江苏省西亭高级中学2019-2020学年高一数学下学期期中测试试题2[附答案]
江苏省西亭高级中学2019-2020学年高一下学期期中测试数学试题 Word版含答案
江苏省西亭高级中学2019-2020学年（下）期中测试高一数学命题人： 审核人：一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ） A ．一个球 B ．一个球中间挖去一个圆柱 C ．一个圆柱D ．一个球中间挖去一个棱柱2． 某中学有学生2500人，其中男生1500人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为n 的样本，若样本 中女生恰有20人，则n 的值为（ ） A ．30B ．50C ．70D ．803． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于（ ） A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶24． △ABC 中，若c=22a b ab ++，则角C 的度数是（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．45°5． 已知直线1:l y kx b =+，2:l y bx k =+，则它们的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 已知直线()1:3210l mx m y +++=，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且12l l //，则m 的值为（ ） A ．-1B ．12C ．12或-2 D ．-1或-27． 在△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8． 已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系1l 2l 1l 1l 1l 2l 2l 2l是（ ） A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不确定9． 已知圆方程，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（ ）A ．54-B ．21 C ．58 D ．51 10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C ：228150x y x +-+=有公共点，则实数k 的最大值为（ ） A ．0B ．43C ．32D ．3二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求.11．圆22410x y x +--=（ ）A ．关于点()2,0对称B ．关于直线0y =对称C ．关于直线320x y +-=对称D ．关于直线20x y -+=对称12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列结论正确的是（ ）A ．a 2=b 2+c 2-2bccosAB ．asinB =bsinAC ．a =bcosC +ccosBD ．acosB +bcosC =c13．a ，b ，c 是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ）A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交C ．若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D ．若a 与c 相交，b 与c 异面，则a 与b 异面三、填空题：本题共4题，每小题4分，其中第16题每空两分，共16分. 14．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是 ．参考公式：])()()()[(122322212x x x x x x x x ns n -++-+-+-=Λ.15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长3丈5尺，圆周为4尺， 葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少 长 尺．（注：1丈等于10尺）16．已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 5A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则AB =______，四边形ACBD 面积的最大值为 ．17．已知实数x ，y 满足1)1(22=+-y x ，则243+-y x 的最大值为 ． 四、解答题:本大题共6小题，共82分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题12分）如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.19.（本小题14分）如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知4B π=，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，6DC =，求角A 的大小； （2）若BCD V 的面积为16，求AB 的长.20.（本小题14分）下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元） 的几组对照数据:x （年） 2 3 4 5 6 y （万元）12.5344.5（1）若知道求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能 否比技术改造前降低？参考公式:()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.21.（本小题14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的 圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程.22.（本小题14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 已知满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若2=b ，求ABC ∆面积的取值范围．23.（本小题14分）已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y =kx -2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围； （3）若21=k ，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ， 探究：直线CD 是否过定点．江苏省西亭高级中学2019-2020学年（下）期中测试高一数学参考答案及评分标准命题人： 审核人：一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ） A ．一个球 B ．一个球中间挖去一个圆柱 C ．一个圆柱 D ．一个球中间挖去一个棱柱【答案】B2． 某中学有学生2500人，其中男生1500人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为n 的样本，若样本 中女生恰有20人，则n 的值为（ ） A ．30 B ．50C ．70D ．80【答案】B3． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于（ ） A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2【答案】D4． △ABC 中，若c=22a b ab ++，则角C 的度数是（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．45°【答案】B5． 已知直线1:l y kx b =+，2:l y bx k =+，则它们的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C6． 已知直线()1:3210l mx m y +++=，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且12l l //，则m 的值为（ ）A ．-1B ．12C ．12或-2 D ．-1或-2【答案】D7． 在△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】D8． 已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 9． 已知圆方程，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（ ）A ．54-B ．21 C ．58 D ．51 【答案】C10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C ：228150x y x +-+=有公共点，则实数k 的最大值为（ ） A ．0 B ．43C ．32D ．3【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求.11．圆22410x y x +--=（ ）A ．关于点()2,0对称B ．关于直线0y =对称C ．关于直线320x y +-=对称D ．关于直线20x y -+=对称【答案】ABC12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列结论正确的是（ ）A ．a 2=b 2+c 2-2bccosAB ．asinB =bsinAC ．a =bcosC +ccosBD ．acosB +bcosC =c 【答案】ABC13．a ，b ，c 是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ）A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交C ．若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D ．若a 与c 相交，b 与c 异面，则a 与b 异面 【答案】AC三、填空题：本题共4题，每小题4分，其中第16题每空两分，共16分. 14．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是 ．参考公式：])()()()[(122322212x x x x x x x x n s n -++-+-+-=Λ.【答案】215．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长3丈5尺，圆周为4尺， 葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少 长 尺．（注：1丈等于10尺） 【答案】37(或1369)16．已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 5A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则AB =______， 四边形ACBD 面积的最大值为 ． 10 , 5217．已知实数x ，y 满足1)1(22=+-y x ，则243+-y x 的最大值为 ． 【答案】10四、解答题:本大题共6小题，共82分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题12分）如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线. 证明：（1）因为,E F 分别为,AB AD 的中点， 所以EF BD P .在BCD ∆中，BG DHGC HC=， 所以GH BD P ，所以EF GH P . 所以,,,E F G H 四点共面.…………6分（2）因为EG FH P ⋂=，所以P EG ∈，又因为EG ⊂平面ABC ， 所以P ∈平面ABC ， 同理P ∈平面ADC ，所以P 为平面ABC 与平面ADC 的一个公共点. 又平面ABC 平面ADC AC =.所以P AC ∈，所以,,P A C 三点共线. …………12分 19.（本小题14分）如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知4B π=，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，63DC =，求角A 的大小； （2）若BCD V 的面积为16，求AB 的长.解：（1）在BCD V 中，4B π=，1BC =，63DC =，由正弦定理得sin sin BC CD BDC B =∠，解得2132sin 6BDC ⨯∠==3BDC π∠=或23π. 因为ABC V 是锐角三角形，所以23BDC π∠=. 又DA DC =，所以3A π=.…………7分（2）由题意可得11sin 246BCD S BC BD V π=⋅⋅⋅=，解得2BD =，由余弦定理得2222cos4CD BC BD BC BD π=+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯=，解得CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=. 所以AB…………14分 20.（本小题14分）下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元） 的几组对照数据:（1）若知道求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能 否比技术改造前降低？参考公式:()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.解：（1）根据所给表格数据计算得2345645x ++++==,1 2.534 4.535y ++++==,5127.512202768.5i ii x y==++++=∑,5214916253690ii x==++++=∑,515221568.560ˆ0.8590205i ii ii x y x ybxx ==-⋅-∴===--∑∑,ˆˆ0.4a y bx =-=-, 所以,y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.850.4yx =-.…………10分 （2）由（1）得,当10x =时,ˆ0.85100.48.1y=⨯-=,即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元,相比技术改造前,该型号的设备维修费降低了0.9万元. …………14分21.（本小题14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 解：（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,. 由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切所以007<<x ，圆N 的半径为0x从而0075-=+x x解得01x =.所以圆N 的标准方程为22(1)(6)1x y -+-=.…………7分（2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201402-=-. 设直线l 的方程为12y x m =+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离55==d 因为222425==+=BC OA 而2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭BC MC d 所以2(25)2555-=+m ，解得152m = 或52m =-. 故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.…………14分22.（本小题14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知满足(2)cos cos a c B b C -=.（1）求角B 的大小；（2）若2=b ，求ABC ∆面积的取值范围．解：（1）()2cos cos a c B b C -=Q由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A ∴=+=+=()0,A π∈Q sin 0A ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈Q 3B π∴=…………6分（2）由正弦定理得：sin sin b A a B=32a A ∴==同理：3c C =11s in sin 2in 2ABC A C A ac C S B ∆==∴=21sin sin sin 32C C C C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111sin 2cos 2sin 23444362C C C π⎫⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 203C π<<Q 72666C πππ∴-<-< 1sin 2126C π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭10sin 262C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆∴的面积的取值范围为：(…………14分23.（本小题14分）已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y =kx -2．（1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围； （3）若21=k ，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，即，解得k=±1．…………4分（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=+，1222x x 1k =+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1，当∠AOB 为锐角时，OA OB ⋅u u u r u u u r =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）=()()212121k x x 2k x x 4+-++ =2262k 1k-+＞0， 解得k 2＜3，又k 2＞1，∴k 1-＜或1＜k．故k 的取值范围为（1-）∪（15分 （3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1t 22-+）=0， ∴221x tx y t 2y 02⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即（x+y 2）t-2y-2=0， 由y 0{?2220x y +=+=，得1{?21x y ==-，∴直线CD 过定点（112-，）．…………5分。
江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)
离为（ ）
A. 3 海里
B. 4 海里
C. 6 海里
D. 7 海里
【答案】D
【解析】
【分析】由条件画出简图，得出 BCA 120 ，在 ABC 中，由余弦定理即可求出 AB 的长．
【详解】根据题意画出简图，如图所示，
可知 BCA 180 (40 20) 120 ，
在 ABC 中， AC 5 ， BC 3，
AB2 BC2 AC2 2 BC AC cos BCA 32 52 2 3 5 cos120 49 ，
解得 AB 7 ， 故选：D．
2. 下列说法正确的是（ ） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项．
【详解】 z i3 i ，所以 z i ，A 正确； z 1 1 1 i ，虚部是 1，B 错误；
i z a ai, (a R) ，若 a 0 ，则 z 0 是实数，若 a 0 ，则 z a ai 是虚数，不是纯虚数，C 正确； z i 1 ，则复数 z 对应的点 Z 在以( 0, 1) 为圆心，1 为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值
因为 tan(B C) tan( A) tan A ， 所以 tan B tan C tan A tan B tan C tan A ，
所以 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ，D 正确.
g(x)
10
sin
π 3
x
π 2
10 cos π x ， 3
所以 g(0) 10 .
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，则角为（ ）A ．A ．C ．D ．或2．若向量，，且，则（ ） A ． B ．C ．D ． 3．复数的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设两个单位向量，的夹角为，则（ ） A ．CD ．5．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ． 16或64 C. 64 D ．以上都不对6．若实数，，满足，则的值是（ ） A ．2B ．-3C ．D.17．在中，若，则的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知（，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．给出下列结论，则结论正确的为（ ）A ．若向量，，且，则B ．，，与的夹角为，则ABC △222a b c bc =++A 2π3π3π6π32π3(3,2)=a (1,)m =-b ∥a b m =23-233232-()2019i 12i z =--2i -2i +2i --2i -+a b 2π334+=a b 17x y ()()1i 1i 2x y ++-=xy 2-ABC △2cos sin sin B A C ⋅=ABC △221(32)i z m m m =-+-+m ∈R i 1m =-z (1,3)=a (2,)x =b ∥a b 6x =||2=a ||4=b a b 60°|2|+=a bC ．向量，，m.n=0则 D ．已知向量，，则与的夹角为 10．下列命题中，不正确的是（ ） A ．两个复数不能比较大小；B ．若，则当且仅当且时，为纯虚数；C ．，则；D ．若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．11．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（ ） A ．3B ．C ．D ．12．对于两个复数，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，且是实数，则实数等于 ．14．如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后，又从点测得斜度为，假设建筑物高，设山对于平地的斜度，则 ．(,2)x =m (4,2)x =+n 23x =-=a =b a b π6i(,)z a b a b =+∈R 0a =0b ≠z 221223()()0z z z z -+-=123z z z ==a i a ABC △,,A B C ,,a b c cos cos a A b B =2c =3sin 5C =ABC △231361α=-+122β=--1αβ=2αβ=||2||αβ=337αβ-=134i z =+2i z t =+12z z ×t A C 15︒100m B 45︒50m θcos θ=15．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积等于-------------------16．在中角，，的对边分别是，，，且，，若，则的最小值为 ．四·解答题：(本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．18. (12分）如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，BC ＝CE ＝2.上面是一个三棱锥，且AA 1⊥底面A 1B 1C 1，且AE ＝A1E ＝3，求组合体的表面积和体积．19.(12分）已知复数，m是实数，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．ABC△A B C a b c sin sin sin sin sin 3a Ab B cC B C +-=a =[1,3]b ∈c x 2(2i)2i 0x k x k ++++=k 22(232)(2)i z m m m m =+-++-m z z z 0z =20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 21.(12分)已知a =(1,2),b =(-3,1). (1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值;(3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求实数k 的值.22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．高一数学答案一．AACCB DCC二．9.ACD 10，ACD 11,AC 12,BCD17．（12分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．【答案】方程的实根为或值为或．【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的条件得，解得或∴方程的实根为，相应的值为或．ABC△,,A B C ,,a b c222sin sin sin sin sinA C A CB +-=B ABC △ABC △33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λx 2(2i)2i 0x k x k ++++=k x =x =k k =-k =0x 2000(2)(2)i 0x kx x k ++++=20002020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩0x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0x k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =x =k k =-k =18.19．（10分）已知复数，，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）． 【解析】（1）当，即或时，为实数． （2）当，即且时，为虚数．（3）当，解得，即时，为纯虚数．（4）令，解得，即时，．20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．22(232)(2)i z m m m m =+-++-m R Îm z z z 0z =2m =-1m =2m ≠-1m ≠12m =2m =-220m m +-=2m =-1m =z 220m m +-≠2m ≠-1m ≠z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩12m =12m =z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-=⎩2m =-2m =-0z =ABC △,,A B C ,,a b c 222sin sin sin sin sin A C A C B +-=（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，由正弦定理得，，，即，又∵，． （2）由（1）知，且外接圆的半径为，，解得， 由正弦定理得，又，， 21.(10分)已知a =(1,2),b =(-3,1).(1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求k 的值.【答案】（1）（7,0），（2）-√5050.（3）k=±√22.【解析】(1)a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ=a ·b|a |·|b |=√2√2=-√5050.(3)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直, 所以(a +k b)·(a -k b)=0,即a 2-k 2b 2=0,因为a 2=5,b 2=10,所以5-10k 2=0,解得k=±√22.B ABC △ABC △π3B =(5+⎤⎦222sin sin sin sin sin A C A C B +-=222a c acb +-=222a b b ac +-=222122a b b ac +-=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =π3B =323=⨯5b =2sin sin a c A C ===sin )a c A C +=+2π3A C +=2ππsin()]10sin()336a c A A A +=+-=+22．（12分）已知向量，，且． （1）求及；（2）若的最小值为，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由已知可得， ， ，，．（2）由（1）得，，．①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值， 由已知可得，解得，与矛盾， 综上所得，． 为锐角三角形，且， 又，得，，， 33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λcos2x ⋅=a b 2cos x +=a b 12λ=33coscos sin sin cos 22222x xx x x ⋅=⋅-⋅=ab +===a b π[0,]2x ∈Q cos 0x ∴≥2cos x ∴+=a b 222()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---π[0,]2x ∈Q 0cos 1x ≤≤0λ<cos 0x =()f x 1-01λ≤≤cos x λ=()f x 12λ--23122λ--=-12λ=1λ>cos 1x =()f x 14λ-3142λ-=-58λ=1λ>12λ=ABC △π02A <<π02C <<2π3C A =-ππ62A <<πsin()62A +∈(a c +∈⎤⎦故的周长的取值范围是．ABC△(5+⎤⎦。
2019学年江苏省高一下期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年江苏省高一下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. = _______________________ ．2. =_________ ．3. 在中，若，，则=___________ .4. 已知等差数列的前项和为，若，，则公差等于______________________________ ．5. 已知中，，，，则 =________________ ．6. 已知等比数列的各项均为正数，，，则______________ .7. 在中，若，则的形状是______________ 三角形．8. 已知数列是等差数列，是其前项和，且，则使成立的最小值是_________ .9. 若钝角三角形三边长分别是，则____________________ .10. 已知，且，则的值为 .11. 设数列的前项和为，关于数列，下列命题正确的序号是______________ .① 若数列既是等差数列又是等比数列，则；② 若，则数列是等差数列；③ 若，则数列是等比数列.12. 在等差数列中，已知，则 _________ .13. 中，，点在边上，且满足，若，则 =_________________________________ .14. 已知数列为等差数列，满足，则当取最大值时，数列的通项公式为________ ________ .二、解答题15. 设是公比不为1的等比数列，且成等差数列.（1）求数列的公比；（2）若，求的取值范围.16. 在锐角中，已知（1）求的值；（2）若，，求的值.17. 已知函数．（1）求的值；（2）设，，求的值．18. 已知数列满足，且当 , 且时，有，（1）求证：数列为等差数列；（2）已知函数，试问数列是否存在最小项，如果存在，求出最小项；如果不存在，说明理由.19. 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边 AD 为半圆的直径， O 为半圆的圆心， AB = 2 ， BC = 4 ，现要将此铁皮剪出一个，其中边MN ⊥ BC ，点在曲线上运动.（1）设∠ MOD =30°，若，求的面积；（2）求剪下的铁皮面积的最大值.20. 已知正项数列的前三项分别为，为数列的前项和，满足：（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足… ，求数列的前项和 (参考公式：… )参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019-2020学年度第二学期期中考试 高一数学试卷及答案
一、选择题：(本题共10小题，每题4分，共40分．每题有且只有一个正确答案) 1．下列命题正确的是（ ）A ．终边与始边重合的角是零角B ．终边与始边都相同的两个角一定相等C ．小于90的角是锐角D ．若120α=-，则α是第三象限角 2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A ．200，20 B ．200，10C ．100，10D ．100，203．下列区间中是使函数sin()4y x π=+单调递增的一个区间是（ ）A ．2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]π-，0D ．42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．已知扇形的半径为1，中心角为30°，关于弧长l 与扇形面积S 正确的结果为（ ） A ． 12l π=B ． 3l π=C ． 6S π=D ． 12S π=5．下列既是偶函数又是以π为周期的函数（ ）A ．cos y x =B ．sin(2)2y x π=-C ．2sin()2y x π=+D ．32cos(2)2y x π=+6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．257．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学（平行班）试题球至多有一个白球”中的哪几个( )A ．①③B ．②③C ． ①②D ．①②③8．将函数4cos(2)5y x π=+的图像上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式是（ ）A ．4cos(4)5y x π=+B ．4sin(4)5y x π=+C ．4cos(4)5y x π=-D ．4sin(4)5y x π=-+9．已知1sin cos 8αα=-，且344ππα<<，则cos sin αα+的值等于（ ）A ．32 B ．32- C ．34 D ．34- 10．任意ABC ∆中，给出下列4个式子，其中为常数的是（ ） ①sin()sin A B C ++；②cos()cos A B C ++；③sin(22)sin 2A B C ++； ④cos(22)cos 2A B C ++；A ．①②B ． ②③C ． ③④D ．①④二、填空题：(本题共5小题，每题4分，共20分．)11．在半径为1的圆O 内任取一点A ，则12OA <的概率为_____________.12．如果sin 0tan 0θθ><，，那么角θ所在象限是_____________. 13．已知1cos(75)6α︒+=，则sin(15)α︒-=_____________. 14．为了科普“新型冠状病毒”相关知识，增强中学生预防意识，某中学随机抽取30名学生参加相关知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x ，则m ，n ，x 的大小关系为 .(用“<”连接)15．已知函数2()sin cos f x x x a =++，a R ∈，若对区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上任意x ，都有()1f x ≤成立，则实数a 的取值范围_____________.三、解答题：(本题共5小题，每题12分，共60分．) 16．化简计算：（1）已知tan 2x =，计算221sin 2cos x x+；（2）化简sin()cos()cos(2)cos()2πααπαππα+---+17．已知函数()sin()24x f x π=+.（1）写出函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间263ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域.18．下表数据为某地区某种农产品的年产量x (单位:吨)及对应销售价格y (单位:千元/吨) ．（1）若y 与x 有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程．（2）若该农产品每吨的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，利用上问所求的回归方程，预测当年产量为多少吨时，年利润Z 最大?（参考公式：回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，1122222212n n n x y x y x y nx y b x x x nx +++-=+++-，a y bx =-） 19．高老师需要用“五点法”画函数()sin()(00)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，，在一个（1） 请同学们帮助高老师写出表格中的两个未知量a 和b 的值，并根据表格所给信息写出函数解析式（只需在答题卡的相应位置填写答案，无需写出解析过程）；（2） 将()y f x =图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()g x 图像，求()y g x =距离原点O 最近的对称中心.20．空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染.一环保人士记录了某地2020年某月10天的AQI 的茎叶图如图所示.(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.一、选择题：（4分⨯10=40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DABDBDCCAB2019-2020学年度第二学期期中考试 高一数学（平行班）试题答案二、填空题：（4分⨯5=20分） 11.14； 12. 第二象限； 13. 16； 14. n <m <x ； 15. 14⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 三、解答题：（12分⨯5=60分）16.解：（1）222222221sin cos tan 15==sin 2cos sin 2cos tan 26x x x x x x x x ++=+++ （2）=cos (cos )cos (cos )0αααα---=原式17.解：（1）要求()f x 的单调递增区间，只需满足22()2242x k k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：344()22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间344()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，. （2）因为263x ππ-≤≤，所以762412x πππ≤+≤，又因为7sin sin sin 6122πππ<<，所以函数()f x 在区间7612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，18.解：（1）由所给数据计算得()()()552113,50,123,10i i i i i x y x x y y x x====--=--=∑∑，代入公式解得12.3,86.9b a =-=，所以ˆ12.386.9yx =-+．（2）因为年利润2(12.386.9)13.112.373.8Z x x x x =⋅-+-=-+，所以当x =3时,年利润Z 取得最大值，故预测当年产量为3吨时,年利润Z 大．19.解：（1）131212a b ππ==，，有表格所给数据可知52A ω==，，因此函数解析式可以确定为()5sin(2)f x x ϕ=+，再将点(5)3π，带入函数得：=2()6k k Z πϕπ-+∈，又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()5sin(2)6f x x π=-.（2）由题意的()5sin(2)6g x x π=+，令2()6x k k Z πππ+=+∈，解之得5()122k x k Z ππ=+∈，即对称中心为5(0)()122k k Z ππ+∈，， 当50(0)12k π=，对称中心为，，当1(0)12k π=--，对称中心为，，因此距离坐标原点最近的对称中心为(0)12π-，．20.解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为410＝25，估计该月空气质量优良的概率为25，从而估计该月空气质量优良的天数为30×25＝12.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4； 为中度污染的共1天，记为b ；为重度污染的共1天，记为c .从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，a 4)，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共9个.9 15＝3 5.所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为。
江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研数学试题(解析版)
江苏省西亭高级中学2020届高三年级第二学期数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合{2,5},{3,5}A B ==，则A B =U ____________. 【答案】{}2,3,5 【解析】 分析】根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集，知A B =U {}2,3,5. 故答案为：{}2,3,5【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题.2.若复数122,2z i z a i =+=-（i 为虚数单位），且12z z 为实数，则实数a =______________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，求出12z z ，由虚部为零，即可求解. 【详解】1212,22,(42)2z i i z a i z a a z =+=-=++-,12z z Q 为实数，4a =.故答案为:4.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题. 3.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ．【【答案】9 【解析】:试题分析：由题意可得，a 是在不断变大的，b 是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;" 考点：算法的流程图的计算4.若曲线(1)xy ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________.【答案】2- 【解析】 【分析】求出y '，并由0|1x y ='=-，建立a 的方程，即可求解. 【详解】,((1)1)xxy y ax e ax a e '=+=++，011,2x y a a ='=+=-∴=-.故答案为:-2.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________. 【答案】14【解析】 【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为14. 故答案为：14【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 6.已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称，则()0f =______．【答案】12【解析】 【分析】根据对称轴方程,2x k k Z ππ=+∈，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算()0f 的值.【详解】因为正弦函数的对称轴为,2x k k Z ππ=+∈，所以2,62k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 所以5,6k k Z πϕπ=+∈，又因为[)0,ϕπ∈，所以56πϕ=，此时0k =， 所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()510sin 62f π==. 故答案为12. 【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值. 7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若264,,S S S 成等差数列，则246a a a +的值为__________． 【答案】2. 【解析】分析：利用264,,S S S 成等差数列求出1q =-：由()222144462112a q a a q a a q q+++===可得结果. 详解：设{}n a 的首项1a ，公比为q ，1q =时，264,,S S S 成等差数列，不合题意； 1q ≠时，Q 264,,S S S 成等差数列，()()()6241112111111a q a q a q qq q---∴=+---：解得1q =-：()222144462112a q a a q a a q q+++∴===：故答案为2. 点睛：本题主要考查等比数列的基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8.已知△ABC 的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于________． 【答案】1124- 【解析】 【分析】不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4，由三角形的面积公式可得234a b c ==，设234a b c x ===，可得2x a =，3x b =，4xc =，可得A 为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解． 【详解】解：由题意，不妨设ABC ∆的三边a ，b ，c 上对应的高的长度分别为2，3，4， 由三角形的面积公式可得：111234222a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯，解得：234a b c ==，设234a b c x ===， 则2x a =，3x b =，4xc =，可得a 为三角形最大边，A 为三角形的最大角， 由余弦定理可得：222222()()()11342cos 224234x x xb c a A x x bc +-+-===-⨯⨯．故答案为：1124-． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2 【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅=考点：球的表面积10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=,若C 上存在点P ,使得过点P 引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,满足60APB ∠=︒,则椭圆C 的离心率的取值范围是 .【答案】 【解析】【详解】试题分析：连接OP ，30OPB ∴∠=o ，OB b =Q ， 2OP b ∴= ， 2b a ∴≤，22244a c a ∴-≤，e ∴≥． 考点：求椭圆离心率范围点评：求离心率问题关键是找到关于,,a b c 的齐次方程或不等式．11.在斜三角形ABC 中，AC AB =，D 是BC 中点，E 在边AB 上，2AE BE =，AD 与CE 交与点O .若AB AC AO EC λ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则λ=_____.【答案】152【解析】 【分析】作出图形，利用AB u u u r 、AC u u ur 表示向量AO u u u r 、EC uuu r ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得实数λ的值.【详解】如下图所示，过点D 作//DF CE 交AB 于点F ，则点F 为BE 的中点，2AE BE =Q ，F 为BE 的中点，所以24AE BE EF ==，45AE AF ∴=， //CE DF Q ，45AO AE AD AF ∴==，()()44125525AO AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，()()()2221232325315AO EC AB AC AC AB AC AB AB AC ⋅=+⋅-=-+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v 222223215315AB AB AB AC AB AC ⎛⎫=⨯-+⋅=⋅ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 由215AB AC AO EC AB AC λλ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得152λ=. 故答案为：152.【点睛】本题考查利用平面数量积求参数值，考查平面向量数量积运算律的应用，属于中等题. 12.已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 【答案】19【解析】 【分析】将不等式两边同乘以31a b+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】∵0a >，0b >，且31126a b a b++≤+∴()23131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6a b =时取等号.令()310t t a b+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴1113139ab a b t a b ==≤++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.13.设函数()()21f x x a x a x x a =---++：0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤： 则a 的取值范围是____：【答案】[2]- 【解析】 【分析】存在[]01,1x ∈-, 使()00f x ≤：等价于()[]min 0,1,1f x x ≤∈-：化简()f x 的解析式：判断()f x 的单调性：讨论()f x 的单调区间与区间[]1,1-的关系，求出()f x 在[]1,1-上的最小值：令最小值小于或等于零解出a 即可.【详解】Q 存在[]01,1x ∈-, 使()00f x ≤：()[]min 0,1,1f x x ∴≤∈-：当x a ≤时,()()()2221221f x x a a x x a ax a a =--+++=-++,()f x ∴在(],a -∞上单调递减：当0a x <<时,()()2222212221f x x a x a x ax a a =-+++=--++：()f x ∴在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减：在,02a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增：当0x ≥时：()()22221221f x x a x a ax a a =-+++=-+++：()f x ∴在[)0,+∞上单调递增：(1) 若12a≤-：即2a ≤-时：()f x 在[]1,1-上单调递增, ()()2min 1430f x f a a ∴=-=++≤,解得31,32a a -≤≤-∴-≤≤-： (2)若102a -<<：即20a -<<时：()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减： 在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()2min 21022a af x f a ⎛⎫∴==++≤ ⎪⎝⎭：解得2222a a --≤≤-+∴-<≤-+综上：a 的取值范围是3,2⎡--⎣：故答案为3,2⎡--⎣.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性：求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）.14.已知圆22: 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________.【答案】 【解析】 【分析】取PQ 的中点为M ，由2240AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最小时，弦PQ 的长才最大.【详解】设M 为PQ 的中点，()22222(2)AP AQAM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，即()2224022AM OQ OM=+-，22204AMOM =+-，2216AM OM -=.设(),M x y ，则()2222(2)(2)16x y x y-+--+=，得20x y ++=.所以min OM ==max PQ =故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥P A .（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE .【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解. 【解析】 【分析】（1）设PD 的中点为H ，连接,AH HF ,利用三角形中位线定理、矩形的性质、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，结合线面垂直的判定定理和性质、面面垂直的判定定理进行证明即可.【详解】（1）设PD 的中点为H ，连接,AH HF ,因为F 是PC 的中点，所以有1//,2HF DC HF DC =,又因为四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形, E 是AB 的中点,所以有 1//,2AE DC AE DC =，因此有//,HF AE HF AE =,所以四边形AEFH 是平行四边形，因此有//EF AH ,AH ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD ；（2）在矩形ABCD 中，设,AC DE 交于点M ，因为E 是AB 的中点,所以2AE =，因为AE DA AD CD ==Rt DAE ∆∽Rt ADC ∆，因此ADE ACD ∠=∠，而 90ADE CDE ︒∠+∠=，所以90ACD CDE AC DE ︒∠+∠=⇒⊥，而DE ⊥P A ， ,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面P AC ，所以DE ⊥平面P AC ，而DE ⊂平面PDE ，因此平面P AC ⊥平面PDE .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了平行四边形的判定和性质，考查了矩形的性质，考查了相似三角形的判定和性质，考查了推理论证能力.16.已知函数2()12sin ()4f x x x π=+--，（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间．（2）若方程()0f x m -=在区间[,]4ππ上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）T π=；7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. （2）(2,1]-.【解析】分析：：1：首先利用余弦倍角公式对2sin ()4x π-进行降次升角，之后借助于诱导公式以及辅助角公式，将函数解析式化简为()2sin(2)3f x x π=+：借助于正弦曲线的性质，利用整体角思维求得结果；：2：研究函数在给定区间上的性质，求得对应的结果.详解：（1）()212sin 4f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭cos 2sin22x x x x π⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴22T ππ== 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调递减区间为：()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）即()y f x =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y m =有两个不同的交点． 由（1）知：()f x 在7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减，在7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调增，∴()min 7212f x f π⎛⎫==-⎪⎝⎭，14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f π= ∴当21m -<≤时，()y f x =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y m =有两个不同的交点，即方程()0f x m -=在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上两个不同的实数解．∴m 的取值范围为(]2,1-．点睛：该题考查的是有关三角函数的综合题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，诱导公式，辅助角公式，将函数解析式，之后利用整体角思维求得结果，关于第二问，注意应用整体角思维，研究对应区间上的函数图像的走向，从而求得结果.17.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且过点(1，32)，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，且满足(0)OA OB tOP t +=u u u v u u u v u u u v＞.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若t =，求直线AB 的方程.【答案】(1) 22143x y +=；(2) 1)2y x =±-.【解析】 【分析】（1）3(1,)2代入椭圆方程，结合,,a b c 关系，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线l 方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出,A B 两点的坐标关系，进而求出P 点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线l 方程. 【详解】(1)由题意可知，c =1，且221914a b += 又因为222a b c =+，解得2a =，b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(2)若直线AB 的斜率不存在，则易得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴()2,02OA OB OP +==u u u r u u u ru u ur ，得P (0)， 显然点P 不在椭圆上，舍去；因此设直线l 的方程为(1)y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122834k x x k +=+， 则由()1212,(2)2OA OB x x k x x +=++-=u u u r u u u r u u u r得()12122)P x x x x ++- 將P 点坐示代入椭圆C 的方程，得22212123()4(2)6x x k x x +++-=(*)；将2122834k x x k +=+代入等式(*)得234k =∴k = 因此所求直线AB的方程为1)2y x =±-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题. 18.如图是一幅招贴画示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、P A 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H .设弧AD 的长为l ，3()44APH θθππ∠=∈,,.（1）求l 关于θ的函数关系式； （2）定义比值OPl为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角θ满足：的tan()4θθπ=-时，招贴画最优美.【答案】（1）2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，当π3π(,)24θ∈时，点P 在线段GH 上，当 π2θ=时，AP a =.求出半径AP 后可得弦长； （2）由（1）的分类讨论求得sin cos 2OP l θθθ-=.3(,)44ππθ∈，令sin cos ()2f θθθθ-=，用导数的知识求它的最大值即可得．【详解】解：（1）当ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，sin aAP θ=；当π3π(,)24θ∈时，点P 线段GH 上，sin(π)sin a a AP θθ==-；当 π2θ=时，AP a =. 综上所述，sin a AP θ=，π3π(,)44θ∈.所以，弧AD 的长22sin a l AP θθθ=⋅=，故所求函数关系式为2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈. （2）当ππ(,)42θ∈时，cos tan sin a a OP OG PG a a θθθ=-=-=-；当π3π(,)24θ∈时，cos tan(π)tan sin a a a OP OG GH a a a θθθθ=+=+=-=--；当 π2θ=时，OP a =.所以，cos sin a OP a θθ=-，π3π(,)44θ∈.从而，sin cos 2OP l θθθ-=. 记sin cos ()2f θθθθ-=，π3π(,)44θ∈. 则2(cos sin )(sin cos )()2f θθθθθθθ+--'=. 令()0f θ'=，得(cos sin )sin cos θθθθθ+=-. 因为π3π(,)44θ∈，所以cos sin 0θθ+≠，从而sin cos cos sin θθθθθ-=+， 显然π2θ≠，所以sin cos tan 1πtan()cos sin tan 14θθθθθθθθ--===-++. 记满足πtan()4θθ=-的0θθ=，下面证明0θ是函数()f θ的极值点.设()(cos sin )(sin cos )g θθθθθθ=+--，π3π(,)44θ∈.则()g θ'=(cos sin )0θθθ-<在π3π(,)44θ∈上恒成立， 从而()g θ在π3π(,)44θ∈上单调递减，所以，当0π(,)4θθ∈时，()0g θ>，即()0f θ'>，()f θ在0π(,)4θ上单调递增；当03π(,)4θθ∈时，()0g θ<，即()0f θ'<，()f θ在03π(,)4θ上单调递减. 故 ()f θ在0θθ=处取得极大值，也是最大值.所以，当θ满足πtan()4θθ=-时，函数()f θ即OP l取得最大值，此时招贴画最优美.【点睛】本题考查三角函数的应用，考查导数的实际应用，用导数求函数的最值．解题关键用分类讨论的方法求出弦的半径和OP ．19.设函数()3()()f x x t m x t =---，其中t ，R m ∈.（1）若9m =，求()f x 的极值；（2）若曲线()y f x =与直线()y x t =---m 的取值范围.【答案】（1）极大值为-；（2）()7,+∞ 【解析】 【分析】（1）把9m =代入()f x 后求导，判断()f x 的单调性，进而可以求得极值；（2）将公共点转化为零点问题，构造函数()()31g x x m x =+-+，求导判断()g x 的单调性，结合零点定理即可求出m 的取值范围.【详解】（1）当9m =时，()()()39f x x t x t =---，()()(2393f x x t x t x t '=--=-+-，令()0f x ¢=，解得x t =+x t =当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表；∴()y f x =的极大值为(((39f t =-=极小值为((3f t +=-=-（2）由题意，曲线()y f x =与直线()y x t =---可转化为()()0f x x t +-+=令u x t =-，可得()310u m u +-+=；设函数()()31g x x m x =+-+，即函数()y g x =有三个不同的零点；()()231g x x m '=+-，当1m £时，()0g x ¢³恒成立，此时()g x 在R 上单调递增，不合题意当1m >时，令()0g x ¢=，解得1x =，2x = ()0g x ¢>，解得1x x <，或2x x >， ()0g x ¢<，解得12x x x <<，∴()g x 在()1,x -∞和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，∴()g x 的极大值为())321109m g x g ⎛-==+> ⎝；极小值为())32219m g x g --==+若()20g x ≥，由()g x 的单调性可知，函数()g x 至多有两个零点，不合题意；若()20g x <，即()321m ->7m >2x >，0g=>，1x -，((610g m -=--<从而由零点定理知，()y g x ∴=在区间()1x -，()12,x x ，(2x 内各有一个零点，符合题意；∴m 的取值范围是()7,+∞.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，构造函数和零点定理的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.20.已知数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为n S ，且数列｛n S n ｝是以12为公差的等差数列· （1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）设2nn n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为n T ，①求证：数列｛nT n｝为等比数列， ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得()()m m n n T m S T n S λλ+=+，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ所有可能值．【答案】（1）1n a n =+；（2）①见证明；②当n =2，m =4时，λ=-2，当n =2，m =3时，λ=-1. 【解析】 【分析】（1）先求解等差数列{}nS n 的通项公式，再根据1(2)n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式；（2）①采用错位相减法先求n T ，再根据11(0)n n T n c c T n++=≠，证明{}n T n 为等比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即m n λ、、取什么值时能满足要求. 【详解】（1）因为12a =，所以121S = 所以1132(1)222n S n n n =+-=+ 即21322n S n n ==+当2n ≥时，2211311(1)(1)12222n S n n n -=-+-=+-∴11(2)n n n a S S n n -=-=+≥当n=1时，12a =，符合上述通项，所以1()n a n n N *=+∈ (2）①因为1()n a n n N *=+∈，所以2(1)nn b n =+ 所以23222324...2(1)nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅+ 则23412222324...2(1)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅+ 两式相减，可整理得12n n T n +=⋅的∴+12n n T n =，+12+1n n T n n T ⋅=，且141T = 所以数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列. ②由①可知，12n n T n +=⋅，且由（1）知21322n S n n ==+，代入()()m m n n T m S T n S λλ+=+可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭整理得22232232m n m m n n λλ++=++即：22323222n m n n m m λλ++++=，设2322n nn n c λ++=，则m n c c = 则222111(1)3(1)23224222n n n n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-=因为2λ≥-，所以当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=＜，即1n n c c +＜ 因为1m n ＞＞，且245143160288c c λλλ+++-=-=≥ 所以2(5)n c c n ≥＞所以24c c =或23c c =，即n=2，m =4或3 当n =2，m =4时，λ=-2， 当n =2，m =3时，λ=-1.【点睛】（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）⨯（等比数列）的形式；（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论. 21.已知矩阵1031⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量18β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求向量α，使得2A αβ=.【答案】12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由矩阵乘法求出2A ，设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由已知等式得出,x y 的方程组，可解得,x y ，得向量α．【详解】解：因为1031⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以2101010313161⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2αβ=⇔A 1061⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=18⎡⎤⎢⎥⎣⎦⇔168x x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦所以1,68x x y =⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，所以12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，掌握矩阵乘法法则是解题基础．22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度. 【答案】（1）22220x y x y +--=；（2【解析】 【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C 是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】（1）因为)4πρθ=-，所以()cos cos sin sin 2cos sin 44ππρθθθθ⎫=+=+⎪⎭即()22cos sin ρρθρθ=+.因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，所以222()x y x y +=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=（2）因为直线l的参数方程为2112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以)x =-=所以l的直角坐标方程为0x -+=所以圆心()1,1到直线l 的距离12d ==，所以AB ===AB 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．23.如图，在三棱锥P -ABC 中，AC ⊥BC ，且，AC =BC =2，D ，E 分别为AB ，PB 中点，PD ⊥平面ABC ，PD =3.(1)求直线CE 与直线P A 夹角的余弦值； (2)求直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值.【答案】；(2)11. 【解析】 分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出,CE PA u u u r u u u r夹角，即可得结果；（2）求出平面DEC 的法向量，其PC uuu r与法向量夹角的余弦的绝对值，即为所求角的正弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，A(2，0，0)，D (1，1，0)，E (12，32，32)，P (1，1，3)， ()1331,1,3,,,222PA CE ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r设直线CE 与直线P A 夹角为θ，则cos PA CEPA CEθ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r整理得cos 19θ=； ∴直线CE 与直线P A夹角的余弦值19；(2)设直线PC 与平面DEC 夹角为0θ，设平面DEC 的法向量为(,,)m x y z =u r，因为()1,1,0CD =u u u r，133,,222CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r所以有01330222x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 取1x =，解得1y =-，23z =， 即面DEC 的一个法向量为2(1,1,)3m =-u r ，()1,1,3CP =u u u r ，0sin 11CP m CP m θ⋅∴===⋅u u u r u r u u u r u r . ∴直线PC 与平面DEC 夹角的正弦值为11.【点睛】本题考查用空间向量法求空间角，注意空间角与空间向量角之间的关系，属于中档题.24.设*n N ∈且4n ≥，集合{}1,2,3,,M n =L 的所有3个元素的子集记为312,,,nC A A A L ． （1）当4n =时，求集合312,,,nC A A A L 中所有元素之和S ； （2）记i m 为i A 3(1,2,,)n i C =L 中最小元素与最大元素之和，求32018132018C ii mC=∑的值．【答案】（1）30；（2）2019. 【解析】 【分析】：1）当n=4时，因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个，从而得到结果； ：2：分类讨论明确最小元素的子集与最大元素的子集个数，从而得到31nC i i m =∑，进而得到结果.【详解】（1）因为含元素1的子集有23C 个，同理含2,3,4的子集也各有23C 个， 于是所求元素之和为()23123430C +++⨯=；（2）集合{}1,2,3,,M n =L 的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个； L L以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个． ∴31nC i i m =∑ 312nC m m m =+++L ()()2221221n n n C C C --=++++L ()()222312331n n n C C C C --=+++++L ()()222312441n n n C C C C --=+++++L()31n n C ==+L ，3131nC ii nm n C=∴=+∑．32018132018201812019C i i mC=∴=+=∑．【点睛】本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力．两题中得出含有相关数字出现的次数是关键．。
学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)_3 2)
学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.）(一)单项选择题：1.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数的实部为3B. 复数的模为5C. 复数部虚部为D. 复数的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如表所示:电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）A. 24，36，32，8B. 48，72，64，16C. 20，40，30，10D. 25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】计算每类人应抽选出的人数之比，然后根据所占的比例分别与100相乘，即可得结果.【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为,所以人数分别为选A.【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.3. 下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数有A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴①是随机事件．明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴②是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴③是随机事件从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必然事件在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不可能事件考点：随机事件4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是A. ―B. ±C. ―1D. ±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+ sinx=（cosx+sinx）=×（―）=-1，故选C6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；在中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故错误．在中, 互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例，故正确；故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.下列说法中，正确的是（）A. 频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B. 频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；D. 频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（）A. E为的中点B. 平面C. 与所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又//平面，平面，且平面平面所以//，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 的值域是C. 在区间上单调递增D. 在上有2个零点【答案】BD【解析】【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数在的图象，如图所示根据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错函数的值域是，B对在区间上单调递增，在单调递减，C错函数在上有2个零点，分别是，D对故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.二、填空题（共 4 小题；共 20 分.）13.如图所示，用三类不同的元件接成系统，若元件、、正常工作的概率分别为、、，那么系统正常工作的概率为________________.【答案】【解析】【分析】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，所以，系统正常工作的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.14.已知样本的平均数与方差分别是1和4，若，且样本的平均数与方差也分别是1和4，则________________.【答案】【解析】【分析】由样本的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4,得到a, b的关系式，由此能求出 .【详解】因为样本的平均数与方差分别是1和4，的平均数与方差也分别是1和4，所以，解得或，，故答案为：1【点睛】本题主要考查代数式求值，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，属于中档题.15.在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.【答案】 (1). 1 (2).【解析】【分析】由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以;所以，当，即时，三角形面积最大.故答案为(1). 1 (2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.16.已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②【解析】【分析】取中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.【详解】如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确；对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误故答案为①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其余各题 12 分，共 70 分.）17.己知向量是同一平面内的三个向量，其中（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；（Ⅱ）若是单位向量，且，求与的夹角.【答案】(Ⅰ)，或;(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）设向量的坐标为,运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到向量的坐标；（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为，可求得，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角.【详解】（Ⅰ）设，由，且可得所以或故，或（Ⅱ）因为，且，所以，即，所以，故，.18.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ）时，取最大值；时，取最小值.【解析】(I)先通过三角恒等变换公式把f(x)转化成,再求周期.(2)按照左加右减，上加下减的原则先确定,再求特定区间上的最值即可.（Ⅰ）,所以函数的最小正周期为.（Ⅱ）依题意,[]因为，所以.当，即时，取最大值；当，即时，取最小值.19.已知的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将边化角，利用两角和的正弦公式，简单计算即可得结果.（2）根据（1）条件，使用面积公式，可得，然后使用余弦定理可得，进一步可得结果.【详解】(1)由已知及正弦定理得,，即，故.可得，所以.（2）由已知.又，所以.由已知及余弦定理得，故，从而.所以的周长为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，熟记公式，细心计算，属基础题.20.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，补全这个频率分布直方图，并据此估计本次考试的平均分；（2）用分层抽样的方法，在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）首先可以计算出除了之外的其他分数段的频率，然后计算出分数在内的频率，再用频率除以组距即可，然后用每一分数段的中间数乘以每一分数段的概率再相加即可得出平均分；（2）首先算出在以及两个分数段中抽取的人数，然后列出从中任取2个的所有可能的事件，并找出满足题目要求的事件，即可得出结果．【详解】（1）分数在内的频率为，（直方图略），平均分为：，（2）由题意，分数段的人数为：人，分数段的人数为：人，因为用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，抽样比，所以需在分数段内抽取人，并分别记为；在分数段内抽取人并分别记为；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件A，则基本事件有：共15种．事件A包含的基本事件有：（共种，所以．【点睛】本题考查了频率分布直方图以及概率，在计算频率分布直方图类的题目时要注意图表中所提供的信息，注意纵坐标是“频率除以组距”，考查计算能力与推理能力，是中档题．21.如图，在三棱锥中，平面平面，，．设，分别为，中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点，，的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）点是线段中点【解析】【分析】（1）通过证明，证明平面；（2）通过和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；（3）通过证明两个平面内的两条相交直线分别平行，证明平面平面即可.【详解】（1）因为点是中点，点为的中点，所以，又因为平面平面，所以平面；（2）因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，所以又因为，所以平面；（3）当点线段中点时，过点的平面内的任一条直线都与平面平行，证明如下：取中点，连.由（1）可知平面.因为点是中点，点为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，所以平面平面，所以平面内的任一条直线都与平面平行.考点：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，探索性问题；空间想象能力和逻辑推理能力.22.已知函数，.（1）把表示为的形式，并写出函数的最小正周期、值域；（2）求函数的单调递增区间：（3）定义：对于任意实数、，设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；（3）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解【详解】（1），，值域为；（2）令，解得，所以函数的单调递增区间为，;（3）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，，当，即时，，当，即时，，故，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.）(一)单项选择题：1.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数的实部为3B. 复数的模为5C. 复数部虚部为D. 复数的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如表所示:电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）A. 24，36，32，8B. 48，72，64，16C. 20，40，30，10D. 25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】计算每类人应抽选出的人数之比，然后根据所占的比例分别与100相乘，即可得结果.【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为 ,所以人数分别为选A.【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.3. 下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数有A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴①是随机事件．明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴②是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴③是随机事件从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必然事件在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不可能事件考点：随机事件4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是A. ―B. ±C. ―1D. ±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+sinx=（cosx+ sinx）=×（―）=-1，故选C6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为 ,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；在中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故错误．在中, 互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例，故正确；故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.下列说法中，正确的是（）A. 频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B. 频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；D. 频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（）A. E为的中点B. 平面C. 与所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又//平面，平面，且平面平面所以//，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 的值域是C. 在区间上单调递增D. 在上有2个零点【答案】BD【解析】【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数在的图象，如图所示根据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错。
江苏省西亭高级中学2019-2020学年高一数学下学期期中测试试题
江苏省西亭高级中学2019-2020学年高一数学下学期期中测试试题一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求。
1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为( ） A ．一个球 B ．一个球中间挖去一个圆柱 C ．一个圆柱D ．一个球中间挖去一个棱柱2． 某中学有学生2500人,其中男生1500人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中女生恰有20人，则n 的值为( ） A ．30B ．50C ．70D ．803． 在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于（ ） A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶24． △ABC 中，若c=22a b ab ++，则角C 的度数是( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．45°5． 已知直线1:l y kx b =+，2:l y bx k =+,则它们的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 已知直线()1:3210l mx m y +++=，直线()()2:2220l m x m y -+++=,且12l l //，则m 的值为( ）1l 2l 1l 1l 1l 2l 2l 2lA ．—1B ．12C ．12或—2D ．-1或-27． 在△ABC 中,60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8． 已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定9． 已知圆方程，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（ ）A ．54-B ．21C ．58D ．5110．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C ：228150x y x +-+=有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．43C ．32D ．3二、多项选择题:本题共3小题,每小题4分,共12分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求。
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B．若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 也相交 C．若 a ， b 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若 a 与 c 相交， b 与 c 异面，则 a 与 b 异面
【答案】AC
三、填空题：本题共 4 题，每小题 4 分，其中第 16 题每空两分，共 16 分.
C．一个圆柱
D．一个球中间挖去一个棱柱
2． 某中学有学生 2500 人，其中男生1500 人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的
时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为 n 的样本，若样本 中女生恰有 20 人，则 n 的值为（ ）
A．30
B．50
C．70
D．80
3． 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，
四边形 ACBD 面积的最大值为
．
【答案】 10 , 5 2
17．已知实数 x ， y 满足 (x 1)2 y 2 1 ，则 3x 4y 2 的最大值为
．
【答案】10 四、解答题:本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题 12 分）
如图，在空间四边形 ABCD 中， E, F 分别是 AB, AD 的中点， G, H 分别在 BC,CD 上，且 BG : GC DH : HC 1: 2. （1）求证： E, F,G, H 四点共面； （2）设 EG 与 FH 交于点 P ，求证： P, A,C 三点共线. 证明：（1）因为 E, F 分别为 AB, AD 的中点， 所以 EF BD . 在 BCD 中， BG DH ，
A． l1
l2 B．
l1
l2
C．
l1 l2
l2 D．l1
6． 已知直线 l1 : 3mx m 2 y 1 0 ，直线 l2 : m 2 x m 2 y 2 0 ，
且 l1//l2 ，则 m 的值为（ ）
A．-1
B． 1 2
C． 1 或-2 2
7． 在△ABC 中， B 60 ， b2 ac ，则△ABC 一定是（ ）
B．120°
C．60°或 120°
D．45°
【答案】B
5． 已知直线 l1 : y kx b ， l2 : y bx k ，则它们的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
6． 已知直线 l1 : 3mx m 2 y 1 0 ，直线 l2 : m 2 x m 2 y 2 0 ，
如图，在空间四边形 ABCD 中， E, F 分别是 AB, AD 的中点， G, H 分别在 BC,CD 上，且 BG : GC DH : HC 1: 2. （1）求证： E, F,G, H 四点共面； （2）设 EG 与 FH 交于点 P ，求证： P, A,C 三点共线.
19.（本小题 14 分）
A．一个球
B．一个球中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球中间挖去一个棱柱
【答案】B
2． 某中学有学生 2500 人，其中男生1500 人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的
时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为 n 的样本，若样本
中女生恰有 20 人，则 n 的值为（ ）
A．30
B．0
x（年） 2
3
4
5
6
y（万元） 1
2.5 3
4
4.5
（1）若知道 y 对 x 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，
求出 y 关于 x 的线性回归方程 yˆ bˆx aˆ ；
（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用 10 年的维修费用为 9 万元，试根据（1）
求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用 10 年的维修费用能
A． 4 5
B． 1 2
C． 8 5
D． 1 5
10．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y kx 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，
1 为半径的圆与圆 C ： x2 y2 8x 15 0 有公共点，则实数 k 的最大值为（ ）
A． 0
B． 4 3
C． 3 2
D． 3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分，在每小题的四个选项中，至少两项
是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
【答案】B
9． 已知圆 方程
，圆 与直线
且
（ 为坐标原点），则实数 的值为（ ）
相交于 两点，
A． 4 5
B． 1 2
C． 8 5
D． 1 5
【答案】C
10．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y kx 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，
1 为半径的圆与圆 C ： x2 y2 8x 15 0 有公共点，则实数 k 的最大值为（ ）
如图，在△ABC 中， D 为 AB 边上一点，且 DA DC ，已知 B ， BC 1. 4
（1）若△ABC 是锐角三角形， DC 6 ，求角 A 的大小； 3
（2）若 BCD 的面积为 1 ，求 AB 的长. 6
20.（本小题 14 分） 下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限 x 和所支出的维修费 y（万元） 的几组对照数据:
14．已知一组数据 6，7，8，9，m 的平均数是 8，则这组数据的方差是
．
参考公式：
s2
1 n
[(x1
x)2
(x2
x)2
(x3
x)2
(xn
x)2]
.
【答案】2
15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之 4 尺.葛生其下，
缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长 3 丈 5 尺，圆周为 4 尺，
22.（本小题 14 分）
在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 已知满足 (2a c) cos B b cos C .
（1）求角 B 的大小；
（2）若 b 2 ，求 ABC 面积的取值范围．
23.（本小题 14 分） 已知圆 O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2． （1）若直线 l 与圆 O 相切，求 k 的值； （2）若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B，当∠AOB 为锐角时，求 k 的取值范围； （3）若 k 1 ，P 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC，PD，切点为 C，D， 2 探究：直线 CD 是否过定点．
葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少
长
尺．（注：1丈等于10 尺）
【答案】37(或 1369 )
16．已知直线 l1 ： 3x y 6 0 与圆心为 M 0,1 ，半径为 5 的圆相交于 A，B 两点，
另一直线 l2 ： 2kx 2y 3k 3 0与圆 M 交于 C，D 两点，则 AB ______，
江苏省西亭高级中学 2019-2020 学年（下）期中测试
高一数学参考答案及评分标准
命题人：
审核人：
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），
绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）
A． 0
B． 4 3
C． 3 2
D． 3
【答案】B 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分，在每小题的四个选项中，至少两项 是符合题目要求.
11．圆 x2 y2 4x 1 0 （ ）
A．关于点 2,0 对称
B．关于直线 y 0 对称
C．关于直线 x 3y 2 0 对称
且 l1//l2 ，则 m 的值为（ ）
A．-1
B． 1 2
C． 1 或-2 2
D．-1 或-2
【答案】D
7． 在△ABC 中， B 60 ， b2 ac ，则△ABC 一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】D
8． 已知点 M a,b 在圆 O : x2 y2 1外，则直线 ax by 1与圆 O 的位置关系
江苏省西亭高级中学 2019-2020 学年高一数学下学期期中测试试题
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一 项是符合题目要求.
1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），
绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）
A．一个球
B．一个球中间挖去一个圆柱
A．锐角三角形
B．钝角三角形
D．-1 或-2
C．等腰三角形
D．等边三角形
8． 已知点 M a,b 在圆 O : x2 y2 1外，则直线 ax by 1与圆 O 的位置关系
是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
9． 已知圆 方程
，圆 与直线
相交于 两点，
且
（ 为坐标原点），则实数 的值为（ ）
是符合题目要求.
11．圆 x2 y2 4x 1 0 （ ）
A．关于点 2,0 对称
B．关于直线 y 0 对称
C．关于直线 x 3y 2 0 对称
D．关于直线 x y 2 0 对称
12．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．a2=b2+c2-2bccosA
另一直线 l2 ： 2kx 2y 3k 3 0与圆 M 交于 C，D 两点，则 AB ______，