苏教版必修3高一数学6.3.2方差与标准差练习
苏教版数学高一苏教版必修3素材2.3.2方差与标准差
庖丁巧解牛知识·巧学一、样本方差与样本标准差1.极差（全距）是数据组的最大值与最小值的差.它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.2.方差是各数据与平均数的差x i -x （i=1，2，…，n ）平方的平均数.它反映了一组数据围绕平均数波动的大小.一般地，设样本数据分别是x 1，x 2，x 3，…，x n ，样本的平均数为x ，则方差s 2=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+- .3.标准差是各个样本数据到平均数的一种平均距离.一般用s 表示.标准差s=nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- .深化升华 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.例如，在比较两人的成绩时，标准差小就意味着成绩稳定；在描述产品的质量时，标准差越小，说明产品的质量越稳定. 二、计算标准差的计算步骤 （1）算出样本数据的平均数；（2）算出每个样本数据与样本平均数的差x i -x （i=1，2，…，n ）； （3）算出(x i -x )2（i=1，2，…，n ）；（4）算出(x i -x)2（i=1，2，…，n ）这n 个数的平均数，即为样本方差s 2=nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- ；（5）算出方差的算术平方根，即为样本标准差s=nx x x x x x n 22221)()()(-++-+- .说明：①标准差的大小受样本中每个数据的影响，如数据之间变化大，求得的标准差也大，反之则小.标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，标准差、方差越大，数据的离散程度越大，反之，标准差、方差越小，数据的离散程度越小.②在计算标准差时，在各数据上加上或减去一个常数，其数值不变.③当每个数据乘以或除以一个常数a ，则所得的标准差是原来标准差的a 倍或1/a.④标准差的大小不会超过极差，其取值范围是［0，+∞），若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.⑤若对数据处理时的计算量较大，要借助科学计算器或计算机，一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、标准差的按键，使用时要看说明书（不同的计算机，参数可能不同）进入统计状态就可以求值了.因为方差与原始数据的单位不一致，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，但在解决实际问题时标准差应用广泛. 联想发散（1）若给定一组数据x 1，x 2，…，x n ，方差为s 2，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的方差为a 2s 2；特别地，当a=1时，则有x 1+b ，x 2+b ，…，x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性； （2）方差的另一表示形式：s 2=n1(x 12+x 22+…+x n 2-2nx ). 三、对总体平均数、标准差的估计如何获得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断. 如要考察一批灯泡的质量，我们可以从中随机抽取一部分作为样本；要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目作为样本.误区警示 需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的.如一个总体包含6个个体，现在要从中抽出3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异.这就会影响到我们对总体情况的估计. 典题·热题知识点一 方差与标准差的计算例1 求下列各组数据的方差与标准差（结果保留到小数点后一位）： （1）1，2，3，4，5，6，7，8，9；（2）11，12，13，14，15，16，17，18，19； （3）10，20，30，40，50，60，70，80，90. 并分析由这些结果可得出什么一般的结论？思路分析：通过三组数据的特点总结出一般规律，利用方差、标准差求解. 解：（1）99321++++= x =5，s 2=91［(1-5)2+(2-5)2+…+(9-5)2］=6.7， s=7.6=2.6. （2）x =919131211++++ =15.s 2=91［（11-15）2+（12-15）2+…+（19-15）2］=6.7， s=7.6=2.6. （3）990302010++++= x =50.s 2=91［(10-50)2+(20-50)2+…+(90-50)2］=666.7， s=7.666=25.8.巧妙变式 一组数据加上相同的数后，方差、标准差不变，都乘以相同的倍数n 后，方差变为原来的n 2倍，标准差变为原来的n 倍.即一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，标准差为s ，则x 1+a,x 2+a, …,x n +a 方差为s 2，标准差为s ；nx 1,nx 2,…,nx n 方差为n 2s 2，标准差为ns. 知识点二 利用方差、标准差对样本进行分析例2 对自行车运动员甲乙在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如甲 273830373531 乙33 29 38 34 2836试判断选谁参加某项重大比赛更合适.思路分析：可以从平均成绩及方差、标准差方面来考察样本数据的水平及稳定性. 解：他们的平均速度为：甲x =61（27+38+…+31）=33. 乙x =61(33+29+…+36)=33.他们的平均速度相同，再看他们的方差：s 甲2=61［(-6)2+52+（-3）2+42+22+(-2)2］=347. s 乙2=61［(-4)2+52+12+(-5)2+32］=337.则s 甲2＞s 乙2，即s 甲＞s 乙. 故乙的成绩比甲稳定. 所以选乙参加比赛更合适. 标准差、方差是反映数据波动程度的量,它们取值的大小,说明数据的离散程度.即样本数据对于平均数的平均波动幅度.例3 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图2-3-1：图2-3-1（1）求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差； （2）比较两名同学的成绩，谈谈你的看法.思路分析：首先由茎叶图读出数据，再利用科学计算器求出平均数、标准差，依据结果进行比较，并与茎叶图比较统计作用.解：（1）用科学计算器得甲x =87，s 甲=12.7，乙x =95，s 乙=9.7.（2）由甲x =87＜乙x =95，且s 甲=12.7＞s 乙=9.7，故甲的数学学习状况不如乙的数学学习状况.“从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是99；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是86.因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.误区警示 通过以上实例分析，可以看出反映样本数据的基本特征量众数、中位数、平均数、标准差是从不同的方面或角度来“看待”样本数据的，对于不同的样本它们各有优、缺点.在实际问题中平均值使用频率较高，但它受极端值的影响较明显，故容易掩盖实际情况，此时常常用标准差来进一步刻画样本数据的离散程度，以便更准确地反映样本数据的真实情况，在实际生活中，也往往利用这个道理来比较水平的高低、质量好坏等.由于平均数和标准差更容易刻画样本数据的数字特征，所以对求解样本数据的平均数、标准差的运算必须熟练，必要时可使用计算器.例4 甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件，在他们所加工的零件中各抽取10个进行直径检测，测得数据如下（单位：mm ）：甲：19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1； 乙：20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4. （1）分别计算上面两个样本的平均数和方差； （2）若零件规定直径为20.0±0.5（mm ），根据两个样本的平均数和方差，说明谁加工的零件的质量较稳定.思路分析：此题数据较大，但发现所有数据都在某个数值上下摆动，可利用s 2=nx n x x x n])[(222221'-'++'+' .推导如下：一般地，如果将一组数据x 1,x 2，…，x n 同时减去一个数a ， 得到x 1′=x 1-a,x 2′=x 2-a, …，x n ′=x n -a, 所以x =n 1(x 1+x 2+…+x n )=n1(x 1′+x 2′+…+x n ′+na)=x '+a. 得公式s 2=nx n x x x n ])[(222221'-'++'+' 可使计算简便.解：因为样本数据在20.0上下波动，故取a=20.0，列表如下 .甲x =0.02+20.0=20.02（mm ），乙x =0.02＋20.0=20.02（mm ），s 甲2=0.1×［0.34-10×0.022］=0.033 6（mm 2）， s 乙2=0.1×［0.52-10×0.022］=0.051 6（mm 2）. ∵s 甲2＜s 乙2，∴甲工人加工零件的质量比较稳定.巧解提示 比较两人加工零件的质量的稳定性，这里通过平均数比较不出来，需要使用方差来比较，方差越大说明波动性较大，质量越不稳定.一般地，方差和标准差通常用来反映一组数据的波动大小，在统计中，样本的方差和标准差通常用来估计总体数据的波动大小.当数据较大且数据都在某个数值上下摆动时可考虑利用s 2=nx n x x x n ])[(222221'-'++'+' .计算方差可减少数据运算量. 问题·探究交流讨论探究 问题估计总体的数字特征过程中,我们经常用到样本均值与样本标准差,这两个有什么差别吗? 探究过程：学生甲：我认为它们两个在表达式上就不同,假设经过随机抽样得到样本为x 1、x 2, …,x n , 则样本均值nx x x x n+++=21.样本标准差s=2s =nx x x x x x n 2221)()()(-++-+- .学生乙：我看出来它们还有一些不同的地方,先来看下面的例子.(1)有两个学生A 和B,两个人两次连续考试的平均分都是60分,A 是40分和80分, B 是65分和55分.显然A 的成绩忽上忽下,而B 的成绩较稳定.(2)有两组学生(每组3人),一次数学考试成绩如下(单位：分)： 甲组3人得分分别为60 80 100 乙组3人得分分别为79 80 81显然,甲组学生和乙组学生的平均分都为80,但是这两组学生分数有很大的差异,甲组学生的成绩波动较大,相对于平均分数的差异很大,即分散程度(离中趋势)较大,而乙组学生的成绩波动较小,相对于平均分数的差异较小,即分散程度较小.因此,我们仅用平均值来描述这一组分数的特征是不够的,还要考虑一组分数相对于平均值的差异的大小.在考试研究中,均值反应了考生团体成绩集中的位置,根据以上分析,显然还需有一个刻画考生团体成绩离散程度的量,显然在刚才举的例子(1)中,B A x x =,但s A =2)6080()6040(22-+-=20,s B =2)6055()6065(22-+-=5.在(2)中,甲x =乙x ,甲组学生的s 甲=38003)80100()8080()8060(222=-+-+-. 乙组学生的s 乙=323)8081()8080()8079(222=-+-+-. 探究结论：明显地发现样本平均数能反映总体的水平，而标准差对于衡量分散程度很有用.。
苏教版数学高一-14-15苏教版数学必修3练习 2.3.2方差与标准差
数学·必修3(苏教版)第2章 统计2．3 总体特征数的估计2．3.2 方差与标准差基础巩固1．一组数据的方差为s 2，将这组数据扩大2倍，则新数据的方差为( )A ．s 2 B.12s 2 C ．2s 2 D ．4s 2解析：∵s 2＝1n ，x －＝x 1＋x 2＋…＋x n n ， ∴x －＇＝2x 1＋2x 2＋…＋2x n n＝2x －. ∴s ′2＝1n ＝4n ＝4s 2. 答案：D2．设x 1＝4，x 2＝5，x 3＝6，则该样本的标准差为( )A.33 B.63 C.53 D.73解析：∵x 1＝4，x 2＝5，x 3＝6，∴x －＝x 1＋x 2＋x 33＝4＋5＋63＝5， ∴s 2＝13 ＝23， ∴s ＝63，选B. 答案：B3．一组数据中的每一个数都加上10后，得到一组新的数据，这组数据的平均数是20，方差是12，则原来这组数据的平均数和方差分别是多少？解析：设原来这组数据为x 1，x 2，…，x n ，每个数据加上10后所得新数据为x 1＋10，x 2＋10，…，x n ＋10.则1n＝20. 即1n＝20. 1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋10＝20. 1n (x 1＋x 2＋…x n )＝20－10＝10. 即x ＝10，原来这组数据的平均数为10.因为新数据方差为12，即1n {2＋2＋…＋2}＝1n＝12. 故原来数据的方差是12.4．对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38， 34，28，36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀．解析：x 甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)，s 甲2＝16×≈15.7，x 乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)，s 乙2＝16×≈12.7.所以x 甲＝x 乙，s 甲2>s 乙2，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．能力升级5．已知甲、乙两个样本(样本容量一样大)，若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2，那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是______________．解析：一组数据其方差越大，波动就越大，方差越小，波动也就越小．答案：甲样本的波动比乙大6．已知x1，x2，…，x n的方差为2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2x n ＋3的标准差为________．解析：由方差的性质得新数据的方差为22×2＝8，故其标准差为2 2.答案：227．两名跳远运动员在10次测试中的成绩分别如下(单位：m)：甲：5.85 5.93 6.07 5.91 5.99 6.13 5.89 6.05 6.00 6.19乙：6.11 6.08 5.83 5.92 5.84 5.81 6.18 6.17 5.85 6.21分别计算两个样本的标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．解析：甲、乙两名运动员成绩的样本标准差分别为0.104，0.156；甲运动员的成绩比较稳定．8．(2014·武汉调研)某校拟派一名跳高运动员去参加一项校级比赛，对甲、乙两名跳高运动员去参加一项校级比赛，对甲、乙两名跳高运动员分别进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75经预测，跳高高度达到1.65 m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高高度达到1.70 m 方可获得冠军呢？解析：甲的平均成绩和方差如下：x －甲＝18(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋ 1.68＋1.67)＝1.69(m)．s 甲2＝18＝0.000 6. 乙的平均成绩和方差如下：x －乙＝18(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68(m)，s 乙2＝18＝0.003 15，显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高高度达到1.65 m 就很可能获得冠军，应派甲参赛，在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m 及以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩稳定性也不如甲，但是若跳高高度达到1.70 m 方可获得冠军时，应派乙参加比赛．。
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2、乙比甲技术更稳定；
3、甲队有时表现差，有时表现好；
4、乙队很少不失球。
全对
例1：甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量 如下（单位：t/hm2 ），试根据这组数据估计哪一种水稻品种 的产量比较稳定．
品种 甲 乙
第一年 9．8 9．4
第二年 9．9 10．3
第三年 10．1 10．8
第四年 10
乙
说明甲比乙稳定
思 考 ： 什么样的指标可以反映一组数据 变化范围的大小？
一组数据的最大值与最小值的差称为极差； 极差越大，数据越分散，极差越小，数据 越集中．
极差＝最大值－最小值
在生活中，我们常常会和极差打交 道．班级里个子最高的学生比个子最矮的学 生高多少？家庭中年纪最大的长辈比年纪最 小的孩子大多少？这些都是求极差的例子．
表 2 0 .2 .2
姓名 小明 小兵
平均分
如果一组数据与其平均值的离散程度较小， 我们就说它比较稳定． 思 考 :什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散 程度？
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最 后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的
情况．这个结果通常称为方差（variance）．
方差的计算式就是
S 2 n 1 [x ( 1 x )2 (x 2 x )2 .. ( .x n x )2 ]
其中 S 2表示一组数据的方差， x 表示一组数 据的平均数，x1、x2、… xn表示各个数据．
新课讲授 方差越小，数据的波动越小。
一般地，
设一组样本数据 x1,x2,,xn，其平均数
为 x ,则称
( 1 )s 2 1 n (x 1 x )2 (x 2 x )2 (x n x )2
苏教版数学高一必修3试题 2.3.2方差与标准差 (2)
2.3.2 方差与标准差一、填空题1．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．【解析】 由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1解得a ＝－1，所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.【答案】 22．老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.【解析】 根据方差的计算公式s 2＝1n ∑n i ＝1 (x i －x )2可得s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.【答案】 3.23．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：89⎪⎪⎪7 74 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为________．【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99， 则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91， ∴x ＝4.∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367. 【答案】3674．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________．【解析】 去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x ＝15×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s 2＝15×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝15×(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.【答案】 92 2.85．已知k 1，k 2，…，k n 的方差为5，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的方差为________． 【解析】 设k 1、k 2、…k n 的平均数为k ，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的平均数为3(k －4)，∴s 2＝1n ∑ni ＝12＝1n ∑ni ＝12＝9×1n ∑ni ＝1 (k i －k )2＝9×5＝45. 【答案】 456．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2－3－7所示，则________．(填序号)甲 乙 图2－3－7①甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ②甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ④甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【解析】 由条形统计图知： 甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8， 乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，所以x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x 乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6.所以x 甲＝x乙．故①不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故②不正确． s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2， s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，所以s 2甲<s 2乙.故③正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故④不正确． 【答案】 ③7．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，方差是4，则xy ＝________. 【解析】 由题意得：⎩⎨⎧159＋10＋11＋x ＋y ＝10，15[9－102＋10－102＋11－102＋x －102＋y －102]＝4，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20， ①x 2＋y 2＝218， ②①2－②得2×xy ＝182， ∴xy ＝91. 【答案】 918．下图2－3－8是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．【解析】 该运动员在这五场比赛中的得分分别为8,9,10,13,15，则平均得分x ＝15×(8＋9＋10＋13＋15)＝11，方差s 2＝15×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.【答案】 6.8二、解答题9．有甲、乙两个队，从甲队中抽出6名队员，从乙队中抽出20名队员，他们的身高数据如下：(单位：cm)甲队：187,181,175,185,173,179. 乙队：180,179,182,184,183,183,183,176,176,181,177,177,178,180,177,184,177,183,177,183. (1)求两队队员的平均身高； (2)甲、乙两队哪一队的身高整齐些？【解】 (1)x 甲＝180＋16(7＋1－5＋5－7－1)＝180(cm)，x 乙＝180＋120(0－1＋…＋3)＝180(cm)．故两队队员的平均身高都为180 cm.(2)s 2甲＝16×(49＋1＋25＋25＋49＋1)＝25(cm 2)，s 2乙＝120＝8.2(cm 2)． 因为s 2甲>s 2乙，所以乙队队员的身高更整齐些．10．为了解A ，B 两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试．下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)：轮胎A 95,112,97,108,100,103,86,98 轮胎B 108,101,94,105,96,93,97,106(1)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； (2)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； (3)根据以上数据，你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ 【解】 (1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋988＝100，中位数为100＋982＝99.B 轮胎行驶最远里程的平均数为： 108＋101＋94＋105＋96＋91＋1068＝100，中位数为97＋1012＝99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为： 112－86＝26， 标准差为： s ＝ 42＋122＋32＋82＋0＋32＋142＋228＝2212≈7.43； B 轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15，标准差为： s ＝ 82＋12＋62＋52＋42＋72＋32＋628＝1182≈5.43. (3)由于A 和B 的最远行驶里程的平均数相同，而B 轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B 轮胎性能更加稳定．11．现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加测验，每名参加者可获得0分、1分、2分、3分、4分、5分、6分、7分、8分、9分这几种不同分值中的一种，A 班的测验结果如下表所示：分数(分) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数(名) 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2 B图2－3－9【解】A班成绩的平均数为：x A＝145×(0×1＋1×3＋2×5＋3×7＋4×6＋5×8＋6×6＋7×4＋8×3＋9×2)≈4.53(分)，所以A班成绩的方差为：s2A＝145×[(0－x A)2＋3×(1－x A)2＋5×(2－x A)2＋7×(3－x A)2＋6×(4－x A)2＋8×(5－x A)2＋6×(6－x A)2＋4×(7－x A)2＋3×(8－x A)2＋2×(9－x A)2]≈4.96(分2)．B班成绩的平均数为：x B＝145×(1×3＋2×3＋3×8＋4×18＋5×10＋6×3)≈3.84(分)，所以B班成绩的方差为：s2B＝145×[3×(1－x B)2＋3×(2－x B)2＋8×(3－x B)2＋18×(4－x B)2＋10×(5－x B)2＋3×(6－x B)2]≈1.51(分2)．因为s2A>s2B，即B班成绩的方差较小，所以B班的成绩较为稳定.。
苏教版数学高一课时作业 2.3.2 方差与标准差
2.3.2方差与标准差1．已知一个样本的方差s2＝110[(x1－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x10－2)2]，这个样本的平均数是________．2．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.3．已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是2，方差是13，那么数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2的平均数和方差分别是________，________.4．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________．5．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝________.6．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．如果试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：种植哪一品种？7．对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀．8．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图．(1)则表示的原始数据是什么？(2)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；(3)比较两名同学成绩的优劣．9．某班40人随机平均分成两组，两组学生某次考试的分数(单位：分)情况如下表：统计量平均数标准差组别第一组90 6第二组80 4参考答案1.【解析】由方差公式的形式易知平均数为2. 【答案】22.【解析】由题意得该组数据的平均数为x ＝15(10＋6＋8＋5＋6)＝7，所以方差为s 2＝15(32＋12＋12＋22＋12)＝3.2. 【答案】3.23.【解析】若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2， 则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2.所以，由题意3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2的平均数为：3x －2＝3×2－2＝4，方差为：a 2s 2＝32×13＝3.【答案】4 34.【解析】去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92，方差s 2＝15[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝15(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.【答案】92,2.85.【解析】由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，∴x ＋y ＝20，又由1＋1＋(x －10)2＋(y －10)2＝(2)2×5＝10，得x 2＋y 2－20(x ＋y )＝－192， (x ＋y )2－2xy －20(x ＋y )＝－192，xy ＝96. 【答案】966.解：品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： x 甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，s 2甲＝18[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： x 乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，s 2乙＝18[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且品种乙的样本方差小于品种甲的样本方差，故应该选择种植品种乙． 7.解：x 甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，x 乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝16×94＝1523.s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝16×76＝1223.∴x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙．由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀． 8.解：(1)由茎叶图可知：表示的原始数据应为103.(2)x 甲＝113(68＋71＋75＋76＋81＋86＋88＋89＋91＋94＋95＋107＋110)＝87(分)，x 乙＝111(79＋83＋86＋88＋93＋98＋98＋99＋101＋103＋117)＝95(分)，s 2甲＝113[(68－87)2＋(71－87)2＋(75－87)2＋(76－87)2＋(81－87)2＋(86－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2＋(94－87)2＋(95－87)2＋(107－87)2＋(110－87)2]≈152.46(分2)． ∴s 甲≈12.3(分)．s 2乙＝111[(79－95)2＋(83－95)2＋(86－95)2＋(88－95)2＋(93－95)2＋(98－95)2＋(98－95)2＋(99－95)2＋(101－95)2＋(103－95)2＋(117－95)2] ≈103.09(分2)． ∴s 乙≈10.2(分)．∴甲的平均数为87分，标准差约为12.3；乙的平均数为95分，标准差约为10.2. (3)∵x 甲＜x 乙，且s 甲＞s 乙 ∴甲的学习状况不如乙好．9.解：设第一组20名学生的成绩为x 1，x 2，x 3，…，x 20，第二组20名学生的成绩为x 21，x 22，…，x 40，根据题意得90＝x 1＋x 2＋…x 2020，80＝x 21＋x 22＋…＋x 4020，x ＝x 1＋x 2＋…＋x 4040＝90×20＋80×2040＝85(分)，第一组的方差s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220)－902， ①第二组的方差s 22＝120(x 221＋x 222＋…＋x 240)－802,② 由①＋②，得36＋16＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220＋x 221＋…＋x 240)－(902＋802)， ∴x 21＋x 22＋…＋x 24040＝7276(分2)．∴s 2＝x 21＋x 22＋…＋x 24040－852＝7276－7225＝51(分2)，∴s ＝51(分)．。
高中数学 2.3.2方差与标准差同步检测 苏教版必修3
2.3.2《方差与标准差》同步检测一、基础过关1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________．2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是________．①众数②平均数③中位数④标准差3．下表是某班50名学生综合能力测试的成绩分布表，则该班成绩的方差为________.4.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差上面说法正确的是________．5．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.6．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.21，则数据a1， a2，…，a20，x这21个数据的方差为________．7． (1)已知一组数据x1，x2，…，x n的方差是a，求另一组数据x1－2，x2－2，…，x n－2的方差；(2)设一组数据x1，x2，…，x n的标准差为s x，另一组数据3x1＋a,3x2＋a，…，3x n＋a的标准差为s y，求s x与s y的关系．8．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？二、能力提升9．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本方差分别为s2A和s2B，则x A与x B，s2A与s2B的大小关系分别为________．10. 如图是2012年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为________．11．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)12．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)请填写表：①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．三、探究与拓展13．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：答案1． 2 2．④ 3．1.36 4．③④ 5．91 6．0.27． 解 (1)设x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则有：a ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n－x )2]．∵x 1－2，x 2－2，…，x n －2的平均数为x －2，则这组数据的方差s 2＝x 1－2－x ＋2＋…＋x n －2－x ＋2n＝x 1－x2＋…＋x n －x2n＝a .(2)设x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则3x 1＋a,3x 2＋a ，…，3x n ＋a 的平均数为3x ＋a .s y ＝s 2y＝1nx ＋a －3x 1－a2＋…＋x ＋a －3x n －a 2]＝1n·32x －x 12＋…＋x －x n2]＝9·s 2x ＝3s x ，∴s y ＝3s x .8． 解 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好． (2)x 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33.x 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33.s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.甲的极差为11，乙的极差为10.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．9.x A<x B，s2A>s2B 10．85,1.6 11．1,1,3,3 12．解由折线图，知甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大重排为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.也将它们由小到大重排为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)x甲＝110×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7010＝7(环)，x乙＝110×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7010＝7(环)，s2甲＝110×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝110×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，s2乙＝110×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝110×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.根据以上的分析与计算填表如下：甲乙②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些．③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些．④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．13．解设第一组20名学生的成绩为x i(i＝1,2，…，20)，第二组20名学生的成绩为y i(i＝1,2，…，20)，依题意有：x＝120(x1＋x2＋ (x20)＝90，y＝120(y1＋y2＋…＋y20)＝80，故全班平均成绩为：140(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)＝140(90×20＋80×20)＝85；又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则s21＝120(x21＋x22＋…＋x220－20x2)，s22＝120(y21＋y22＋…＋y220－20y2)(此处，x＝90，y＝80)，又设全班40名学生的标准差为s，平均成绩为z(z＝85)，故有s2＝140(x21＋x22＋…＋x220＋y21＋y22＋…＋y220－40z2)＝140(20s21＋20x2＋20s22＋20y2－40z2)＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.即s＝51.所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为51.。
数据的方差和标准差练习题
数据的方差和标准差练习题一、选择题1. 下列哪个是表示数据离散程度的指标？A）方差B）平均值C）中位数D）众数2. 方差的计算公式是什么？A）方差 = 标准差 / 平均值B）方差 = 平均值 / 标准差C）方差= ∑(数据值 - 平均值)^2 / 样本大小D）方差= ∑(数据值 - 平均值)^2 / (样本大小 - 1)3. 标准差为0的数据集表示什么？A）数据集中没有任何差异B）标准差计算错误C）数据集中只有一个数值D）标准差无法为04. 数据集A的方差为10，方差为B的数据集的离散程度相对于A 会更大还是更小？A）更大B）更小C）相同D）无法确定5. 在正态分布中，大约有多少数据在平均值的1个标准差之内？A）34%B）68%C）95%D）99.7%二、填空题1. 已知数据集为{1, 3, 5, 7, 9}，则平均值为____，方差为____，标准差为____。
2. 对于正态分布的数据集，标准差越大，数据的分布越____。
3. 方差的单位是____的平方。
4. 若数据集的标准差为5，则方差为____。
5. 若数据集的方差为36，则标准差为____。
三、计算题1. 已知数据集为{2, 4, 6, 8, 10}，请计算其平均值、方差和标准差。
2. 已知数据集为{3, 5, 7, 7, 9}，请计算其平均值、方差和标准差。
3. 若数据集的平均值为12，标准差为4，方差为多少？4. 若已知数据集的方差为25，计算其标准差。
5. 数据集A的平均值为30，标准差为6；数据集B的平均值为40，标准差为8。
请计算数据集A与数据集B的方差比较结果。
四、应用题1. 某公司某月份的销售额数据如下：200,000; 220,000; 250,000; 230,000; 240,000请计算该月销售额的平均值、方差和标准差，并分析销售额的波动情况。
2. 一所学校学生在数学测验中的得分数据如下：80, 90, 92, 85, 88, 76, 80, 82, 95, 92, 89, 78请计算学生的平均得分、方差和标准差，并评估学生的成绩差异性。
高一数学必修3同步训练(苏教版) 2.3.2方差与标准差
第二章 统计 2.3.2方差与标准差一、选择题:1. 某气象台报告元月份一周中白天的气温为（单位：℃）：4，5，3，0，2，－1，－3，这一周内白天温度的标准差是（精确到0.1）（ ） A.2.4 B.2.5 C.2.6 D.2.7 2. 一组数据的方差一定是（ ） A.正数 B.负数 C.任意实数 D.非负数3. 以下可以估计总体稳定性的统计量是 ( )A. 样本平均数B. 样本中位数C. 样本方差D. 样本最大值4. 设有n 个样本x 1，x 2，…，x n ，其标准差是s x ，另有n 个样本y 1，y 2，…，y n ，且y k =3x k +5（k = 1，2，…，n ），其标准差为s y ，则下列关系正确的是（ ） A.s y =3s x +5 B.s y =3s x C.s y =3s xD.s y =3s x +55. 甲、乙两个样本，甲样本的方差为0.4，乙样本的方差为0.2，那么比较甲、乙两个样本的波动大小是（ ）A.甲的波动比乙大B.乙的波动比甲大C.甲、乙波动一样大D.甲、乙波动的大小无法比较6. 甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为①甲队的技术比乙队好 ②乙队发挥比甲队稳定 ③乙队几乎每场都进球 ④甲队的表现时好时坏 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:7. 一组数据1，3，2，0，－1的方差是 . 8. 一组数据1，3，x 的方差是32，则x ＝ . 9. 已知一个样本方差为S 2=101［（x 1－4）2+（x 2－4）2+…+（x 10－4）2］，则这个样本的容量是______，平均数是 .10. 已知两家工厂上半年每月的工业产值如下：则两厂的生产情况可得 厂生产情况更平稳、正常.（单位：万元） 二、解答题:11. 某省运动队要从甲、乙、丙三名射击运动员中选拔一名参加国家级比赛，在预选赛中，他们每人各打10发子弹，命中环数如下：甲：10 10 9 10 9 9 9 9 9 9； 乙：10 10 10 9 10 8 8 10 10 8； 丙：10 9 8 10 8 9 10 9 9 9. 根据这次成绩，应该选拔谁参加比赛？12. 某农业科研所用新技术种植了一块棉花试验田，又在试验田旁用老方法种植了一块面积相等的棉田作对比；科研人员在苗期分别从两块地里各取了10株棉苗，测得它们的苗高如下（单位：毫米）.（2）分别计算两块棉田里棉苗的方差，并指出哪块田里棉苗长得整齐.13. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s ）的数据如下表.（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s ）数据的平均数、中位数、极差、标准差，并判断选谁参加比赛更合适.14. 质检部门对甲、乙两种日光灯的使用时间进行了破坏性试验，10次试验得到的两种日光灯的使用时间如下表所示，问：哪一种质量相对好一些？15.甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件，在他们所加工的零件中各抽取10个进行直径检测，测得数据如下（单位：mm）：甲：19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1；乙：20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4 .（1）分别计算上面两个样本的平均数和方差；（2）若零件规定直径为20.0±0.5（mm），根据两个样本的平均数和方差，说明谁加工的零件的质量较稳定.拓展创新——练能力16.某次考试中由于学校微机坏了,老师想了解一下班级学生的总体考试情况,随机抽取了10名同学的成绩, 试这组样本的数据的方差和标准差（结果精确到0.1）：423，421，419，420，421，417，422，419，423，418.并对总体作出估计.17.（2）如果在95—105瓦范围内的灯泡为合格品，计算两厂合格品的比例各是多少？（3）哪个厂的生产情况比较稳定？18.甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）.甲机床：10.2 10.1 10 9.8 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1；乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10.分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10 mm，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？（要求利用公式笔算）参考答案:1. D2. D3. C4. B5. A6. D 解析: 四种说法都正确，甲队的平均进球数多于乙队，故第一句正确；乙队标准差较小，说明技术水平稳定；甲队平均进球数是3.2，但其标准差却是3，离散程度较大，由此可判断甲队表现不稳定；平均进球数是1.8，标准差只有0.3，每场的进球数相差不多，可见乙队的确很少不进球.故应选D.7. 2 8. 29. 10 4 解析：在求方差的公式S 2=n 1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］中，n 是样本容量，x 是样本平均数.所以，在S 2=101［（x 1－4）2+（x 2－4）2+…+（x 10－4）2］中，10是样本容量，4是样本平均数.10. 乙厂生产比甲厂生产情况更平稳、正常.11. 解析：经计算，甲、乙、丙三人命中的总环数分别为93、93、91,所以，丙先被淘汰. 所以x 甲=x 乙=1093=9.3. 甲的方差S 甲2=101［（10－9.3）2+（10－9.3）2+…+（9－9.3）2］=0.21, 乙的方差S 乙2=101［（10－9.3）2+（10－9.3）2+…+（8－9.3）2］=0.81. 因为S 甲2<S 乙2，所以在总成绩相同的条件下，应选择水平发挥较稳定的运动员甲参加比赛. 12. 解析：（1）x 试验=101（180+176+…+180）=180（毫米）， x 一般=101（178+177+…+176）=180（毫米）. （2）S 试验2=101［（180－180）2+（176－180）2+…+（180－180）2］=101×30=3, S 一般2=101［（178－180）2+（177－180）2+…+（176－180）2］=101×96=9.6. 可以看出S 试验2<S 一般2，这说明试验田棉苗长得整齐. 答：（1）x 试验=180毫米，x 一般=180毫米；（2）S 试验2=3，S 一般2=9.6，试验田棉苗长得较整齐.13. 解析:（1）画茎叶图，中间数为数据的十位数从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是35，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好.甲乙7 23 3 8 4 69 81 5 7 0 8（2）利用科学计算器：x 甲=33，x 乙=33；s 甲=3.96，s 乙=3.56；甲的中位数是33，极差11，乙的中位数是35，极差9.综合比较选乙参加比赛较为合适.. 14. 解析：甲的平均使用寿命为：甲x =101214032130321202211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝2121（h ），甲的平均使用寿命为 ：乙x ＝101214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝2121（h ），甲的方差为：2甲S ＝101999191142122222+⨯+⨯+⨯+＝129（h 2），乙的方差为：2乙S ＝101214022130521201211012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝109（h 2），∵甲x ＝乙x ，且2甲S ＞2乙S ，∴乙的质量好一些．15. 解析：利用s 2＝nx n x x x n ］）［（222221'-'++'+' .因为样本数据在20.0上下波动，故取a ＝20.0，列表如下 .表1 （甲工人）表2 （乙工人）x 甲＝0.02＋20.0＝x 乙＝0.02＋20.0＝20.02（mm ），s 甲2＝0.1×［0.34－10×0.022］=0.0336（mm 2）， s 乙2＝0.1×［0.52－10×0.022］=0.0516（mm 2）. ∵s 甲2＜s 乙2，16. 解法一：s 2=101［4232+4212+4192+…+4232+4182－10×(10418421423++)2］ =101［1766559－10×(104023)2］=101［1766559－1766520.9］=101×38.1≈3.8. ∴s =8.3≈1.9.解法二：令a =420，将每一个数据都减去a ，得到一组新数据如下：3，1，－1，0，1，－3，2，－1，3，－2.∴s 2=101［（32+12+…+22）－10×(102313-+++ )2］=101［39－10×(103)2］=101（39－0.9）≈3.8.∴s =8.3≈1.9.17. 解析:（1）1(963986100810221061)99.320x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲1(9419629871004102310421061)99.620x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙 所以：甲厂灯泡平均值的估计值为99.3，乙厂灯泡平均值的估计值为99.6 . （2）根据抽样%902018%,952019====乙甲A A .（3）222221[3(9699.3)6(9899.3)8(10099.3)2(10299.3)20O =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-甲 21(10699.3)]+⨯- 5.31=222221[1(9499.6)2(9699.6)7(9899.6)4(10099.6)20O =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-乙 2223(10299.6)2(10499.6)1(10699.6)+⨯-+⨯-+⨯-]8.64=所以甲的情况稳定. 18. 解析:.x 甲=)1.101.102.10(101+++ =,10100101=⨯x 乙=10100101)104.103.10(101=⨯=+++ . ∴s 甲2=101［(10.2－10)2+(10.1－10)2+…+(10.1－10)2］ =101(0.22+0.12+0+0.22+0.12+0.32+0.32+0+0.12+0.12) =101(0.04+0.01+0+0.04+0.01+0.09+0.09+0+0.01+0.01)=101×0.3=0.03(mm 2). s 乙2=101［(10.3－10)2+(10.4－10)2+…+(10－10)2］=101(0.32+0.42+0.42+0.12+0.12+0+0.22+0.32+0.22+0) =101(0.09+0.16+0.16+0.01+0.01+0.04+0.09+0.04)=101×0.6=0.06 (mm 2). ∴s 甲2＜s 乙2∴用甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适.。
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第9课时方差与标准差
分层训练
1．以下可以描述总体稳定性的统计量是( ) (A)样本均值x (B)样本中位数 (C)样本方差2
s (D)样本最大值x(n)
则下列选项正确的是 ( )
(A)22乙甲乙甲＞，＝s s x x （B ）2
2乙甲乙甲＜，＝s s x x
(C)22乙甲乙甲＝，＝s s x x (D)2
2乙甲乙甲＝，s s x x ≠
3．设一组数据的方差是2
s ，将这组数据的每个
数据都乘10，所得到的一组新数据的方差是
( ) (A)0.12
s (B) 2
s (C)102
s (D)1002
s 4．已知,,21x x …，6x 的方差为2，则21x ＋3, 22x ＋3，…,26x ＋3的标准差是___________ 5．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下： 计值x =_______,病人等待时间标准差的估计值s=___________
6．已知样本99,100,101，x ,y 的平均数是100，方差是2，则y x ⋅＝________
7．（1）美国加利福尼亚州州长提出给所有的州政府雇员月薪增加70美元。
这对于州政府雇员的平均月薪将会有何影响？对于月薪的标准差呢？
（2）整个政府部门的月薪递增5%将对平均月薪有何影响？对于月薪的标准差呢？
8．甲、乙两机床同时加工直径为100mm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为
(1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定。
拓展延伸
9．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数：
估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间比较具有一致性与可靠性。
10．已知样本90, 83, 86, 85, 83, 78, 74, 73, 71, 70的方差为 2s ，且关于x 的方程03)1(2=-++-k x k x 的两根的平方和恰好
是2
s ，求k 的值。
本节学习疑点：
1．C 2．B 3．D 4．22 5．9.25,5.4 6．9996
7．(1)这将使平均数增大70美元，但不影响标准差 (2)这将使月薪的平均数和标准差都增大5%
8．(1) 100100==乙甲，x x ，
1372
2==乙甲，s s
(2) 2
2乙甲s s >，故乙更稳定。
9． 6.0549.010.5,10.12
2====乙甲乙甲，，s s x x
乙甲x x <，2
2乙甲s s <
所以从交货天数的平均值来看，甲供货商的供
货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲是较具一致性与可靠性的厂商
10．432
=s ，
212212
2212)(x x x x x x -+=+
437)3(2)1(2
2=+=--+=k k k 6±=∴k。