中考初三数学冲刺拔高专题训练含答案

中考数学冲刺拔高

专题训练

目录

专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1)

专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5)

专题提升(三) 数式规律型问题 (9)

专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (15)

专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (22)

专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (31)

专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (41)

专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (48)

专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (54)

专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (60)

专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (69)

专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (77)

专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (83)

专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (92)

专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (99)

专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (106)

专题提升(一) 数形结合与实数的运算

类型之一数轴与实数

【经典母题】

如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．

图Z1－1

【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；

(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行

实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．

【中考变形】

1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 ( C )

图Z1－2

＋1

－1 D．1－5

【解析】∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝22＋12＝5，∵A点表示－1，∴E点表示的数为5－1.

2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是 ( D )

图Z1－3

A．M B．N C．P D．Q

3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是 ( C )

图Z1－4

A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b

C．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a

【解析】∵从数轴可知a＜0＜b，∴－b＜0，－a＞0，∴－b＜0＜－a. 4．[2017·余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为( B )

图Z1－5

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】根据题意，知y－x＝4，即y＝x＋4，将y＝x＋4代入x＋y＝2，得x＋

x＋4＝2，解得x＝－1，则点A表示的数为－1，则点C表示的数为－1＋2＝1. 5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP 为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于 ( A )

图Z1－6

A．－4和－3之间B．3和4之间

C．－5和－4之间D．4和5之间

【解析】∵点P的坐标为(－2，3)，

∴OP＝22＋32＝13.

∵点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，

∴OA＝OP＝13，

∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.

∵点A在x轴的负半轴上，

∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.

6．[2017·成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是．

图Z1－7

【中考预测】

如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是( C )

图Z1－8

A．a＞b B．|a|＞|b|

C．－a＜b D．a＋b＜0

【解析】由图知，a＜0＜b且|a|＜|b|，∴a＋b＞0，即－a＜b，故选C.

类型之二实数的混合运算

【经典母题】

计算：2×(3＋5)＋4－2× 5.

解：2×(3＋5)＋4－2×5＝2×3＋2×5＋4－2×5＝6＋4＋2×5－2×5＝10.

【中考变形】

1．[2016·台州]计算： 4－????

??－12＋2－1. 解：原式＝2－12＋12

＝2. 2．[2017·临沂]计算：|1－2|＋2cos45°－8＋? ??

??12－1

. 解：|1－2|＋2cos45°－8＋? ??

??12－1＝2－1＋2×22－22＋2＝2－1＋2－22＋2＝1.

3．[2017·泸州]计算：(－3)2＋2 0170－18×sin45°.

解：(－3)2＋2 0170

－18×sin45°＝9＋1－32×22 ＝10－3＝7.

【中考预测】 计算：12－3tan30°＋(π－4)0

－? ????12－1

. 解：12－3tan30°＋(π－4)0

－? ????12－1＝23－3×33＋1－2＝3－1.

专题提升(二) 代数式的化简与求值

类型之一整式的化简与求值

【经典母题】

已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗(x－y)2呢

解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×1＝7；

(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×1＝5.

【思想方法】利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．

完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．

【中考变形】

1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2的值为 ( C ) A．10 B．6 C．5 D．3

2．已知实数a满足a－1

a

＝3，则a2＋

1

a2

的值为__11__.

【解析】将a－1

a

＝3两边平方，可得a2－2＋

1

a2

＝9，即a2＋

1

a2

＝11.

3．[2017·重庆B卷]计算：(x＋y)2－x(2y－x)．

解：原式＝x2＋2xy＋y2－2xy＋x2＝2x2＋y2.

4．[2016·漳州]先化简(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)

解：原式＝a2－1＋a－a2－a＝－1.

故该代数式的值与a的取值没有关系．

【中考预测】

先化简，再求值：(a－b)2＋a(2b－a)，其中a＝－1 2，

b＝3.

解：原式＝a2－2ab＋b2＋2ab－a2＝b2.

当a＝－1

2

，b＝3时，原式＝32＝9.

类型之二分式的化简与求值【经典母题】

计算：(1)a

b

－

b

a

－

a2＋b2

ab

；

(2)? ??

??3x x －2－x x ＋2·x 2－4x . 解：(1)原式＝a 2－b 2ab －a 2＋b 2ab ＝－2b 2ab ＝－2b a

； (2)原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x －2）（x ＋2）·x 2－4x ＝2x 2＋8x x 2－4·x 2－4x

＝2x ＋8. 【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；

(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；

(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；

(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．

【中考变形】

1．[2017·重庆A 卷]计算：? ??

??3a ＋2＋a －2÷a 2－2a ＋1a ＋2. 解：原式＝? ??

??3a ＋2＋a 2－4a ＋2÷（a －1）2a ＋2 ＝（a ＋1）（a －1）a ＋2·a ＋2（a －1）2＝a ＋1a －1

2．[2017·攀枝花]先化简，再求值：?

????1－2x ＋1÷x 2－1x 2＋x ，其中x ＝2.

解：原式＝x ＋1－2x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）

＝x －1x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x ＋1

. 当x ＝2时，原式＝22＋1＝23

. 【中考预测】

先化简，再求值：? ????x 2－4x ＋3x －3

－13－x ? ????x 2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝? ????x 2－4x ＋3x －3

＋1x －3??????（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·?

????x －1x －2－2x －2＝（x －2）2x －3·x －3x －2 ＝x －2.当x ＝4时，原式＝x －2＝2.

类型之三 二次根式的化简与求值

【经典母题】

已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求a 2－ab ＋b 2的值．

解：∵a ＝3＋2，b ＝3－2，∴a ＋b ＝23，ab ＝1，

∴a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝(23)2－3＝9.

【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a ＋b ，a －b ，ab 当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．

【中考变形】

1．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为 ( C )

A ．9

B ．±3

C ．3

D ．5

2．[2016·仁寿二模]先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷? ??

??1a －1b ，其中a ＝2＋1，b ＝2－1.

解：原式＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）÷b －a ab ＝a －b a ＋b ·ab b －a ＝－ab a ＋b

， 当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝－1

22＝－24

. 3．[2017·绵阳]先化简，再求值：? ????x －y x 2－2xy ＋y 2－x x 2－2xy ÷y x －2y

，其中x ＝22，y ＝ 2.

解：原式＝??????x －y （x －y ）2－x x （x －2y ）÷y x －2y

＝? ????1x －y －1x －2y ÷y x －2y

＝??????（x －2y ）－（x －y ）（x －y ）（x －2y ）÷y x －2y

＝－y （x －y ）（x －2y ）·x －2y y ＝－1x －y

. 当x ＝22，y ＝2时，原式＝－1x －y ＝－12＝－22. 【中考预测】 先化简，再求值：1a ＋b ＋1b ＋b a （a ＋b ），其中a ＝5＋12，b ＝5－12

. 解：原式＝ab ＋a （a ＋b ）＋b 2ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）2ab （a ＋b ）＝a ＋b ab

， ∵a ＋b ＝5＋12＋5－12＝5，ab ＝5－12×5＋12

＝1， ∴原式＝ 5.

专题提升(三) 数式规律型问题

【经典母题】

观察下列各式：

52＝25；

152＝225；

252＝625；

352＝1 225；

…

你能口算末位数是5的两位数的平方吗请用完全平方公式说明理由．

解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，

则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25，

因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．

【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．

【中考变形】

1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：

3－2＝1；

8＋7－6－5＝4；

15＋14＋13－12－11－10＝9；

24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；

…

根据以上规律可知第10行左起第1个数是 ( C )

A．100 B．121 C．120 D．82

【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120.

2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是 ( B )

图Z3－1

A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋n

C．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1

【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最

后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.

3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是下列选项中的 ( D )

图Z3－2

【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，

2 017÷4＝504……1，

∴2 017是第505个循环组的第2个数，

∴从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是.

故选D.

4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走

图Z3－3

( D )

A．②号棒B．⑦号棒

C．⑧号棒D．⑩号棒

【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应

拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．

5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：

图Z3－4

按照这种规律摆下去，第n 个图形用的棋子个数为 ( D )

A ．3n

B ．6n

C ．3n ＋6 ＋3

【解析】 ∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n 个图需棋子(3n ＋3)个．

6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角

形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．

【解析】 根据所给的数据发现：第n 个三角形数是1＋2＋3＋…＋n ，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋…＋n ＝

2 016，得n （n ＋1）2＝2 016，解得n ＝63(负数舍去)．

7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序

数的倒数加1.如：第1位同学报? ????11＋1，第2位同学报? ??

??12＋1，第3位同学报? ??

??13＋1，…这样得到的100个数的积为__101__.

【解析】 ∵第1位同学报的数为11＋1＝21，第2位同学报的数为12＋1＝32

，第3位同学报的数为13＋1＝43

，… ∴第100位同学报的数为1100＋1＝101100

， ∴这样得到的100个数的积＝21×32×43×…×101100

＝101. 8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6

个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n ＋3__．

图Z3－5

【解析】 ∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，…∴第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n ＋3.

9．观察下列等式：

第一个等式：a 1＝11＋2

＝2－1；

第二个等式：a2＝

1

2＋3

＝3－2；

第三个等式：a3＝

1

3＋2

＝2－3；

第四个等式：a4＝

1

2＋5

＝5－2；

…

按上述规律，回答以下问题：

(1)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝

1

n＋n＋1

＝n＋1－n ；

(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n＝

【解析】a1＋a2＋a3＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.

10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)．

图Z3－6

【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4(n－1)＝4n＋1(个)．

11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有__5n＋1__根小棒．

图Z3－7

【解析】 ∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋5×1＝11根小棒，第3个图案中有6＋5×2＝16根小棒，…∴第n 个图案中有6＋5(n －1)＝5n ＋1根小棒．

12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一

尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示．

由图易得12＋122＋123＋…＋12n ＝__1－12n __. 图Z3－8

13．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：

图Z3－9

【解析】 1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…∴1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.

(2)观察图Z3－10，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：

图Z3－10

1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋__2n ＋1__＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1＝__2n 2＋2n ＋1__．

【解析】 观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n 行，第n ＋1行，n ＋2