课时跟踪检测 (四十) 空间点、线、面之间的位置关系
课时跟踪检测(四十四)空间点、直线、平面之间的位置关系.pdf
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即异面直线
VA 与 BD 所成角的大小为
π 2.
答案：
π 2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是
A ．空间四边形
B．矩形
()
C ．菱形
D ．正方形
解析： 选 B 顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边
解析： 选 A 连接 A1C1， AC，则 A1C1∥ AC，所以 A1， C1， C， A
四点共面，所以 A1C? 平面 ACC1A1，因为 M ∈ A1C，所以 M ∈ 平面
ACC 1A1，又 M ∈平面 AB1D 1，所以 M 在平面 ACC 1A1 与平面 AB1D 1 的
交线上，同理 O 在平面 ACC 1A1与平面 AB1D1 的交线上，所以 A， M ，
故④错误，所以正确命题的个数是 2.
3．(2016 ·福州质检 )已知命题 p：a， b 为异面直线，命题 q：直线 a，b 不相交，则 p 是
q的( )
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析： 选 A 若直线 a， b 不相交，则 a， b 平行或异面，所以 p 是 q 的充分不必要条
②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直； ③若 a∥ b，则必有 a∥ c；
④若 a⊥ b， a⊥ c，则必有 α⊥ β. 其中正确的命题的个数是 ( )
A． 0
B． 1
C． 2
D．3
解析： 选 C ①中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a， b 中的一条相交，故①正确；
2019届高考数学(理)大一轮课时跟踪检测【45】空间点、直线、平面之间的位置关系(含答案)
课时跟踪检测(四十五) 空间点、直线、平面之间的位置关系第Ⅰ组：全员必做题1．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直2．(2018·聊城模拟)对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．互为异面直线3．(2018·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2018·新乡月考)已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A ．与a ，b 都相交B ．只能与a ，b 中的一条相交C ．至少与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 都平行5．若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则( ) A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面6.(2018·三亚模拟)如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )A.36 B ．－36 C.33D ．－337.(2018·沧州模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( ) A ．45° B ．60° C ．90°D ．120°8．(2018·临沂模拟)过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中既与AB 共面又与CC 1共面的棱有________条．10.如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直． 以上四个11．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________对．(第11题图) (第12题图)12．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O ，则AO 与A′C′所成角的度数为________． 第Ⅱ组：重点选做题1．A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点， (1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．2．(2018·许昌调研)如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选D ∵a ⊥b ，b ∥c ，∴a ⊥c.2．选C 不论l ∥α，l ⊂α还是l 与α相交，α内都有直线m 使得m ⊥l. 3．选A 若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．4．选C 若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行，根据公理4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． 5．选B 对于A ，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A ；对于B ，由于l 和m 有且只有一条公垂线a ，而过P 有且只有一条直线与直线a 平行，故B 正确；易知C 、D 不正确．6.选A 延长CD 至H.使DH ＝1，连接HG 、HF 、则HF∥AD.HF ＝DA ＝8， GF ＝6，HG ＝10. ∴cos ∠HFG ＝ 8＋6－102×6×8＝36.7．选B 连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF.设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故所求的两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.8．选D 如图，连接体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等，∵BB 1∥AA 1，BC∥AD，∴体对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1，A 1C ，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．9．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．答案：510．解析：还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN. 答案：②③④11．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：312．解析：∵A′C′∥AC ， ∴AO 与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB′CC′，∴OC ⊥AB.又AB∩BO＝B ，∴OC ⊥平面ABO. 又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA. 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12， ∴∠OAC ＝30°.即AO 与A′C′所成角的度数为30°. 答案：30° 第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt△EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 2．解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD.又BC 綊12AD ，故GH 綊BC.所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG.由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．。
空间点、线、面之间的位置关系 课件
(2)取 BC 的中点 F，连接 EF，AF，则 EF∥PB， 所以∠AEF(或其补角)就是异面直线 AE 与 PB 所 成的角． ∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面 ABC ， ∴ AF ＝ 3 ， AE ＝ 2 ， EF ＝ 2 ， cos ∠ AEF ＝ AE2＋EF2－AF2
[即时应用] 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直 线 AB，BC，AD，DC 分别与平面 α 相交于点 E， G，H，F，求证：E，F，G，H 四点必定共线． 证明：因为 AB∥CD，所以 AB，CD 确定一个平面 β． 又因为 AB∩α＝E，AB⊂β，所以 E∈α，E∈β， 即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点． 同理可证 F，G，H 均为平面 α 与 β 的公共点， 因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， 所以 E，F，G，H 四点必定共线．
(2)连接 BD，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AC⊥BD，AC∥ A1C1，∵E，F 分别为 AB，AD 的中点，∴EF∥BD，∴EF ⊥AC．∴EF⊥A1C1．即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”． 3．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．
考点一 平面的基本性质及应用 [典例引领]
如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别 是 AB，AA1 的中点．求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
直线 AB 是异面直线的有________条． 解析：与 AB 异面的有 4 条：CC1，DD1，A1D1，B1C1． 答案：4
2．在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的 中 点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形的是 ________．(填上所有正确答案的序号)
第三节 空间点、线、面之间的位置关系
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解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若 A，B，C 三点共线，则 A，B，C，D，E 五点不 一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然 b， c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正 确的个数为 1.
答案：B
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4．已知直线 a 和平面 α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且 a 在 α，β 内的射影分别为直线 b 和 c， 则直线 b 和 c 的位置关系是( A．相交或平行 C．平行或异面 B．相交或异面 D．相交、平行或异面 )
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考点三
异面直线所成的角
高考对异面直线所成角的求解问题主要考查能作出异 面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平面内两 条直线的夹角.一般以选择题、填空题出现，属于中低档题.
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[典题领悟]
(2017· 全 国卷 Ⅱ ) 已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠ ABC ＝ 120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角 的余弦值为 3 A. 2 10 C. 5 15 B. 5 3 D. 3 ( )
第
三
节
空间点、线、面之间的位置关系
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
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课 前 双 基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
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过
基
础
知
识
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1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条 直线在此平面内． (2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理 3：如果两个不重合的平面有 一个 公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线．
2019高三一轮总复习文科数学练习：7-3空间点、线、面之间的位置关系解析版
[课时跟踪检测][基础达标]1．空间四点中，三点共线是这四点共面的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：三点共线一定推出四点共面，但是四点共面推不出三点一定共线，故选A.答案：A2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF 相交．答案：A3．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交，平行或异面，故选D.答案：D4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．②④解析：若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交或a与c异面，所以①是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a∥γ，b ∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题，故选D.答案：D5．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．答案：A6．(2017届浙江温州二模)已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是() A．必存在平面α，使得a∥α，b∥αB．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等解析：由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O，过O分别作a ，b 的平行线，则由过O 的a ，b 的平行线确定一个平面α，使得a ∥α，b ∥α，故正确；在B 中，平移b 至b ′与a 相交，因而确定一个平面α，在α上作a ，b ′交角的平分线，明显可以做出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面α使得a ，b 与α所成角相等．角平分线有两条，所以有两个平面都可以，故正确；在C 中，当a ，b 不垂直时，不存在平面α使得a ⊂α，b ⊥α，故错误； 在D 中，过异面直线a ，b 的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a ，b 与α的距离相等，故正确．答案：C7．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析：由AC ⊥平面DBB 1D 1，可知AC ⊥BE ，故A 正确；由EF ∥BD ，EF ⊄平面ABCD ，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确；A 到平面BEF 的距离即A 到平面DBB 1D 1的距离为22，且S △BEF ＝12BB 1×EF ＝定值，故V A －BEF 为定值，故C 正确．答案：D8．如图，正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面边长和侧棱长均为2，D 、E 分别为AA ′与BC 的中点，则A ′E 与BD 所成角的余弦值为( )A ．0 B.357C.147 D.105解析：取B′B中点F，连接A′F，则有A′F綊BD，∴∠F A′E或其补角即为所求．∵正三棱柱ABC－A′B′C′棱长均为2，∴A′F＝5，FE＝2，A′E＝7.∴cos∠F A′E＝35 7，故A′E与BD所成角余弦值为35 7.答案：B9．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中使三条直线共面的充分条件有________．解析：易知①中的三条直线一定共面；三棱柱三侧棱两两平行，但不共面，故②错；三棱锥三侧棱交于一点，但不共面，故③错；④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④10．如图，E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB ＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为________．解析：取AC的中点为M，连接EM，MF，因为E ，F 分别是AP 、BC 的中点，所以MF ∥AB ，MF ＝12AB ＝62＝3，ME ∥PC ，ME ＝12PC ＝102＝5，所以在△EMF 中，∠EMF (或其补角)即为AB与PC 所成的角(或其补角)．∴cos ∠EMF ＝52＋32－722×5×3＝－1530＝－12，所以∠EMF ＝120°，所以异面直线AB 与PC 所成的角为60°.答案：60°11．下列各图的正方体中，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中直线QP 与直线RS 相交，所以四点共面；②中直线PS 与直线QR 平行，所以四点共面．③中直线SR 与直线PQ 平行，所以四点共面；④中直线PS 与直线RQ 异面，所以四点不共面．答案：①②③12．已知空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 的中点．(1)求证：BC 与AD 是异面直线；(2)求证：EG 与FH 相交．证明：(1)假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，则B ，C ，A ，D ∈α.所以四边形ABCD 为平面图形，这与四边形ABCD 为空间四边形相矛盾，所以BC 与AD 是异面直线．(2)如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ，因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则四边形EFGH 为平行四边形．又EG ，FH 是▱EFGH 的对角线，所以EG 与FH 相交．[能 力 提 升]1．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：构造四面体ABCD ，使AB ＝a ，CD ＝2，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝1，取CD 的中点E ，连接AE ，BE .则AE ＝BE ＝22，所以22＋22>a,0<a < 2.答案：A2．(2017届吉林长春外国语期末)设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n解析：对于A ，当直线m ，n 与平面α所成的角相等时，不一定有m ∥n ，∴A错误；对于B，当m∥α，n∥β，且α∥β时，m∥n不一定成立，∴B错误；对于C，当m⊂α，n⊂β，且m∥n时，α∥β不一定成立，∴C错误；对于D，当n⊥β，α⊥β时，n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，D正确．故选D.答案：D3．(2017届辽宁本溪联考)已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列命题：①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β.上述五个命题中，正确的命题序号是________．解析：对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确；对于②，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定义，即可得到a ⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确；对于③，α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确；对于④，若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确；对于⑤，根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故正确．答案：②⑤4．如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，P A＝2.求：(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角． 在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34， 即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.。
2019版高考数学(文)一轮复习课时跟踪检测(三十九)+空间点、线、面之间的位置关系(普通高中)+.docx
课时跟踪检测（三十九）空间点、线、面之间的位置关系（一）普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1. （I, b是两条异面直线，“Ｕ平面么，bU平面0?若aQ0=c,则直线c必定（）A.与“，b均相交B.与a, b都不相交C.至少与°, 〃中的一条相交D.至多与“，b中的一条相交解析：选C 假设直线C与直线“，b都不相交,则直线C与直线4,方都平行?根据公理4,直线“，方平行，与已知条件中的°, 〃是两条异面直线矛盾，所以直线c至少与a, b中的一条相交.故选C?2.在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面么内有不共线的三点到平面"的距离相等，则④过平面么的一条斜线，有且只有一个平面与平面么垂直. 其中正确的命题是（）A.①③B.②④C.①④D.②③解析：选B ①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面，不正确；②由面面平行的判定定理知正确；③若平面a内有不共线的三点到平面p的距离相等，则 a 与0可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.厶丄/4,则下列结3.若空间中四条两两不同的直线/i，I"厶，厶，满足/i丄厶，厶丄厶,论一定正确的是（）/4A. /!±C.厶与人既不垂直也不平行D. A与人的位置关系不确定解析:选D 构造如图所示的正方体ABCD-AxB^Dx,取人为力0, ?2为AA lf厶为AM,当取人为BiCi时，71/7/4,当取人为时，人丄人, 故排除A、B、C,选D.4.在正方体ABCD-AiB.C.D,中，E, F分别是线段BC, CQ的中点，则直线力0与直线EF的位置关系是（）解析：选A 由BC 統AD, AD^A.D.知，BC 統力山】，从而四边形A X BCD X 是平行四边形，所以A\B//CD\,又EFU 平面AiBCDr, ￡FnPiC=F, 则A X B 与EF 相交.5?已知力，B, C, D 是空间四点，命题甲：A t B, C, D 四点不共面，命题乙：直线/C 和不相交，则甲是乙成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ?充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 若力，B, C, Q 四点不共面，则直线力(7和〃。
空间点、直线、平面之间的位置关系
3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB， BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_A_C__＝__B_D_时，四边形EFGH为菱形；
∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD.
(2) 当 AC ， BD 满 足 条 件 _A__C_＝__B_D__且__A_C_⊥__B_D__ 时 ， 四 边 形 EFGH为正方形.
∴CE，D1F，DA三线共点.
教师备选
如 图 所 示 ， 已 知 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， E ， F 分 别 为 D1C1 ， C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
∵EF是△D1B1C1的中位线， ∴EF∥B1D1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD， ∴EF∥BD. ∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(1)E，C，D1，F四点共面；
如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且 EF＝12A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F， 即E，C，D1，F四点共面.
方法一 如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为 B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1， 又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP. 又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP. 连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角. 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 则在 Rt△C1PB 中，C1P＝12B1D1＝ 2， BC1＝2 2，sin∠PBC1＝PBCC11＝12， 所以∠PBC1＝π6.
课时跟踪检测(三十八) 空间点、线、面之间的位置关系
课时跟踪检测（三十八）空间点、线、面之间的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为()A．P∈m，m∈αB．P∈m，m⊂αC．P⊂m，m∈αD．P⊂m，m⊂α解析：选B点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”，故选B.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c 与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是()A．6 2 B．12C．12 2 D．24 2解析：选A如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.B1C1D1中，既与AB共面又与CC14.如图所示，平行六面体ABCD-A共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22，∴MK＝ 2.在Rt△CKN中，CK＝(2)2＋12＝ 3.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝(2)2＋(22)2－(3)22×2×22＝78.答案：7 8二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD 不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行解析：选D如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．3．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1 B．2C．3 D．4解析：选B根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则()A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1B．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1C ．三点D 1，O ，B 共线，且OB ＝OD 1D ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB ＝OD 1解析：选A 连接A 1M 与B 1D 1交于点H ，连接OH .因为△MD 1H 与△A 1B 1H 相似，所以D 1H HB 1＝D 1M A 1B 1＝MH A 1H ＝12. 因为OH ∥A 1A ，所以OH AA 1＝MH MA 1＝13， 所以OH ＝13AA 1，所以OH ＝13B 1B ，且OH ∥BB 1， 所以由三角形相似可知，D 1，O ，B 三点共线，且OB ＝2OD 1.5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为( ) A.32 B ．33010 C.3010 D.12解析：选C 如图，设正方体的棱长为a ，取线段AB 的中点M ，连接CM ，MF ，EF .则MF 綊AE ，所以∠CFM 即为所求角或所求角的补角．在△CFM 中，MF ＝CM ＝52a ，CF ＝62a ， 根据余弦定理可得cos ∠CFM ＝3010， 所以可得异面直线AE 与CF 所成的角的余弦值为3010.故选C. 6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD 与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.答案： 29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34， GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角． 同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32. 又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2，所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 故三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34. 即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图是三棱锥D -ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( )A.33 B ．12C. 3D.22 解析：选A 由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故 ∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE 中，DE ＝2，由于O 是中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝ 3.在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求余弦值为33. 2．如图所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ， 所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以PQ ∥AE ，PB ∥EF ，所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又因为BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角． 易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155， 所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
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课时跟踪检测 (四十) 空间点、线、面之间的位置关系 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为( ) A．P∈m，m∈α B．P∈m，m⊂α C．P⊂m，m∈α D．P⊂m，m⊂α 解析：选B 点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”，故选B． 2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 解析：选D 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交． 3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( ) A．62 B．12 C．122 D．242 解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A． 4．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面． 解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个． 答案：1或4 5．如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1
共面的棱有________条．
解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1
平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1．故符
合条件的有5条． 答案：5 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件． 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
解析：选A 由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，
从而四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1， 又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F， 则A1B与EF相交． 3．下列命题中，真命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B 根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2． 4．如图，ABCD -A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( ) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：选A 连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1
的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，
M，O三点共线． 5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为( )
A．32 B．33010 C．3010 D．12 解析：选C 如图，设正方体的棱长为a，取线段AB的中点M，连接CM，MF，EF．则MF綊AE，所以∠CFM即为所求角或所求角的补角．在
△CFM中，MF＝CM＝52a，CF＝62a，根据余弦定理可得cos∠CFM＝3010，所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为3010．故选C．
6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对． 答案：3 7．(2017·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)． 解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错． 答案：① 8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________． 解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC， 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点， 所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD， 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， 所以C1D＝2AD， 所以直线AC1与AD所成角的正切值为2， 所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2． 答案：2 9．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问： (1)AM与CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由． 解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下： 如图，连接MN，A1C1，AC． 因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点， 所以MN∥A1C1．
又因为A1A綊C1C，
所以四边形A1ACC1为平行四边形， 所以A1C1∥AC， 所以MN∥AC， 所以A，M，N，C在同一平面内， 故AM和CN不是异面直线． (2)D1B与CC1是异面直线． 理由如下： 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾． 所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线． 10．如图所示，在三棱锥P -ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝23，PA＝2．求： (1)三棱锥P -ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解：(1)S△ABC＝12×2×23＝23， 故三棱锥P -ABC的体积为 V＝13·S△ABC·PA＝13×23×2＝433．
(2)如图所示，取PB的中点E，连接DE，AE， 则DE∥BC， 所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角． 在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，
则cos∠ADE＝DE 2＋AD 2－AE22DE·AD＝22＋22－22×2×2＝34． 即异面直线BC与AD所成角的余弦值为34． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．如图是三棱锥D-ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )
A．33 B．12 C．3 D．22 解析：选A 由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝2，由于O是中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝2，在直角三角形DAO中可以
求得DO＝3．在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝1＋3－22×1×3＝33，故所求余弦
值为33． 2．如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2． (1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF? (2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值． 解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M． 因为侧棱A1A⊥底面ABC， 所以侧面A1ACC1⊥底面ABC． 又因为EC＝2FB＝2，