江苏省人教版数学必修二导学案：第4课时(直线的方程(2))
人教课标版高中数学必修2《直线的方程(第2课时)》教学设计
3.2.2 直线的方程一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（两点式及截距式），体会数形结合的思想．（二）学习目标1.掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程．2.通过经历直线方程的发现过程，以提高分析、比较、概括、化归的数学能力,初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养综合运用知识解决问题的能力．3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学习数学的兴趣，进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养勇于探索、勇于创新的精神．（三）学习重点1.直线方程的两点式的推导．2.直线方程的截距式的推导．3.直线方程的两点式与截距式的应用．（四）学习难点直线方程的两点式、截距式的推导及运用，应考虑使用范围并进行分类讨论．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第100页至第102页，填空： 直线方程121121x x x x y y y y --=--，这是经过两点),(11y x A ，),(22y x B 的直线方程（其中21x x ≠，21y y ≠）的直线方程，所以我们把它叫做直线的两点式方程． 直线方程1=+by a x （其中a ,b 均不为0），我们把直线l 与x 轴的交点)0,(a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；方程1=+by a x （其中a ,b 均不为0）由直线与两个坐标轴的截距b a ,确定，故其称为直线的截距式方程．当直线l 平行或垂直于坐标轴时，两点式不能表示出直线方程；当直线l 平行或垂直于坐标轴或过坐标原点时，截距式不能表示出直线方程．（2）写一写：直线的两点方程是121121x x x x y y y y --=--（其中21x x ≠，21y y ≠）；直线的截距式方程是1=+by a x （其中a ,b 均不为0）． 2．预习自测（1）过两点（1,2），（2,4）的直线的两点式方程为（ ）A ．214221y x --=-- B ．121242-+=-+x y C ．121242+-=+-x y D ．122412--=--x y 答案：A ．解析：【知识点】直线的两点式方程． 【解题过程】方程形如121121x x x x y y y y --=--的形式．点拨：把每一个选项与概念进行对比，特别注意两点式的形式要一模一样．（2）过两点（1,0），（0,4）的直线的截距式方程为（ ）A ．141=-y x B ．141=+y x C ．14=+y xD ．14=-y x解析：【知识点】直线的截距式方程． 【解题过程】方程形如1=+by a x 的形式． 点拨：明确截距的概念，再写成截距式方程的形式．（3）已知两直线0x ky k --=与(1)y k x =-平行，则k 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．2答案：B ．解析：【知识点】直线平行的充要条件． 【解题过程】由题设知k k 1=1k ；当1=k 时，两直线重合，舍去．点拨：直线平行的充要条件是斜率相等，且排除掉重合的情形．(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线的点斜式方程——已知直线l 经过点),(111y x P ，且斜率为k ，直线的方程：)(11x x k y y -=-为直线方程的点斜式.直线的斜率0=k 时，直线方程为；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =.（2）直线的斜截式方程——已知直线l 1y y =经过点P （0,b ），并且它的斜率为k ，直线l 的方程：b kx y +=为斜截式.① 斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.② 斜截式b kx y +=在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当0≠k 时，斜截式方程才是一次函数的表达式.③斜截式b kx y +=中，k ，b 的几何意义．探究一 问题引入★●活动① 应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：⑴A(2,1)，B(6,-3)； ⑵A(0,5)，B(5,0)； ⑶A(-4,-5)，B(0,0).【设计意图】本环节从学生利用上节课学过的直线的方程的点斜式，求过两已知点的直线的方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要性，同时也“悟”也两点式的推导方法，以此导入新课，目的在于学生既加深学过知识的理解，又为学习新知识奠定良好的基础．探究二 直线的两点式方程的推导★●活动① 直线的两点式方程——已知直线经过两个点，求直线的方程已知直线上两点),(11y x A ，B （),22y x )(21x x ≠，求直线方程.首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：)(112121x x x x y y y y ---=- 由)(112121x x x x y y y y ---=-可以导出121121x x x x y y y y --=--，这两者表示了直线的范围是不同的.后者表示范围缩小了.但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用.所以采用后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式．所以，当21x x ≠，21y y ≠时，经过),(11y x A ，B （),22y x 的直线的两点式方程可以写成：121121x x x x y y y y --=--． ●活动② 互动交流，课堂讨论探究1：哪些直线不能用两点式表示？答：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示．探究2：若要包含倾斜角为0°或90°的直线，应把两点式变成什么形式？答：应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式．探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其他的途径来进行推导呢？ 答：有，利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等．【设计意图】两点式方程由点斜式方程自然导出，特别要注意直线的两点式方程也有缺陷，因此，本环节通过问题的讨论，力求使学生对直线方程的两点式有一个全面的认识，以建立起完整、准确的知识结构．探究三 直线的截距式方程的推导★●活动① 直线的截距式方程——已知直线在y x ,轴上的截距，求直线的方程定义：直线与x 轴交于一点（a ,0）定义a 为直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交于一点（0,b ）定义b 为直线在y 轴上的截距.我们易得到过A(a ,0) B(0, b ) （其中a ,b 均不为0）的直线方程为b x ab y +-=，将其变形为：1=+by a x ． 以上直线方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.有截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标．●活动② 巩固理解，加深认识提出问题串，让学生一起交流讨论：探究4：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？答：不是，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.探究5：有没有截距式不能表示的直线？答：有，当截距为零时.故使用截距式表示直线时，应注意单独考虑这几种情形，分类讨论，防止遗漏．【设计意图】通过直线的斜截式方程变形为截距式方程，加深对直线的斜截式方程的理解，突破重点，也体现了截距式方程的重要性．探究四 直线的两点式方程与截距式方程的应用★▲●活动① 巩固基础，检查反馈例1 下面四个直线方程中，可以看作是直线的两点式方程的是( )A.122+=-y xB.1-=x yC.3211=-+x y D.322121--=-+x y 答案：D ．解析：【知识点】直线的两点式方程概念的理解． 【解题过程】方程形如121121x x x x y y y y --=--的形式． 点拨：把每一个选项与概念进行对比，特别注意两点式的形式要一模一样．同类训练 下面四个直线方程中，可以看作是直线的截距式方程的是( ) A.112=-+y x B.012=-+y x C.12=-y xD.02=-y x答案：A ．解析：【知识点】直线的截距式方程概念的理解． 【解题过程】方程形如1=+by a x 的形式． 点拨：把每一个选项与概念进行对比，特别注意截距式的形式要一模一样．例2 求过点A （2,1），B （0，－3）的直线的两点式方程，再化为斜截式方程.【知识点】两点式方程，斜截式方程． 【解题过程】直线的两点式方程为202131--=---x y ⇒直线的斜截式方程为32-=x y ．【思路点拨】直线的两点式方程与斜截式方程的互化． 【答案】202131--=---x y ；32-=x y ．同类训练 求过点A （-4，-5），B （0，0）的直线的两点式方程，再化为斜截式方程. 答案：404505++=++x y ；x y 45=． 解析：【知识点】两点式方程，斜截式方程． 【解题过程】直线的两点式方程为404505++=++x y ⇒直线的斜截式方程为x y 45=． 点拨：直线的两点式方程与斜截式方程的互化．【设计意图】巩固掌握两点式方程与斜截式方程的互化．●活动② 强化提升、灵活应用例3 说出下列直线的方程：⑴倾斜角为 45，在y 轴上的截距为0；⑵在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6；【知识点】直线的截距式方程，会画出图形．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）x y =；（2）165=+-y x ． 点拨：直线的截距与截距式的概念理解清楚．答案：（1）x y =；（2）165=+-y x ． 同类训练 写出下列直线的方程：（1）在x 轴上截距是－3，与y 轴平行；（2）在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.答案：（1）3-=x ；（2）4=y ．解析：【知识点】直线的截距式方程，会画出图形．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）3-=x ；（2）4=y ．点拨：直线的截距式方程的特殊情况．【设计意图】在讲完两点式后，紧接着讲解截距式，有利于比较两种形式的方程，从而有助于学生理解两者之间的内在的联系和区别，在具体应用截距式时能考虑到截距为0与不为0的两种情况，并建立完善的知识的结构．3.课堂总结知识梳理通过列表从名称、形式、已知条件、使用范围等方面对所学的直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行填表比较：【设计意图】为帮助学生用联系的观点来学习知识，又能把四种形式的直线方程加以区别，以便更好地运用它们，本环节主要采用比较法的形式小结．（三）课后作业基础型 自主突破1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的截距式方程的是( )A.112=-+y x B.012=-+y x C.12=-y xD.02=-y x答案：A ．解析：【知识点】直线的截距式方程概念的理解． 【解题过程】方程形如1=+by a x 的形式． 点拨：把每一个选项与概念进行对比，特别注意截距式的形式要一模一样．2.直线b ax y +=（b a +＝0）的图象是( )答案：D ． 解析：【知识点】直线的斜截式方程与几何意义．【数学思想】数形结合思想【解题过程】解法一：由已知，直线b ax y +=的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ．又因为b a +＝0.∴a 与b 互为相反数，即直线的斜率及其在y 轴上的截距互为相反数． 图A 中，a ＞0，b ＞0;图B 中，a ＜0，b ＜0;图C 中，a ＞0，b ＝0故排除A 、B 、C.选D. 解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a ≠0，于是令y ＝0，解得ab x -=.又因为b a +＝0，∴b a -=，∴1=-=ab x ∴直线在x 轴上的截距为1，由此可排除A 、B 、C ，故选D ．点拨：直线的斜截式方程与几何意义．3.若ac ＞0且bc ＜0，直线0=++c by ax 不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D ．解析：【知识点】直线一般式方程与斜截式方程的互化，会由直线特征量画直线．【解题过程】由ac ＞0且bc ＜0，知0,0ab bc <<；由直线0=++c by ax a c y x b b ⇒=--，故斜率0a k b =->，截距0c b->，所以直线过一、二、三象限，不过第四象限． 点拨：会由直线特征量画直线．1.若点)1,(a A 在直线012= +y x 上，则=a ________,若点A 不在直线012= +y x 上，则a 的取值范围是________.答案：=a 0；0a ．解析：【知识点】点在直线上的充要条件．【数学思想】数形结合思想【解题过程】点)1,(a A 在直线012= +y x 上，则=a 0；若点A 不在直线012= +y x 上，则a 的取值范围是0a ．点拨：点在直线上的充要条件．2.经过点(2，1)且倾斜角的正切值是2的直线方程是________.答案：230x y ．解析：【知识点】已知直线过一点与其倾斜角的正切值，求直线方程．【解题过程】由题设知斜率tan 2k，由点斜式方程，得直线的方程为12(2)y x ，即230x y ．点拨：已知直线过一点与其倾斜角的正切值，可由点斜式求直线方程．3.已知A （2，5），B （4，1），若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x -y 的最大值为_______. 答案：7．解析：【知识点】直线的两点式方程．【解题思路】如图示：A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，令z =2x-y ，则平行y =2x-z 当直线经过B 时截距最小，z 取得最大值，可得2x-y 的最大值为：2×4-1=7．故答案为7．点拨：平行直线z =2x-y ，判断取得最值的位置，求解即可．能力型 师生共研1.过点P(2，1）作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点，当||||PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.答案：03=-+y x ．解析：【知识点】直线方程与函数最值．【解题过程】设直线l 的方程为：)0(),2(1≠-=-k x k y令y ＝0解得kx 12-=；令x ＝0，解得k y 21-= ∴A （k12-，0），B （0，k 21-）， ∴||||PB PA ⋅＝)4)(11(22k k ++4248)1(4822=⨯+≥++=kk 当且仅当12=k 即1±=k 时，||||PB PA ⋅取到最小值.又根据题意0<k ，∴1-=k所以直线l 的方程为：03=-+y x ．点拨：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1的情形．2.已知直线1l 的倾斜角为34，直线2l 经过点(3,2),(,1)A B a ，且12l l ，求实数a 的值.答案：0a ． 解析：【知识点】已知两点求斜率；垂直的充要条件．【数学思想】数形结合思想【解题过程】11k ，由12l l 得221103k a a ．点拨：由垂直的充要条件得另一直线的斜率，再由两点表示斜率．探究型 多维突破1.一直线被两直线1l ：064=++y x ，2l ：0653=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.答案：06=+y x ．解析：【知识点】直线相交与中点．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A 、B ，设A(00,y x ），则B 点坐标为(00,y x --)因为A 、B 分别在1l ，2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++06530640000y x y x ②① ①＋②得：0600=+y x ，即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为06=+y x ．点拨：交点与中点的坐标表示．1．直线01=-+By Ax 在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线333=-y x 的倾斜角的2倍，则( )A.A ＝3，B ＝1B.A ＝－3，B ＝－1C.A ＝3，B ＝－1D.A ＝－3，B ＝1答案：B ．解析：【知识点】直线的倾斜角与截距． 【解题过程】将直线方程化成斜截式Bx B A y 1+-=. 因为B1＝－1，B ＝－1，故否定A 、D. 又直线333=-y x 的倾斜角α＝3π，∴直线01=-+By Ax 的倾斜角为2α＝32π， ∴斜率－32tan π=B A ＝-3， ∴A ＝－3，B ＝－1，故选B ．点拨：直线的倾斜角与截距．自助餐1．已知直线l 的方程是1y x ，则（ ）A ．直线经过点（-1,2），斜率为1B.直线经过点（2，-1），斜率为-1C ．直线经过点（-1,2），斜率为-1D ．直线经过点（-2，-1），斜率为1答案：C ．解析：【知识点】直线的斜截式方程．【解题过程】直线l 的方程是1y x ，故直线经过点（-1,2），斜率为-1． 点拨：将点的坐标代入直线方程直接检验，斜率的概念．2．直线33(1)yx 的倾斜角及在x 轴上的截距分别是（ ）A ．2,600B ．0120，2C ．,600 2D ．2,1200答案：B ．解析：【知识点】直线的倾斜角与横截距．【解题过程】直线的斜率为3-，令0 y 时，2x，故在x 轴上的截距为2． 点拨：直线的斜截式方程．3．已知直线l 过点(2,0),(2,6)，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有（ ） A ．3,23=-=b k B ．2,23-=-=b k C ．3,32k b =-=- D ．3,32-=-=b k答案：C ． 解析：【知识点】已知直线过两点，转化为斜截式方程．【解题过程】斜率063222k ，故直线l 的方程为3(2)2y x ，可化为323--=x y ，故3,23-=-=b k ． 点拨：直线的斜截式方程．4．已知直线l 过点(2,1)P ，且交x 轴、y 轴正向于A 、B 两点，要使得ABC 的面积最小，则l的方程为________． 答案：1 2.2y x 解析：【知识点】直线的点斜式方程与三角形面积最值．【数学思想】数形结合思想【解题过程】设l 的方程为(2)1(0)y k x k ，故1(2,0),(0,12).A B k k 所以11111(2)(12)222(2)()242222S OA OB k k k k k k ，当且仅当12k 时，所以l 的方程为1 2.2y x 点拨：设出直线的点斜式方程，表示出三角形面积，再利用均值不等式求出最小值． 5.过点（5，2），且在x 轴上截距是在y 轴上截距的2倍的直线方程是____________. 答案：y -9=0或2x -5y =0．解析：【知识点】直线的截距式方程．【解题过程】解：当直线过原点时，直线方程为y=25x 直线不经过原点时，设直线方程为12x y a a+= 把点（5，2）代入可得5+4=2a ，解得a =92 ∴直线的方程为x +2y -9=0．综上可得：直线的方程为x +2y -9=0或2x -5y =0．故答案为：x +2y -9=0或2x -5y =0．点拨：当直线过原点时，直线方程为y=25x ．直线不经过原点时，设直线方程为12x y a a+=，把点（5，2）代入即可得出．6．若直线0=++C By Ax 通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件( )A.A 、B 、C 同号B.AC ＜0，BC ＜0C.C ＝0，AB ＜0D.A ＝0，BC ＜0答案：A ．解析：【知识点】直线经过哪几个象限．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】解法一：原方程可化为B C x B A y --=（B ≠0）． ∵直线通过第二、三、四象限，∴其斜率小于0，y 轴上的截距小于0，即－B A ＜0，且－BC ＜0 ∴B A ＞0，且BC ＞0 即A 、B 同号，B 、C 同号.∴A 、B 、C 同号，故选A ．解法二：(用排除法)若C ＝0，AB ＜0，则原方程化为B C x B A y --=＝－x BA . 由AB ＜0，可知－BA ＞0. ∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C.若A ＝0，BC ＜0，则原方程化为B C y -=.由BC ＜0，得－BC ＞0. ∴此时直线与x 轴平行，位于x 轴上方，经过一、二象限.故排除D. 若AC ＜0，BC ＜0，知A 、C 异号，B 、C 异号∴A 、B 同号，即AB ＞0.∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A 、B 、C 同号，应选A ． 点拨：数形结合思想．。
人教A版高中数学必修二学案直线的方程
第四课时 直线方程学习目标⑴进一步理解倾斜角与斜率的定义，掌握过两点的斜率公式⑵掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，会根据条件选用适当的方程形式解决有关问题 ⑶认识事物之间的普遍联系与相互转化，能用联系的观点看问题教学过程例1 过两点A （0,0），B （cos θ,sin θ）(－90°＜θ＜0°）的直线的斜率是＿＿＿＿＿＿＿＿＿，倾斜角是＿＿＿＿＿＿＿＿。
例2 设直线l ：3x ＋4y －5＝0的倾斜角为θ，则l 关于直线y ＝3对称的直线的倾斜角是＿＿＿＿＿＿＿＿。
例3 直线ax ＋by ＝ab （a ＞0，b ＞0）的倾斜角是 （ ）A 、arctan(－b/a)B 、arctan(－a/b)C 、π－arctan(b/a)D 、π＋arctan(－a/b)例4 若直线l 的斜率k ∈[－1,1]，则它的倾斜角的取值范围是（ ）A 、［k π－π/4,k π＋π/4］(k ∈Z)B 、[－π/4,π/4]C 、[π/4,3π/4]D 、[0,π/4]∪[3π/4,π）例5θ∈(π/2,π)，则直线xcos θ＋ysin θ＋1＝0的倾斜角的范围是（ ）A 、θ－π/2B 、θ＋π/2C 、π/2－θD 、π－θ例6 下列命题：①直线的倾斜角为α，则斜率为tan α；②直线的斜率为k,则倾斜角为arctank ；③平行于y 轴的直线的倾斜角为90°；④直线y=xtan α＋2的倾斜角是α。
其中正确的是 （ ）A 、① B 、②和③ C 、③ D 、②和④，求直线的斜率。
－－满足的倾斜角，直线＞ 已知例ααααsin 1sin 12sin 0c by ax 0ab 7+==++解：∵ab ＞0，直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝－a/b ＜0，又α∈[0,π）∴α∈（π/2,π）∴0＜cos α/2＜sin α/2|2/cos 2/sin ||2/cos 2/sin |)2/cos 2/(sin )2/cos 2/(sin sin 1sin 122αααααααααα--+=--+=+∴－－ ＝sin α/2＋cos α/2－sin α/2＋cos α/2＝2 cos α/2 又αααsin 1sin 12sin －－+= ∴ sin α/2＝2cos α/2∴tan α/2＝2∴k ＝tan α＝－4/3例8 求直线3x －2y ＋24＝0的斜率及它在x 、y 轴上的截距。
高中数学苏教版必修2第二章第4课时《直线的方程》word学案
第4课 直线的方程（2）【学习导航】学习要求（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件熟练地求出直线的方程．【课堂互动】自学评价1．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的两点式方程为112121y y x x y y x x --=--． 2. 直线的截距式方程1x y a b+=(0)ab ≠中，a 称为直线在 x 轴 上的截距，b 称为直线在 y 轴 上的截距．【精典范例】例1：已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程．【解】∵l 经过两点(,0)a ，(0,)b ，代入两点式得：000y x a b a --=--，即1x y a b+=． 点评:（1）以上方程是由直线在x 轴与y 轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；（2）截距式方程适用范围是0,0a b ≠≠．例2：三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程．【解】∵直线AB 过(5,0)A -，(3,3)B -两点，由两点式得：0(5)303(5)y x ---=----， 整理得直线AB 的方程：38150x y ++=， ∵直线BC 过(0,2)C ，斜率2(3)5033k --==--， 由点斜式得：52(0)3y x -=--， 整理得直线BC 的方程：5360x y +-=，∵直线AC 过(5,0)A -，(0,2)C 两点，由截距式得：152x y +=-， 整理得直线AC 的方程：25100x y -+=．追踪训练一1.直线324x y -=的截距式方程为（ C ）()A 3142x y -= ()B 11132x y -= ()C 1423x y +=- ()D 3142x y -=- 2．根据下列条件，求直线的方程：（1）过点(3,4)A 和(3,2)B -；（2）在x 轴上、y 轴上的截距分别是2，3-；（3）过点(1,4)A -，且在x 轴上的截距为3．答案：（1）3x =；（2）123x y -=；（3）30x y +-=． 3.经过点(3,4)-且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ D ）()A 10x y ++=()B 10x y +-=()C 430x y +=()D 430x y +=或10x y ++=【选修延伸】一、已知直线的横截距和纵截距间的关系，求直线的方程例3：求经过点(4,3)-且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．分析： 涉及直线在坐标轴上的截距时，可选择直线方程的截距式．【解】设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为,a b ，①当0,0a b ≠≠时，设直线方程为1x y a b+=， ∵直线经过点(4,3)-，∴431a b-=， ∵||||a b =，∴11a b =⎧⎨=⎩或77a b =⎧⎨=-⎩，∴直线方程为 10x y +-=或70x y --=； ②当0a b ==时，则直线经过原点及(4,3)-，∴直线方程为 340x y +=， 综上，所求直线方程为10x y +-=或70x y --=或340x y +=．点评:题设中涉及到了直线在两坐标轴上的截距，因此可考虑用截距式，但应注意到截距能否为零，这是应用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方．例4：直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．分析：根据题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零，因此可以用截距式方程．【解】由题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零， 故可设直线方程为1x y a b+=(0,0)a b >>， 由已知得：122||3ab a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩或41a b =⎧⎨=⎩或14a b =-⎧⎨=-⎩（舍）或41a b =-⎧⎨=-⎩（舍） ∴直线方程为14x y +=或14y x +=．思维点拔：过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的直线能写成两点式的条件是12x x ≠且12y y ≠，如果没有这个条件，就必须分类讨论，这点容易被忽略；只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时，才可以用直线方程的截距式．追踪训练二1．求过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别为,a b ，且满足3a b =的直线方程． 答案：分截距为零、不为零两种情况讨论，可得所求直线方程为310x y ++=或12y x =-．。
人教A版高中数学必修二导学案直线的两点式方程
3.2.2直线的两点式方程一、学习目标:知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、学习重点、难点：1、 重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、使用说明及学法指导:注意逐字逐句仔细审题，认真思考阅读教材、独立规范作答。
牢记直线方程的表达形式及解题方法规律。
平行班完成学案AB 类问题.四、知识链接：过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程)(00x x k y y -=-它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
斜截式方程：b kx y+= 理解“截距”与“距离”两个概念的区别.五、学习过程：A 问题1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程. （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程.B 问题2、若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？例1已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。
B 例2 已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
六、达标检测：A .１求过下列两点的直线的两点式方程;(1)A(2,1),B(0,-3); (2)A(0,5),B(5,0)A2.根据下列条件求直线的方程，并画出图形：（１）在x 轴上的截距是２，在y 轴上的截距是３;（２）在x 轴上的截距是－５，在y 轴上的截距是６.B .B3.根据下列条件,求直线的方程:(1)过点（０，５），且在两坐标轴上的截距之和为２(2)过点（５，０），且在两坐标轴上的截距之差为２４一条直线经过点（－２，２），并且与两坐标轴围成的三角形的面积是１，求此直线的方程。
人教版数学必修二3.2.3《直线的一般方程》课程教学设计
“直线的一般式方程”教学设计一、教材与学情1、教材内容本节课是必修二《直线的方程》的内容，本节内容分5课时完成，本节课《直线的一般式方程》为第4课时。
本课通过直线方程的特殊形式来探求直线方程的一般式。
本节课后将要学习两条直线的位置关系，圆的有关知识。
直线的一般式方程既是对直线方程的总结，又是后面知识的铺垫，起着承上启下的重要作用。
2、学情分析教学对象是高二中等班学生。
他们思维活跃，大部分学生做事踏实认真，课上能主动参与活动。
学生数学基础知识比较弱，经过两个学期的高中数学学习，他们具备了一定的数学运算能力和演绎推理能力。
前面已经学习了直线的点斜式、斜截式方程，大部分学生掌握得不错，会利用条件求直线的点斜式、斜截式方程。
二、教学目标及教学重点、难点根据以上对教材与学生情况分析，确定了本节课的教学目标为：知识目标：会描述直线方程一般式的形式特征；会把直线方程的点斜式、斜截式化为一般式；会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距。
能力目标：学会用分类讨论的思想方法解决问题。
情感目标：认识事物之间的普遍联系与相互转化；用联系的观点看问题，感受数学文化的价值。
教学重点：直线方程的一般式与斜截式的互化。
通过例题引导学生进行直线方程的特殊形式与一般式的互化，利用练习题来巩固知识，使学生掌握本节课的重点。
教学难点：对直线方程一般式的理解与应用。
通过复习点斜式、斜截式，分类讨论二元一次方程，最终得到直线的一般式方程。
让学生在分类讨论的过程中去感知、理解直线方程的一般式，从而突破难点。
三、教法与学法本节课我采用复习已学知识创设情景、任务驱动、小组讨论的教学方法，通过问题与任务激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
与之相对应的学法是：读题与分析、交流与解答、归纳与总结。
在引导分析时，给学生留出思考的空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清，让学生由学会走向会学。
2021年高中苏教版数学必修二名师导学：第2章 第4课时 直线的方程(2)
第4课时直线的方程(2)教学过程一、问题情境1.情境:能否依据我们已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出符合下列条件的直线方程(同学活动):(1)直线经过点(1, 2),.(2)直线经过点(1, 2),(-1, 2).(3)直线经过点(0, 2),(1, 0).(4)直线经过点(x1,y1),(x2,y2),其中x1≠x2.2.问题:假如已知直线经过的两个点,或已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,如何求直线方程?[1]二、数学建构(一)生成概念1.引导同学争辩上面的问题.依据直线的点斜式方程,经过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2)直线l的方程为:y-y1=(x-x1).2.直线的两点式方程.若x1≠x2,y1≠y2,经过两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)的直线l 的方程为=,我们把方程=叫做直线的两点式方程.(二)理解概念1.方程=的左右两边各具有怎样的几何意义?它表示什么图形?答左边是动点和一个定点的连线的斜率,右边是两个定点的连线的斜率,这两者始终相等,因而方程表示除去点(x1,y1)的一条直线.2.方程=和方程=表示同一图形吗?前者表示经过两定点(x1,x2),(x2,y2)但除去点(x1,y1)的一条直线,后者表示经过两定点(x1,x2),(x2,y2)完整的一条直线.所以才把后者称为两点式方程.3.若两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2,此时直线P1P2方程能否用两点式方程表示?假如不能,应当如何表示?这说明白什么?答由于有分母为0,所以不能用两点式方程表示,若x1=x2,直线P1P2方程为x=x1,若y1=y2,直线P1P2方程为y=y1,这说明两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(三)巩固概念已知直线分别经过下面两点,求直线的两点式方程.①A(3, 1),B(2,-3);②A(2, 1),B(0,-3);③A(0, 5),B(4, 0).解答①直线的两点式方程为:=;②直线的两点式方程为:=;③直线的两点式方程为:=.三、数学运用【例1】(教材P84例1)已知直线l经过两点A(a, 0),B(0,b),其中ab≠0,求直线l的方程(如图1).[2](图1)解依据两点式方程形式,直线l 的方程为=,即+=1.数学概念直线的截距式方程及适用范围:我们把方程+=1叫做直线的截距式方程.由于ab≠0,所以截距式方程不能表示过原点的直线,由于纵、横截距必需存在,所以截距式方程也不能表示与坐标轴垂直的直线.【例2】(教材P84例2)已知三角形的顶点是A(-5, 0),B(3,-3),C(0, 2)(图2),试求这个(图2)三角形三边所在直线的方程.[3]解依据两点式方程,直线AB 的方程为=,即3x+8y+15=0;直线BC 的方程为=,即5x+3y-6=0;依据截距式方程,直线CA 的方程为+=1,即2x-5y+10=0.[题后反思]用直线的两点式或截距式写直线方程只需一步到两步,但要先分析两点式或截距式的使用条件是否满足.【例3】求过点(3,-4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.[4][处理建议]在做此题之前,画一条通过原点的直线,问问同学:直线在x,y轴上的截距是什么?相等吗?横截距是纵截距的几倍?依据以往阅历,实行先错后订正的方法不抱负,以后还会错,所以截距的概念“第一印象”格外重要.解①当截距不为0时,设所求直线的方程为+=1,将坐标(3,-4)代入这个方程得+=1解得a=-1,此时所求直线的方程为+=1;②当截距为0时,直线过原点(0, 0),依据两点式方程,此时所求直线的方程为=,即y=-x.。
人教版高中数学必修2-3.2《直线的方程(第4课时)》教学设计
3.2.4直线的方程（名师：张志华）一、教学目标（一）核心素养掌握基本的方程与几何之间的联系，体会代数处理几何问题的基本思路，体会直线方程研究过程中从一般到特殊的基本数学思想，操作中形成处理数学问题的完备性与规范性素养．（二）学习目标1．通过总结直线方程的各种形式，理解各种形式的局限性与优势．2．初步了解掌握利用直线方程处理直线相关的平面几何问题．3．在数学问题的操作中掌握从特殊到一般，化归等数学思想．（三）学习重点1．各种直线方程类型的差异性．2．从特殊到一般研究数学问题．3．处理直线中的简单对称问题．（四）学习难点1．由于直线方程类型的局限性，要注意处理数学问题的完备性．2．利用直线处理对称问题．3．利用直线系方程整体处理相关问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）复习以前所学，填空：①平行于x 轴的直线方程为 x a = ；平行于y 轴的直线方程为 y a = ． ②直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=- ，局限： 不能表示垂直于x 轴的直线 ． ③直线的斜截式方程为 y kx m =+ ，局限： 不能表示垂直于x 轴的直线 ． ④直线的两点式方程为 11y y x x =-- ，局限： 不能表示垂直于,x y 轴的直线 ．⑤直线的截距式方程为1y a b= ，局限： 不能表示垂直于,x y 轴的直线和过原点的直线 ． ⑥直线的一般式方程为 220(0)Ax By C A B ++=+≠ ，局限： 方程中含有三个参数 ．2．预习自测（1）过点(0,1)且斜率为2的直线方程为____________．答案：21y x =+．解析：【知识点】直线的点斜式方程．【解题过程】12(0)y x -=-，化简得21y x =+．点拨：利用点斜式直接书写． （2）过两点(0,1),(2,3)的直线的一般方程为____________．答案：10x y -+=．解析：【知识点】直线的两点式方程．【解题过程】311(0)20y x --=--，化简得10x y -+=． 点拨：利用两点式直接书写化简．（3）对直线1x my =+，以下说法错误的是（ ）A ．直线的斜率有可能不存在B ．直线的横截距一定是1C ．直线过定点(0,1)D ．直线过定点(1,0)答案：C ．解析：【知识点】含参数的直线方程的性质．【解题过程】直线过定点(1,0)．点拨：求直线所过定点进行判断．(二)课堂设计。
人教版高中数学必修二3.2直线的方程教案(4)
直线的方程一．复习目标：1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式；2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程．二．知识要点：1．过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 12()x x ≠的直线斜率公式： ．2．直线方程的几种形式：点斜式： ；斜截式： ； 两点式： ；截距式： ；一般式： ．三．课前预习：1．设(,)2πθπ∈，则直线cos sin 10x y θθ++=的倾斜角α为 （ ）()A 2πθ- ()B θ ()C 2πθ+ ()D πθ- 2．已知,a b N ∈，则过不同三点(,0)a ，(0,)b ，(1,3)的直线的条数为（ ）()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 多于33．已知ABC ∆的顶点(1,2)A -,(3,6)B ，重心(0,2)G ，则AC 边所在直线方程为 ；经过点(2,2)A -且与x 轴、y 轴围成的三角形面积是1的直线方程是 ；过点(2,1)，且它的倾斜角等于已知直线324y x =+的倾斜角的一半的直线l 的方程是 .4．若直线l 的方向向量是(3,1)a =,则直线l 的倾斜角是 ；若点(2,3)M -，(3,2)N --，直线l 过点(11)P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为 .四．例题分析：例1．已知直线1l 的方程为2y x =，过点(2,1)A -作直线2l ，交y 轴于点C ，交1l 于点B ，且1||||2BC AB =，求2l 的方程.例2．⑴已知1(1,3)P 2(7,2)P ，试求→--21P P被直线2570x y -+=所分成的比λ； ⑵已知111(,)P x y ，222(,)P x y ，若直线0=++C By Ax 与直线1P 2P 相交于点P ，P 不与2P 重合，求证：点P 分→--21P P 的比1122Ax By C Ax By Cλ++=-++.例3．过点(1,4)P 引一条直线l ，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线l 的方程.例4．ABC ∆的一个顶点(2,3)A ，两条高所在直线方程为230x y -+=和40x y +-=，求三边所在直线方程．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．若0ab <，则过点1(0,)P b -与1(,0)Q a的直线PQ 的倾斜角的取值范围是（ ） ()A (0,)2π ()B (,)2ππ ()C (,)2ππ-- ()D (,0)2π- 2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（ ）()A ||||2x y +=()B ||||1x y += ()C ||2x y += ()D ||1x y += 3．已知三点(,2)A a ，(5,1)B ，(4,2)C a -在同一直线上，则a 的值为 ．4．过点P 的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 分有向线段→--AB 所成的比为12，则直线l 的斜率为 ，直线l 的倾斜角为 . 5．设(,1)A m m +，(2,1)B m -，则直线AB 的倾斜角α为 ． 6．不论m 为何实数，直线(1)10m x y -++=恒过定点 ．7．设过点(2,1)P 作直线l 交x 轴的正半轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，（1）当||||PA PB ⋅取得最小值时，求直线l 的方程．（2）当||||OA OB ⋅取得最小值时，求直线l 的方程．8．对直线l 上任意一点(,)x y ，点(42,3)x y x y ++也在直线l 上，求直线l 的方程．9．求过点P (0，1)的直线l ，使它包含在两已知直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0间的线段被点P 所平分．10．设同在一个平面上的动点P 、Q 的坐标分别是(,)x y 、(,)X Y ，并且坐标间存在关系321X x y =+-，321Y x y =-+，当动点P 在不平行于坐标轴的直线l 上移动时，动点Q 在与直线l 垂直且通过(2,1)的直线上移动，求直线l 的方程．。
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引入新课
1．直线的两点式方程：
（1）一般形式：
（2）适用条件：
2．直线的截距式方程：
（1）一般形式：
（2）适用条件：
注：“截距式”方程是“两点式”方程的特殊形式，它要求直线在坐标轴上的截距都不为0．
3．直线的一般式方程：
4．直线方程的五种形式的优缺点及相互转化：
思考：平面内任意一条直线是否都可以用形如()00不全为
，B A C By Ax =++的方程
来表示？
例题剖析
例1 三角形的顶点()()()3
，
-，
，
A，试求此三角形所在直线方
B
，C
，
4
3
5
-
程．
例2 求直线0
y
x
l：的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图．
+
-
15
5
3=
例3 设直线l 的方程为062=+-+m my x ，根据下列条件分别确定m 的值：
（1）直线l 在x 轴上的截距是3-； （2）直线l 的斜率是1；
（3）直线l 与y
轴平行．
例4 过点()21 ，的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于B A ，两点， 当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．
巩固练习
1． 由下列条件，写出直线方程，并化成一般式：
（1）在x 轴和y 轴上的截距分别是23，－3；
（2）经过两点P 1（3，－2），P 2（5，－4）．
2．设直线l 的方程为()00不全为，B A C By Ax =++，根据下列条件， 求出C B A ，，应满足的条件：
（1）直线l 过原点； （2）直线l 垂直于x 轴；
（3）直线l 垂直于y 轴； （4）直线l 与两条坐标轴都相交．
课堂小结
掌握直线方程的两点式、截距式，能根据条件熟练求出直线的方程；能将点斜式、斜截式、两点式转化成一般式．
课后训练
班级：高一（ ）班 姓名：____________
一 基础题
1．下列四句话中，正确的是（ ）
A ．经过定点()000y x P ，的直线都可以用方程()00x x k y y -=-表示；
B ．过任意两个不同点()()222111y x P y x P ，，，
的直线都可以用 方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；
C ．不经过原点的直线都可以用方程1=+b
y a x 表示； D ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程b kx y +=表示．
2．在x 轴、y 轴上的截距分别为32 -，
的直线方程是（ ） A ．0632=--y x B ．0623=--y x
C ．0623=+-y x
D ．0632=+-y x 3．如果直线12=+y x 的斜率为k ，在x 轴上的截距为a ，则k = ，a = ．
4．过点()13 ，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程
为 ．
5．直线()00126≠=--a a y ax 在x 轴上的截距是它y 轴上的截距的3倍，则a = ．
6．已知点()121- -m P ，在经过()()4312 - - ，，，N M 两点的直线上，则=m ．
7．已知B A ，是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PB PA =，若直线PA 的。