1.中点弦问题(点差法)
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结
①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问 题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题
圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：
联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次
方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 解题策
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(
点差法)：若设直线与圆锥曲线的交
点(弦的端点)坐标为 A(x i ，yj 、B(X 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程
相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。 (3)y 2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x o ,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.
经典例题讲解
一、求以定点为中点的弦所在直线的方程
2 2
例1、过椭圆x 匚 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线
16 4
的方程。
解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)
M (2,1)为 AB 的中点 x 1 x 2 4
y 1 y 2 2
2 2 2 2
，消去四
如: 2
(1)笃
a
2
y b 2 1(
a
x o
2
阶
o 。
a
b
2
2
(2)笃
y
2 1(
a
a b
X o
yo, o
2
a
b 严
b 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o ),则有
0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有
又A、B两点在椭圆上，则x14y116，x24y216
V22)0
两式相减得 2 2 2
(人X2 ) 4(%
于是(X1X2)(X1 X2) 4( y1『2)(0y2)0
y1 y2X1 X241
X-I x24( y1 y2) 4 22
1 1
即k AB 二，故所求直线的方程为y 1 -(x 2)，即x 2y 4 0。
2
例2、已知双曲线x2冷1 ,经过点M (1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于A、B , 且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线
，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)
则x1x2 2 y1y2 2
2 2
X12 L 1，X22亘 1
2 2
两式相减，得
1 y. y2
(治X2X X1 X2) -(y1 y2)(y1 y?) o k AB —- 2
2 X1 X2
故直线AB: y 1 2(x 1)
y 1 2(x 1)
由2 y2消去y，得2x2 4x 3 0
x 1
2
(4)2 4 2 3 8 0
这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线I。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。
.求弦的中点坐标、弦中点轨迹
3、已知椭圆 y X 75 25 1的一条弦的斜率为 1 3，它与直线X — 2 M ，求点 M 的坐标 。 设弦端点P(x 1,y 1)、 Qg y 2)
， 弦PQ 的中点M (x o ,y o )， X-i x 2
2X
O 1 ，
y 1 y 2
2 y o
2
2
2 2
又y 1
X
1
1，
y 2 X 2 1
75 25
75 25
两式相减得 25( y 1 y 2)(
y 1
y 2)
75(X 1 X 2)(X 1
X 2)
o
即 2 y o (y 1
y 2) 3(X 1 X 2
)
y 1 y 2 3
X 1 X 2
2y o
k y 1 y 2 3 3
3 ，即y o
1 X 1 X
2 2 y o
2
1 点M 的坐标为(一
， -)。
2 2
2 2
4、已知椭圆 y X
1
,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
75 25
设弦端点P(X 1 , y 1)、 Q(X 2, y 2)， 弦PQ 的中点M (X , y)，贝
X 1 X 2 2X ，
y 1 y 2
2y
2
2
2 2
又y 1
X 1
1，
y 2 X 2 1
75 25
75 25
两式相减得 25( y 1 y 2)(y 1 y 2)
75(X 1 X 2)(X 1
X 2
)
o
即 y(y 1
y 2)
3x(x 1 X
2)
， 即y
1
y 2 3X
X 1 X 2
y
k
y
1
y
2 3 歿3，即
X y
o
2 2 X i 例 的交点恰为这条弦的中点 解 则 例 解 X 2
1 Xo -
2 X 由y 2 75
25
P (穿5
＞臂
点M在椭圆内
它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x y 0( 5 3x 5 3)
2 2
三?求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为F(0, ... 50)的椭圆被直线l : y 3x 2截得的弦的中点的一1
横坐标为一，求椭圆的方程。
2
2 2
解：设椭圆的方程为爲爲1，则a2 b250……①
a b
设弦端点P(x1, y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中点M (x°,y o)，则
3x0 X1 X2 2x o 1 , y1 y2 2y o
2 2
又生x_
乂 2 2 a b
2 y2
2 a
两式相减得b2(y1 y2)(% y2)a2(x-i x2)(x-i x2) 0 即b2( y y2)a2(为x2) 0
2 * y2 a
2 % x2 b
2 a b2
联立①②解得a275 , b225
所求椭圆的方程是
2 2
y x
75 25
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
2 2
例6、已知椭圆—1，试确定的m取值范围，使得对于直线y
4 3
4x m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设R(x1，y1), P2(X2,y2)为椭圆上关于直线y 4x m的对称两点, P(x, y)为弦RP2
2 2 2 2
的中点，贝U 3x1 4y1 12 , 3x2 4y2 12
两式相减得，3( x12 x22) 4( y12 y22) 0
即 3(X 1 X 2)(X 1 X 2)4(y i y 2)(y i y ?)
2.已知，椭圆C 的中心在原点,
焦点在X 轴上，一条准线的方程是 X=b ,倾斜角为—的直线
4
I 交椭圆C 于A 、B 两点，且线段 AB 的中点为（
1 ,￡），求椭圆C 的方程.
2 4
y 3X
这就是弦RF 2中点P 轨迹方程。
y 联立y y
3X 4X
x m
，得I 必须满足y 2
3
，
m y 3m
3 2
—2届 2.13
即(3m)
3 —m ，解得 - m
4 13
13
五、注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性冋题；
（2
弦中点的轨迹应在曲线内。
X i X 2 2x , y i
y ? 2y ,
y i y 2
它与直线y
4X m 的交点必须在椭圆内
1.直线y
2
X
X 1与椭圆
9
1
相交于A 、B 两点，贝U AB 中点坐标 ___________
2
3.已知双曲线X2 y1，经过点M(1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于A、B
2
两点，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由？
4.已知又曲线线C的渐近线方程y 3x，其一个焦点为F( ■. 10,0).
(1)求双曲线的方程；(2)是否经过B1(0,3)的直线I，使得直线I与双曲线线C交于A、
B两点，且以AB为直径的圆经过B/0, 3) ?若存在，请求出直线I的方程；若不存在，请说明理由