高中数学人教A版选修2-1习题：第三章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算 Word版含答案
2019年人教A版高中数学选修2-1练习：3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数
姓名，年级：时间：3.1。
1 空间向量及其加减运算3.1。
2 空间向量的数乘运算1。
已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点，则+（+)等于( A ）(A） (B） (C)（D）解析：+（+）=+×(2)=+=。
故选A。
2。
下列命题中正确的个数是( A ）①若a与b共线，b与c共线,则a与c共线；②向量a,b,c共面，即它们所在的直线共面；③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb.（A)0 (B)1 (C)2 （D）3解析：①当b=0时，a与c不一定共线，故①错误;②中a，b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内，故②错误;③当b为零向量,a不为零向量时，λ不存在。
故选A。
3.在平行六面体ABCD EFGH中，若=x—2y+3z,则x+y+z等于( C ）（A）（B)（C）（D）1解析：=++,则x=1,y=—,z=，故选C.4.已知空间向量a,b，且=a+2b，=—5a+6b，=7a—2b,则一定共线的三点是（ A ）(A）A,B，D （B）A,B,C (C)B，C，D (D)A，C,D解析：因为=+=2a+4b=2，所以A，B，D三点共线。
故选A.5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n，其中m+n=1,则（ A ）(A)P∈AB (B)P∉AB(C）点P可能在直线AB上（D）以上都不对解析：因为m+n=1,所以m=1—n，所以=（1—n)+n,即—=n（-）,即=n，所以与共线.又有公共起点A,所以P，A,B三点在同一直线上，即P∈AB.故选A。
6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D ）（A）m,n,p共线（B）m与p共线（C)n与p共线(D)m,n，p共面解析:由于(a+b）+（a-b）=2a，即m+n=2p,即p=m+n，又m与n不共线，所以m,n,p共面。
7。
已知i，j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=—i+4j—2k，c=7i+5j+λk，若a，b,c三个向量共面,则实数λ等于( D ）(A) (B）9 （C) (D)解析:因为a，b,c三向量共面,所以存在实数m，n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k）+n(—i+4j-2k）。
高中数学人教A版选修2-1同步练习：3.1.1空间向量及其加减运算
第三章 3.1.1空间向量及其加减运算一、选择题1．下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b ；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] (1)正确．∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A 、B 、C 、D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c . (3)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (4)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(5)不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向．故选C. 2．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B ．AC → C.AB → D.BA → [答案] D[解析] 解法1：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法2：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B ．AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．4．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是( )A.OA →＋OB →＝AB →B.OA →＋OB →＝BA →C.AO →－OB →＝AB →D.OA →－OB →＝CD →[答案] D[解析] OA →－OB →＝BA →＝CD →，故选D.5．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C[解析] 利用向量相等的定义求解．6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①AB →＋BC →＋CC 1→ ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→ ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→ ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] D[解析] 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→. 二、填空题7．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. [答案] b －c －a[解析] A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a . 8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________. [答案] 0[解析] 方法1：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 方法2：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 三、解答题9.如图所示的是平行六面体ABCD —A1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→. (2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→.10.在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →；(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.一、选择题11．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ．2＋ 2 D ．2 2[答案] D[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2. 12．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错； ⑤假命题．零向量的方向是任意的．13．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0 [答案] B[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →， EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形， 故EF →＋GH →＝0，故选B.14．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC →B ．AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向 [答案] D 二、填空题15．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为________________________________．[答案] 12(AD →－AB →)[解析] MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →)16．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确的是__________． [答案] ①②③[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB ′→＋BC →＝AC ′→，∴④不正确．三、解答题17.如图，在空间四边形ABCD 中，AB 的中点为E ，DC 的中点为F ，证明EF →＝12(AD →＋BC →)．[证明] 证法1：设AC 的中点为G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.故EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →)．证法2：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA →＋EB →＝0，DF →＋CF →＝0，∵EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →， ∴2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12(AD →＋BC →)．证法3：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴GE →＝12(GA →＋GB →)，GF →＝12(GC →＋GD →)，∴EF →＝GF →－GE →＝12(GC →＋GD →－GA →－GB →)＝12[(GC →－GB →)＋(GD →－GA →)]＝12(BC →＋AD →)．。
人教版高中数学选修2-1习题课件：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算
解：(1)
→ AA′
－
→ CB
＝
→ AA′
－
→ DA
＝
→ AA′
＋
A→D＝A→A′＋A→′D′＝A→D′.
(2)A→A′＋A→B＋B→′C′＝(A→A′＋A→B)＋B→′C′＝A→B′＋B→′C′
＝A→C′，
向量A→D′、A→C′如图所示．
所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：A
4．式子(A→B－C→B)＋C→C1运算的结果是________．
解析：(
→ AB
－
→ CB
)＋
→ CC1
＝(
→ AB
＋
→ BC
)＋
→ CC1
＝
→ AC
＋
C→C1＝A→C1.
答案：A→C1
5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N
分别为AB、B1C的中点．用
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：与向量A→D相等的向量有B→C，A→1D1，B→1C1共3 个．
答案：C
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列 各结论正确的有( )
①O→A＋O→D与O→B1＋O→C1是一对相反向量； ②O→B－O→C与O→A1－O→D1是一对相反向量； ③O→A＋O→B＋O→C＋O→D与O→A1＋O→B1＋O→C1＋O→D1是一 对相反向量； ④O→A1－O→A与O→C－O→C1是一对相反向量． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
③与向量
→ B1B
相反的所有向量为
→ AA1
，
→ BB1
人教A版高中数学选修2-1课件第三章3.1.1空间向量及其加减运算
4．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，DD1 － AB＋ BC 化简后的结
果是
()
A． BD1
B． D1B
C． B1D
D． BD1
解析：由正方体的性质可得 DD1 － AB＋ BC ＝ DD1 － DC ＋ BC
＝CD1 ＋ BC ＝ BD1 .
答案：A
5．已知空间四边形 ABCD 中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD
1.向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比 较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比 较大小. 2.零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0 与任何空间向量平行. 3.单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相 等向量. 4.空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以 用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个 向量是共面的．
解：(1)因为长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的向量 AA1 ， A1 A ，BB1 ，B1B，DD1 ，D1D，CC1 ，C1C 共 8 个向量 都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共 8 个． (2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为 5，故模为 5的向 量有 AD1 ， D1 A，C1B， BC1 ， B1C ，CB1 ， A1D， DA1 . (3)向量 AA1 的相反向量为 A1 A ， B1B，C1C ， D1D， 共 4 个.
解：(1) AA－CB＝ AA－ DA＝ AA＋ AD＝ AA＋ AD＝ AD. (2) AA＋ AB＋ BC＝( AA＋ AB)＋ BC ＝ AB＋ BC＝ AC . 向量 AD、 AC如图所示．
(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和 平面向量中对应的概念完全一样．
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.1空间向量及其加减运算 (共63张PPT)
人教A版选修2-1第三章第一课时同步练习3.1.1空间向量及其加减运算
§3.1.1 空间向量及其加减运算一、选择题1．下列命题:(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)已知A ，B ，C ，D 是不共线的四点，若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)若|a|=|b|且a ∥b ，则a=b ； (5) 若 a ＝b ，则|a |＝|b|．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( )A ．AB →＋BC →＝AC →B ．AB →＋BC →＋CA →＝0 C ．AB →－AC →＝CB →D ．AB →＝－BA →3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( )A ．AB →＝BC →＋CD → B ．AB →－DC →＋BC →＝AD →C ．AD →＝AB →＋BC →＋DC → D ．BC →＝BD →－DC →4．在平行六面体ABCD —A ‘B ’C ‘D ’中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中(1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.运算的结果为向量AC 1→的共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A ．EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0 B ．EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C ．EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D ．EF →－FB →＋CG →＋GH →＝09．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →＝( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －b D ．2(a －b )二、填空题10．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________.11．已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝____.12．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为______________________．三、解答题13．如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式．(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.14．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证EF →＝12(AB →＋DC →)．参考答案一、选择题1．[答案] C[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．(2)正确．∵AB →＝DC →∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A ，B ，C ，D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．(3)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同．∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c .(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反．(5)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，2．[答案] B[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0.3．[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．4．[答案] C[解析] 利用向量相等的定义求解．5． [答案] A[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD → ＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝－12a ＋12b ＋c .∴应选A. 6．[答案] D7．[答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；⑤假命题．零向量的方向是任意的．8．[答案] B[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →，EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形，故EF →＋GH →＝0，9．[答案] A[解析] BC →＝BO →＋OC →＝BO →－OA →＝－b －a ，故选A.二、填空题10． [答案] b －c －a[解析] A 1B →＝CB →－CA →＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .11． [答案] OD →[解析] ∵D 为BC 中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，又OB →＋OC →＝－2OA →∴OD →＝－OA →即OD →＝AO →.12．[答案] 12(AD →－AB →) [解析] MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →) 三、解答题13．[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→(2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→14．[解析] 证明：EF →＝EA →＋AB →＋BF →，①EF →＝ED →＋DC →＋CF →，②①＋②，得2EF →＝(EA →＋AB →＋BF →)＋(ED →＋DC →＋CF →)＝AB →＋DC →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)．。
高中数学人教A版选修2-1练习课件：3-1-1 空间向量及其加减运算
学法指导
面向空间推广的过程，了 结合平面向量的相关性 解空间向量的概念． 质，类比学习空间向量的
2. 掌握空间向量的加法、 概念与运算，通过对空间 减法运算法则及其表示． 向量的学习，进一步体会 3. 理解并掌握空间向量的 数形结合的思想. 加、减法的运算律.
01课前自主学习
空间向量
1.
在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那
第三章 空间向量与立体几何
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一．它是沟通 代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背 景，空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角．空间向量 的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了 一个十分有效的工具，向量是一个重要的代数研究对象，引入 向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大的跳跃．从数、 字母与代数式到向量，运算也从一元到多元，向量又是一个几 何的对象，向量本身有方向，有方向就有角度和长度，能刻画
(3)在应用向量的三角形法则和平行四边形法则时，要注意以下 几点： ①对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量共起点，运用 三角形法则要求向量首尾顺次相连． ②对于向量的减法要求两向量有共同的起点．
3．空间向量和的多边形法则 有限多个空间向量a1，a2，…，an相加，也可以像平面向量那 → → 样，从某点O出发，逐一引向量OA1＝a1，A1A2＝a2，
利用向量解决立体几何问题是这一章学习的重点．学习中 应体会向量的思想方法在立体几何中的作用．掌握用向量方法 解决立体几何问题的“三步曲”，并灵活选择运用向量方法、 综合方法与坐标方法，从不同角度解决立体几何问题.
§3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
课标要求 1. 经历向量及其运算由平
人教A版高中数学选修2-1习题：第三章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．任意两个空间向量都可以比较大小B ．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C ．空间向量的大小与方向有关D ．空间向量的模可以比较大小 解析：由向量概念可知只有D 正确． 答案：D2．在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，与向量AD →相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4 答案：C3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →解析：AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. 答案：B4．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ．2＋ 2 D ．2 2解析：利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2. 答案：D5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( )A.AB →＋AD →＋AA 1→B.AB →－AC →＋BB 1→C.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→D.AC →＋CB 1→－AB →解析：在C 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 答案：C 二、填空题6．两个非零向量的长度相等是两个向量相等的_______条件． 答案：必要不充分7.如图，在以长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有________个． (2)写出模为5的所有向量________．解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，C 1C →，CC 1→，DD 1→，D 1D →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→.答案：(1)8 (2)AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→8．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝－a ＋b －c . 答案：－a ＋b －c 三、解答题9．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段．(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)AB →＋CC 1→－DD 1→.解：如图(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→.(2)AB →＋CC 1→－DD 1→＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→. 图中AC 1→，A 1B 1→为所求．10．已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′. 求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形． 所以AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→，所以AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)． 又因为AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，所以AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，所以AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.B 级 能力提升1．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →答案：D2．已知点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝________． 解析：设D 为AB 的中点，则MA →＋MB →＝2MD →， 又M 为△ABC 的重心，则MC →＝－2MD →， 所以MA →＋MB →＋MC →＝0. 答案：03．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，求λ的值．解：连接CG 并延长交AB 于D ， 则D 为AB 中点，且CG ＝2GD ， 所以OA →＋OB →＋OC →＝OG →＋GA →＋OG →＋GB →＋OG →＋GC →＝3OG →＋GA →＋GB →＋GC →＝3OG →＋2GD →＋GC →＝3OG →－GC →＋GC →＝3OG →. 所以λ＝3.。
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第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中正确的是( ) A ．任意两个空间向量都可以比较大小
B ．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小
C ．空间向量的大小与方向有关
D ．空间向量的模可以比较大小 解析：由向量概念可知只有D 正确． 答案：D
2．在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，与向量AD →
相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4 答案：C
3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →
，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →
解析：AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. 答案：B
4．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ．2＋ 2 D ．2 2
解析：利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →
|＝2 2. 答案：D 5．在正方体ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( )
A.AB →＋AD →＋AA 1→
B.AB →－AC →＋BB 1→
C.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→
D.AC →＋CB 1→－AB →
解析：在C 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →
＝0. 答案：C 二、填空题
6．两个非零向量的长度相等是两个向量相等的_______条件． 答案：必要不充分
7.如图，在以长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有________个． (2)写出模为5的所有向量________．
解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，C 1C →
，
CC 1→，DD 1→，D 1D →
共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→
，
C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→
.
答案：(1)8 (2)AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→
8．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →
＝________(用a ，
b ，
c 表示)．
解析：A 1B →
＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→
)＝－a ＋b －c . 答案：－a ＋b －c 三、解答题
9．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段．
(1)AB →
＋AD →＋AA 1→
； (2)AB →
＋CC 1→
－DD 1→
.
解：如图(1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→
.
(2)AB →
＋CC 1→
－DD 1→
＝AB →＋BB 1→－AA 1→＝AB 1→－AA 1→＝A 1B 1→
. 图中AC 1→
，A 1B 1→
为所求．
10．已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′. 求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.
证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形． 所以AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→，
所以AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→
)． 又因为AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →
，
所以AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，所以AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.
B 级 能力提升
1．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →
＝DC →
，则下列向量相等的是( )
A.AD →与CB →
B.OA →与OC →
C.AC →与DB →
D.DO →与OB →
答案：D
2．已知点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →
＝________． 解析：设D 为AB 的中点，则MA →＋MB →＝2MD →
， 又M 为△ABC 的重心，则MC →＝－2MD →
， 所以MA →＋MB →＋MC →
＝0. 答案：0
3．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →
，求λ的值．
解：连接CG 并延长交AB 于D ， 则D 为AB 中点，且CG ＝2GD ， 所以OA →＋OB →＋OC →
＝OG →＋GA →＋OG →＋GB →＋OG →＋GC →＝3OG →＋GA →＋GB →＋GC →＝3OG →＋2GD →＋GC →＝3OG →－GC →＋GC →＝3OG →. 所以λ＝3.。