt
dt dy dt yt

x c1 e t 1
t
y c2e
t
t 1
由t=0时，x=－1，y=－1
x t 1 y t 1
x y 2
得
c1=c2=0

——迹线方程（直线）
（3）若恒定流：ux=x，uy=－y 流线 迹线
xy 1 xy 1
二元流动：与两个空间自变量有关 。 u u x , y
u 三元流动：与三个空间自变量有关 。 u x , y , z
• 注意：
任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生 的，二元和一元流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和 抽象，以便分析处理。
• 一元简化
s
元流是严格的一元流动。
流 体 运 动 学
描述流体运动的两种方法
流体运动的基本概念
连续性方程
第一节
流体运动的描述
一、描述流动的两种方法 拉格朗日法
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
是描述流体运动 常用的一种方法。
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法——对流体质点进行分析
• 根据质量守恒定律：在单位时间内通过dA1 流入控制
体的流体质量等于通过 dA2 流出控制体的流体质量。
u 1 dA 1 dt u 2 dA 2 dt
恒定元流连 续方程
u 1 dA 1 u 2 dA 2 dQ

dQ
Q

A1
u 1 dA 1

A2
u 2 A2
恒定总流 连续方程
2 2 2
全加速度
第二节 流体运动的基本概念 流体运动的类型
恒定流、非恒定流
• 若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时
间变化，称流动为恒定流。否则，为非恒定流。
• 恒定流中，所有物理量的表达式中将不含时间，
它们只是空间位置坐标的函数，时变加速度为零。
一元流、二元流、三元流
一元流动：只与一个空间自变量有关 。 u u x
求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。 解：（1）流线： 积分：
dx xt dy yt
ln( x t )( y t ) c
t=0时，x=－1，y=－1 c=0
xy 1
——流线方程（双曲线）
dx
（2）迹线：
dx xt dy yt dt
xt

满足连续性方程，此流动可能出现
恒定总流连续性方程
恒定总流的连续性方程
• 连续性方程 —— 质
量守恒定律对流体运 动的一个基本约束
Qm A2 Qm A1
• 几个假定：恒定条件下，
总流管的形状、位置不随时间变化。 流体一般可视为不可压缩的连续介质，其密度为常数 。 没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个 过流断面进出控制体。
Q1 Q 2 或
A1 v1 A 2 v 2 或
v1 v2

A2 A1
• 在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须
作相应变化。质量的总流入 = 质量的总流出。
Q1 Q 3 Q 2
Q1 Q 2 Q 3
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于
密度变化而减少的质量，即
div ( u ) dxdydzdt t dxdydzdt
t
div ( u ) 0
——连续性方程的微分形式
不可压缩流体
c
div u 0
即
u x x

u y y
根据流线的定义，可以推断：流线不能相交，也
不能转折；
在恒定流情况下，迹线与流线重合。
迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格 朗日观点对应); 流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应)。
例：已知速度ux=x+t，uy=－y+t
研究，并将其质点的运动汇总起来，从 而得到整个流体的运动情况。
t0时，坐标a、b、c作为该质点的标志 x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t) 速度：
ux x(a, b, c, t) t
物理概念 清晰，但 处理问题 十分困难
uy
y (a, b, c, t ) t
Q
udA
A
vA
连续性方程
1.连续性方程的微分形式
z y o
实质：质量守恒
dmx
dz
dmx’ dy
x
dx
dt时间内x方向： 流入质量
dm
x
u x dydzdt
'
流出质量
净流出质量
dm
x
(u x ) u x dx dydzdt x
M
x
dm
例：速度场 u ( 4 y 6 x ) t i ( 6 y 9 x ) t j
求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度； （2）是恒定流还是非恒定流； （3）是均匀流还是非均匀流。
解： （1）a x

du dt
x

u x t
ux
u x x
uy
u x y

u z z
0
例：已知速度场
ux
uy
1

1
y
2
x
2


1
2 xy
uz

2
2 tz
t
此流动是否可能出现？
解：由连续性方程：
t (u x ) x (u y ) y (u z ) z
2t (2 x ) 2 x (2t ) 0
在实际问题中，常把总流也简化为一元流动，但由于
过流断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键 是要在过流断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平 均值。
均匀流、非均匀流
运动要素是否沿程变化？
均匀流 均匀流时，迁移加速度为零
非均匀流
• 注意：
均匀流的流线必为相互平行的直线，而 非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。
是均匀流
流线与迹线
迹线——是流体质点运动的轨迹线，与拉格朗日观点 相对应的概念
dx
迹线方程

dy uy

dz uz
dt
ux
流线——是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中 的一条曲线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢 量都和流线相切，是与欧拉法观点相对应的概念。
流线方程
dx ux dy uy dz uz
u x u y i j (4 y 6 x )i (6 y 9 x ) j 0 t t t