专题探究课六 高考中概率与统计问题的热点题型
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
专题探究课六 高考中概率与统计问题的热点题型
专题探究课六高考中概率与统计问题的热点题型1.(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为E(X)＝0.85a＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.2.(2016·贵州模拟)为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：(1)试判断能否有90%附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(2)随机选出6人组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X的分布列和数学期望.解(1)因为K2＝120×（15×40－35×30）250×70×45×75≈2.057，且2.057<2.706.所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关.(2)用分层抽样的方法抽取时抽取比例是645＝215，则抽取女生30×215＝4人，抽取男生15×215＝2人.依题意，X可能的取值为0，1，2.P(X＝0)＝C24C26＝615＝25；P(X＝1)＝C14C12C26＝815；P(X＝2)＝C22C26＝115.X的分布列为：X的数学期望E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝23.3.(2017·武汉调研)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择.若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：且ξ1的期望E (ξ1)＝120ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p (0<p <1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与ξ2的关系如下表所示：(1)求m ，n 的值； (2)求ξ2的分布列；(3)若E (ξ1)<E (ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p 的取值范围. 解 (1)由题意得⎩⎨⎧m ＋0.4＋n ＝1，110m ＋120×0.4＋170n ＝120，解得m ＝0.5，n ＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204， P (ξ2＝41.2)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (ξ2＝117.6)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2， P (ξ2＝204)＝p (1－p )， 所以ξ2的分布列为(3)由(2)可得E (ξ2)＝41.2p (1－p )＋117.6[p 2＋(1－p )2]＋204p (1－p )＝－10p 2＋10p ＋117.6， 由E (ξ1)<E (ξ2)，得120<－10p 2＋10p ＋117.6， 解得0.4<p <0.6，即当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6).4.(2017·长沙测试)某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分.规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立. (1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列和数学期望；(2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.解 (1)根据题意知X 的可能取值为0，2，3，4，5，7， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝16，P (X ＝2)＝C 12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝13，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝112，P (X ＝4)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12＝16，P (X ＝5)＝C 12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13＝16，P (X ＝7)＝12×13×12＝112， ∴教师甲投篮得分X 的分布列为E (X )＝0×16＋2×13＋3×112＋4×16＋5×16＋7×112＝3.(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形.这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112＝1948.5.(2017·广州调研)如图，李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.解 (1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A ，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况，所以P (A )＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意，X 的可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝110，P (X ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920. 所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，则随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， 所以E (Y )＝3×12＝32，所以E(X)<E(Y)，所以应选择L2路线上班.6.(2017·成都诊断)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)·P(Y＝1)＋P(Y＝2)·P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)法一X所有可能的取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2法二X所有可能的取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2。
高考数学总复习 专题六 概率与统计 理
【互动探究】
2．(2014 年广东珠海二模)A，B 两个投资项目的利润率分
别为随机变量x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：
x1
5%
10%
P
0.8
0.2
x2
2%
8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资 项目A和B所获得的利润(单位：万元)，求方差D(y1)，D(y2)；
例2：(2014年山东)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部
分，如图6-3，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两
个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来
球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记
1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的
落点在C上的概率为
＝10402[x2＋3(100－x)2] ＝10402(4x2－600x＋3×1002)． 当x＝26×004＝75时，f(x)＝3为最小值．
题型 3 线性回归分析
例 3：(2012 届广东珠海摸底)一商场对每天进店人数和商 品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
人数xi 10 15 20
件数yi
4
7 12
其中 i＝1,2,3,4,5,6,7.
25 30 35 40 15 20 23 27
(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，在
图 6-4 中画出其散点图；
(2)求回归直线方程(结果保留到小数点后两位)；
7
7
(参考数据： xi yi ＝3245， x ＝25， y ＝15.43， xi2 ＝
P(X＝3)＝CC313220＝5117. 故X的分布列为
2020版高考大题增分课6概率与统计中的高考热点问题
【例 1】 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去
50 周的资料显示，该基地周光照量 X (单位：小时 )都
在 30 小时以上， 其中不足 50 小时的有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的有 35 周，超过 70 小时的有 10 周．根据统计，
该基地的西红柿增加量 y(单位：千克 )与使用某种液体肥料的质量 x(单位：千克 )之间的对应数据如图所示．
＝ － 1 2＋02＋ 02＋ 02＋ 12 ＝ 2 5× 2＝ 0.9≈0.95.
因为 |r |＞0.75，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．
(2)由条件可得在过去 50 周里， 当 X＞70 时，共有 10 周，此时只有 1 台光照控制仪运行， 每周的周总利润为 1×3 000－2×1 000＝1 000(元 )． 当 50≤ X≤70 时，共有 35 周，此时有 2 台光照控制仪运行， 每周的周总利润为 2×3 000－1×1 000＝5 000(元 )． 当 30＜ X＜50 时，共有 5 周，此时 3 台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为 3×3 000＝9 000(元 )． 所以过去 50 周的周总利润的平均值为 1 000×10 ＋5 000 ×35＋9 000×5＝ 4 600(元 )，
3． 离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新 颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
统计与统计案例
以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率
分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力．
2
(2)完成 2×2 列联表如下表所示：
高考解答题专项六 概率与统计
题专项六
概率与统计
考情分析
从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计
与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数
字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分
布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方
法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列
∑
i=1
2
2 -
,a=-b.
②线性相关系数 r=
∑ -
=1
.一般地,相关系数 r 的绝对值在 0.95
2 2
2
2
( ∑ - )( ∑ - )
=1
=1
以上(含 0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.
5
5
=1
=1
2
=1
=
800
80×9 000
=
2 2
3
≈0.94.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分
层抽样.
理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正
相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数
量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的
=
1
10
×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
12
=
1
10
×[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10.0-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+
2024高考数学概率与统计历年题目大盘点
2024高考数学概率与统计历年题目大盘点概率与统计作为高中数学的重要内容之一，一直以来都是高考中的必考内容。
掌握好概率与统计的理论知识，并通过做题来加深对知识点的理解和应用能力的培养，对于顺利应对高考数学考试至关重要。
本文将通过对2024年高考数学概率与统计部分的历年题目进行大盘点，帮助同学们更好地掌握和复习这一知识点。
一、选择题1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) = kx^2，其中0<x<1，求k的值。
2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) = cx(1-x)，其中0<x<1，求c的值。
3. 已知事件A发生的概率为P(A) = 0.4，事件B发生的概率为P(B) = 0.5，事件A与事件B独立，求事件A与事件B同时发生的概率P(A∩B)。
4. 写出使得事件A、B、C相互独立的随机试验的条件。
5. 已知事件A发生的概率为P(A) = 0.3，事件B发生的概率为P(B) = 0.4，事件A与事件B互斥，求事件"A或B发生"的概率P(A∪B)。
6. 已知事件A发生的概率为P(A) = 0.3，事件B发生的概率为P(B) = 0.4，且P(A∪B) = 0.6，求事件"A与B互斥"的概率P(A∩B)。
7. 一批产品共100个，其中有4个次品。
从中任意取出5个，求取出的样本中有2个次品的概率。
8. 已知事件A、B独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，求P(A∪B)与P(A∩B)。
二、计算题1. 某汽车4个月出事故的概率为0.01，问8个月中出事故至少2次的概率是多少？2. 某商品的销售量服从正态分布N(400,100)，求销售量大于380的概率。
3. 某座城市的某个月的降水量服从正态分布N(150,25)，求该月降水量大于200的概率。
4. 某厂生产的电视机寿命服从正态分布N(1000,100^2)，求电视机寿命小于900的概率。
高考大题专项六 高考中的概率、统计与统计案例
高考大题专项六高考中的概率、统计与统计案例从近五年的高考试题来看,在高考的解答题中,对概率、统计与统计案例的考查主要有三个方面:一是统计与统计案例,以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计、判断,其中回归分析、独立性检验、用样本的数据特征估计总体的数据特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生的数据处理能力;二是统计与概率综合,以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;三是古典概型的综合应用,以现实生活为背景,求某些事件发生的概率,常与抽样方法、茎叶图等统计知识交汇考查.1.统计图表(1)在频率分布直方图中:①各小矩形的面积表示相应各组的频率,各小矩形的高=频率组距;②各小矩形面积之和等于1.(2)茎叶图:当数据是两位数时,用中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数;当数据是三位数,前两位相对比较集中时,常以前两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推).2.样本的数字特征(1)众数:是指出现次数最多的数,体现在频率分布直方图中,是指高度最高的小矩形的宽的中点的横坐标;(2)中位数是指从左往右小矩形的面积之和为0.5处的横坐标;(3)平均数x=1n (x1+x2+…+x n),体现在频率分布直方图中是由各小矩形的宽的中点的横坐标乘相应小矩形的面积,然后求和得到;(4)方差s2=1n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n-x)2]=1n∑i=1nx i2-nx2.4.独立性检验:对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X 和Y,其样本频数列联表是:5.概率的基本性质(1)随机事件的概率:0≤P(A)≤1;必然事件的概率是1;不可能事件的概率是0.(2)若事件A,B 互斥,则P(A ∪B)=P(A)+P(B). (3)若事件A,B 对立,则P(A ∪B)=P(A)+P(B)=1. 6.两种常见的概率模型 (1)古典概型;(2)几何概型.3.变量间的相关关系(1)如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近,那么我们说变量x 和y 具有线性相关关系.(2)线性回归方程:若变量x 与y 具有线性相关关系,有n 个样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),则回归方程为y ^=b ^x+a ^,其中b ^=∑i =1nx i y i -nx y ∑i =1nx i 2-nx2,a ^=y −b ^x .(3)相关系数:r=∑i =1n(x i -x )(y i -y )∑i =1(x i -x )2∑i =1(y i -y )2,当r>0时,表示两个变量正相关;当r<0时,表示两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个变量相关性越强;当|r|接近0时,表明两个变量几乎不存在相关性.y 1 y 2 总计 x 1 a b a+b x 2 c d c+d 总计a+cb+dn随机变量K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ),其中n=a+b+c+d.1.(2019届河北唐山摸底考试,18)某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件,尺寸在[223,228]内(单位:mm)的零件为一等品,其余为二等品.在两种工艺生产的零件中,各随机抽取10个,其尺寸的茎叶图如图所示:(1)分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数;(2)已知甲工艺每天可生产300个零件,乙工艺每天可生产280个零件,一等品利润为30元/个,二等品利润为20元/个.视频率为概率,试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高?2.我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(单位:吨),用水量不超过x 的部分按平价收费,超过x 的部分按议价收费,为了了解全市市民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值;(2)已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(单位:吨),估计x 的值,并说明理由.3.(2019:(1)根据表中数据,建立y 关于t 的线性回归方程y ^=b ^t+a ^; (2)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.附:对于一组数据(t 1,y 1),(t 2,y 2),…,(t n ,y n ),其回归直线y=bt+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(t i -t )(y i -y )∑i=1n(t i-t )2,a ^=y −b ^t .(参考数据:∑i=16(t i -t )(y i -y )=2.8,计算结果保留小数点后两位)4.为响应阳光体育运动的号召,某县中学生足球活动正如火如荼地开展,该县为了解本县中学生的足球运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全县24 000名中学生(其中男生14 000人,女生10 000人)中抽取120名,统计他们平均每天足球运动的时间,如下表:(平均每天足球运动的时间单位为小时,该县中学生平均每天足球运动的时间范围是[0,3])(1)请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间(结果精确到0.1);(2)若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”.低于2小时的学生为“非足球健将”.①请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断,能否在犯错误的概率不超过0.01②若在足球活动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况,求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率. 参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d.5.(2019届湖南长沙雅礼中学一模,19)某校决定为本校上学所需时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务.为了解学生上学所需时间,从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间(单位:分钟),将600人随机编号为001,002,…,600,抽取的50名学生上学所需时间均不超过60分钟,将上学所需时间按如下方式分成六组,第一组上学所需时间在[0,10),第二组上学所需时间在[10,20),…,第六组上学所需时间在[50,60],得到各组人数的频率分布直方图,如下图:(1)若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到,且第一个抽取的号码为006,则第五个抽取的号码是多少?(2)若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人,设他们上学所需时间分别为a 、b,求满足|a-b|>10的事件的概率;(3)设学校配备的校车每辆可搭载40名学生,请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车?6.在国际风帆比赛中,成绩以低分为优胜,比赛共11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次.在一次(1)根据表中的比赛数据,比较A与B的成绩及稳定情况;(2)从前7场平均分低于6.5的运动员中,随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查,求至少1个运动员平均分不低于5分的概率;(3)请依据前7场比赛的数据,预测冠亚军选手,并说明理由.7.(2019届四川成都石室中学入学考试,19)某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位:件)进行了统计,制成频率分布直方图如下:(1)若将上述频率视为概率,已知该服装店过去100天的销售中,实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24,求过去100天的销售中,实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数;(2)若将上述频率视为概率,已知该服装店实体店每天的人工成本为500元,门市成本为1 200元,每售出一件利润为50元,求该门市一天获利不低于800元的概率;(3)根据销售量的频率分布直方图,求该服装店网店销售量中位数的估计值(精确到0.01).8.(2019届贵州铜仁一中一联,19)贵州省铜仁第一中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动.现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者中选拔出节目主持人,现按身高分组,得到的频率分布表如图所示.(1)请补充频率分布表中空白位置相应数据,再完成下列频率分布直方图;(2)为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?(3)在(2)的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率.9.(2018宁夏银川一中二模,19)某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每千克20元,成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每千克损失3元.根据以往的销售情况,按[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500]进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数x(同一组中的数据用该组区间中点值代表);(2)该经销商某天购进了300千克这种鲜鱼,假设当天的需求量为x千克(0≤x≤500),利润为Y元.求Y 关于x的函数关系式,并结合频率分布直方图估计利润Y不小于700元的概率.高考大题专项六 高考中的概率、统计与统计案例1.解 (1)x 甲=110(217+218+222+225+226+227+228+231+233+234)=226.1;x 乙=110(218+219+221+224+224+225+226+228+230+232)=224.7. (2)由抽取的样本可知,应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25,二等品的概率为35,故采用甲工艺生产该零件每天获得的利润:w 甲=300×25×30+300×35×20=7 200元;应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12,故采用乙工艺生产该零件每天获得的利润:w 乙=280×12×30+280×12×20=7 000元. 因为w 甲>w 乙,所以采用甲工艺生产该零件每天获得的利润更高.2.解 (1)由频率分布直方图,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.30.(2)由频率分布直方图可知,100位居民每人月用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,由以上样本频率分布,可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12=96 000.(3)∵前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85, 而前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85,∴2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9,因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准. 3.解 (1)由题意可知:t =1+2+3+4+5+66=3.5, y =6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.46=7,∑i=16(t i -t )2=(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5,∴b ^=∑i=16(t i -t )(y i -y )∑i=16(t i -t )2=2.817.5=0.16. 又a ^=y −b ^t =7-0.16×3.5=6.44,∴y 关于t 的线性回归方程为y ^=0.16t+6.44.(2)由(1)可得,当年份为2019年时,年份代码t=8,此时y ^=0.16×8+6.44=7.72,所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.4.解 (1)∵男生抽取的人数为120×14 00014 000+10 000=70,女生抽取人数为120-70=50, ∴x=5,y=2,∴该校男生平均每天足球运动的时间约为0.25×2+0.75×3+1.25×28+1.75×22+2.25×10+2.75×570≈1.6(小时).(2)①由表格可知∴K 2的观测值k=120×(15×45-5×55)220×100×50×70≈2.743>2.706,∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否为“足球健将”与性别有关;②记不足半小时的两人为a,b,足球运动时间在[0.5,1)内的3人为1,2,3,则总的基本事件有10个,取2名代表都是足球运动时间不足半小时的是(ab),故所求概率为110.5.解 (1)600÷50=12,第一段的号码为006,第五段抽取的数是6+(5-1)×12=54,即第五段抽取的号码是054. (2)第四组人数=0.008×10×50=4,设这4人分别为A 、B 、C 、D, 第六组人数=0.004×10×50=2,设这2人分别为x,y, 随机抽取2人的可能情况是:AB AC AD BC BD CD xy Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy, 一共有15种情况,其中他们上学所需时间满足|a-b|>10的情况有8种,所以满足|a-b|>10的事件的概率为815.(3)全校上学所需时间不少于30分钟的学生约有: 600×(0.008+0.008+0.004)×10=120人, 所以估计全校需要3辆校车.6.解 (1)由表格中的数据,我们可以分别求出运动员A 和B 前7场比赛积分的平均数和方差,作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据.运动员A 的平均分x 1=17×21=3,方差s 12=17[(3-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(6-3)2]=2;运动员B 的平均分x 2=17×28=4,方差s 22=17[(1-4)2+(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(10-4)2+(4-4)2+(4-4)2]=8,从平均分和积分的方差来看,运动员A 的平均积分及积分的方差都比运动员B 的小, 也就是说,在前7场比赛过程中,运动员A 的成绩较为优秀,且表现也较为稳定.(2)表中平均分低于6.5分的运动员共有5个,其中平均分低于5分的运动员有3个, 平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有2个,从这5个数据中任取2个,基本事件总数n=10,从3个运动员中任取2人的事件数为3,至少1个运动员平均分不低于5分的对立事件是取到的两人的平均分都低于5分,所以至少1个运动员平均分不低于5分的概率P=1-310=710.(3)尽管此时还有4场比赛没有进行,但这里我们可以假设每位运动员在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同,因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本,并由此估计每位运动员最后的成绩,从已结束的7场比赛的积分来看,运动员A 的成绩最为出色,而且表现最为稳定,故预测A 运动员获得最后的冠军,而运动员B 和C 平均分相同,但运动员C 得分整体呈下降趋势,所以预测运动员C 将获得亚军.7.解 (1)由题意,网店销售量不低于50件共有(0.068+0.046+0.010+0.008)×5×100=66(天),实体店销售量不低于50件的天数为(0.032+0.020+0.012×2)×5×100=38(天),实体店和网店销售量都不低于50件的天数为100×0.24=24(天),故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66+38-24=80(天).(2)由题意,设该实体店一天售出x 件,则获利为50x-1 700≥800⇒x ≥50. 设该实体店一天获利不低于800元为事件A,则P(A)=P(x ≥50)=(0.032+0.020+0.012+0.012)×5=0.38. 故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.(3)因为网店销售量频率分布直方图中,销售量低于50件的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,销售量低于55件的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5, 故网店销售量的中位数的估计值为 50+0.5-0.340.34×5≈52.35(件). 8.解 (1)第二组的频数为100×0.35=35,故第三组的频数为100-5-35-20-10=30,故第三组的频率为0.3,第五组的频率为0.1,补全后的频率分布表为:频率分布直方图为:频率分布直方图(2)第3组、第4组、第5组的频率之比为3∶2∶1,故第3组、第4组、第5组抽取的人数分别为3,2,1.(3)设第3组中抽取的三人为A 1,A 2,A 3,第4组中抽取的两人为B 1,B 2,第5组中抽取的一人为C,则6人中任意抽取2人,所有的基本事件如下:A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2,A 1C,A 2C,A 3C,B 1C,B 2C,故第3组中至少有1人被抽取的概率为1215=45. 9.解 (1)x=50×0.001 0×100+150×0.002 0×100+250×0.003 0×100+350×0.002 5×100+450×0.001 5×100=265.(2)当日需求量不低于300千克时,利润Y=(20-15)×300=1 500(元); 当日需求量不足300千克时,利润Y=(20-15)x-(300-x)×3=8x-900(元);故Y={8x -900,0≤x <300,1 500,300≤x <500.由Y ≥700,得200≤x ≤500,所以P(Y ≥700)=P(200≤x ≤500) =0.003 0×100+0.002 5×100+0.001 5×100=0.7.。
18版：[专题探究课六] 高考中概率与统计问题的热点题型（创新设计）
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解 依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去 参加乙游戏的概率为23. 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i＝0，1，2， 3，4).则 P(Ai)＝Ci413i234－i. (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C24132232＝287.
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.10 分
故 X 的分布列为
X2
3
4
5
P
5 9
2 9
10
8
81 81
11分
E(X)＝2×59＋3×29＋4×1801＋5×881＝28214.12 分
❶得步骤分：这是得分点的步骤，有则给分，无则没分，步步 为“赢”，求得满分. 如第(1)问，引进字母表示事件，用文字叙述正确，得2分； 把事件拆分成A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得2分，计算 概率值正确，得1分.第(2)问求出X的四个值的概率，每对一 个得1分；列出随机变量X的分布列得1分.
满分解答 解 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”， Ak 表示“第 k 局甲获胜”，Bk 表示“第 k 局乙获胜”，则 P(Ak) ＝23，P(Bk)＝13，k＝1，2，3，4，5.2 分 (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)· P(A3)P(A4) ＝232＋13×232＋23×13×232＝5861.5 分
【例 2】 (满分 12 分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两 局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜 局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概 率为13，各局比赛结果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值 (数学期望).
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热点一 统计与统计案例(教材VS高考)
解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
－
t ＝4， ∑ (ti－ t ) ＝28，
7
7
－
2
i＝1
i＝1
∑ (ti－ t )(yi－ y )＝ ∑ tiyi－ t ∑ yi
i＝1 i＝1
－
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i＝1
∑ （yi－ y ） ＝0.55.
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专题探究课六 高考中概率与统计问题的热点题型
01
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02
热点一
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CONTENTS
统计与统计案例(教材 VS高考)
例1 训练1
03
热点二
实际问题中的概率计算 例2 训练2
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04
热点三
概率与统计的综合问 题(规范解答)
例3 训练3
1
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1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高 的思维含量． 该类问题以应用题为载体， 注重考查学生的应用意识及阅读理解能 力、 分类讨论与化归转化能力； 2.概率问题的核心是概率计算， 其中事件的互斥、 对立是概率计算的核心． 统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法， 重点是 频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征．统计与概率内容相互渗透，背景新 颖．
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(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回 归方程；(4)如果某天的气温是 2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数． 2．(1)考题以形求数，教材是由数到形再到数；(2)考题与教材都是“看图说话，回归分析
－
2
b＝
^
i＝1
∑ （ti－ t ）（yi－y）
i＝1
7－－来自∑ （ti－ t ）2
7
－
＝40.17－4× 9.32＝2.89， 2.89 r≈ ≈0.99. 2× 2.646× 0.55 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，
= ≈0.103 ������������ ^ a ＝y－^ b t≈1.331－0.103×4≈0.92.
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归方程得^ y ＝0.92＋0.10× 9＝1.82. 所以预测 2016 年我国生活垃圾
无害化处理量将约为 1.82 亿吨．
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教材探源
1.本题源于教材(必修 3P90 例)有一个同学家开了一个小卖部，他为了
研究气温对热饮销售的影响， 经过统计， 得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃ －5 0 热饮杯数 4 7 12 15 19 23 27 31 36
������.������������
所以 y 关于 t 的回归方程为 ^ y ＝0.92＋0.10t. 将 2016 年对应的 t＝9 代入回
说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可 以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系． 9.32 (2)由������＝ ≈1.331 及(1)得 7
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热点一 统计与统计案例(教材VS高考)
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x－3s，x＋3s)之外的零件，就认为这条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ ②在( x －3s， x ＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产 的零件尺寸的均值与标准差(精确到 0.01)． 附：样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数 r＝ 0.008≈0.09.
从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次 抽取的 16 个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 1 16 1 16 1 16 2 － － －2 2 经 计 算 得 x ＝ i∑ x ＝ 9.97 ， s ＝ ∑ （xi－x） ＝ （ ∑ x －16x ） ≈0.212 ， 16 ＝1 i 16i＝1 16 i＝1 i ∑ （i－8.5） ≈18.439， ∑ (xi－x)(i－8.5)＝－2.78， 其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i＝ 1 i＝ 1 i＝1，2，…，16. (1)求(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸 不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过 程的进行而系统地变大或变小).
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热点一 统计与统计案例(教材VS高考)
以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，通过对相关数据的统计分析、抽象概 括，作出估计、判断．常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交 汇考查，考查学生的数据处理能力与运算能力及应用意识．
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解 (1)由样本数据得(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数
x ）（i－8.5） （xi－－
预测”，但考题中以具体数字(相关系数)说明拟合效果，突显数学直观性与推理论证的巧 妙融合，进一步考查考生的数据处理能力与运算能力及应用意识，源于教材，高于教材．
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[训练 1] (2017· 全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每隔 30 min
[例 1] (2016· 全国Ⅲ卷)如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位： 亿吨)
的折线图． 注：年份代码 1～7 分别对应年份 2008～2014. (1) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； (2) 建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)， 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量．