1.中点弦问题(点差法)
中点弦公式点差法
中点弦公式点差法
中点弦公式是指通过连接曲线上两点中点的弦来近似曲线的斜率。
点差法是指对于曲线上的两个点，通过用极限的思想来逼近它们之间的点差（即横坐标之差），从而计算斜率。
中点弦公式的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。
2. 计算这两个点的中点坐标
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
3. 计算连接这两个点的弦的斜率，即$\frac{y_2-y_1}{x_2-
x_1}$。
点差法的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。
2. 计算这两个点之间的点差（即横坐标之差），即$\Delta
x=x_2-x_1$。
3. 通过极限思想，将点差逐渐缩小为0，即$\Delta x\rightarrow 0$。
4. 计算这两个点之间的斜率的极限值，即$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y_2-y_1}{\Delta x}$。
这个极限值即为这两点之间的切线斜率。
需要注意的是，中点弦公式是一种近似计算方法，只有在两点之间的曲线变化不太剧烈时才适用；而点差法则是一种精确计算方法，可以得到任何两点之间的切线斜率。
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
解：设直线与椭圆的交点为 、
为 的中点
又 、 两点在椭圆上，则 ，
两式相减得
于是
即 ，故所求直线的方程为 ，即 。
例2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点 是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由 得 。
∴ ，即 ，解得 。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。
【答案】
【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为
得： 又
三、解答题
20.【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
\
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆 的一条弦的斜率为3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，求点 的坐标。
解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则
，
又 ，
两式相减得
即
，即
点 的坐标为 。
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知， ，设 ，则 ，故 ， ，利用余弦定理可得 。
13.椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
直线与双曲线 点差法与中点弦
直线与双曲线点差法与中点弦一、切线类型：1、双曲线内、原点：0条；2、双曲线上、渐近线（非原点）上：1条；3、双曲线外非渐近线上：2条双曲线与渐近线之间：与一支两切线两渐近线之间：与两支各一条切线二、直线与双曲线的位置关系：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条、细分如下：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域②③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑥：即过原点，无切线，无与渐近线平行类比：双曲线中点弦存在性的探讨规律：点差法求中点弦方程时，椭圆、抛物线内的点为中点中点弦方程不用检验，中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域，符合条件的方程都是增解；其它区域内的点为中点的弦的方程都符合题意。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．当在区域Ⅰ内时，有；当在区域Ⅱ内时，有．当在区域Ⅲ内时，有．利用上述结论，可以证明：当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：设双曲线的弦两端点为，，中点为，则，．运用点差法得出的斜率．①令直线的方程为即．②把②代入，整理得．．③把①代入③，整理得．若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（ D ）（A）（B）（C）（D）不存在分析：将及联立得．此时，，则选（D）．若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．-------------------------------------------------------------------------------------点差法求双曲线的中点弦方程时产生增根的原因分析。
点差法
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
16 则弦长 |AB|= _______ , 5
练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
y12 y2 2 8( x1 x2 ) y1 y2 8 8 4 x1 x2 y1 y2 2
直线为y 1 4( x (1))
即4 x y 3 0
练习：过点Q(4,1)作抛物线y 2 8x的弦AB, 恰Q被平分， 求AB所在的直线方程.
解：（ 1 ）设交点坐标为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 2 y12 1 x1 y1 y2 2( x1 x2 ) 2 相减得: 即k 4 2 x1 x2 y1 y2 y 2 x 2 1 2 2 直线方程为： y 4x 7
2 2.(2014·临汾模拟)椭圆 x
则这条弦所在的直线方程是______.
2
y 1
2
的一条弦被点 1 1 平分，
( ，) 2 2
【解析】设该弦与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 点
1 1 (， ，y ) )代入椭圆方程后作差可得 B(x 2 2 22
答案：2x+4y-3=0
椭圆的弦所在的直线方程.
解 : (2)5 12 9 12 45
5x 9 y 14 0
例5：已知椭圆方程为x 2 4 y 2 2 x 12 y 6 0 (1)求这椭圆中以A(2,1)为中点的弦所在直线方程 (2)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程。
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红) (1)
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例湖北省宜昌市夷陵中学 曹文红[问题背景]圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。
对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为),(),,(2211y x B y x A ，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。
此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。
但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。
而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。
为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。
[案例实录]1、 创设情景，提出问题师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。
下面请大家看问题1：已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程。
问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。
2、 自主探索，暴露思维学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书：生1：解：设直线l 与椭圆交点为),(),,(2211y x B y x A ，则有3642121=+y x ，3642222=+y x ，两式相减，得：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ，因为)2,4(M 为AB 中点，所以有： 4,82121=+=+y y x x ， 所以21)(4)(21212121-=++-=--=y y x x x x y y k AB ，故所求直线l 的方程为)4(212--=-x y ，即082=-+y x 。
巧用“点差法”破解圆锥曲线中点弦和切线问题
巧用 点差法 破解圆锥曲线中点弦和切线问题唐金波(深圳科学高中ꎬ广东深圳５１８１２９)摘㊀要: 点差法 是圆锥曲线中一类非常重要的方法ꎬ代点作差ꎬ模式化强ꎬ计算量少ꎬ能很好地优化解题过程.高中阶段用 点差法 来解决有关圆锥曲线上一点的切线问题易于理解ꎬ且能更好地理解数学的本质ꎬ欣赏到数学之美.关键词:点差法ꎻ中点弦ꎻ切线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００６０－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:唐金波ꎬ男ꎬ湖南省衡阳人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀在处理直线与圆锥曲线相交所得弦的中点和切线的相关问题时ꎬ我们经常会用到 点差法 :设弦的两个端点坐标ｘ１ꎬｙ１()和ｘ２ꎬｙ２()ꎬ代入圆锥曲线的方程后ꎬ把所得的两个方程相减ꎬ得到弦的中点坐标与弦所在直线斜率的关系ꎬ使问题得到解决.此方法巧妙地将中点坐标公式和斜率公式 珠联璧合 ꎬ设而不求ꎬ代点作差ꎬ减少了计算量ꎬ模式化强ꎬ优化了解题过程ꎬ对解决此类问题有很好的效果[１].１ 点差法 的介绍１.１中点弦问题结论１㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为椭圆的离心率).分析㊀设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬＭｘ０ꎬｙ０()ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.所以ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.说明㊀本篇后续例题等直接引用该表达式ꎬ没有给出推导ꎬ正式解题作答时需要给出推导过程.对于双曲线和抛物线可类似推导如下结论ꎬ有兴趣的读者可以自行推导.结论２㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为双曲线的离心率).结论３㊀设点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()(ｘ１ʂｘ２)是抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上两点ꎬ则直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２.１.２切线问题结论４㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０６ｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.分析㊀设Ｑ(ｘ１ꎬｙ１)为椭圆上不同于点Ｐ的任意一点ꎬ则ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｋＰＱ＝ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ０ｙ１＋ｙ０.过点Ｐ的切线ｌ可以看作割线ＰＱ当ＱңＰ时的极限位置.①若ｙ０ʂ０ꎬ当ｘ１ңｘ０ꎬｙ１ңｙ０时ꎬｋＰＱң－ｂ２ａ２ｘ０＋ｘ０ｙ０＋ｙ０＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.此时切线ｌ的方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０).化简得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ并且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.②若ｙ０＝０ꎬ容易验证切线ｌ的方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.综上①②ꎬ可知结论成立.通过利用极限的思想结合 点差法 推导椭圆的切线方程ꎬ有助于更好地理解点差法ꎬ挖掘其本质ꎬ进一步说明点差法为什么能解决与中点弦相关的问题ꎬ对提升数学思维和数学核心素养有很大的帮助.本结论也可以通过点差法推广到双曲线和抛物线ꎬ有兴趣的读者可以自行证明.结论５㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１.结论６㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ０＋ｘ)且ｋｌ＝ｐｙ０.２ 点差法 的应用２.１应用 点差法 解中点弦问题例１㊀(２０２２年新高考Ⅱ卷 １６)如图１ꎬ已知椭圆ｘ２６＋ｙ２３＝１ꎬ直线ｌ与椭圆在第一象限交于ＡꎬＢ两点ꎬ与ｘ轴ꎬｙ轴分别交于ＭꎬＮ两点ꎬ且ＭＡ＝ＮＢꎬＭＮ＝２３ꎬ则直线ｌ的方程为.解析㊀设ＡＢ的中点为Ｅꎬ因为ＭＡ＝ＮＢꎬ所以ＭＥ＝ＮＥ.图１㊀２０２２年新高考Ⅱ卷１６题图由结论１ꎬ有ｋＯＥ ｋＡＢ＝－１２.设直线ＡＢ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｋ<０ꎬｍ>０ꎬ令ｘ＝０得ｙ＝ｍꎬ令ｙ＝０得ｘ＝－ｍｋ.即Ｍ－ｍｋꎬ０æèçöø÷ꎬＮ０ꎬｍ().所以Ｅ－ｍ２ｋꎬｍ２æèçöø÷.即ｋˑｍ/２－ｍ/２ｋ＝－１２.解得ｋ＝－２２或ｋ＝２２(舍去).又ＭＮ＝２３ꎬ即ＭＮ＝ｍ２＋２ｍ()２＝２３ꎬ解得ｍ＝２或ｍ＝－２(舍去).所以直线ＡＢ:ｙ＝－２２ｘ＋２ꎬ即ｘ＋２ｙ－２２＝０.评注㊀由问题中的条件ＭＡ＝ＮＢꎬ借助几何图形的特点ꎬ可自然联想到取线段ＡＢ的中点Ｅꎬ从而利用椭圆中 点差法 的结论ꎬ得到直线斜率和截距的关系式ꎬ进而解决问题.２.２应用点差法 解切线问题例２㊀(２０２２年淮北中学第一次联考 ２１)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的右焦点为Ｆ(１ꎬ１６０)ꎬ离心率为１２.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｆ的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍꎬ分别过ＡꎬＢ作Ｃ的切线ｌ１ꎬｌ２ꎬ且ｌ１与ｌ２交于点Ｐ.证明:ＯꎬＭꎬＰ三点共线.解析㊀(１)ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎻ(２)当直线ｌ的斜率不存在时ꎬＯꎬＭꎬＰ三点共线显然成立.当直线ｌ的斜率存在设为ｋ(易知ｋʂ０)ꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ由结论１知ꎬｋ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝－３４ꎬ即ｋＯＭ＝－３４ｋ.由结论２知ꎬｌ１:ｘ１ｘ４＋ｙ１ｙ３＝１ꎬ①ｌ２:ｘ２ｘ４＋ｙ２ｙ３＝１.②由①②ꎬ得ｘ(ｘ１－ｘ２)４＝－ｙ(ｙ１－ｙ２)３.即ｋｏｐ＝ｙｘ＝－３(ｘ１－ｘ２)４(ｙ１－ｙ２)＝－３４ｋ.于是ｋＯＭ＝ｋｏｐꎬ因此ＯꎬＭꎬＰ三点共线.评注㊀上述有关中点弦和曲线上一点的切线问题若借助 点差法 得到直线的斜率与中点到原点的斜率的关系式ꎬ能有效减少计算量.用点差法得到的切线方程也简单易懂ꎬ给我们推导圆锥曲线上一点的切线提供了更为初等的方法ꎬ充分说明了 点差法 的威力ꎬ更能让我们欣赏到数学之美.２.３对 点差法 深入理解例３㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ是否存在过点Ｍ(１ꎬ１)的直线ｌꎬ使ｌ与双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ且Ｍ是线段ＡＢ的中点?若存在求出ｌ的方程ꎻ若不存在ꎬ说明理由.解析㊀当直线ｌ的斜率不存在时ꎬ显然不合题意.当直线ｌ的斜率存在设为ｋꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则由结论２ꎬ知ｋ ｋＯＭ＝２ꎬ即ｋ＝２.于是ꎬ直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－１.但若将ｙ＝２ｘ－１代入双曲线ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ消去ｙꎬ整理ꎬ得２ｘ２－４ｘ＋３＝０ꎬ此方程没有实数解.所以满足题意的直线ｌ不存在.评注㊀解答例３的问题时ꎬ在用点差法求出直线方程后ꎬ认为已经 大功告成 ꎬ这就反应出解题过程中理性思维的缺失.此例体现了 点差法 在应用中的特殊性和局限性ꎬ有助于我们对数学更深入地理解.事实上ꎬ(１)当曲线是椭圆或者抛物线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则满足条件的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足条件的直线不存在.(２)当曲线是双曲线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则所求的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足的条件可能存在ꎬ也可能不存在ꎬ此时需要验证判别式.３总结反思点差法 是一种非常典型且简单易学的方法ꎬ但它仍然不是圆锥曲线中的通解通法.从上述例题的解答过程可以看出ꎬ当遇到中点弦㊁切线等条件时ꎬ我们可以尝试该法.对于联立直线与圆锥曲线方程的通法ꎬ该法过程简洁㊁计算量小ꎬ能进一步提高解题效率.对于圆锥曲线上一点的切线问题也能很好地解决ꎬ是高中阶段非常好用㊁易用㊁实用的好方法.但是该法仍然具有其局限性ꎬ我们在平时的学习过程中ꎬ要结合自身掌握知识的程度和对知识本质理解的程度ꎬ选择最优的解题方法.要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想ꎬ加深对数学本质的理解ꎬ从而提高自身的数学核心素养.参考文献:[１]苏立标.圆锥曲线的秘密[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２１.[责任编辑:李㊀璟]２６。
高中数学：中点弦问题
⾼中数学：中点弦问题
⼀、⽤点差法求斜率及常⽤公式
在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常⽤点差法求斜率，关于点差法求斜率的⽅法，证明过程如下：
这是⼀个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，
因为⽅法过程简单但是繁琐，在⼩题⾥⾯可以直接利⽤结论来求
出相关的斜率，常⽤结论如下：
⼆、利⽤导数法求解中点弦问题
探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中⼜有两个量，能不能减少未知量的个数，利⽤中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：
从图左中可以看出点A其实是两个椭圆的对称点，⽽过A点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个椭圆式⼦相减得到公共弦，这跟两个圆⽅程相减得到相交弦⽅程⼀样。
那么如果点A的位置不在椭圆内⽽在椭圆上的话，从上⾯可知点A依旧是两椭圆的对称点，此时两个椭圆的位置关系相切，如上图右。
所以上⾯的结论可以直接⽤来写出椭圆的切线⽅程，当然先⽤导数求得斜率，再⽤点斜式写出切线⽅程也可以，只不过没有上⾯的结论简洁直接，但是这跟⽤导数法求斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：
很多学⽣问点A⼜不在椭圆上，为什么求导可以直接代⼊点A呢，其实很简单，点A虽然不在椭圆上，但是⼀定在把椭圆按⽐例缩⼩的椭圆上，此时对缩⼩之后的椭圆进⾏求导可以发现不改变原椭圆⽅程求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆⽅程进⾏求导，代⼊点求得过点A的直线的斜率。
椭圆中点弦问题点差法(微教案)
1. 知识与技能：让学生掌握椭圆中点弦问题的解法——点差法，能运用点差法解决相关问题。
2. 过程与方法：通过引导学生发现中点弦的性质，培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆中点弦问题的解法——点差法。
2. 教学难点：如何灵活运用点差法解决实际问题。
三、教学方法1. 引导发现法：引导学生发现中点弦的性质，自主探究解法。
2. 案例分析法：通过分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作精神。
四、教学过程1. 导入新课：回顾椭圆的基本性质，引导学生关注椭圆的中点弦问题。
2. 自主探究：让学生尝试解决椭圆中点弦问题，发现解题规律。
3. 讲解点差法：根据学生的探究结果，讲解点差法的原理和步骤。
4. 案例分析：分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
5. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 拓展提高：引导学生思考如何将点差法应用于其他几何问题。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 作业布置：布置作业，巩固所学知识。
课后对本节课的教学进行反思，了解学生的掌握情况，针对性地调整教学方法和策略。
关注学生的个体差异，力求让每个学生都能在课堂上发挥潜能。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习反馈：分析学生的练习作业，评估学生对点差法的掌握程度及应用能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的合作精神和问题解决能力。
七、教学拓展1. 对比教学：对比椭圆与其他圆锥曲线的性质，探讨它们的中点弦问题解法。
2. 实际应用：引导学生关注椭圆中点弦问题在实际生活中的应用，如地球卫星轨道等。
八、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解和展示椭圆中点弦问题的解法。
2. 练习题库：准备一定数量的练习题，供学生巩固所学知识。
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两式相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得
2 2 2
(人X2)4(%
V22)
0
于是(X1
X2)(X1X2)4( y1
『2)(0
y2)0
y1y2
X1X2
4
1
X-Ix2
4( y1y2)
4 2
2
1 1
即kAB㊁，故所求直线的方程为y1-(x2)，即x 2y4 0。
2
例2、已知双曲线x2冷1,经过点M(1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于A、B,
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结
①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问
题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题
圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次
75(X1
X2)(X1X2)o
即2yo(y1
y2)3(X1X2)0
y1
y23
X1
X22yo
ky1
y23
33
，即yo
1
X1
X2
2 yo
2
1
点M的坐标为(一，
-)。
2
2
2 2
4、已知椭圆
yX
1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
7525
设弦端点P(x1,y1)、
Q(X2, y2)，
弦PQ的中点M(x,y)，贝
.求弦的中点坐标、弦中点轨迹
3、已知椭圆
yx
7525
1的一条弦的斜率为
1
3，它与直线x—
2
M，求点
M的坐标
。
设弦端点P(x1,y1)、
Qg y2)，
弦PQ的中点M (xo,yo)，
X-ix2
2xo1，
y1y22 yo
2
2
2 2
又y1
X11，
y2X2
1
75
25
7525
两式相减得
25( y1
y2)(y1y2)
方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
解题策略：
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：若设直线与圆锥曲线的交
点(弦的端点)坐标为A(xi，yj、B(X2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程
相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。
X1X2
2x，
y1y2
2y
2
2
2 2
又y1
X11，
y2X2
1
75
25
7525
两式相减得
25( y1
y2)(y1y2)
75(X1
X2)(X1X2)o
即y(y1
y2)3x(x1X2)0，
即y1
y23x
X1
X2y
ky1
y23
歿3，即
xy
o
2
2
Xi
例
的交点恰为这条弦的中点
解
则
例
解
X2
1
Xo
2
X
由
75
P(穿5＞臂
2 2
两式相减，得
1y.y2
(治X2XX1X2) -(y1y2)(y1y?) okAB—-2
2X1X2
故直线AB:y 12(x 1)
y 12(x 1)
由2y2消去y，得2x24x 30
x1
2
(4)24 2 380
这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线I。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到 中点弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的 弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。
且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理 由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线
的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)
则x1x22y1y22
2 2
X12L 1，X22亘1
(3)y2=2px( p>0)与直线I相交于A、B设弦AB中点为M(xo,yo),则有2yok=2p,即yok=p.经典例题讲解
一、求以定点为中点的弦所在直线的方程
2 2
例1、过椭圆x匚1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线
16
的方程。
解：设直线与椭圆的交点为
M (2,1)
2 2 2 2