自动控制原理试卷2

RLC d 2 u 0 (t ) du 0 (t ) d 2 u i (t ) du (t ) + + = +L i L Ru ( t ) RLC 0 2 2 dt dt dt dt U 0 (s) RLCs 2 + Ls Ls ( RCs +!) = = 2 U i ( s ) RLCs + Ls + R RLCs 2 + Ls + R U 0 (s) Ls RLCs 2 + Ls Ls ( RCs +!) = = = 2 U i ( s ) R // Ls + Ls RLCs + Ls + R RLCs 2 + Ls + R
γ = 180 0 + ϕ (ω c ) = 180 0 + (−90 0 − arctg 0.5 × 10 − arctg 0.05 × 10)
= 180 0 − (90 0 − 78.7 0 − 26.6 0 ) = −15.30 < 0 0
可以判断闭环系统不稳定。 （3）由 ϕ (ω g ) = −180 0 ⇒ −90 0 − arctg 0.5ω g − arctg 0.05ω g = −180 0 ，求得 ω g = 6.32(rad / s )
由于阻尼比 0 < ξ < 1 ，所以可以判定为欠阻尼系统。 二、电网络图如下所示，其中电压 u i (t ) 为输入、电压 u 0 (t ) 为输出，试 （1）列写以 u i (t ) 为输入、 u 0 (t ) 为输出的微分方程； （2）求传递函数 G ( s) = 抗法） 。 （本题 12 分）
自动控制原理样卷 2 答案
一、基本概念题（解题过程尽量简单，每小题 6 分，共 36 分） 1．下图为是发电机端电压 U 的自动控制系统，试画出其控制框图。 解：
负载
Ur
U ab
放大器
电动机
变阻器
发电机
U
− 1、 −3， 2． 已知单位反馈系统的闭环根轨迹的起点为 0、 求其开环传递函数的极点， 并说明理由。
1 1 40 40 − )= = 2 s + 2 s + 10 ( s + 2)( s + 10) s + 12 s + 20
频率特性 G ( jω ) =
40 ( jω + 2)( jω + 10)
幅频特性： A(ω ) =
40
ω 2 + 4 ω 2 + 100
，相频特性： ϕ (ω ) = − arctg
（2）求传递函数方法一：方程两侧同时求 Laplace 变换，得到传递函数：
G (s) =
求传递函数方法二：采用电路中的复阻抗法：
G (s) =
三、已知系统的单位冲激（脉冲）响应 g (t ) = 5(e −2t − e −10t ) （t ≥ 0） ，试求该系统的传递函数 G ( s ) 和幅频函数 A(ω ) 、相频函数 ϕ (ω ) 。 （本题 12 分） 解：传递函数 G ( s ) = L[ g (t )] = 5(
K 1 1 s ( s + 1)( s + 1) 2 20
=
K s (0.5s + 1)(0.05s + 1)
由 20 lg K = 33.98 ，求得 K = 50 ，则传递函数为： G K ( s ) =
50 s (0.5s + 1)(0.05s + 1)
K ω<2 L(ω ) = 20 lg ω ， K （2） L(ω ) = 20 lg 2 < ω < 20 求得截止频率 ω c = 10(rad / s ) ， 0.5ω 2 K L(ω ) = 20 lg 0.5 × 0.05ω 3 , ω > 20 由相位稳定裕度
5．已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 GK (s) =
K(s + 1) ，试判别闭环系统的稳 s + 2s 2 + 3s + 8
3
定性（ K > 0 ） 。 解：由给定的系统开环传递函数，可以得到闭环特征方程式：
DB ( s ) = s 3 + 2 s 2 + (3 + K ) s + 8 + K = 0 ，根据 Routh 稳定判据三阶系统稳定的充分必要条件为
解：由于控制系统的闭环根轨迹起始开环传递函数的极点，所以该系统的开环传递函数极点分 别为 0、-1、-3。 3．已知控制系统的闭环传递函数为 Φ(s) =
10 ，求其主导极点并说明理由。 (s + 8)(s 2 + 2s + 2)
解：由闭环特征方程式 DB ( s ) = ( s + 8)( s 2 + 2 s + 2) = 0 ，求得闭环极点分别为 p1 = −8 、
K g (s + 2) s(s + 1)
五、某单位负反馈系统的开环传递函数为： G K (s) =
（1）画出根轨迹草图； （2）求出分离会合点； （3）求当闭环特征根为 s = −2 + j 2 时的根轨迹增益 K g 值。 （本题 15 分） 解：开环传递函数零点、极点： z1 = −2、p1 = 0、p 2 = −1 实轴上根轨迹分布： （ − 1， 0）、（ − ∞， − 2） 根轨迹草图
A(ω g ) = 50 6.32 × (0.5 × 6.32) 2 + 1 (0.05 × 6.32) 2 + 1 ≈ 2.5
幅值稳定裕度 L g = −20 lg A(ω g ) = −20 lg 2.5 = −7.95dB ，由此可见对数幅频特性沿纵轴向下平移
7.95dB 后，闭环系统刚好处于临界稳定状态。
2(3 + K ) > 8 + K ，及 K > 0 ，该闭环系统稳定的条件为 K > 2 。
6．设二阶系统的闭环传递函数为 Φ ( s ) =
10 ，求阻尼比 ξ ，并确定该系统的阻尼特性。 s + 4s + 10
2Байду номын сангаас
2 解：比照二阶系统的标准形式，有 ω n = 10 ， 2ξω n = 4 ，求得： ω n = 3.16(rad / s ) ， ξ = 0.63 ，
闭环特征方程式
DB ( s ) = K g ( s + 2) + s ( s + 1) = 0 ⇒ K g = −
dK g s ( s + 1) s 2 + 4s + 2 ⇒ =− =0 s+2 ds ( s + 2) 2
求得 s1 = −0.586，s 2 = −3.414 ，代入求得 K g1 = 0.172，K g 2 = 5.82 ，可以判断所求得的
K s + 14s + 50
2
， 若要使其闭环系统在单位阶跃信号作
用下的稳态误差 e ss = 0.83 ，求放大倍数 K 值。 解：该系统的静态位置误差系数 K p = K 50 ，由其单位阶跃信号作用下的稳态误差
ess =
1 1 = = 0.83 ，可以求得 K = 10.24 1 + K p 1 + K 50
95dB，对闭环系统的稳定性有什么影响? (本题 （3）若将开环对数幅频特性沿纵轴向下平移 7．
15 分)
L(ω )dB −20dB dec −40dB dec
33.98
0
1
2
ωc
20
−60dB dec
lgω
解： （1）由给定的开环对数频率特性（折线图） ，可以得到开环传递函数
G K ( s) =
s1 = −0.586，s 2 = −3.414 为会合分离点。
由幅值方程可以求得闭环特征根为 s = −2 + j 2 所对应的根轨迹增益：
Kg = − 2 + j 2 − 2 + j 2 +1 −2+ j 2 +2 =3
六、设某单位反馈最小相位系统的开环对数幅频特性分段渐近折线图如下所示，试 （1）求系统的开环传递函数 G K (s) ； （2）用系统的相位稳定裕度 γ 判断闭环系统的稳定性；
ω
2
− arctg
ω
10
四、求用结构图等效变换方法求下图传递函数 G ( s ) =
C (s ) R (s )
。 （本题 10 分）
G 4 ( s)
R (s ) G 1 ( s) G 2 (s)
G 3 (s)
C(s)
解：传递函数 G ( s ) =
G ( s )G 3 ( s ) + G 1 ( s )G 4 ( s ) + G 2 ( s )G 3 ( s ) + G 2 ( s )G 4 ( s ) C (s ) = 1 R (s ) 1 + G1 ( s )G 3 ( s ) + G 2 ( s )G 3 ( s )
C
U 0 ( s) （可用复阻 U i (s)
u i (t )
R
L
u 0 (t )
解： （1）设流过电感的电流为 i (t ) ，列写原始方程组 u i (t ) − u 0 (t ) i= R ，消去中间变量 i (t ) ，得到微分方程： u (t ) = L di (t ) 0 dt
p 2 = −1 + j 、 p3 = −1 − j ，根据闭环主导极点条件：极点为一对共轭复数，周围没有零点且其
它极点离开虚轴的距离是主导极点离开虚轴距离 5 倍以上，可以确定 p 2 = −1 + j 、 p3 = −1 − j 为一对主导极点。 设单位负反馈系统的开环传递函数 G K (s) = 4．