四年级数学上册数的整除性(二)讲解
小学数学 数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版
方法二，设而不求设这个三位数为 aaa 时，根据题意列出式子整理得到：111 a (a a a) 37 。
是我的年龄。”老师今年
岁。
【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 10 题，12 分
【解析】方法一：操作找规律，当这个三位数为 111 时， 111 (1 1 1) 37 ，当这个三位数为 222 时，
222 (2 2 2) 37 ，所以老师今年 37 岁。
或 13 整除. 5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个
数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定 是 99 的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a，
【解析】 8ab8ab8ab8ab8ab 8ab 1001001001001 1001001001001 既不是 7 的倍数，也不是11的倍数
所以 8ab 是 7 和11的倍数 77 10 770 ， 770 77 847 ， 847 77 924
所以 ab 47 【答案】 47
【例 9】 一个 19 位数 77 77 0 444 44 能被 13 整除，求О内的数字．
2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11
数的整除特征
如：22，33
22÷11=2(整除）
33÷11=3(整除）
如：23，34
23÷11=2.090909(不能整除）
34÷11=3.090909(不能整除）
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下 的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除） 如：14 14÷13=1.07692308(不能整除）
除）
7的整除特征
被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需 要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
如：133 13－3×2＝7 ， 7÷7=1(整除） 如：12 12÷7=1.741857(不能整除）
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征 同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有， 是不是很难算呢？那么今天就让我们来 揭开他们的秘密吧！
2的整除特征
被2整除的数是偶数。 如：2，4，6，8 2÷2=1(整除） 4÷2=2(整除） 6÷2=3(整除） 8÷2=4(整除） 如：3，5 3÷2=1.5(不能整除） 5÷2=2.5(不能整
小测试
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
答案是前四个可以，后三个不行。
你都算对了吗？
除）
3的整除特征
被3整除的数必须各个位数上的数加起来 为3的倍数。
如：147＝1+4＋7＝12 147÷3=49(整除） 如：136＝1＋3＋6＝10 136÷3=45.33333333.......(不能整除）
小学四年级整数和整除知识点
小学四年级整数和整除知识点
小学四年级整数和整除知识点
如何让小学生学会用数学的思维方式去观察和分析生活，如何帮助他们更好地学好数学这门学科呢?查字典数学网小学频道精心准备了小学四年级整数和整除知识点，希望对大家有所帮助!
四年级知识点：如下
1 、整数的意义：自然数和0都是整数。
2 、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4 、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除
整数a除以整数b(b 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b(b 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大。
新编小学四年级整数和整除知识点
新编小学四年级整数和整除知识点小学是我们整个学业生涯的基础，因此小朋友们一定要培养良好的学习适应，查字典数学网为同学们专门提供了小学四年级整数和整除知识点，期望对大伙儿的学习有所关心!1 、整数的意义：自然数和0差不多上整数。
2 、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿差不多上计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率差不多上10。
如此的计数法叫做十进制计数法。
4 、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除整数a除以整数b(b 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
假如数a能被数b(b 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，因此35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，那个数就能被3整除，例如：1 2、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，那个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，然而能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4(或25)整除，那个数就能被4(或25)整除。
例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
数的整除知识点总结
一. 数的分类第一种分法 : 树状图 韦恩图整数第二种分法 整数第三种分法：正整数一些关于数的结论:是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义概念：整数a 除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的a 相当于被除数,b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽如正方形是特殊的长方形一样,即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽,反之则不一定即a 能被b 除尽,则a 不一定能被b 整除;如4÷2=2, 4既能被2除尽,也能被2整除；4÷5=, 4能被5除尽,却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除,a 就叫做b的倍数,b就叫做a的因数约数;注意点：1.因数和倍数是相互依存的,不能简单的说某个数是因数,某个数是倍数;如：6÷3=2,不能说6是倍数,3是因数；要说6是3的倍数,3是6的因数;2.因数与倍数是建立在整除的基础上的,所以如4÷=20,一般是不说4是的倍数,是4的因数;2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身,没有最大的倍数;因数的个数是有限的,都能一一列举出来,倍数的个数是无限的;3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找,找出哪两个数的乘积等于这个数,那么这两个数就是这个数的因数;如16=1×16=2×8=4×4,那么16的因数就有1、2、4、8、16,计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数,注意按照一定的顺序以防遗漏;4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……即正整数得到的积就是这个数的倍数;若用n表示所有的正整数,则2的倍数可表示为2n, 5的倍数可表示为5n四．能被2、5、3整除的数的特点1.能被2整除的数即2的倍数个位上的数字是0、2、4、6、8,反之,个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除2.能被5整除的数即5的倍数个位上的数字是0、5,反之,个位上的数字是0、5的数都能被5整除3.能被3整除的数即3的倍数各个位数上的数字之和是3的倍数,反之,各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0,个位数字为0的数也能被10整除,能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除;五．奇数、偶数1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数;按照能否被2整除来划分奇数与偶数2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、83.在连续的正整数中除1外,与奇数相邻的两个数是偶数,与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差2,奇数可用2n-1或2n+1表示,偶数可用2n表示;5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确,同时也要注意结论的逆向运用,如偶数奇数可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数质数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数;注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的,素数只有2个因数1和本身,合数至少有三个因数；任何一个数除1外都有1和它本身两个因数;2. 1既不是素数也不是合数;3．最小的素数是2,最小的合数是42.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数;√1既不是素数也不是合数,9、15等是奇数但是合数所有素数都是奇数; ×2是素数,但2是偶数3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数;√9、15等都是合数,但它们是奇数偶数都是合数; ×2是偶数但2是素数注意:判断题对的要说明原因,错的要举出反例;七．素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数;把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数;注意：1.求一个数的素因数时,先把这个数分解素因数,有几个素因数就写几个;如24=2×2×2×3,则素因数是2、2、2、3,而不是2、32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数,素因数一定是素数;一个数的素因数一定是这个数的因数,因数的个数一定比素因数的个数多;2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号,分解要彻底,直到没有合数出现,也不能出现1.要分解的合数写在等号左边,把它的素因数用相乘的形式写在等号右边,再把这几个素因数按从小到大的顺序排列;短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除通常从最小的开始,偶数肯定先用2除,奇数一般从3开始一个个带入验算2.得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止;3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式;3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=2×2×3,素因数是2、2、3,除1外由单个的素因数组成因数有2、3,由两个素因数组成的因数有2×2=4,2×3=6,由三个素因数组成的因数有2×2×3=12,所以12的因数有1、2、3、4、6、12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数1所有素因数都相同时,因数的个数是它素因数的个数+1,如8=2×2×2,素因数是2、2、2,则8的因数的个数是它素因数的个数+1,即4个2素因数不完全相同时,因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积,如12=2×2×3,素因数2的个数是2,素因数3的个数是1,则12的因数的个数是2+1×1+1=6八.公因数与最大公因数1.公因数与最大公因数定义:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.2.互素定义：如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素;如8和9注意：互素是两个数之间,素数是指一个数,互素的两个数的最大公因数就是1.两个互素的数未必都是素数; √8和9互素,但8和9都是合数两个不同的素数一定互素. √若缺少“不同的”,则错,因为3和3都是素数但不互素3. 求两个数最大公因数的方法：1 一般方法：写出两个数所有的因数,再找出它们共同的最大的因数2 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,把它们所有的公有的素因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数;3 短除法：先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积. 类比用短除法分解素因数的方法4. 两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数;如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1.九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2.求两个数最小公倍数的方法:1一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数2分解素因数的方法: 把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.3短除法: 先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数倍数关系或互素关系,存在因数倍数关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数拓展1求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.注意与三个数的最小公倍数区分2求三个整数的最小公倍数:一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小公倍数.分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.短除法:先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止即三对互素数。
小学四年级整数和整除的重要知识点
小学四年级整数和整除的重要知识点小学数学是学习生涯的关键时期，为了能够使同学们在数学方面有所建树，小编特此整理了小学四年级整数和整除的重要知识点以供大伙儿参考。
1 、整数的意义：自然数和0差不多上整数。
2 、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿差不多上计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率差不多上10。
如此的计数法叫做十进制计数法。
4 、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除整数a除以整数b(b 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
假如数a能被数b(b 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，因此35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，那个数就能被3整除，例如：1 2、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，那个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，然而能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4(或25)整除，那个数就能被4(或25)整除。
例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
上海四年级数学整除
应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：四课时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
授课类型
T 4、8、9整除的数的特征
C弃九法
T数的整除（二）
授课日期及时段
教学内容
4、8、9整除的数的特征
我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。
分析与解：已知 能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所以 既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求 能被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征， 的各位数字之和为
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6Байду номын сангаасA＋20，
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
数的整除知识点
数的整除知识点数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
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四年级数学上册数的整除性（二）
讲解
这一讲主要讲能被11整除的数的特征.
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位.也就是说，个位.百位.万位……是奇数位，十位.千位.十万位……是偶数位.例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：
能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除.
例1 判断七位数1839673能否被11整除.
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除.
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数.
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同.如果奇数位上的数字之和小于偶
数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和.
例2 求下列各数除以11的余数：
（1）41873；（2）296738185.
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0……7，
所以41873除以11的余数是7.
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32.因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32.
（17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7.
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求.如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7.
例3 求除以11的余数.
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9.
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72……7，
11-7=4，所求余数是4.
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除.所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数.
例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？
解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可.有3377，3773，7337，7733.
例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数.
分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除.为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除.调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的.此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413.所求数为987652413.
例6 六位数能被99整除，求A和B.
分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除.因为六位数能被9整除，所以
A+2+8+7+5+B
＝22+A+B
应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14.又因为六位数能被11整除，所以
（A＋8＋5）－（2＋7＋B）
＝A-B＋4
应能被11整除，即
A-B+4=0或A-B+4=11.
化简得B-A＝4或A-B＝7.
因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解. 在（2）中，上.下两式相加，得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，
2B＝18，
B=9.
将B=9代入A＋B=14，得A＝5.
所以，A=5，B＝9.。