2006-2009年考研数学三真题及解析
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一 填空 (1)()11l i m _________nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2) 设函数()x 2f x =在的某领域内可导,且()()(),21f xf x e f '==,则()2_________f '''=(3) 设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224Z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2_________dz =(4) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵E 满足BA=B+2E,则_________B = (5) 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则(){}max ,1_________P X Y ≤=(6) 设总体X 的概率密度为()()121,,, (2)xn f x e x x x x -=-∞<<+∞为总体的简单随机样本,其样本方差2S ,则E 2S =__________二 选择题(7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()()0,0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点0x 处的增量,y dy ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则 ( )(A)0dy v <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<< (D)0dy y <∆<(8) 设函数()f x 在x=0处连续,且()22lim1n f n n →=,则(A)()()'000f f -=且存在 (B)()()'010f f -=且存在 (C)()()'000f f +=且存在 (D)()()'010f f +=且存在(9) 若级数1nn a∞=∑收敛,则级数 ( )(A)1nn a∞=∑收敛(B)()11nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10) 设非齐次线性微分方程()()x x y P y Q '+=有两个的解()()12,,y x y x C 为任意常数,则该方程通解是: (A)()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦收敛 (B)()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦收敛 (C)()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦收敛 (D)()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦收敛(11) 设()(),,f x y x y ϕ与均为可微函数,且(),0y x y ϕ'≠,已知()00,x y 是(),f x y 在约束条件(),0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是 ( )(A) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''==则 (B) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''=≠则 (C) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''≠=则 (D) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''≠≠则(12) 设125,,......∂∂∂,均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列正确的是 ( ) (A) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (B) 若125,,......∂∂∂相关,则125,......A A A ∂∂∂无关 (C) 若125,,......∂∂∂无关,则,......A A A ∂∂∂相关(D) 若125,,......∂∂∂无关,则125,......A A A ∂∂∂无关(13) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B,再将B 得第一列得-1倍加到第2列得C,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A) 1C P AP -= (B) 1C PAP -= (C) T C P AP = (D)T C PAP =(14) 设随机变量X 服从正态分布()211,N μσ,随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<,则必有 ( )(A)12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D)12μμ>三 解答题(15) 设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=(Ⅱ) ()0lim x g x +→ (16) 计算二重积分2Dy xydxdy -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===,所围成的平面区域.(17) 证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时.(18) 在XOY 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0,M 其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线低斜率与直线OP 的斜率之差等于(>0)ax a 常数(Ⅰ) 求L 的方程:(Ⅱ) 当L 与直线y=ax 所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19) 求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .(20) 设4维向量组()()()1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,TTTa a a ∂=+∂=+∂=+ ()44,4,4,4Ta ∂=+问a 为何值时1234,,,∂∂∂∂线性相关?当1234,,,∂∂∂∂线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21) 设3 阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组Ax=0的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得T Q AQ A =; (Ⅲ)求A 及63()2A E -,其中E 为3阶单位矩阵. (22) 设随机变量X 的概率密度为()1,1021,02,40,x x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它()2,,Y X F X Y =令为二维随机变量(),X Y 的分布函数,求:(Ⅰ) Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ) ()cov ,X Y (Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭(23) 设总体X 的概率密度为(),01,1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它,其中θ是未知参数()1201,,,......n X X X θ<<为来自总体的随机样本,记N 为样本值12,,......n X X X 中小于1的个数,求:(Ⅰ) θ的矩估计;(Ⅱ) θ的最大似然估计.线代(4) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|= .-1 2解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得|B||A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.(12)设α1,α2,…,αs都是n维向量，A是m⨯n矩阵，则（）成立.(A) 若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.(C) 若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.(D) 若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,c s使得c1α1+c2α2+…+c sαs=0,用A左乘等式两边,得c1Aα1+c2Aα2+…+c s Aαs=0,于是Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s.2. r(AB)≤ r(B).矩阵(Aα1,Aα2,…,Aαs)=A( α1, α2,…,αs ),因此r(Aα1,Aα2,…,Aαs)≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(13)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0P= 0 1 0 ,则0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.(C) C=P T AP. (D) C=PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA,1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.0 0 1(20) 设 α1=(1+a,1,1,1),α2=(2,2+a,2,2), α3=(3,3+a,3,3), α4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时α1,α2,α3,α4线性相关?在时α1,α2,α3,α4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.解:α1,α2,α3,α4线性相关,即行列式|α1,α2, α3, α4|=0,而|α1,α2, α3, α4|=a3(a+10),于是当a=0或-10时α1,α2, α3, α4线性相关.a=0时, α1是α1,α2, α3, α4的极大无关组, α2=2α1, α3=3α1, α4=4α1.a=-10时,-9 2 3 4 -10 0 0 10 1 0 0 -1(α1,α2,α3,α4)= 1 -8 3 4 →0 -10 0 10 →0 1 0 -1 .1 2 -7 4 0 0 -10 10 0 0 1 -11 2 3 –6 1 2 3 -6 0 0 0 0则α1,α2,α3是α1,α2, α3, α4的极大无关组, α4=-α1-α2-α3.(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.Q T AQ =Λ.③ 求A 及[A -(3/2)E ]6 .解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0 Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0③ 1 -1 0 3 0 0 1 1 1A 1 -2 -1 = 3 0 0 ,解此矩阵方程,得A = 1 1 1 .1 -1 1 3 0 0 1 1 1(A -23E )2= A 2-3A +49E =49E , (A -23E )6=64729E .概率（5）91 （6）2（14）A（22）随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,的分布函数。
2009年数学三真题答案解析
lim e(1 cos x)
x0
1 x2
e 1 x2
lim x0
2 1 x2
3e. 2
3
3
（10）设 z (x e y )x ，则 z
.
x (1,0)
【答案】 2 ln 2 1 .
【解析】由 z x e y x ，故 z x, 0 x 1x
dz dx
x
1x
'
e xln(1x)
O
6
O 1 A A
1 B
B
O
O
6
1 2
A
1 B 3 O
O 3 A
2B
O
故答案为(B).
1 0 0
（6）设
A,
P
均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
PT
AP
0
1
0
，
0 0 2
若 P (1,2,3),Q (1 2,2,3) ，则 QT AQ 为
2 1 0
(A)
1
1
0
(C)
2
B*
. O
O 2A*
(D)
3B*
. O
【答案】B.
【解析】根据 CC C E ，若 C C C 1,C 1 1 C C
O
分块矩阵
B
A
O
O
的行列式
B
A （1）22 A B 2 3 6 ，即分块矩阵可逆 O
-3-
O
B
A
O
O B
A O
O
B
A1
O
6
O A1
B
1
lim x0
年考研数学三真题
(1,2) - ⎪→ - - + +收敛 . （B ）∑(-1) a ∞2006年全国硕士研究生入学考试数学三试题与解析一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. ⎛ n +1⎫(-1)n（1） lim⎪= .n →∞⎝ n ⎭（2）设函数 f (x ) 在 x = 2 的某邻域内可导,且 f '(x ) = ef (x )， f (2) = 1 ，则 f '''(2) = .（3）设函数 f (u ) 可微,且 f '(0) = 1,则 z = 2f (4x 2 - y 2 )在点(1,2)处的全微分d z=.（4）设矩阵 A = ⎛ 2 1 ⎫， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA = B + 2E ，则 B ⎝ ⎭= .（5）设随机变量 X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则 P {max {X ,Y } ≤ 1}= .（6）设总体 X 的概率密度为 f (x ) = 1 e - x (-∞ < x < +∞), X , X ,为总体 X 的简单随机样本，其 21 2样本方差为 S 2 ，则 ES 2= .二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数 y = f (x ) 具有二阶导数，且 f '(x ) > 0, f '(x ) > 0 ，∆x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，∆y 与d y 分别为 f (x ) 在点 x 0 处对应的增量与微分，若∆x > 0 ，则(A) 0 < d y < ∆y .(B) 0 < ∆y < d y .(C) ∆y < d y < 0 .(D) d y < ∆y < 0 f (h 2 ).[]（8）设函数 f (x ) 在 x = 0 处连续，且lim h 0 h 2= 1，则(A)f (0) = 0且f ' (0)存在 (B) f (0) = 1且f ' (0)存在(C) f (0) = 0且f ' (0)存在 (D) f (0) = 1且f ' (0)存在 [ ]（9）若级数∑an 收敛，则级数n =1(A)∑ ann =1∞nnn =1收敛.∞ , X n⎪ ⎝ ⎭(C)∑a n an +1 收敛.(D) n =1∑ n =1a n + a n +1 2收敛. [ ]（10）设非齐次线性微分方程 y ' + P (x ) y = Q (x ) 有两个不同的解 y 1 (x ), y 2 (x ),C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ） C [y 1 (x ) - y 2 (x )].（Ｂ） y 1 (x ) + C [y 1 (x ) - y 2 (x )].（Ｃ） C [y 1 (x ) + y 2 (x )].（Ｄ） y 1 (x ) + C [y 1 (x ) + y 2 (x )][]（11）设 f (x , y )与ϕ (x , y ) 均为可微函数，且ϕy '(x , y ) ≠ 0 ，已知(x 0 , y 0 ) 是 f (x , y ) 在约束条件ϕ(x , y ) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若 f '(x , y ) = 0 ，则 f '(x , y ) = 0 .x0 0 y 0 0(B) 若 f '(x , y ) = 0 ，则 f '(x , y ) ≠ 0 .x0 0 y 0 0(C) 若 f '(x , y ) ≠ 0 ，则 f '(x , y ) = 0 .x0 0 y 0 0(D) 若 f '(x , y ) ≠ 0 ，则 f '(x , y ) ≠ 0 .[ ]x0 0 y 0 0（12）设α1,α2 , ,αs 均为n 维列向量， A 为 m ⨯ n 矩阵，下列选项正确的是(A) 若α1,α2 , ,αs 线性相关，则 A α1, A α2 , , A αs 线性相关. (B) 若α1,α2 , ,αs 线性相关，则 A α1, A α2 , , A αs 线性无关. (C) 若α1,α2 , ,αs 线性无关，则 A α1, A α2 , , A αs 线性相关. (D) 若α1,α2 , ,αs 线性无关，则 A α1, A α2 , , A αs 线性无关.[]（13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的-1倍加到第 2 列得C ，记⎛ 1 1 0⎫P = 0 1 0⎪ ，则0 0 1 ⎪ （Ａ） C = P -1AP .（Ｂ） C = PAP -1.（Ｃ） C = P TAP .（Ｄ） C = PAP T.［ ］（14）设随机变量 X 服从正态分布 N (μ ,σ 2) ， Y 服从正态分布 N (μ ,σ 2) ，且1122P { X - μ1 < 1}> P {Y - μ2 < 1}∞ ∞( ) 1 2 3 4 则必有(A)(C)σ1 < σ 2 μ1 < μ2(B)(D)σ1 > σ 2 μ1 > μ2[]三 、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 7 分）设 f (x , y ) =y1+ xy1- y sinπ x- y arctan x, x > 0, y > 0 ,求(Ⅰ)(Ⅱ) g x = limy →+∞lim g (x ). x →0+f (x , y ) ；（16）（本题满分 7 分）计算二重积分⎰⎰Dx d y ，其中 D 是由直线 y = x , y = 1, x = 0 所围成的平面区域.（17）（本题满分 10 分）证明：当0 < a < b < π 时，b sin b + 2cos b +πb > a sin a + 2cos a +π a .（18）（本题满分 8 分）在 xO y 坐标平面上，连续曲线L 过点 M (1, 0)，其上任意点 P (x , y )(x ≠ 0) 处的切线斜率与直线OP 的 斜率之差等于ax （常数a >0 ）.(Ⅰ) 求 L 的方程；(Ⅱ) 当 L 与直线 y = ax 所围成平面图形的面积为 8时，确定a 的值.3（19）（本题满分 10 分）求幂级数∑n =1 (-1)n -1x 2n +1 n (2n -1)的收敛域及和函数 s (x ) . （20）（本题满分 13 分）设 4 维向量组α = (1+ a ,1,1,1)T,α = (2, 2 + a , 2, 2)T,α = (3,3, 3 + a , 3)T,α = (4 , 4 , 4 +, 4a )T，问 a 为何值时α1,α2 ,α3 ,α4 线性相关?当α1,α2 ,α3 ,α4 线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量 用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分 13 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量α1 = (-1, 2, -1)T,α2 = (0, -1,1)T是线性方程组Ax = 0的两个解.(Ⅰ)求 A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ ,使得Q TAQ =Λ ；∞2 ⎪ 1⎨1 ⎩⎛3 ⎫6（Ⅲ）求A 及 A - E ⎪ ⎝⎭ （22）（本题满分 13 分），其中 E 为 3 阶单位矩阵. 设随机变量 X 的概率密度为⎧ 1, -1 < x < 0 2 ⎪ f X (x ) = ⎨ ⎪ 4⎪0, ⎪⎩, 0 ≤ x < 2 ，其他 令Y = X 2 , F (x , y )为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度 f Y ( y )； (Ⅱ) Cov( X ,Y ) ； (Ⅲ) F ⎛ - 1 ,4 ⎫.2 ⎪ ⎝ ⎭（23）（本题满分 13 分）设总体 X 的概率密度为⎧θ , 0 < x < 1, f (x ;θ ) = ⎪-θ ,1 ≤ x < 2,⎪0, 其他,其中θ 是未知参数(0 < θ < 1) ， X 1, X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x 1, x 2 ..., x n 中小于 1 的个数.（Ⅰ）求θ 的矩估计； （Ⅱ）求θ 的最大似然估计∂z ∂y ⎪⎥2006 年考研数学（三）真题解析二、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. ⎛ n +1⎫(-1)n（1） lim⎪= 1.n →∞⎝ n ⎭【分析】将其对数恒等化 N = eln N求解.⎛ n +1⎫(-1)n ⎛ n +1⎫( -1)n ln ⎪lim (-1)nln ⎛ n +1⎫ 【详解】lim ⎪ = lim e ⎝ n ⎭ = e n →∞ ⎝ n ⎭ ， n →∞ ⎝ n ⎭n →∞而数列{(-1)n}有界， lim ln ⎛ n +1⎫ = 0 ，所以lim(-1)n ln ⎛ n +1⎫ = 0 .n →∞ n ⎪ n →∞ n ⎪⎛ n +1⎫(-1)n故 lim⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭= e 0 = 1 .n →∞⎝ n ⎭（2）设函数 f (x ) 在 x = 2 的某邻域内可导,且 f '(x ) = e f (x )， f (2) = 1 ，则 f '''(2) = 2e 3.【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知， f '(x ) = ef (x )，两边对 x 求导得f '(x ) = e f (x ) f '(x ) = e 2 f (x ) ，两边再对 x 求导得 f '(x ) = 2e2 f (x )f '(x ) = 2e 3 f (x ) ，又 f (2) = 1 ，故 f '''(2) = 2e3 f (2)= 2e 3 .（3）设函数 f (u ) 可微,且 f '(0) = 1,则 z = 2f (4x 2 - y 2 )在点(1,2)处的全微分d z(1,2) = 4d x - 2d y . 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. ∂z【详解】方法一：因为= f '(4x 2 - y 2 ) ⋅8x= 4 ，∂x (1,2)(1,2)= f '(4x 2 - y 2 ) ⋅ (-2 y ) = -2 ，(1,2) (1,2)所以 d z(1,2) ⎡ ∂z ⎢ ∂x (1,2) d x + (1,2) d y ⎤ = 4d x - 2d y .方法二：对 z = ⎣ ⎦f (4x 2 - y 2 )微分得∂z ∂y=-⎪f (x) =⎪32d z=f '(4x2 -y2 )d(4x2 -y2 ) =f '(4x2 -y2 ) (8x d x - 2 y d y )，故 d z (1,2)=f '(0) (8d x - 2d y )= 4d x - 2d y .（4）设矩阵A =⎛2 1 ⎫，E 为2 阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B + 2E ，则B⎝⎭= 2 .【分析】将矩阵方程改写为AX =B或XA =B或AXB =C 的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B(A -E) = 2E于是有 B A- E= 4 ，而 A -E =1 1= 2 ，所以 B = 2 . -1 1（5）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则P{max{X ,Y}≤1}= 1 .9【分析】利用X 与Y 的独立性及分布计算.【详解】由题设知，X 与Y 具有相同的概率密度⎧1 ,⎨ ⎪⎩0, 0 ≤x ≤ 3. 其他则 P{max{X ,Y}≤ 1}=P{X ≤ 1,Y ≤ 1}=P{X ≤ 1}P{Y ≤ 1}=(P{X ≤1})2 =⎛ 1 1 d x ⎫=1 .⎰0 3 ⎪9⎝⎭【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：⎰⎰ 0→ - -则 P {max {X ,Y } ≤ 1}= P {X ≤ 1,Y ≤ 1} =S 阴 = 1. S 9（6）设总体 X 的概率密度为 f (x ) = 1e- x(-∞ < x < +∞), X , X ,为总体 X 的简单随机样本，其212样本方差为 S 2 ，则 ES 2= 2.【分析】利用样本方差的性质 ES 2= DX 即可. 【详解】因为EX = +∞xf (x )d x =+∞xe - x d x = 0 ， -∞-∞ 22+∞ 2+∞ x 2 - x+∞2 - x2 - x +∞+∞- xEX = ⎰-∞x f (x )d x = ⎰-∞2e d x = ⎰0 x e d x = -x e+ 2⎰0x e d x= -2x e- x +∞ + 2+∞e - x d x = -2e - x+∞ = 2 ，所以 DX = EX 2- (EX )2= 2 - 0 = 2 ，又因 S 2 是DX 的无偏估计量，所以 ES 2= DX = 2 .二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数 y = f (x ) 具有二阶导数，且 f '(x ) > 0, f '(x ) > 0 ，∆x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，∆y 与d y 分别为 f (x ) 在点 x 0 处对应的增量与微分，若∆x > 0 ，则(A) 0 < d y < ∆y .(B) 0 < ∆y < d y .(C)∆y < d y < 0 . (D)d y < ∆y < 0 .[ Ａ ]【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由 f '(x ) > 0, f '(x ) > 0 知，函数 f (x ) 单调增加，曲线y = f (x ) 凹向，作函数 y = f (x ) 的图形如右图所示，显然当∆x > 0 时，∆y > d y = f '(x 0 )d x = f '(x 0 )∆x > 0 ，故应选(Ａ). f (h 2 )（8）设函数 f (x ) 在 x = 0 处连续，且lim h 0 h 2= 1，则(A)f (0) = 0且f ' (0)存在 (B) f (0) = 1且f ' (0)存在, X n ⎰+ +- + h →0收敛 . （B ）∑(-1) a(C) f (0) = 0且f ' (0)存在 (D) f (0) = 1且f ' (0)存在 [ C ]【分析】从lim h →0【详解】由limh →0f (h 2 ) h2 f (h 2)h2= 1入手计算 f (0) ，利用导数的左右导数定义判定 f '(0), f '(0) 的存在性.= 1知， lim f (h 2 ) = 0 .又因为 f (x ) 在 x = 0 处连续，则f (0) = lim f (x ) = lim f (h 2 )= 0 .令t = h 2，则1 = limh →0x →0 f (h 2) h2= limt →0+h →0f (t )- f (0)t= f +'(0) .所以 f +'(0) 存在，故本题选（C ）.（9）若级数∑an 收敛，则级数n =1(A)∑ ann =1 ∞nnn =1收敛.(C)∑a n an +1 收敛.(D) n =1∑ n =1a n + a n +1 2收敛. [ Ｄ ]【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由∑a n n =1收敛知∑ n =1 a n +1收敛，所以级数∑ n =1a n + a n +1收敛，故应选(Ｄ). 2或利用排除法：取a n= (-1)n 1 ，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； n取a n = (-1)n1 ，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.（10）设非齐次线性微分方程 y ' + P (x ) y = Q (x ) 有两个不同的解 y 1 (x ), y 2 (x ),C 为任意常数，则该方程的通解是 （Ａ） C [y 1 (x ) - y 2 (x )]. （Ｂ） y 1 (x ) + C [y 1 (x ) - y 2 (x )]. （Ｃ） C [y 1 (x ) + y 2 (x )].（Ｄ） y 1 (x ) + C [y 1 (x ) + y 2 (x )]【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.[ Ｂ ]【详解】由于 y 1 (x ) - y 2 (x ) 是对应齐次线性微分方程 y ' + P ( x ) y = 0 的非零解，所以它的通解是∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞nx x Y = C [y 1 (x ) - y 2 (x )]，故原方程的通解为y = y 1 (x ) + Y = y 1 (x ) + C [y 1 (x ) - y 2 (x )] ，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：y = y * +Y .其中 y *是所给一阶线性微分方程的特解， Y 是对应齐次微分方程的通解.（11）设 f (x , y )与ϕ (x , y ) 均为可微函数，且ϕy '(x , y ) ≠ 0 ，已知(x 0 , y 0 ) 是 f (x , y ) 在约束条件ϕ(x , y ) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若 f '(x , y ) = 0 ，则 f '(x , y ) = 0 .xy 0 0(B) 若 f '(x , y ) = 0 ，则 f '(x , y ) ≠ 0 .x0 0 y 0 0(C) 若 f '(x , y ) ≠ 0 ，则 f '(x , y ) = 0 .x0 0 y 0 0(D) 若 f '(x , y ) ≠ 0 ，则 f '(x , y ) ≠ 0 .[ Ｄ ]x0 0 y 0 0【分析】 利用拉格朗日函数 F (x , y , λ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ) 在(x 0 , y 0 , λ0 )（ λ0 是对应 x 0 , y 0 的参数λ 的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数 F (x , y , λ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ) ，并记对应 x 0 , y 0 的参数λ 的值为λ0 ，则⎧⎪F x '( x 0 , y 0 λ, 0 =) ⎧⎪ f '(x 0 , y 0 ) + λ0ϕ '(x 0 , y 0 ) = 0 ⎨， 即⎨ . ⎪⎩F y '( x 0 , 消去λ0 ，得y 0 λ, 0 =) ⎪⎩ f y '(x 0 , y 0 ) + λ0ϕ y '(x 0 , y 0 ) = 0f '(x , y )ϕ '(x , y ) - f '(x , y )ϕ '(x , y ) = 0 ,xyyx整理得 f '(x , y ) = 1f '(x , y )ϕ '(x , y ) .（因为ϕ '(x , y ) ≠ 0 ），x 0 0ϕ '(x , y )yxyy若 f '(x , y ) ≠ 0 ，则 f '(x , y ) ≠ 0 .故选（Ｄ）.x0 0y（12）设α1,α2 , ,αs 均为n 维列向量， A 为 m ⨯ n 矩阵，下列选项正确的是(A) 若α1,α2 , ,αs 线性相关，则 A α1, A α2 , , A αs 线性相关. (B) 若α1,α2 , ,αs 线性相关，则 A α1, A α2 , , A αs 线性无关.X - μ1⎪ ⎝ ⎭⎪ ⎝ ⎭(C) 若α1,α2 , ,αs 线性无关，则 A α1, A α2 , , A αs 线性相关. (D) 若α1,α2 , ,αs 线性无关，则 A α1, A α2 , , A αs 线性无关. [A ]【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记 B = (α1,α2 , ,αs ) ，则( A α1, A α2 ,, A αs ) = AB .所以，若向量组α1,α2 , ,αs 线性相关，则 r (B ) < s ，从而r ( A B ) ≤ r (B ) < s ，向量组 A α1, A α2 , , A αs 也线性相关，故应选(Ａ).（13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的-1倍加到第 2 列得C ，记⎛ 1 1 0⎫P = 0 1 0⎪ ，则0 0 1 ⎪ （Ａ） C = P -1AP .（Ｂ） C = PAP -1.（Ｃ） C = P TAP .（Ｄ） C = PAP T.［ Ｂ ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得⎛ 1 1 0⎫ ⎛ 1 - 1 ⎫ 0 ⎛ 1 1⎫ 0⎛-1 ⎫1 B = 0 1 0⎪A ,C = B0 1 ⎪ =00 1⎪ 0A 0 ⎪1，⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 1⎪ 0 0 ⎪ 1 0 0⎪ 1 0 0⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 -1 0⎫而 P -1 = 0 1 0⎪ ，则有C = PAP -1.故应选（Ｂ）.0 0 1 ⎪（14）设随机变量 X 服从正态分布 N (μ ,σ 2) ， Y 服从正态分布 N (μ ,σ 2) ，且则必有(A)(C)P { X - μ1σ1 < σ 2 μ1 < μ2< 1}> P {Y - μ2(B)(D)11< 1}σ1 > σ 2 μ1 > μ222[ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得P ⎧< 1 ⎫> P ⎧ Y - μ2 < 1 ⎫ ，⎨σ σ ⎬ ⎨ σ σ ⎬ ⎩ 11 ⎭ ⎩ 22 ⎭σ σ σ σ ( ) ⎪ σ σ ⎪则 2Φ ⎛1 ⎫-1 > 2Φ ⎛1 ⎫-1，即Φ ⎛ 1 ⎫ > Φ ⎛ 1 ⎫ .⎪ ⎪ ⎝ 1 ⎭⎝ 2 ⎭ ⎪ ⎪⎝ 1 ⎭ ⎝ 2 ⎭其中Φ(x ) 是标准正态分布的分布函数.又Φ(x ) 是单调不减函数，则 1 >1，即σ < σ .故选(A).1212三 、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 7 分）设 f (x , y ) =y1+ xy1- y sinπ x- y arctan x, x > 0, y > 0 ,求(Ⅰ)(Ⅱ) g x = limy →+∞lim g (x ). x →0+f (x , y ) ；【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将 x 作为常量求解，此问中含 ∞,0 ⋅∞ 型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用∞第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.⎛【详解】(Ⅰ) g (x ) = lim f (x , y ) = lim1- y sin π x ⎫y - y ⎪y →+∞ y →∞ 1+ xy arctan x ⎪ ⎪ ⎝ ⎭⎛sin π x ⎫ y 1- 1 ⎪⎪= lim 1 - y ⎪ = 1 -1- π x .y →∞ 1 arctan x ⎪x arctan x+ x ⎪ y ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎛ 1 1- π x ⎫arctan x - x + π x 2(Ⅱ) lim g (x ) = lim - ⎪ = lim （通分） x →0+ x →0+ ⎝ x arctan x ⎭ x →0+x arctan x 2 1-1+ 2π x 2 2= lim arctan x - x + π x = lim 1+ x 2 = lim -x + 2π x (1+ x ) = πx →0+x2 x →0+2x x →0+2x⎰⎰3y xy 20 d y y d y（16）（本题满分7 分）计算二重积分⎰⎰Dy2 -xy d x d y ，其中D 是由直线y =x, y = 1, x = 0 所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y ”积分较容易，所以y2 -xy d x d y = 1 d y y0 0Dy2 -xy d x=-2⎰11(2-)y=2⎰12=2 3 0 y 3 0 9（17）（本题满分10 分）证明：当0 <a <b <π时，b sin b + 2cos b +πb >a sin a + 2cos a +πa .【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令f (x) =x sin x + 2cos x +πx -a sin a - 2cos a -πa, 0 <a ≤x ≤b <π，则 f '(x) = sin x +x cos x - 2sin x +π=x cos x - sin x +π，且 f '(π) = 0 .又f''(x)=cos x-x sin x-cos x=-x sin x<0，（0<x< π时,n x i s x0>），故当 0 <a ≤x ≤b <π 时， f '(x) 单调减少，即 f '( x)> f'π()=，则 f (x) 单调增加，于是f (b) >f (a) = 0 ，即b sin b + 2cos b +πb >a sin a + 2cos a +πa .（18）（本题满分8 分）在xO y 坐标平面上，连续曲线L 过点M (1, 0)，其上任意点P (x, y )(x ≠ 0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax （常数a>0 ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y =ax 所围成平面图形的面积为8时，确定a 的值.3【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为y =f (x) ，则由题设可得y'-y=ax ，这是一阶线性微分方程，其中P(x) =-1, Q(x) =ax ，代入通解公式得x x=⎰1d x ⎛-⎰1d x ⎫y e x ⎰ax e x d x +C ⎪=x (ax +C )=ax2 +Cx ，⎝⎭⎰⎰(-1)n x 2n +3(n +1)(2n +1) (-1)n -1 x 2n +1n (2n -1)⎣ ⎦02n =1 1又 f (1) = 0 ，所以C = -a .故曲线 L 的方程为 y = ax 2- ax (x ≠ 0) .(Ⅱ) L 与直线 y = ax （ a >0 ）所围成平面图形如右图所示. 所以D = ⎰2⎡ax - (ax 2 - ax )⎤ d x= a ⎰2(2x - x 2 )d x = 4 a = 8，0 3 3故a = 2 .（19）（本题满分 10 分）求幂级数∑n =1 (-1)n -1x 2n +1 n (2n -1)的收敛域及和函数 s (x ) . 【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数. (-1)n -1 x 2n +1 【详解】记u n (x ) =，则n (2n -1)lim n →∞ = lim n →∞ = x .所以当 x 2< 1,即 x < 1时，所给幂级数收敛；当 x > 1 时，所给幂级数发散；当 x = ±1 时，所给幂级数为故所给幂级数的收敛域为[-1,1] (-1)n -1n (2n -1) , (-1)n n (2n -1)，均收敛，-∞(-1)n -1 x 2n +1∞(-1)n -1 x 2n在( 1,1) 内， s (x ) =∑ n =1n (2n -1)= 2x ∑ (2n -1) (2n ) = 2xs 1 (x ) ，而 s '(x ) =∑(-1)n -1 x2n -1, s '(x ) = ∑∞(-1)n -1 x 2n -2 = 1 ， 1 n =1 2n -1 1n =11+ x 2 所 以 s '(x ) - s '(0) = x s '(t )d t = x1d t = arctan x ，又 s '(0) = 0 ，1 1⎰0 1⎰1+ t 21于是 s '(x ) = arctan x .同理∞ u n +1 (x ) u n(x ) ∞1 2 3 4 xxx s (x ) - s (0) =s '(t )d t = arctan t d t11⎰1⎰0 = t arctan t x-td t = x arctan x - 1ln (1+ x 2 )，⎰1+ t 22又 s (0) = 0 ，所以 s (x ) = x arctan x - 1 ln (1+ x 2).1 12故 s (x ) = 2x 2arctan x - x ln (1+ x2). x ∈ (-1,1).由于所给幂级数在 x = ±1 处都收敛，且 s (x ) = 2x 2arctan x - x l n (1+ x2)在 x = ±1处都连续，所以 s (x ) 在 x = ±1 成立，即s (x ) = 2x 2 arctan x - x ln (1+ x 2 )， x ∈[-1,1] .（20）（本题满分 13 分）设 4 维向量组α = (1+ a ,1,1,1)T ,α = (2, 2 + a , 2, 2)T,α = (3,3, 3 + a , 3)T,α = (4 , 4 , 4 +, 4a )T，问 a 为何值时α1,α2 ,α3 ,α4 线性相关?当α1,α2 ,α3 ,α4 线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量 用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以α1,α2 ,α3 ,α4 为列向量的矩阵为 A ，则A == (10 + a )a 3 .于是当 A = 0,即a = 0或a = -10 时，α1,α2 ,α3 ,α4 线性相关.当a = 0 时，显然α1 是一个极大线性无关组，且α2 = 2α1,α3 = 3α1,α4 = 4α1 ； 当a = -10 时，α1 α2 α3 α4⎛ -9 2 3 4 ⎫ 1-8 34 ⎪ A =⎪ ， 1 2 -7 4 ⎪ 1 2 3 -6⎪⎝⎭1+ a 2 3 4 1 2 + a 3 41 2 3 + a 4 12 3 4 + a1 2 2 1 3 1 ⎪ ⎪ ⎪ -92 3由于此时 A 有三阶非零行列式 1-8 3 = -400≠ ， 所以α1,α2 ,α3 为极大线性无关组， 且 1 2 - 7α1 + α2 + α3 + α4 =0， 即 α4 = -α1 -α2 -α.（21）（本题满分 13 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量α = (-1, 2, -1)T,α = (0,-1,1)T是线性方程组 Ax = 0的两个解.(Ⅰ) 求 A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ ,使得Q TAQ = Λ ；⎛3 ⎫6（Ⅲ）求A 及 A - E ⎪ ⎝⎭ ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. 【分析】 由矩阵 A 的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵 A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组 Ax = 0有非零解可知 A 必有零特征值，其非零解是 0 特征值所对应的特征向量.将 A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由Q TAQ = Λ 可得到 A 和⎛ A - ⎝ 3 ⎫6E ⎪ .2 ⎭【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以⎛1⎫ ⎛ 3⎫ ⎛1⎫A 1⎪ = 3⎪ = 3 1⎪ ，⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭则由特征值和特征向量的定义知，λ = 3是矩阵 A 的特征值，α = (1,1,1)T是对应的特征向量.对应λ = 3的全部特征向量为k α ，其中k 为不为零的常数.又由题设知 A α1 = 0, A α2 = 0 ，即 A α1 = 0 ⋅α1, A α2 =0 ⋅α2 ，而且α1 ,α2 线性无关，所以λ = 0 是矩阵 A 的二重特征值，α1 ,α2 是其对应的特征向量，对应λ = 0 的全部特征向量为 k 1α1 + k 2α2 ，其中k 1 , k 2 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为 A 是实对称矩阵，所以α 与α1 ,α2 正交，所以只需将α1 ,α2 正交. 取 β1 = α1 ，6 6 3 6 2 ⎪ ⎪ 3 6 3 6 2 3 3 3 6 622 12 3 2 2 ⎪ ⎛ - 1 ⎫⎛ 0 ⎫ ⎛ -1⎫ 2⎪(α2 , β1 )⎪ -3 ⎪ ⎪β2 = α2 -(β , β ) β1 = -1⎪ - 6 2 ⎪ = 0 ⎪ .11 1 ⎪ -1⎪ 1 ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎪再将α , β1, β2 单位化，得⎝ 2 ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛ - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 3 ⎪ 6 ⎪ - ⎪⎪ ⎪ α 1 β 2 β 2 ⎪ η = = ⎪ ,η = 1 = ⎪ ,η = 2= 0 ⎪ ， 1 α 3 ⎪ 2 β ⎪ 3 β ⎪ ⎪ 1 ⎪ 21 ⎪1 ⎪ 1 ⎪2 ⎪3 ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭令 Q = [η ,η ,η ]，则Q -1 = Q T ，由 A 是实对称矩阵必可相似对角化，得⎡3 Q TAQ = ⎢ 0 ⎤ ⎥ = Λ .⎢ ⎥ ⎢⎣ 0⎥⎦⎡3 ⎤ （Ⅲ）由(Ⅱ)知 Q TAQ = ⎢ 0 ⎥ = Λ ，所以 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0⎥⎦⎛ 1 - 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫ ⎛ 3 ⎪ ⎫ ⎪⎛1 1 1⎫ A = Q ΛQ T = 1 2 0 ⎪ 0 ⎪ - 1 2 - 1 ⎪ = 1 1 1⎪ .⎪ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ ⎪ 1 1 1⎪ 1 - 1 1 ⎪ ⎝ ⎭ - 1 01 ⎪ ⎝ ⎭ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ 3 ⎫6 ⎡ ⎛ 3 ⎫ ⎤6 ⎛ 3 ⎫6 Q T A - E ⎪ Q = ⎢Q T A - E ⎪ Q ⎥ = Q TAQ - E ⎪⎝ 2 ⎭ ⎣ ⎝2 ⎭ ⎦ ⎝ 2 ⎭⎡ ⎢ ⎢⎛ 3⎛ 3 ⎫ 2 ⎛ ⎛ 3 ⎫6 ⎫⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎝ ⎭ ⎪ ⎢ ⎪ 3 ⎪⎥ ⎛ 3 ⎫6 ⎪ ⎛ 3 ⎫6 = ⎢ 0 ⎪ - ⎪⎥ = ⎪⎪ = ⎪ E ， ⎢ ⎪ 2 ⎪⎥ ⎝ 2 ⎭ ⎪ ⎝ 2 ⎭ ⎢⎝ 0⎭ 3 ⎪⎥ 6 ⎪ ⎢⎪⎥ ⎛ 3 ⎫ ⎪ ⎣ ⎝ 2 ⎭⎦⎥⎝⎪ ⎝ ⎭ ⎭ 6⎫⎤y yy⎪8 ⎪ y ⎨8 ⎪ y⎪ 1YY 则⎛ A - 3 ⎫6 E ⎪ ⎛ 3 ⎫6 = Q ⎪ ⎛ 3 ⎫6EQ T = ⎪ E . ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭（22）（本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为⎧ 1, -1 < x < 0 2 ⎪ f X (x ) = ⎨ ⎪ 4⎪0, ⎪⎩, 0 ≤ x < 2 ，其他 令Y = X 2 , F (x , y )为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数. (Ⅰ) 求Y 的概率密度 f Y ( y )； (Ⅱ) Cov( X ,Y ) ； (Ⅲ) F ⎛ - 1 ,4 ⎫ .2 ⎪ ⎝ ⎭【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为 F ( y ) ，即 F ( y ) = P (Y ≤ y ) = P (X 2≤ y ) ，则YY1) 当 y < 0 时， F Y ( y ) = 0 ；2) 当0 ≤ y < 1时， F ( y ) = P ( X 2 < y ) = P (- < X < y )= ⎰1d x + ⎰y1d x =3 .- y244 3) 当1 ≤ y < 4 时， F (y ) = P ( X 2 < y ) = P (-1 < X < y)= ⎰01 d x + ⎰ y 1d x = 1 + 1. -1 2 0 4) 当 y ≥ 4 ， F Y ( y ) = 1.4 4 2所以⎧ 3, 0< y <f Y ( y )= F Y ' (y =) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩1,≤1y < .0, 其他⎨1 ⎩ - 1 1 （II ） Cov( X ,Y ) = Cov( X , X 2 ) = E ( X - EX )( X 2 - EX 2 ) = EX 3 - EXEX 2，x 2 x 1 20 x 2 2 x 2 5 而 EX = ⎰-1 2d x + ⎰0 4d x = 4 ， EX = ⎰-1 2 d x + ⎰0 d x = ， 4 63x 32x 3 7EX = ⎰-12d x + ⎰0d x = ， 4 8所以(Ⅲ) Cov( X ,Y ) = 7 - 1 ⋅ 5 = 2. 8 4 6 3F ⎛ - 1 ,4⎫ = P ⎛ X ≤ - 1 ,Y ≤ 4⎫ = P ⎛X ≤ - 1 , X 2 ≤ 4⎫2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= P ⎛ X ≤ - 1 , -2 ≤ X ≤ 2⎫ = P ⎛-2 ≤ X ≤ - 1 ⎫2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 = ⎰ 2d x = . -1 2 4（23）（本题满分 13 分）设总体 X 的概率密度为⎧θ , 0 < x < 1,f (x ;θ ) = ⎪-θ ,1 ≤ x < 2,⎪0, 其他,其中θ 是未知参数(0 < θ < 1) ， X 1, X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x 1, x 2 ..., x n 中小于 1 的个数.（Ⅰ）求θ 的矩估计； （Ⅱ）求θ 的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算. 【详解】（Ⅰ）因为 EX =⎰+∞xf (x ;θ )d x = ⎰1 x θd x + ⎰2 x (1-θ )d x = 3-θ ， -∞ 令 3-θ = X ，可得θ 的矩估计为 2 （Ⅱ）记似然函数为 L (θ ) ，则0 1 2 θ = 3 - X . 2L (θ ) = θ ⋅θ ⋅ ⋅θ (1-θ )⋅ (1-θ )⋅ ⋅ (1-θ ) = θ N (1-θ )n - N .N 个(n - N )个两边取对数得ln L (θ ) = N ln θ + (n - N ) ln(1-θ ) ，令d ln L(θ)=N-n -N= 0 ，解得θ=N为θ的最大似然估计. dθθ1-θn。
2009年考研数学三答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为：（ ）()A .1()B . 2 ()C .3()D .无穷多个【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A .1a =，16b =-()B . 1a =，16b = ()C .1a =-，16b =- ()D .1a =-，16b =【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。
另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D 。
2009考研数学三【解析版】【无水印】
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为(A)1. (B)2.(C)3.(D)无穷多个.【答案】C. 【解析】则当取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B ），. (C)，.（D ），. 【答案】A.【解析】为等价无穷小，则3()sin x x f x xπ-=()3sin x x f x xπ-=x ()f x ()f x 30x x -=1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==0,1±0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-1a =16b =-1a =16b =1a =-16b =-1a =-16b =2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-故排除(B)、(C). 另外存在，蕴含了故排除(D).所以本题选(A).（3）使不等式成立的的范围是 (A). (B). (C).(D).【答案】A.【解析】原问题可转化为求成立时的取值范围，由，时，知当时，.故应选(A).（4）设函数在区间上的图形为则函数的图形为222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅36a b ∴=-201cos lim3x a axbx →--1cos 0a ax -→()0x → 1.a =1sin ln xtdt x t>⎰x (0,1)(1,)2π(,)2ππ(,)π+∞111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t--==>⎰⎰x 1sin 0tt ->()0,1t ∈()0,1x ∈()0f x >()y f x =[]1,3-()()0xF x f t dt =⎰(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：①时，，且单调递减. ②时，单调递增. ③时，为常函数.④时，为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 ()y f x =x y0x x =()F x []0,1x ∈()0F x ≤[]1,2x ∈()F x []2,3x ∈()F x []1,0x ∈-()0F x ≤,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭(A). (B). (C).(D). 【答案】B.【解析】根据，若 分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆 故答案为(B).（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为(A).(B).(C).(D).【答案】A.**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭CC C E *=111,C C C C C C*--*==OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭221236O A A B B O⨯=-=⨯=（）1111661O B BO A O A O A O B B O B O B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O BOB AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+T Q AQ 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】，即：（7）设事件与事件B 互不相容，则(A). (B).(C).(D).【答案】D.【解析】因为互不相容，所以 (A)，因为不一定等于1，所以(A)不正确.(B)当不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当互为对立事件的时候才成立，故排除. (D)，故(D)正确.（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ） (A) 0.(B)1. (C)2.(D)3.【答案】 B.【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ()0P AB =()()()P AB P A P B =()1()P A P B =-()1P A B ⋃=,A B ()0P AB =()()1()P AB P AB P AB ==-()P AB (),()P A P B ,A B ()()1()1P AB P AB P AB ==-=X Y X (0,1)N Y 1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z ()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==独立（1）若，则 （2）当，则 为间断点，故选(B).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） .【答案】.【解析】. （10）设，则 . 【答案】. 【解析】由，故代入得，.（11）幂级数的收敛半径为 . 1[(0)(1)]21[(00)(1)]2P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 1()[(0)()]2Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤0z <1()()2Z F z z =Φ0z ≥1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=cos 0x x →=32e cos cos 10xx x x -→→=02(1cos )lim13x e x x→-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =()y x z x e =+(1,0)zx ∂=∂2ln 21+()xy z x e=+()(),01xz x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣⎦1x =()ln 21,01ln 22ln 212ze x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭21(1)n n nn e x n ∞=--∑【答案】. 【解析】由题意知，所以，该幂级数的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 【答案】8000.【解析】所求即为 因为，所以 所以 将代入有.（13）设,，若矩阵相似于，则 .【答案】2.【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.1e()210nn n e a n --=>()()()()111122122111()11111n n n n n nnn nn e e ea n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞⎡⎤+--+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e()Q Q P =P 0.2p ξ=()QP Q P Q ''=+0.2p Q PQξ'==-0.2Q P Q '=-()0.20.8QP Q Q Q '=-+=10000Q =()8000QP '=(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=T αβ300000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭k =T αβ300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦T αβT αβT αβ1300k ∴+=++2k ∴=(14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .【答案】【解析】由.三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数的极值.【解析】，，故. . 则，，.而 二元函数存在极小值.（16）（本题满分10 分） 计算不定积分 .得而1X 2X n X (,)B n p X 2S 2T X S =-ET =2np 222()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=()22(,)2ln f x y x y y y =++2(,)2(2)0x f x y x y '=+=2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=10,x y e= =2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =12(0,)12(2)xx ef e''=+1(0,)0xyef ''=1(0,)yyef e ''=0xxf ''>2()0xy xx yy f f f ''''''-<∴11(0,)f e e=-ln(1dx +⎰(0)x >t =22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t =+-+=---+⎰⎰⎰所以（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.【解析】由得，.22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C ++=+-+--+=++⎰()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥22(1)(1)2x y -+-≤2(sin cos )r θθ≤+32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且. 【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且. 根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（Ⅱ）任取，则函数满足：在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得： 故存在，且.（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.【解析】旋转体的体积为()f x [],a b (),a b (),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-()f x 0x =()0,,(0)σσ>'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----()x ϕ()()a b ϕϕ=()x ϕ[],a b (),a b ''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--(),a b ξ'()0ϕξ='()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--0(0,)x δ∈()f x []00,x ()00,x ()()000,0,x x ξδ∈⊂()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-()*()'0lim x f x A +→=00x +→()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-'(0)f +'(0)f A +=()y f x =()f x ()0f x >()y f x =0,1y x ==(1)x t t =>x t π22()()11x x t tV f dx f dx ππ==⎰⎰曲边梯形的面积为：，则由题可知两边对t 求导可得继续求导可得，化简可得，解之得在式中令，则，代入得.所以该曲线方程为：.（20）（本题满分11 分）设,. （Ⅰ）求满足，的所有向量，. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得()1x ts f dx =⎰22()()()()1111x x x x t t t tV ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰22()()()()()()11t x t t t x t tf f dx tf f tf f dx =+⇒-=⎰⎰''2()()()()()f t f t f t tf t f t --='1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y-=⇒+=1223t c y y -=⋅+1t =2(1)(1)0,()0,(1)1f f f t f -=>∴=1223t cyy -=+11,2)33c t y =∴=230y x =111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭21A ξξ=231A ξξ=2ξ3ξ2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =32x =0Ax =211,1x x =-=120x x ==31x =故 ，其中为任意常数解方程故有两个自由变量，令，由得 令，由得求得特解故 ，其中为任意常数（Ⅱ）证明：由于故 线性无关.（21）（本题满分11 分）21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭231,0x x =-=20A x =11x =230,1x x ==-20A x =10x =21200η⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3231102100010k k ξ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭23,k k 12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠123,,ξξξ设二次型. （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.【解析】（Ⅰ）.（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若，则 ， ，不符题意 2) 若 ，即，则，，符合3) 若 ，即，则 ，，不符题意 综上所述，故（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求条件概率密度 （Ⅱ）求条件概率 【解析】2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-f f 2211y y +a 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭110||01()1111111aa aE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+2212y y +10a λ==220λ=-<31λ=20λ=2a =120λ=>330λ=>30λ=1a =-110λ=-<230λ=-<2a =(,)X Y 0(,)0x e y x f x y -⎧<<=⎨⎩其他()Y X f y x 11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦（Ⅰ）由得其边缘密度函数故 即（Ⅱ）而.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求.②求二维随机变量的概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故0(,)0x y xe f x y -<<⎧= ⎨⎩其它0()0xx xx f x e dy xe x --== >⎰|(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x== <<|1(|)0y x y xf y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪ ⎩其它[1,1][1|1][1]P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=≤111011[1,1](,)12xx x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-⎰⎰⎰⎰⎰()|,0x x y Y yf y e dx e e y y+∞---+∞==-= >⎰11101[1]|110y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰11122[1|1]11e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--X Y Z 10P X Z ⎡==⎤⎣⎦(,)X Y 12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======。
数学三试题考研数学真题及解析
数学三试题-考研数学真题及解析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：200６年全国硕士研究生入学考试数学(三)一 填空 (１)()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭(2） 设函数()x 2f x =在的某领域内可导,且()()(),21f x f x ef '==,则()2_________f '''=(３） 设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224Z f x y =-在点（1,2)处的全微分()1,2_________dz=(４) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵E 满足ＢA ＝B+2Ｅ,则_________B =(５) 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则(){}max ,1_________P X Y ≤=（6) 设总体X 的概率密度为()()121,,, (2)xn f x e x x x x -=-∞<<+∞为总体的简单随机样本,其样本方差2S ,则E 2S =__________二 选择题(7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()()0,0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点0x 处的增量,y dy ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则 ( )(Ａ)0dy v <<∆ (Ｂ)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<< （D)0dy y <∆<（８） 设函数()f x 在x=0处连续,且()22lim1n f n n →=,则（A ）()()'000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在 （Ｃ)()()'000f f +=且存在 （D)()()'010f f +=且存在(9) 若级数1nn a∞=∑收敛,则级数 ( ）(A)1nn a∞=∑收敛(B)()11nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (1０) 设非齐次线性微分方程()()x x y P y Q '+=有两个的解()()12,,y x y x C 为任意常数，则该方程通解是:（A)()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦收敛 (B ）()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦收敛 (Ｃ)()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦收敛 （D)()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦收敛（1１) 设()(),,f x y x y ϕ与均为可微函数,且(),0y x y ϕ'≠,已知()00,x y 是(),f x y 在约束条件(),0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是 （ )(A) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''==则 (Ｂ） 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''=≠则 (C ） 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''≠=则 （D ） 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''≠≠则(12) 设125,,......∂∂∂,均为ｎ维列向量，Ａ是m n ⨯矩阵,下列正确的是 ( ) (A) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (Ｂ) 若125,,......∂∂∂相关，则125,......A A A ∂∂∂无关 (C) 若125,,......∂∂∂无关，则125,......A A A ∂∂∂相关 （D) 若125,,......∂∂∂无关,则125,......A A A ∂∂∂无关（13) 设A 为３阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B,再将B 得第一列得-1倍加到第2列得Ｃ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(Ａ) 1C P AP -= (Ｂ) 1C PAP -= (C) T C P AP = (Ｄ)T C PAP =(1４） 设随机变量X 服从正态分布()211,Nμσ,随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<，则必有 ( )(A)12σσ<(B ） 12σσ> (C) 12μμ< (D ） 12μμ>三 解答题(15) 设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=（Ⅱ) ()0lim x g x +→（16) 计算二重积分2Dy xydxdy -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===,所围成的平面区域.（１7) 证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时. (18) 在XOY 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0,M 其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线低斜率与直线OP 的斜率之差等于(>0)ax a 常数(Ⅰ） 求L 的方程:(Ⅱ) 当L 与直线y=a ｘ所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （１9) 求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . (２０) 设4维向量组()()()1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,TTTa a a ∂=+∂=+∂=+()44,4,4,4Ta ∂=+问a 为何值时1234,,,∂∂∂∂线性相关?当1234,,,∂∂∂∂线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21) 设3 阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组Ax=0的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量(Ⅱ） 求正交矩阵Q 和对角矩阵A ，使得TQ AQ A =； (Ⅲ)求A 及63()2A E -,其中E 为３阶单位矩阵. (22） 设随机变量Ｘ的概率密度为()1,1021,02,40,x x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它()2,,Y X F X Y =令为二维随机变量(),X Y 的分布函数,求:(Ⅰ) Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ) ()cov ,X Y （Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭（23) 设总体X 的概率密度为(),01,1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它,其中θ是未知参数()1201,,,......n X X X θ<<为来自总体的随机样本,记N 为样本值12,,......n X X X 中小于1的个数,求:（Ⅰ) θ的矩估计;（Ⅱ) θ的最大似然估计.。
2006数学三考研试题和答案
2006数学三考研试题和答案2006年数学三试题分析、详解和评注一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）()11lim 1.nn -+⎛⎫=（()f x，()2f （（B（[]0,3{P （为()()121,,,,2xnf x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则22.ES=二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y<<∆. (B)0d y y<∆<.d y <（在[ （n收敛112n n n a ∞+=∑（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是[ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，则C =C =（22μ>三 （15）（本题满分7分） 设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求(Ⅰ)()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ)()0lim x g x +→.（16）（本题满分7分） 计算二重积分d Dx y，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（（83（（20）（本题满分13分） 设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解((；（令Y (Ⅰ((Ⅲ)1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（23）（本题满分13分） 设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,nx x x 中小于1的个数.1 以n →∞⎝⎭【评注】对于幂指函数的极限，总是将其化为指数函数后求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第2节【例23】，《数学复习指南》（经济类）P.30【例1.41】.2…. 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()e f xf x '=，两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==，又.3 ，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z zx y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦.方法二：对()224z f x y =-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d zf x y x y'=-=-.【评注】本题为基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数.为AX .完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第1讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）P.287【例2.12】.5……【分析】利用X Y与的独立性及分布计算.【详解】由题设知，X Y与具有相同的概率密度1,3()30,xf x⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则{}{}{}max,11,1P X Y P X Y≤=≤≤{}{}11P X P Y=≤≤{}()212111d39P X x⎛⎫=≤==⎪⎝⎭⎰.【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则{}{}{}1max,11,19SP X Y P X YS≤=≤≤==阴.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第3讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）P.431【例2.31】Ｐ.442【例2.50】6,………【分析】利用样本方差的性质2ES DX=即可.【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰，22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x+∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰5.27…….【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x xξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又x ∆>，则0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.129【例5.1】，P.151【１（３）】.8……… 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim 1h f h h→=知，()2lim 0h f h →=.又因为()f x 在x =处连续，则()20(0)lim ()lim 0x h f f x f h →→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f ht++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）.【评注】本题联合考查了函数的连续性和左1n ∞=，取(1)nna=-，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.【评注】 本题主要考查级数收敛的性质和判别法，属基本题型.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）Ｐ.232习题八（2（3）题），《考研数学过关基本题型》（经济类）P.74【例1，例2】及练习.10…..【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是 []12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y=+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.相关性质和定理见《数学复习指南》（经济类）P.219.11……【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在0(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应0,x y 的参数λ的值为λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .整为(y x ϕ'若f 性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A ABααα=.所以，若向量组12,,,sααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s≤<，向量组12,,,sA A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.完全类似例题及性质见《数学复习指南》（经济类）P.309【例 3.7】，几乎相同试题见文登2006最新模拟试卷（数学一）Ｐ.２（11）.13………【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵. （２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.完全类似例题及性质见文登暑期辅导班《线性代数》第2讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.290【例2.19】.14….【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.2σ.复习指南》（经济类）P.417【例2.7】.15……. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ)()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+⎪ ⎪⎝⎭π= 1.36】，P.30【例1.40】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.8【例14】，P.9【例16】.16 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以 1220d d d d yDy xy x y y y xy x-=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰.【评注】计算二重积分时，首先画出积分区域的图形，然后结合积分域的形状和被积函数的形式，选择坐标系和积分次序.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节【例8】，《数学复习指南》（经济类）P.181【例7.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.65【例1】，P.66【例3】及练习.17…..【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.又()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,sin 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++.【评注】证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值），作比较即得所证. 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第2节【例4】，《数学复习指南》（经济类）P.242【例10.18】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.98【例11】，P.99【例13】及练习.18 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得yy ax x'-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x =-=，代入通解公式得()11d d 2e e d x x x xy ax x C x ax C ax Cx-⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰，又(1)0f =，所以C a =-. 故曲线L的方程为2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰()220482d 33a x x x a =-==⎰，故2a =.【评注】本题涉及了导数和定积分的几何意义，一阶线性微分方程的求解，属基本题型. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.136【例5.13】，P.149【例5.34】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.272【例15】及练习8.2.19…. 【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-，则1>，11110()(0)()d arctan d xx s x s s t t t t'-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xxt t t t x x x t =-=-++⎰，又1(0)0s =，所以()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-.【评注】本题幂级数是缺项幂级数，则应采用函数项级数求收敛域的方法，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第11讲第2节【例12】，【例15】，《数学复习指南》（经济类）P.204【例8.13】，P.209【例8.18】，《考研数学过关基础题型》（经济类）P.78【例6】，P.81【例9】及练习.20…….. 【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===；当10a =-时，1α 2α 3α 4α0≠，所且1α+ 0421…….【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由TQAQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫-⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，A =66623333022203322E ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭，则666T 333222A E Q EQ E⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【评注】 本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量及矩阵的对角化问题，抽象矩阵特征值和特征向量问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式.矩阵的对角化用常规方法求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.370【例5.24】，P.282【例2.7】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.167【例6】及练习3.1，3.4.22…..【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为()YF y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0YF y =； 2) 当01y ≤<时， (2()()YF y P X y P X =<=<<011d d 24x x =+=⎰3) 当14y ≤<时，(2()()1YF y P Xy P X =<=-<<1011d d 242x x -=+=⎰.4) 当4y ≥，()1YF y =.所以1y <<⎪2，(准确性，应该可以顺利求解.第一步求随机变量函数分布，一般都是通过定义用分布函数法讨论.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第2讲【例4】，第3讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）P.423【例2.21】，P.469【例3.32】.23 【分析】 利用矩估计法和最大似为EX 3X θ=-. ()()()()111(1N N θθθθθθθ=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个ln ()ln ()ln(1L N n N θθθ=+--nθ=为. 的矩估计法，最大似然估计法.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第5讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）Ｐ.497【例6.1－例6.4】.。
考研数学三真题(2009年)
f (x)
1 0 -1
f (x)
1
-2
1
2
3
x
-2
0 -1
1
2
3
x
A.
B .
第 1 页 共 21 页
f (x)
1 0
f (x)
1
-1
1
2
3
x
-2
0 -1
1
2
3
x
C .Βιβλιοθήκη D .（5）设 A, B 均为 2 阶矩阵， A, B* 分别为 A, B 的伴随矩阵，若 | A | 2,| B | 3 则分块矩阵 0 B A 的伴随矩阵为（ 0 ） 0 3A
1
B . 2
C .
3
D .无穷多个
）
（2）当 x 0 时， f (x) x sin ax 与 g ( x ) x 2 ln(1 bx) 是等价无穷小，则（
A . a 1 ， b 1
6
C . a 1 ， b 1
（3）使不等式 1
x
6 sin t dt ln x 成立的 x 的范围是（ t
第 3 页 共 21 页
（16）（本题满分 10 分） 计算不定积分 ln(1
1 x )dx (x 0) x
（17）（本题满分 10 分） 计算二重积分 (x y)dxdy ，其中 D (x, y) (x 1)2 ( y 1)2 2, y x .
2009 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 《数学三》试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数 f (x) x x3 的可去间断点的个数为： （ sinx ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
- 1 - 2006年考研数学（三）真题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）11lim______.nnnn （2）设函数()fx在2x的某邻域内可导,且efxfx，21f，则2____.f （3）设函数()fu可微,且102f,则224zfxy在点(1,2)处的全微分1,2d_____.z
（4）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B . （5）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PXY_______. （6）设总体X的概率密度为121,,,,2xnfxexXXX为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则2____.ES 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别
为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则 (A) 0dyy. (B) 0dyy. (C) d0yy. (D) d0yy . [ ]
（8）设函数fx在0x处连续，且220lim1hfhh，则 (A) 000ff且存在 (B) 010ff且存在 (C) 000ff且存在 (D)010ff且存在 [ ] （9）若级数1nna收敛，则级数
(A) 1nna收敛 . （B）1(1)nnna收敛. (C) 11nnnaa收敛. (D) 112nnnaa收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()yPxyQx有两个不同的解12(),(),yxyxC为任意常数，则该方程的通解是 - 2 -
（Ａ）12()()Cyxyx. （Ｂ）112()()()yxCyxyx. （Ｃ）12()()Cyxyx. （Ｄ）112()()()yxCyxyx [ ] （11）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.
(B) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. (C) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. (D) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. [ ] （12）设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性相关. (B) 若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性无关. (C) 若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性相关. (D) 若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性无关. [ ] （13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P
，则
（Ａ）1CPAP. （Ｂ）1CPAP. （Ｃ）TCPAP. （Ｄ）TCPAP. ［ ］ （14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且 1211PXPY
则必有 (A) 12 (B) 12
(C) 12 (D) 12 [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设1sin,,0,01arctanxyyyfxyxyxyx,求 - 3 -
(Ⅰ) lim,ygxfxy； (Ⅱ) 0limxgx. （16）（本题满分7分） 计算二重积分2ddDyxyxy，其中D是由直线,1,0yxyx所围成的平面区域.
（17）（本题满分10分） 证明：当0ab时， sin2cossin2cosbbbbaaaa.
（18）（本题满分8分）
在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0Pxyx处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数>0a）. (Ⅰ) 求L的方程；
(Ⅱ) 当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值. （19）（本题满分10分）
求幂级数1211121nnnxnn的收敛域及和函数()sx. （20）（本题满分13分） 设4维向量组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaa T44,4,4,4a，问a
为何值时1234,,,线性相关?当1234,,,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax的两个解. (Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ；
（Ⅲ）求A及632AE，其中E为3阶单位矩阵. （22）（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为
1,1021,0240,Xxfxx
其他
，
令2,,YXFxy为二维随机变量(,)XY的分布函数. - 4 -
(Ⅰ)求Y的概率密度Yfy； (Ⅱ)Cov(,)XY；
(Ⅲ)1,42F. （23）（本题满分13分） 设总体X的概率密度为
,01,;1,12,0,xfxx
其他,
其中是未知参数01，12n,...,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,...,nxxx中小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估计； （Ⅱ）求的最大似然估计 - 5 -
2006年考研数学（三）真题解析 二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）11lim1.nnnn 【分析】将其对数恒等化lneNN求解. 【详解】(1)111lnlim(1)ln1limlimeennnnnnnnnnnn
，
而数列(1)n有界，1limln0nnn，所以1lim(1)ln0nnnn. 故 101lime1nnnn. （2）设函数()fx在2x的某邻域内可导,且efxfx，21f，则322e.f 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，efxfx，两边对x求导得
2e()efxfx
fxfx，
两边再对x求导得 23()2e()2efxfxfxfx，又21f， 故 323(2)2e2eff.
（3）设函数()fu可微,且102f,则224zfxy在点(1,2)处的全微分1,2d4d2d.zxy 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84zfxyxx，
22
(1,2)(1,2)(4)22zfxyyy
，
所以 1,21,21,2ddd4d2dzzzxyxyxy. 方法二：对224zfxy微分得 222222d(4)d(4)(4)8d2dzfxyxyfxyxxyy
，
故 1,2d(0)8d2d4d2dzfxyxy. - 6 -
（4）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B 2 . 【分析】 将矩阵方程改写为AXBXABAXBC或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有
()2BAEE
于是有 4BAE，而11211AE，所以2B.
（5）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则 max,1PXY
1
9 .
【分析】 利用XY与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，XY与具有相同的概率密度 1,3()30,xfx 0
其他.
则 max,11,1PXYPXY11PXPY 212
0
11
1d39PXx
.
【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则 1max,11,19SPXYPXYS阴. （6）设总体X的概率密度为121,,,,2xnfxexXXX为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则22.ES 【分析】利用样本方差的性质2ESDX即可. 【详解】因为