高三数学累积、迭代法证明不等式

an
1 3
n 1
…………………8 分
3 1 当 n 1 时， f (a1 ) f (1) 3 2 ，不等式成立， 11 2 23 1 当 n 2 时， f (a 2 ) f ( ) 3 1 1 1 1 1 1 1 ， f (1) f ( ) f ( ) f ( ) 2 3 f ( ) 4 3 3 3 3 3 3 3 1 7 f( ) 3 3 1 7 3 1 不等式成 f (a1 ) f (a2 ) f (1) f ( ) 3 2 2 2 1 3 3 2 23
是
an an 1 1 ≤ n2 2 n 2 n 2 (n ≥ 3) ， (1 a2 )(1 a3 ) (1 an ) 2 ( a2 a2 ) 2 2
1 1 故当 n ≥ 3 时， 又因为 T1 T2 T3 ， Tn 1 1 n 2 3 ， 2 2
累积、迭代法证明不等式
用户 hxlzabcdefg@ 河南 马守林 累积、迭代法证明不等式综合性较强，高考中 一般以高档题出现，下面通过介绍等式原理、不等 式原理，并通过具体例子，介绍它的用法。
1.等式原理： bn 为等比数列， 公比为 q,求： 通项 bn 累积法： b2 b1q , b3 b2 q , b4 b3q ,……………, bn bn1q 累积 b2b3b4 bn 1bn b1b2b3 bn 1q n 1 ，既 bn b1q n 1 (n 2) ， 验证 n 1 ，成立。 迭代法： bn bn1q bn2 q 2 bn3q 3 b1q n1 。
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醉方休哇！但憨子说，不能喝醉了，喝醉了就不知道高兴了！”耿老爹说：“等着哇，给娃娃们办喜事的时候，咱哥仨一定喝 他个一醉方休！”董家成说：“好，到时候一定不醉不休！”二壮说：“耿叔，俺爹今儿个实际上已经是半醉了。你看他，都 话长了！”妞儿也说：“是啊耿叔，俺娘已经说了，一回去就给他吃几个凉梨儿醒酒呢！”耿老爹笑着说：“不至于，不至 于！”随即又问董家成：“家成哥再来家里坐坐？咱哥儿俩接着拉呱！”二壮赶快拉住他爹往家里拽，连声说：“不行不行， 俺娘真得说要给俺爹醒酒来着！”那边门里刘氏果真探出头来了，还说：“他叔哇，快叫这醉鬼回家来哇，俺已经给他洗了仨 凉梨儿了。他没有酒量，还想逞强！”郭氏笑了，说：“快让家成哥回去哇，要不二壮又要挨他娘的骂了！”耿老爹这才发现， 被二壮拽着往家里拉的董家成果真有些脚步不稳了，就对二壮说：“快扶你爹回去哇！”妞儿对站在身旁的耿兰说：“兰兰， 你不是要看俺绣的花鞋垫吗？把粉条给婶儿拿回去，你现在就来俺家看哇！”耿兰却说：“明儿个再看哇，俺今儿个想和爹和 哥哥姐姐们拉呱去呢！”妞儿拍打一下自己的嘴巴，说：“看俺这嘴，真是！耿叔，婶儿，你们快回去哇，兰兰好不容易盼回 爹和哥哥姐姐了，还有这个新哥哥！俺也回去了！”话音刚落，人就已经蹿回那边院门儿里去了。耿老爹笑着说：“这妞儿， 还像小时候一样顽皮！”郭氏说：“咱们也回家哇，你们都累了，是应该歇息歇息呢！”尚武一边进院门儿，一边好奇地对耿 兰说：“这妞儿说，我是你的新哥哥！”耿兰歪着头说：“她说得没有错，你就是俺的新哥哥啊！”尚武点点头，说：“也是， 我就是你的新哥哥！”又转头对正在虚掩院门儿的郭氏说：“义母啊，我想叫我义父和您‘爹’和‘娘’呢！这义父、义母的 多不顺口啊。您同意吗？”郭氏说：“怎么会不同意呢，当然同意啦！就和你哥哥姐姐和妹妹一样叫哇！”尚武高兴地说“娘， 太好啦！我就喜欢这样叫呢！”耿老爹拍拍尚武的肩膀对妻子说：“这娃儿老早就叫了俺三年多‘爹’了！他叫顺嘴了，俺也 听顺耳了！唉，说来话长嘞，等俺以后慢慢和你说哇！”郭氏说：“虽然俺今儿个第一次见这娃儿，可俺打心眼儿里喜欢呢！ 俺看出来了，你大概是经历了天大的磨难了。不着急的，咱以后慢慢说哇！看到你们都平安地回来了，俺这悬了快十年的心啊， 就落到肚子里啦！还有啊，俺还多了这么好的一个老儿子，高兴着呢！”尚武也说“娘猜得对，我爹是经历了天大的磨难呢。 不过啊，我爹要是没有经历那些个磨难，娘您就不可能会有我这个老儿子了！”郭氏说：“这大概就是人们常说的‘因祸得福’ 哇，那俺就该好好儿谢谢苍天了！人说苍天有眼，看来还真
（Ⅲ）证明： （累积法）由 ak 12 ak 1 1 ak 2 ≥ 2ak ，得
ak 1 1 ≤ (k 2， 3， ， n 1 ，n ≥ 3) 累积，得 1 ak 1 2ak
所以 于
a 1 ≤ n 2n (n ≥ 3) ， (1 a3 )(1 a4 ) (1 an ) 2 a2
3.应用 例 1 ： 08 安 徽 卷 21 设 数 列 an 满 足
3 a1 0, an 1 can 1 c, n N * ,其中 c 为实数。
（Ⅰ）证明：an 0,1 对任意 n N * 成立的充分必要条 件是 c 0,1 , (Ⅱ)设 0 c 1 ,证明： an 1 3c n 1 , n N * ;
n2
1 a1 1 , S n (a n 3) 2
f (1) 3
n N *
1 S n 1 (a n 1 3) 2
又由 a n S n S n1 (n 2)
数 列 {a n } 为 首 项 为
1 a n a n 1 ( n 2) 3 1，公比为 1 的等比数列， 3
，
∴
3 2 1 an c (1 an ) c (1 a )(1 a a 1 n 1 n 1 n 1 ) .
1 ∵ 0 c ，由（Ⅰ）知 an1 0,1 ，∴ 1 an 1 an21 3 且 3
1 an 0 ，
∴ 1 an 3c(1 an 1 ) (3c) 2 (1 an 2 ) (3c) n 1 (1 a1 ) (3c) n 1 ， ∴ an 1 3c n1 , n N * . 累积法：1 an 3c(1 an 1 ) ，1 an 1 3c(1 an 2 ) ，…………
1 a2 3c(1 a1 )
累积 1 an (3c) n 1 (1 a1 ) (3c) n 1 ∴ an 1 3c n 1 , n 2 ，验证对 n=1 成立 ( Ⅲ) 略
例 2： 08 浙江 22． （本题 14 分） 已知数列 an ， an ≥ 0 ，
f (a1 ) f (a 2 ) f (a k 1 )
3 1 1 3 1 2k 2 2 ( k 1 ) 2 2 3 k 1 3k 2 23
即 n k 时，不等式成立故对 n N * ，原不等式成 立。………………14 分
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1 a1 1 , S n (a n 3) 2 n N *， 3 1 f (a1 ) f (a 2 ) f (a n ) 2n 2 2 3 n 1
求证：
解： （1） f (0) 2 略 …………………3 分 （ 2 ） f ( x) 的 最 大 值 为 略 ………………6 分 （ 3 ） 由
a1 0 ， an 12 an 1 1 an 2 (n N* ) ．记： Sn a1 a2 an ，
1 1 1 ． Tn 1 a1 (1 a1 )(1 a2 ) (1 a1 )(1 a2 ) (1 an )
求证：当 n N* 时， （Ⅰ） an an1 ； （Ⅱ） Sn n 2 ； （Ⅲ） Tn 3 （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．略 （Ⅱ）证明：累加。略
3
1 ( Ⅲ ) 设 0c 3 2 2 2 a12 a 2 an n 1 ,n N * 1 3c
,
证
明
：
【解析】 （Ⅰ）略 (Ⅱ) 迭代法：设 0 c 1 ，当 n 1 时， a1 0 ，结论成
3
立； 当
n2
时
，
∵
3 an can 1 1 c
2.不等式原理：已知： bn 0, q 0 且 bn bn1q ， 求证： bn b1q n1 (n 1) 累积法： b2 b1q , b3 b2 q , b4 b3q ,……………, bn bn1q 累积 b2b3b4 bn1bn b1b2b3 bn 1q n 1 ，既 bn b1q n 1 (n 2) ， 验证 n 1 ，成立。 迭代法： bn bn 1q bn 2 q 2 bn 3q 3 b1q n1
立 假 设
n k (k 2)来自时 ， 不 等 式 成 立 。 即
3 1 f (a1 ) f (a 2 ) f (a k ) 2k 2 2 3 k 1
则 当 n k 1 时，
1 1 1 1 1 ) f ( ) 3 f ( )4 k k 1 k 1 k 1 k 1 3 3 3 3 3 1 1 1 4 1 1 1 4 f ( k 1 ) f ( k ) f ( k ) f ( k 1 ) k 1,2,3,4 , 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 4 1 1 4 4 4 f ( k ) f ( k 1 ) k 1 f ( ) k 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 2 1 k 2 k 1 2 k 3 3 3 f (a k 1 ) f (
所以 Tn 3 ．
例 3：08 株洲二检 21、 （本小题满分 14 分）已知函 数 f ( x) 的定义域为 [0,1] ，且同时满足：对任意 x [0,1] ， 总有 f ( x) 2 ， f (1) 3 ； 若 x1 0 ， x2 0 且 x1 x2 1 ， 则有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 ． （1）求 f (0) 的值； （2）试求 f ( x) 的最大值； （ 3 ） 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n ， 且 满 足