【中考备考金钥匙】2015中考数学二轮复习课件_几何推理题

专题突破┃ 几何推理题
【解题方法点析】
专题突破┃ 几何推理题
解：(1)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ∴AC⊥CD. 又 AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD. 又 CD＝3，∴DE＝3. (2)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 62＋82＝10， 1 1 ∴S△ADB＝ AB·DE＝ ×10×3＝15. 2 2
专题突破┃ 几何推理题
7．[2013· 遵义] 如图 33－11，在矩形 ABCD 中，对角 线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AO，AD 的中点， 若 AB＝6 cm， BC＝8 cm， 则△AEF 的周长为________cm. 9
图 33－11
专题突破┃ 几何推理题
[解析] 在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2＋BC2＝10(cm)． ∵点 E，F 分别是 AO，AD 的中点， ∴EF 是△AOD 的中位线， 1 1 1 5 ∴EF＝ OD＝ BD＝ AC＝ (cm)， 2 4 4 2 1 1 AF＝ AD＝ BC＝4(cm)， 2 2 1 1 5 AE＝ AO＝ AC＝ (cm)， 2 4 2 ∴△AEF 的周长＝AE＋AF＋EF＝9(cm)．
专题突破┃ 几何推理题
【例题分层探究】 (1)由角平分线和垂直关系，如何求线段 DE 的长度？ (2)求△ADB 的面积的关键是什么？
(1)由∠C＝90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 可知，DE ＝CD，所以 DE＝CD＝3. (2)已知 AC 和 BC 的长度及∠C＝90°， 利用勾股定理可 求 AB 的长，再利用三角形面积公式及(1)中 DE 的长度可求 △ADB 的面积．
4． [2014· 遂宁] 如图 33－8， AD 是△BAC 中∠BAC 的平 分线，DE⊥AB 于点 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则 AC 的长是 ( A )
A．3
B．4
图 33－8 C．6
D．5
专题突破┃ 几何推理题
5．[2014· 随州] 如图 33－9，要测量点 B 到河岸 AD 的距 离，在点 A 测得∠BAD＝30°，在点 C 测得∠BCD＝60°，又 测得 AC＝100 米， 则点 B 到河岸 AD 的距离为 ( B )
专题突破┃ 几何推理题
【解题方法点析】
专题突破┃ 几何推理题
证明：(1)连接 OD，AD，
∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠CDA＝∠BDA＝90°. ∵CE＝EA，∴DE＝EA， ∴∠1＝∠4. ∵OD＝OA，∴∠2＝∠3. ∵∠4＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°，即∠EDO＝90°. ∵OD 是半径，∴DE 为⊙O 的切线． 专题突破┃ 几何推理题
3．[2013· 嘉兴] 如图 33－7 所示，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交⊙O 于点 E，连接 EC.若 AB＝ 8，CD＝2，则 EC 的长为 ( D )
图 33－7 A．2 15 B．8 C．2 10 D．2 13
专题突破┃ 几何推理题
[解析] ∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8， 1 ∴AC＝ AB＝4. 2 设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r－2， 在 Rt△AOC 中，∵OA2＝AC2＋OC2， 即 r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5， ∴AE＝2r＝10. 连接 BE，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 中，∵AE＝10，AB＝8， ∴BE＝ AE2－AB2＝ 102－82＝6. 在 Rt△BCE 中，∵BE＝6，BC＝4， ∴CE＝ BE2＋BC2＝ 62＋42＝2 13. 专题突破┃ 几何推理题
专题突破┃ 几何推理题
【解题方法点析】
专题突破┃ 几何推理题
解：(1)如图，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E.
在 Rt△ABE 中， ∵∠B＝45°，AB＝3 2，∴AE＝BE＝3. 在 Rt△ACE 中， ∵∠ACE＝60°，AE＝3， 3 AE ∴CE＝ ＝ ＝ 3. tan∠ACB tan60° ∴BC＝BE＋CE＝3＋ 3.
【例题分层探究】 (1)解直角三角形时，必须知道什么条件？ (2)在△ABC 中，已知∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝ 3 2，作怎样的辅助线可用解直角三角形的方法求得线段 BC 的长？ (3)用解直角三角形的方法可求得线段 AC 的长， 作怎样的 辅助线可构造包括线段 AC 和圆的半径的直角三角形？专题突破┃ 几何推理题
证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°. ∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠A＝∠F. ∵BC＝DB，∠ABC＝∠FBD， ∴△ABC≌△FBD，∴AB＝BF.
专题突破┃ 几何推理题
例 4 [2013· 鄂州] 已知： 如图 33－4， AB 为⊙O 的直径， AB⊥AC，BC 交⊙O 于点 D，E 是 AC 的中点，ED 与 AB 的 延长线相交于点 F. 求证：(1)DE 为⊙O 的切线； (2)AB∶AC＝BF∶DF.
专题突破┃ 几何推理题
2．[2013· 自贡] 如图 33－6，在平行四边形 ABCD 中， AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的 延长线于点 F，BG⊥AE 于点 G，BG＝4 周长为 2，则△EFC 的 ( D )
A．11
图 33－6 B．10 C．9
D．8
专题突破┃ 几何推理题
(1)∠A 与∠C 互余，∠F 与∠C 互余，由此可得∠A＝∠F. (2)线段 AB 和线段 BF 分别在 Rt△ABC、Rt△FBD 中，在 这两个三角形中，∠A＝∠F，∠ABC＝∠FBD，BD＝BC.
专题突破┃ 几何推理题
【解题方法点析】 证两条线段相等时， 可将这两条线段放在一对全等三角 形、一个平行四边形、圆或线段垂直平分线、角平分线等数 学模型中来证明．其中证两个三角形全等是最常用的方 法．本题将线段 AB，BF 分别放在△ABC 和△FBD 中，再 证这两个三角形全等即可．
(2)∵∠3＋∠DBA＝90°，∠3＋∠4＝90°， ∴∠4＝∠DBA. ∵∠CDA＝∠BDA＝90°， ∴△ABD∽△CAD， AB BD ∴ ＝ . AC AD ∵∠FDB＋∠BDO＝90°，∠DBO＋∠3＝90°. ∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO， ∴∠3＝∠FDB. ∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD， BD BF AB BF ∴ ＝ ，∴ ＝ ， AD DF AC DF 即 AB∶AC＝BF∶DF. 专题突破┃ 几何推理题
A．100 米
B．50
图 33－9 200 3 3米 C. 米 3
D．50 米
专题突破┃ 几何推理题
6．[2014· 重庆 B 卷] 如图 33－10，菱形 ABCD 的对角 线 AC，BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6，以 AB 为直径作 一个半圆，则图中阴影部分的面积为 ( D )
图 33－10 25 25 25 A．25π －6 B. π －6 C. π －6 D. π －6 2 6 8
(1)连接 OD，AD，求出∠CDA＝∠BDA＝90°，推出∠1＝∠4， ∠2＝∠3，进而得到∠4＋∠3＝∠1＋∠2＝90°，根据切线的判定可 知 DE 为⊙O 的切线． (2)由∠3＋∠DBA＝90°，∠3＋∠4＝90°，根据同角的余角相 等，可得∠4＝∠DBA，又由∠CDA＝∠BDA＝ 90°，根据两角对应 相等的两个三角形相似，故可证得△ABD∽△CAD；由 OD＝OB，根 据等边对等角可知∠BDO＝∠DBO，又由∠FDB＋∠BDO＝ 90°及 ∠DBO＋∠3＝90°，根据等角的余角相等，可得∠3＝∠FDB，根据 两角对应相等的两个三角形相似，故可证得△FAD∽△FDB. AB BD (3)根据△ABD∽△CAD，推出AC＝AD，由△FAD∽△FDB，推 BD BF 出AD＝ DF，即可得出 AB∶AC＝BF∶DF.
图 33－4
专题突破┃ 几何推理题
【例题分层探究】 (1)DE 与⊙O 有什么样的位置关系？ (2)若连接 OD， AD， 如何证明△ABD∽△CAD 及△FAD∽ △FDB? (3) 根 据 △ABD∽△CAD 及 △FAD∽△FDB ， 能 推 出 AB∶AC＝BF∶DF 吗？为什么？
专题突破┃ 几何推理题
专题突破┃ 几何推理题
(1)解直角三角形时，必须知道这个直角三角形的两条边 长，或者一个锐角的度数和一条边长． (2)在△ABC 中，作 BC 边上的高线，可将三角形分割为 两个直角三角形，用解直角三角形的方法分别求出 BC 边上 两条线段的长，即可求得线段 BC 的长． (3)作过点 A 的直径， 根据“直径所对的圆周角是直角” 可构造包括线段 AC 和圆的半径的直角三角形．
专题突破┃ 几何推理题
(2)作直径 AF，连接 CF，则∠ACF＝90°. 在 Rt△ACE 中， ∵∠ACE＝60°，AE＝3， 3 AE ∴AC＝ ＝ ＝2 3. sin60° sin60° 在 Rt△AFC 中， ∵∠F＝∠D，∠D＝∠ACB＝60°，∴∠F＝60°. AC ∵sinF＝ ， AF 2 3 1 AC ∴AF＝ ＝ ＝4，∴OA＝ AF＝2， sinF sin60° 2 即⊙O 的半径为 2.
专题突破
几何推理题
几何推理题是中考必考题型，考查知识全面，综合性 强，它把几何知识与代数知识有机结合起来，渗透数形结 合思想，重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力．
专题突破┃ 几何推理题
┃考向互动探究┃ 探究一 几何计算题
例 1 [2013· 湘西 ] 如图 33－ 1， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AD 平分∠ CAB， DE⊥ AB 于 E，若 AC＝ 6， BC＝ 8， CD＝ 3. (1)求 DE 的长； (2)求△ ADB 的面积．
专题突破┃ 几何推理题
探究二
几何证明题
例 3 [2014· 陕西] 如图 33－3，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝ 90°.点 D 在边 AB 上，使 DB＝BC，过点 D 作 EF⊥AC，分别 交 AC 于点 E、CB 的延长线于点 F. 求证：AB＝BF.