2020版高考理科数学突破二轮复习新课标 教师用书：第2讲 练典型习题 提数学素养(6)
2020高考理科数学二轮提分教程全国通用不等式选讲考情考点考题突破(73张)
所以 f(x)的最小值为 9.
所以 a>9，即实数 a 的取值范围为(9，＋∞)．
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角度 2 绝对值不等式恒成立(或存在性)问题 例 2 (2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数 f(x)＝|x－a|－|x＋2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≤－x 的解集； (2)若 f(x)≤a2＋1 恒成－
7或－3<x<－1，
所以原不等式的解集是(－∞，－2－ 7)∪(－3，－1)．
(2)令 f(x)＝|x|＋2|x－9|，则关于 x 的不等式
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|x|＋2|x－9|<a 有解等价于 a>f(x)min.
3x－18，x≥9，
f(x)＝18－x，0≤x<9， 18－3x，x<0，
10 分，一般会出现在选考部分第二题的位置.
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1
PART ONE
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1.绝对值的三角不等式
定理 1：如果 a，b 是实数，则 □01 |a＋b|≤|a|＋|b|
，当且仅当 ab≥0
时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么
□02 |a－c|≤|a－b|＋|b－c|
当 x＞1 时，由 f(x)＜0 得 2(x＋1)－(x－1)＜0，
即 x＋3＜0，得 x＜－3，此时无解，
综上，不等式的解集为x－3＜x＜－13
.
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2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用课件：第一部分 第2讲 集合、复数、常用逻辑用语
解析：选 D．因为 ex>0 恒成立，所以选项 A 错误．取 x＝2，则 2x＝x2，所以选项 B 错 误．当 a＋b＝0 时，若 b＝0，则 a＝0，此时ab无意义，所以也不可能推出ab＝－1；当ab＝ －1 时，变形得 a＝－b，所以 a＋b＝0，故 a＋b＝0 的充分不必要条件是ab＝－1，故选 项 C 错误．假设 x≤1 且 y≤1，则 x＋y≤2，这显然与已知 x＋y>2 矛盾，所以假设错误， 所以 x，y 中至少有一个大于 1，故选项 D 正确．综上，选 D．
则(A∩C)∪B＝( )
A．{2}
B．{2，3}
C．{－1，2，3}
D．{1，2，3，4}
解析：选 D．因为 A∩C＝{－1，1，2，3，5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1，2}，所以(A∩C)∪B ＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．故选 D．
第四页，编辑于星期日：一点 三十五分。
3．(2019·郑州市第二次质量预测)已知全集 U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，
则 A∩(∁UB)＝( ) A．(－1，0)
B．[0，1)
C．(0，1)
D．(－1，0]
解析：选 D．A＝{x|1－x2>0}＝(－1，1)，B＝{y|y>0}，所以∁UB＝{y|y≤0}，所以 A∩(∁UB) ＝(－1，0]，故选 D．
第五页，编辑于星期日：一点 三十五分。
4．(一题多解)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则 A 中元素的个数为( )
这三个元素至少有一个在集合 A 中，若 2 或 3 在集合 A 中，则 1 一定在集合 A 中，因
此只要保证 1∈A 即可，所以 a≥1，故选 B．
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标 教师用书：第2讲 集合、复数及常用逻辑用语
利用等价转 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来
化法判断 判断真假
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第一部分 基础考点 自主练透
27
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28
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第一部分 基础考点 自主练透
9
(3)活“性”减“量”．灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律， 即∁U(M∩N)＝(∁UM)∪(∁UN)，∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)等简化运算，减少运算量． (4)借“形”助“数”．在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象 问题直观化，一般地，集合元素离散时用 Venn 图；集合元素连续时用数轴表示， 用数轴表示时要注意端点值的取舍．
25
④p∧q 假⇔p，q 至少一个假⇔(綈 p)∨(綈 q)真． ⑤綈 p 真⇔p 假；綈 p 假⇔p 真．
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第一部分 基础考点 自主练透
26
(2)充分、必要条件的 3 种判断方法
利用定义判断 直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假
从集合的 角度判断
若 A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是 “x∈A”的必要条件；若 A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的 充要条件
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第一部分 基础考点 自主练透
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(1)含逻辑联结词的命题真假的等价关系 ①p∨q 真⇔p，q 至少一个真⇔(綈 p)∧(綈 q)假．
2020新课标高考数学(理)二轮总复习(课件+专题限时训练)1-6-2
专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．若∀x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 答案：B解析：设y ＝sin x x ，则y ′＝(sin x )′·x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin x x 2.因为在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上x <tan x ，所以x cos x －sin x <0，所以y ′<0，所以y ＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以y 1>y 2.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2答案：C解析：f ′(x )＝4x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .∵x ＞0，∴由f ′(x )＝0得x ＝12.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎨⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)答案：D解析：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a <1，即0<a <1时，f (x )在(0,1)内有最小值．4．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案：D解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．(2019·曲靖二模)已知偶函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )，对定义域内的任意x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若f (2)＝1，则不等式x 2f (x )＜4的解集为( ) A ．{x |x ≠0，±2} B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2) 答案：B解析：令g (x )＝x 2f (x )－4，g (2)＝0. ∵g (－x )＝x 2f (－x )－4＝x 2f (x )－4＝g (x )，∴g (x )在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上为偶函数．当x ＞0时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]＞0成立． ∴函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴不等式x 2f (x )＜4⇔g (|x |)＜g (2)． ∴|x |＜2，x ≠0.解得x ∈(－2,0)∪(0,2)．6．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( ) A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )答案：A解析：因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0，则函数f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减． 由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b ，即af (b )≤bf (a )．7．(2019·甘肃模拟)若点(m ，n )在函数f (x )＝13x 3－x (x >0)的图象上，则n －m ＋22的最小值是( ) A.13 B ．23 C.223 D ．2 2答案：C解析：∵点(m，n)在函数f(x)＝13x3－x(x>0)的图象上，∴n＝13m3－m，则n－m＋22＝13m3－2m＋2 2.令g(m)＝13m3－2m＋22(m＞0)，则g′(m)＝m2－2，可得g(m)在(0，2)递减，在(2，＋∞)递增，∴g(m)的最小值是g(2)＝223.8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，且(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．不确定答案：C解析：由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数单调递减．当x<1时，f′(x)>0，函数单调递增．因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数f(x)图象的对称轴为x＝1.所以，若1≤x1<x2，则f(x1)>f(x2)；若x1<1，则x2>2－x1>1，此时有f(x2)<f(2－x1)，又f(2－x1)＝f(x1)，所以f(x1)>f(x2)．综上，必有f(x1)>f(x2)．9．已知函数f(x)＝ax－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a>2 B．a<3 C．a≤1 D．a≥3 答案：C解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0有解，即a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－x ln x，可得h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x．令h′(x)＝0，可得x＝1，当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.10．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D ．32答案：D解析：解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t ＞0)，则t ＋ln t ＝a ， 则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t ＞0)， 则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t (t ＞0)．令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g ′(t )＜0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )＞0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.11．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)·(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6.同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立， 故实数a 的取值范围为[－6，－2]．12．设函数f (x )＝3sin πm x ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2.则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：由正弦函数的图象知，f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3. ∴πx 0m ＝k π＋π2，k ∈Z .∴x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12·m .∴不等式x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3＜m 2(k ∈Z )⇔m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3(k ∈Z )． 存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔存在整数k 使不等式m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3成立．当k ≠0且k ≠－1时，必有⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞1，此时不等式显然不成立．∴k ＝0或－1时，m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3⇔34m 2＞3⇔m ＞2或m ＜－2. 二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是__________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0.解得－22<m <0.14．(2019春·潍坊期中)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝－2，若对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则不等式f (x )＞3x ＋4的解集为________． 答案：(－∞，－2)解析：根据题意，设g (x )＝f (x )－3x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－3.由对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则g ′(x )＜0，即g (x )在R 上为减函数． 又由f (－2)＝－2，则g (－2)＝f (－2)＋6－4＝0， 则f (x )＞3x ＋4⇒f (x )－3x －4＞0⇒g (x )＞g (－2)， 即不等式的解集为(－∞，－2)．15．(2019·南开区二模)已知函数f (x )＝e x －1e x －2sin x ，其中e 为自然对数的底数，若f (2a 2)＋f (a －3)＜0，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1解析：∵f (x )＝e x －1e x －2sin x ，∴f (－x )＝e －x －e x ＋2sin x ＝－f (x )， ∵f (x )′＝e x ＋1e x －2cos x ≥2e x ·e －x －2cos x ≥0，∴f (x )在R 上单调递增且为奇函数．由f (2a 2)＋f (a －3)＜0，可得f (2a 2)＜－f (a －3)＝f (3－a )， ∴2a 2＜－a ＋3，解得－32<a <1. 16．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞解析：由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立．令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min .又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：30分钟)1．(2019·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋e. (1)若f (x )≥ax 恒成立，求实数a 的最大值； (2)设函数F (x )＝e x －1f (x )－x 2－2x ＋1，求证：F (x )＞0. 解析：(1)函数f (x )＝x ln x ＋e 的定义域为(0，＋∞)， f (x )≥ax 恒成立⇔a ≤x ln x ＋e x .令φ(x)＝x ln x＋ex，则φ′(x)＝x－ex2，可得φ(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(e)＝2，∴a≤2.故实数a的最大值为2.(2)由(1)可知f(x)≥2x，只需证明2x≥x2＋2x－1e x－1.令g(x)＝2x－x2＋2x－1e x－1，则g′(x)＝2－3－x2e x－1＝2e x－1＋x2－3e x－1.令h(x)＝2e x－1＋x2－3，h′(x)＝2e x－1＋2x＞0在(0，＋∞)恒成立．注意到h(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，∴g(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0.∴2x≥x2＋2x－1e x－1.当且仅当x＝1时取等号，而f(x)≥2x，当且仅当x＝e时取等号，∴F(x)＞0.2．(2019·蓉城名校联盟联考)已知函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋2ln x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)是否存在最大整数k，当a≤k时，对任意的x≥2，都有f(x)<e x(x－1)－ax－ln x成立？(其中e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax －2(a ＋1)＋2x ＝2(ax －1)(x －1)x，所以当a ∈(－∞，0]时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a ∈(0,1)时，f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单凋递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．(2)ax 2－2(a ＋1)x ＋2ln x <e x (x －1)－ax －ln x 对x ≥2恒成立⇔ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x <e x (x －1)． ①当x ＝2时，得4a －(a ＋2)×2＋3ln 2<e 2， 所以2a <e 2＋4－ln 8<8＋4－2＝10， 所以a <5，则整数k 的最大值不超过4.下面证明：当a ≤4时，不等式①对于x ≥2恒成立， 设g (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x －e x (x －1)(x ≥2)， 则g ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x . 令h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x .则h ′(x )＝2a －3x 2－(x ＋1)e x <2a －(x ＋1)e x ≤2a －3e 2≤8－3e 2<0，所以h (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x ≤h (2)＝3a －12－2e 2≤232－2e 2<0. 即当x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )<0， 所以g (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝ax2－(a＋2)x＋3ln x－e x(x－1)≤g(2)＝2a－4＋3ln 2－e2<8－4＋3－e2＝7－e2<0.所以a≤4时，不等式①恒成立，所以k的最大值为4.。
2020高考理科数学二轮提分教程全国通用数学文化及核心素养类试题考情考点考题突破(96张)
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考向 2 数列中的数学文化 例 2 (2019·陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是 数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为 2n －1，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列 的前 15 项和为( )
4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、 哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．
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2
PART TWO
热点考向探究
考向 1 算法中的数学文化 例 1 (2019·哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著《庄子·天 下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺 的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所 示的程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则① ②③处可分别填入的是( )
A．55 B．52 C．39 D．26
答案 B
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
配套作业
解析 设从第 2 天开始，每天比前一天多织 d 尺布，则 S30＝390，所以 30×5＋30×2 29d＝390，解得 d＝1269，所以 a14＋a15＋a16＋a17＝4a1＋58d＝4×5 ＋58×1269＝52.故选 B.
配套作业
1
PART ONE
核心知识回顾
1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题 目．
2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：第1部分 2 第2讲 解答题审题技巧 Word版含解析
姓名，年级：时间：第2讲解答题审题技巧方法概述审题是解题的第一步,细致深入的审题是解题成功的必要前提．审题即审清题意，通常它包含三个环节，即解题前对已知与未知事项的初步分析与观察（通常意义下的审题)，解题过程中对题意的进一步分析，以及解题后的检验与反思．其具体内容是：已知什么？结论是什么?隐含什么？需做什么？得出什么？注意什么？等等;明确这些是正确解题的关键，下面浅谈一下如何学会审题．一审条件条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系．[典型例题］设函数f(x）＝ln x－ax，g（x)＝e x－ax,其中a为实数．若f（x）在（1，＋∞）上是单调减函数,且g（x）在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围．[审题路线图]f（x)在（1，＋∞)上递减→f′(x）<0→a的范围；求g′(x)→g（x）在（1，＋∞)上有最小值→a的范围→结果．［规范解答] 令f′(x）＝错误!－a＝错误!＜0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞),故a＞0，进而解得x＞a－1，即f(x）在(a－1,＋∞）上是单调减函数．同理，f(x）在（0，a－1）上是单调增函数．由于f(x）在（1，＋∞）上是单调减函数，故(1,＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1,即a≥1.令g′(x）＝e x－a＝0，得x＝ln a.当x＜ln a时，g′(x）＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x）在（1,＋∞）上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e。
综上可知，a∈（e，＋∞)．二审结论问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论,就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．［典型例题]（2019·杭州模拟)如图,在三棱柱ABC。
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用课件：专题二 高考解答题的审题与答题示范 数列类解答题
第八页，编辑于星期日：一点 三十五分。
标准答案 ＝－(3n－2)×4n＋1－8.⑧ 得 Tn＝3n3－2×4n＋1＋83.⑨ 所以数列{a2nb2n－1}的前 n 项和为3n3－2×4n＋1＋83.
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阅卷现场
第(1)问
第(2)问
得 ① ② ③④⑤⑥⑦⑧⑨
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标准答案 (1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q.由已知 b2＋b3＝12，得 b1(q＋q2)＝12， 而 b1＝2，所以 q2＋q－6＝0.① 又因为 q＞0，解得 q＝2，所以 bn＝2n.② 由 b3＝a4－2a1， 可得 3d－a1＝8(ⅰ)
第二部分 高考热点 分层突破
高考解答题的审题与答题示范(二) 数列类解答题
数学
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01
解题助思 快速切入
02
பைடு நூலகம்
满分示例 规范答题
第二页，编辑于星期日：一点 三十五分。
[思维流程]——数列问题重在“归”——化归
第三页，编辑于星期日：一点 三十五分。
[审题方法]——审结构 结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关
系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．
第四页，编辑于星期日：一点 三十五分。
(本题满分 12 分)已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2 的 典例 等比数列，且公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前 n 项和(n∈N*). (1)要求{an}和{bn}的通项公式⇒需求{an}的首项 a1 和公差 d；{bn}的首项 b1 和公比 审题 q. 路线 (2)由(1)知 a2nb2n－1＝(3n－1)4n⇒分析 a2nb2n－1 的结构：{3n－1}是等差数列，{4n} 是等比数列⇒符合错位相减法求和的特点.
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标 教师用书：第2讲 统计与统计案例
第2讲统计与统计案例[做真题]题型一抽样方法与总体分布的估计1．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：选A．记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A．2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A．法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A．3．(2019·高考全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.题型二变量间的相关关系、统计案例(2018·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：(3)根据(2)附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，解：(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．(2)由茎叶图知m ＝79＋812＝80.列联表如下：(3)由于K 2＝40×(15×15－5×5)20×20×20×20＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．[明考情]1．统计与统计案例在选择或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置．2．统计解答题多在第18题的位置，且多以频率分布直方图或茎叶图与线性回归分析或独立性检验相交汇的形式考查，难度中等．抽样方法 [考法全练]1．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )A ．73B ．78C ．77D ．76解析：选B ．样本的分段间隔为8016＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B ．2．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为( )A ．25，25，25，25B ．48，72，64，16C ．20，40，30，10D ．24，36，32，8解析：选D ．法一：因为抽样比为10020 000＝1200，所以每类人中应抽选出的人数分别为4 800×1200＝24，7 200×1200＝36，6 400×1200＝32，1 600×1200＝8.故选D ．法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2， 所以每类人中应抽选出的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8，故选D ．3．(2019·广东省七校联考)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号为________．(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：由题意得，从随机数表第7行第8列的数开始向右读，符合条件的前三个编号依次是331，455，068，故抽取的第3支疫苗的编号是068.答案：068(1)系统抽样总体容量为N ，样本容量为n ，则要将总体均分成n 组，每组Nn 个(有零头时要先去掉)．若第一组抽到编号为k 的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k ＋Nn ，…，k ＋(n－1)N n.(2)分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．用样本估计总体[典型例题](2019·广东六校第一次联考)某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R(单位：千米)的行业标准，予以地方财政补贴，其补贴标准如下表：2017年底某部门随机调查该市1 000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如上图所示，用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下频数分布表：2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置，直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一，购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二，购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润(日利润＝日收入－日维护费用)．【解】(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为所以该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值为3×0.2＋4×0.5＋4.5×0.3＝3.95(万元)．(2)由频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列为若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为30×100＋4×900＝6 600，可得实际充电车辆数的分布列为于是估计在方案一下新设备产生的日利润为25×(6 000×0.2＋6 600×0.8)－500×100－80×900＝40 000(元)．若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为30×200＋4×400＝7 600，可得实际充电车辆数的分布列为于是估计在方案二下新设备产生的日利润为25×(6 000×0.2＋7 000×0.3＋7 600×0.5)－500×200－80×400＝45 500(元)．(1)统计中的5个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．③平均数：样本数据的算术平均数，即x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．④方差与标准差：s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]；s ＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]. (2)从频率分布直方图中得出有关数据的技巧 ①频率：频率分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示频率组距，频率＝组距×频率组距. ②频率比：频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比，从而根据已知的几组数据个数比求有关值．③众数：最高小长方形底边中点的横坐标．④中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． ⑤平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和． ⑥性质应用：若纵轴上存在参数值，则根据所有小长方形的高之和×组距＝1，列方程即可求得参数值．[对点训练]1．(2019·武昌区调研考试)对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据直方图完成以下表格；(2))； (3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？ 解：(1)填表如下：(2)平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s ＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.(3)进入复赛选手的成绩为80＋350－(380－100)350×10＝82(分)，所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可)2．(2019·昆明市诊断测试)《中国大能手》是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类的节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光劳、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚．某公司准备派出选手代表公司参加《中国大能手》职业技能挑战赛．经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好．已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间(单位：秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如表1：据表1中甲、乙两位选手完成该项关键技能挑战所用时间的数据，应用统计软件得表2：(1)在表1中，从选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩中，任取2个，求这2个成绩都低于80秒的概率；(2)若该公司只有一个参赛名额，以完成该项关键技能挑战所用时间为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由．解：(1)选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩共有6个，其中低于80秒的成绩有3个，分别记为A 1，A 2，A 3，其余的3个分别记为B 1，B 2，B 3，从6个成绩中任取2个的所有取法有：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3， A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3， A 3B 1，A 3B 2，A 3B 3， B 1B 2，B 1B 3， B 2B 3，共5＋4＋3＋2＋1＝15(种)，其中2个成绩都低于80秒的有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3种，所以所取的2个成绩都低于80秒的概率P ＝315＝15.(2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战的次数都为10，挑战失败的次数都为5，所以只需要比较他们完成关键技能挑战的情况即可，其中x －甲＝85(秒)，x －乙＝84(秒)，s 2甲＝50.2，s 2乙＝54.答案①：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但x －甲>x －乙，乙选手平均用时更短．答案②：选手甲代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，虽然x －甲>x －乙，但两者相差不大，水平相当，s 2甲<s 2乙，表明甲选手的发挥更稳定．答案③：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但x －乙<x －甲，乙选手平均用时更短，从表1中的数据整体看，甲、乙的用时都逐步减少，s 2乙>s 2甲，说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好．(答案不唯一，可酌情给分)回归分析 [典型例题]命题角度一 线性回归分析某地1～10岁男童年龄x i (单位：岁)与身高的中位数y i (单位：cm)(i ＝1，2，…，10)如下表：(1)(2)某同学认为y ＝px 2＋qx ＋r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y ^＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3 cm.与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1 (x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －.【解】 (1)b ^＝∑10i＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑10i ＝1(x i －x －)2＝566.8582.50≈6.871≈6.87， a ^＝y －－b ^x －＝112.45－6.871×5.5≈74.66， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝6.87x ＋74.66.(2)若回归方程为y ^＝6.87x ＋74.66，当x ＝11时，y ^＝150.23. 若回归方程为y ^＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07，当x ＝11时，y ＝143.64. |143.64－145.3|＝1.66<|150.23－145.3|＝4.93，所以回归方程y ^＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07对该地11岁男童身高中位数的拟合效果更好．求回归直线方程的关键及实际应用(1)关键：正确理解计算b ^，a ^的公式和准确地计算．(2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．命题角度二 非线性回归分析某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．表中u i ＝1x i ，u ＝18∑i ＝1u i.(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)附：对于一组数据(w 1，v 1)，(w 2，v 2)，…，(w n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^w 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni＝1 (w i －w －)(v i －v －)∑ni ＝1 (w i －w －)2，α^＝v －－β^w －.【解】 (1)由散点图判断，y ＝c ＋dx 更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程．(2)令u ＝1x，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于d ^＝∑8i ＝1(u i －u －)(y i－y －)∑8i ＝1(u i －u －)2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， 所以c ^＝y －－d ^·u －＝3.63－8.957×0.269≈1.22， 所以y 关于u 的线性回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ， 所以y 关于x 的回归方程为y ^＝1.22＋8.96x.(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －⎝⎛⎭⎫1.22＋8.96x x ≥78.840， 解得x ≥10，所以至少印刷10 000册才能使销售利润不低于78 840元．求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果． (5)根据相应的变换，写出非线性回归方程． 命题角度三 回归分析与正态分布的综合问题某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y (单位：kg)与该地当日最高气温x (单位：℃)的相关数据，如下表：(1)试求y 与x 的回归方程y ＝b x ＋a ；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6 ℃，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；(3)假定该地12月份的日最高气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似取样本平均数x －，σ2近似取样本方差s 2，试求P (3.8<X <13.4)．附：参考公式和有关数据⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x 2i －n x －2＝∑n i ＝1 (x i －x －)(y i－y －)∑ni ＝1(x i －x －)2a ^＝y －－b ^x－， 10≈3.2， 3.2≈1.8，若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，且P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5.【解】 (1)由题意，x －＝7，y －＝9，∑ni ＝1x i y i －n x － y －＝287－5×7×9＝－28， ∑ni ＝1x 2i－n x －2＝295－5×72＝50，b ^＝－2850＝－0.56，a ^＝y －－b ^x －＝9－(－0.56)×7＝12.92. 所以所求回归直线方程为y ^＝－0.56x ＋12.92.(2)由b ^＝－0.56<0知，y 与x 负相关．将x ＝6代入回归方程可得， y ^＝－0.56×6＋12.92＝9.56，即可预测当日该商品的销售量为9.56 kg.(3)由(1)知μ≈x －＝7，σ≈s 2≈3.2，所以P (3.8<X <13.4)＝P (μ－σ<X <μ＋2σ)＝12P (μ－σ<X <μ＋σ)＋12P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.818 6.解决与正态分布有关的问题，在理解μ，σ2意义的情况下，记清正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线，很多问题都是利用图象的对称性解决的．[对点训练](2019·江西八所重点中学联考)某部门经统计，客户对不同款型理财产品的最满意度百分比和对应的理财总销售量(单位：万元)如下表(最满意度百分比越高时总销售量越高)：数据的散点图如图所示．(1)在5份A 款型理财产品的客户满意度调查资料中只有一份是最满意的，从这5份资料中任取2份，求含有最满意客户资料的概率．(2)我们约定：相关系数的绝对值在0.3以下是无线性相关，在0.3以上(含0.3)至0.75是一般线性相关，在0.75以上(含0.75)是较强线性相关，y 与x 是否达到较强线性相关？若达到，请求出线性回归方程；若没有达到较强线性相关，则采取“末位”剔除制度(即总销售量最少的那一款型产品退出理财销售)，请求在剔除“末位”款型后的线性回归方程(系数精确到0.1)．数据参考计算值：附：线性相关系数r ＝∑i ＝1x i y i －n x ·y ∑ni ＝1x 2i －n x －2∑ni ＝1y 2i －n y －2，回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b ^＝∑n i＝1x i y i －n x －·y －∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.解：(1)在5份A 款型理财产品的客户资料中只有1份是最满意的，把最满意客户资料记为a ，其余客户资料记为b ，c ，d ，e .则任取2份资料的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个．含有a 的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，共4个． 则含有最满意客户资料的概率为410＝25.(2)线性相关系数r ＝∑10i ＝1x i y i －10x －·y －∑10i ＝1x 2i －10x －2∑10i ＝1y 2i －10y －2＝452.117×37.16≈0.72∈[0.3，0，75)，即y 与x 具有一般线性相关关系，没有达到较强线性相关关系． 由“末位”剔除制度可知，应剔除J 款型理财产品， 重新计算得x －′＝10×21.9－139＝2069≈22.89，y －′＝10×72.1－529＝6699≈74.33，∑9i ＝1x 2i －9x －′2＝288.9＋10×21.92－132－9×22.892≈200.43， ∑9i ＝1x i y i －9x －′·y －′＝452.1＋10×21.9×72.1－13×52－9×22.89×74.33≈253.28. b ^＝∑9i ＝1x i y i－9x －′·y －′∑9i ＝1x 2i－9x －′2＝253.28200.43≈1.26≈1.3.a ^＝y －′－b ^x －′＝74.33－1.26×22.89≈45.5. 所求线性回归方程为y ^＝45.5＋1.3x .(注：若用b ^＝1.3计算出a ≈44.6，即y ^＝44.6＋1.3x 不扣分)统计案例 [典型例题](2019·江西八所重点中学联考)2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛(简称RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.在分量极重的国际数学奥林匹克(IMO)比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续4年没有拿到冠军了．人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会讨论的热点．某重点高中培优班共50人，现就这50人对“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人．(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？说明你的理由；(2)现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式与数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )【解】 (1)由题意将列联表补充如下：所以K 2＝50×(20×15－5×10)25×25×30×20≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关．(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应下“禁奥令”，ξ的所有可能取值有1，2，3，4.P (ξ＝1)＝C 14C 11C 23C 25C 25＝12100；P (ξ＝2)＝C 24C 23＋C 14C 11C 12C 13C 25C 25＝42100； P (ξ＝3)＝C 14C 11C 22＋C 24C 12C 13C 25C 25＝40100； P (ξ＝4)＝C 24C 22C 25C 25＝6100.所以ξ的分布列是所以E (ξ)＝12＋2×42＋3×40＋4×6100＝2.4.独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．(2)K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．[对点训练](2019·武汉市调研测试)2019年，在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运会”)．据悉，这次军运会将于2019年10月18日至27日在美丽的江城武汉举行，届时将有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以武汉某高校为了在学生中更广泛地推介普及军运会相关知识内容，特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛．为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了1 000名男生和1 000名女生的答卷，他们的成绩(单位：分)频率分布直方图如图：(注：答卷满分100分，成绩≥80的答卷为“优秀”等级)(1)从现有1 000名男生和1 000名女生的答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(2)求下面列联表中a，b，c，d的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”？(3) 附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)男生答卷成绩为“优秀”等级的概率P ＝(0.058＋0.034＋0.014＋0.010)×5＝0.58，女生答卷成绩为“优秀”等级的概率P ＝(0.046＋0.034＋0.016＋0.010)×5＝0.53.(2)所以a ＝580，b ＝530，c ＝420，d ＝470. 由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得，K 2＝2 000×(580×470－530×420)21 110×890×1 000× 1000≈5.061>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”．(3)根据男、女生成绩频率分布直方图可得，男、女生成绩的中位数均在80到85之间，但男生的成绩分布集中程度较女生成绩分布集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定．[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2019·福州市质量检测)某校学生会为了了解本校高一1 000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：A．表中m的数值为10B．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1 000名学生中抽取容量为50的样本，则分段间隔为25解析：选C．A中的m值应为12；B中应为380人；C是正确的；D中的分段间隔应为20，故选C．2．(2019·湖南省五市十校联考)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为()A．39B．35C．15 D．11解析：选D．由频率分布直方图知成绩在[15，18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成绩在[13，15)内的频率为1－0.78＝0.22，则成绩在[13，15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D．3．(2019·武汉市调研测试)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A类人数是()A ．30B ．40C ．42D ．48解析：选A ．由条形统计图知，B —自行乘车上学的有42人，C —家人接送上学的有30人，D —其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A —结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A —结伴步行上学与B —自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故选A ．4．(2019·广东六校第一次联考)某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y (单位：kW ·h)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝－2x ＋60，则a 的值为( ) A ．48 B ．62 C ．64D ．68解析：选C ．由题意，得x －＝17＋14＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋a 4＝96＋a4.样本点的中心(x －，y －)在回归直线y ^＝－2x ＋60上，代入线性回归方程可得96＋a 4＝－20＋60，解得a ＝64，故选C ．5．(2019·贵阳市第一学期监测)如图的折线图是某超市2018年一月份至五月份的营业额与成本数据，根据该折线图，下列说法正确的是( )。
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一、选择题1．幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选D.设f (x )＝x a ，则2a ＝14，所以a ＝－2，所以f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.2．函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.函数f (x )＝－|x |－x ＋3是单调减函数，因为f (1)＝1>0，f (2)＝1－2<0，所以f (1)f (2)<0，可知函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为(1，2)．3．(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫4912＋log 4（2－x ），x ≤13x －8，x >1，则f (f (log 36))＝( )A ．1 B.53 C.52D ．－2解析：选B.因为log 36>1，所以f (log 36)＝3log 36－8＝－2，所以f (f (log 36))＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫4912＋log 4(2＋2)＝23＋1＝53.故选B.4．(2019·广州市综合检测(一))如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T .若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数h ＝f (t )的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C ，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.5．(2019·广东省七校联考)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．y <z <xC ．z <x <yD ．z <y <x解析：选 B.因为ln π>1，0<log 52<1，0<e －12<1，所以x 最大．因为2<5，所以0<log 52<log 55＝12.因为e<4，所以e 12<2，即12<ln 2，所以－12>－ln 2＝ln 12，所以e －12>eln12＝12，所以z >y .综上可知，x >z >y ，故选B. 6．(2019·贵阳市第一学期监测)若函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝log 1513，c ＝215，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (c )>f (a )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：选 D.f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<log 1513＝log 53<log 54<1<215，所以f (b )<f (a )<f (c )，选D.7．(2019·唐山市摸底考试)已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C.f (x )＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x )－sin(2x ＋x )＝－2cos 2x sin x ，令f (x )＝0, 可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，因为x ∈[0，2π]，所以2x ∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得2x ＝π2或2x＝3π2或2x ＝5π2或2x ＝7π2，所以x ＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0可得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，因为π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，所以f (x )的所有零点之和等于7π，故选C.8．(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f (x )＝2x ＋log 3 2＋x 2－x，若不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选D.由2＋x 2－x >0得x ∈(－2，2)，又y ＝2x 在(－2，2)上单调递增，y ＝log 3 2＋x2－x ＝log 3 x －2＋42－x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4x －2在(－2，2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立等价于不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >f (1)成立，所以⎩⎨⎧－2<1m <2，1m >1，解得12<m <1，故选D.9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， 所以⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以－1<ln x <1，解得1e<x <e.10．(2019·河北省九校第二次联考)若函数f (x )＝kx －|x －e －x |有两个正实数零点，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，1e )C ．(0，1)D ．(0，e) 解析：选C.令f (x )＝kx －|x －e －x |＝0，得kx ＝|x －e －x |，当x >0时，k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －e －x x ＝⎪⎪⎪⎪1－1x e x ，令g (x )＝1－1x e x ，x >0，则g ′(x )＝1＋x x 2e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g (12)＝1－2e<0，g (1)＝1－1e >0，所以在(12，1)上存在一个a ，使得g (a )＝0，所以y ＝|g (x )|的图象如图所示．由题意知，直线y ＝k 与y ＝|g (x )|的图象有两个交点，所以0<k <1，故选C. 二、填空题11．已知函数y ＝4a x －9－1(a ＞0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则log m n ＝________．解析：依题意知，当x －9＝0，即x ＝9时，y ＝4－1＝3，故定点为(9，3)，所以m ＝9，n ＝3，故log m n ＝log 93＝12.答案：1212．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝________．解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax .因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln 2＝⎝⎛⎭⎫12a＝8，所以a ＝－3.答案：－313．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2014年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(单位：万件)之间的关系如下表所示：若f (x )2x ＋a ，③f (x )＝log 12x ＋a .则你认为最适合的函数模型的序号为________．解析：若模型为f (x )＝2x ＋a ，则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2，即f (x )＝2x ＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝32b ＝52.所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N ，所以最适合的函数模型的序号为①.答案：①14．对于实数a ，b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)⊗(x －1)，且关于x 的方程f (x )－m ＝0恰有三个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．解析：由2x －1≤x －1可得x ≤0，由2x －1>x －1可得x >0.所以根据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）2－（2x －1）（x －1），x ≤0，（x －1）2－（2x －1）（x －1），x >0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，x －x 2，x >0，画出函数的图象，从图象上观察当关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y ＝m 有三个不同的交点，再根据函数的极大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝14，可得m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14 三、解答题15．某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)格决定，预计m ∈[6，8]．另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划．解：(1)由年销售量为x 件，按利润的计算公式，可得生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2分别为y 1＝10x －(20＋mx )＝(10－m )x －20，其定义域为{x ∈N |0≤x ≤200}；y 2＝18x －(8x ＋40)－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40，其定义域为{x ∈N |0≤x ≤120}． (2)因为6≤m ≤8，所以10－m >0，函数y 1＝(10－m )x －20在[0，200]上是增函数，所以当x ＝200时，生产A 产品有最大利润，且y 1max ＝(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460(x ∈N ，0≤x ≤120)，所以当x ＝100时，生产B 产品有最大利润，且y 2max ＝460(万美元)． 因为y 1max －y 2max ＝1 980－200m －460＝1 520－200m ⎩⎨⎧>0，6≤m <7.6，＝0，m ＝7.6，<0，7.6<m ≤8.所以当6≤m <7.6时，可投资生产A 产品200件；当m ＝7.6时，生产A 产品或生产B 产品均可(投资生产A 产品200件或生产B 产品100件)；当7.6<m ≤8时，可投资生产B 产品100件． 16．已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围；(2)当m >1时，判断f (x )在[0，2m ]上零点的个数，并说明理由． 解：(1)f ′(x )＝e x －m －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(m ，＋∞)时，e x －m >1，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，则m 的取值范围是(－∞，1]． (2)当m >1时，f (x )在[0，2m ]上有两个零点，理由如下：由(1)知f(x)在[0，2m]上至多有两个零点，当m>1时，f(m)＝1－m<0.因为f(0)＝e－m>0，f(0)f(m)<0，所以f(x)在(0，m)上有一个零点．因为f(2m)＝e m－2m，令g(m)＝e m－2m，因为当m>1时，g′(m)＝e m－2>0，所以g(m)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.所以f(m)·f(2m)<0，所以f(x)在(m，2m)上有一个零点．所以f(x)在[0，2m]上有两个零点．。