【练习】高中数学空间中点线面的位置关系练习题
高三数学点线面的位置关系试题
高三数学点线面的位置关系试题1.已知两条直线m，n，两个平面α，β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】C【解析】对于①，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①是正确的；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此②是错误的；对于③，直线n可能位于平面α内，此时结论显然不成立，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β，又m∥n，则n⊥β，因此④是正确的．故选C.2.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】B【解析】若则或相交或异面，故A错；若，，，由直线和平面垂直的定义知，，故B正确；若，，则或，故C错；若，，则与位置关系不确定，故D错．【考点】空间直线和平面的位置关系．3.如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN平面ABCD，E，F分别为MA，DC的中点，求证：(1)EF//平面MNCB；(2)平面MAC平面BND．【答案】(1) (2)见解析【解析】(1)取的中点，连接，欲证平面，只要证只要证四边形是平行四边形即可，事实上，由于分别是的中点，易知另一方面又有 ,所以FG与ME平行且相等，四边形是平行四边形，问题得证.(2) 连接、,欲证平面，只要证平面，即证与平面内的两条相交直线、都垂直；由菱形易知；另外，由平面平面及矩形易证平面，进而有，所以问题得证.试题解析：证明：(1)取的中点，连接，因为且，又因为、分别为、的中点，且， 2分所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以， 4分又平面，平面，所以平面 6分(2)连接、，因为四边形是矩形，所以，又因为平面平面所以平面 8分所以因为四边形是菱形，所以因为，所以平面 10分又因为平面所以平面 12分【考点】1、直线与平面平行的判定；2、直线与平面及平面与平面垂直的判定与性质.4.已知三棱柱的侧棱在下底面的射影与平行,若与底面所成角为,且,则的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三余弦公式得.又，所以.【考点】空间几何体及空间的角.5.设a、b为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且b⊥α，则a∥b；③若a∥α且a∥β，则α∥β；④若a⊥α且a⊥β，则α∥β.其中为真命题的是________．(填序号)【答案】②④【解析】①错，a∥α，b∥α，直线a与b可能相交、平行或异面；③错，若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，则a∥α，a∥β.6.已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γβ⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数是________．【答案】2【解析】若α、β换为直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γb⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥αa⊥b”，此命题为真命题，故真命题共2个．7.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.(1)求证：C1E∥平面ADF；(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF?【答案】（1）见解析（2）当BM＝1时【解析】(1)证明：连结CE交AD于O，连结OF.因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，.从而OF//C1E.OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E∥平面ADF.(2)解：当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由于B1B⊥平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC.由于AB＝AC，D是BC中点，所以AD⊥BC.又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC,所以AD⊥平面B1BCC1.而CM平面B1BCC1，于是AD⊥CM.因为BM＝CD＝1，BC＝CF＝2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF.DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF.CM⊥平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF.当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF.8.如图PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的是________．(填序号)【答案】①②④【解析】①AE平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA AE⊥BC，故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．9.如图,PA⊥正方形ABCD,下列结论中不正确的是()A．PB⊥CB B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD【答案】C【解析】由CB⊥BA,CB⊥PA,PA∩BA=A,知CB⊥平面PAB,故CB⊥PB,即A正确;同理B正确;由条件易知D正确.10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)若E是线段A1B上一点，且满足VE－BCC1＝·VABC－A1B1C1，求A1E的长度．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC中点，∴A1O⊥AC，又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC＝AC，A1O⊂平面A1AC，∴A1O⊥平面ABC.(2)∵VE－BCC1＝VABC－A1B1C1＝VA1－BCC1，∴BE＝BA1，即A1E＝A1B.连接OB，在Rt△A1OB中，A1O⊥OB，A1O＝，BO＝1，故A1B＝2，则A1E的长度为.11.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是()A．若α⊥β，m⊥α，则m∥βB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m⊥α，n∥m，则n⊥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n【答案】C【解析】举反例，对于A，可能mβ；对于B，α，β可能相交；对于D，m，n可能相交或异面．12.设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；②若α⊥β，则α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中，所有真命题的序号是________．【答案】①②【解析】③错误，α，β相交或平行；④错误，n与m可以垂直，不妨令n＝α∩β，则在β内存在m⊥n.13.已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．【答案】①④【解析】①正确，此时必有α∥β；②错误，因为此时两平面平行或相交均可；③错误，当两直线a，b在两平面内分别与两平面的交线平行即可；④正确，由于α∥β，经过直线α的平面与平面β交于a′，则a∥a′，即a′∥α，又b∥α，因为a，b为异面直线，故a′，b为相交直线，由面面平行的判定定理可知α∥β，综上可知①④是平面α∥平面β的充分条件．14.设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，α⊥β，则α⊥β；③若a∥α，b∥α，则a∥b; ④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.上述命题中，所有真命题的序号是________．【答案】④【解析】若a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，即命题①不正确；若a⊥α，a⊥β，则α∥β，即命题②不正确；若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a与b异面，即命题③不正确；若a⊥α，b⊥α，则a∥b，即命题④正确，综上可得真命题的序号为④.15.正方形与梯形所在平面互相垂直，，，点在线段上且不与重合。
高一数学点线面的位置关系试题
高一数学点线面的位置关系试题1.在长方体中，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为。
（1）证明：直线∥平面;（2）求棱的长;（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）4 （3）【解析】（1）根据长方体的性质推断出平面平面平面．进而根据线面平行的判定定理推断出∥平面．设，进而根据几何体的体积关系求得棱柱的体积，进而利用体积公式求得．（3）在平面中作交于，过作交于点，根据线面垂直的性质推断出，进而根据，推断出，利用线面垂直的性质证明出．通过∽.利用比例关系求得，最后利用平方关系求得．试题解析：（1）∵是长方体，∴平面平面．∵平面，平面，∴平面．（2）解：设，∵几何体的体积为，∴，即，即，解得．∴的长为4．（3）在平面中作交于，过作交于点，则．因为，而，又，且．∽.为直角梯形，且高.【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．2.在正方体ABCD—A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线异面的有__________条【答案】.【解析】如图可知：与直线异面的面对角线总共有，.，，，，，∴总共有条【考点】空间中直线与直线的位置关系.3.教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线 ()．A．平行B．异面C．垂直D．相交但不垂直【答案】C【解析】由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直；若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直；综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直，故选B．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．4.以下四个命题中，正确的有几个（）①直线a，b与平面a所成角相等，则a∥b；②两直线a∥b，直线a∥平面a，则必有b∥平面a；③一直线与平面的一斜线在平面a内的射影垂直，则该直线必与斜线垂直；④两点A，B与平面a的距离相等，则直线AB∥平面aA0个 B1个 C2个 D3个【答案】A【解析】本题考查点线面位置关系①直线a，b与平面a所成角相等，则a∥b或相交或异面三种情况②两直线a∥b，直线a∥平面a，则b∥平面a或；③不正确,必须是平面内的一条直线与平面的一斜线在平面a内的射影垂直，则该直线必与斜线垂直；④两点A，B与平面a的距离相等，则直线AB∥平面a或AB与相交.【考点】点线面位置关系5.已知不同直线、和不同平面、，给出下列命题：①②③异面④其中错误的命题有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①，正确；②，当时不成立，故②错误；③异面，，故③错误；④，有可能，故④错误【考点】直线与平面（平行）垂直的判定和性质定理，平面与平面（平行）垂直的判定和性质定理6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）通过借助中间量——直线，易得，，可得直线，从而证得平面；（2）通过证明平面，即可征得平面平面．试题解析：（1）连结．在长方体中，对角线，又∵、为棱、的中点，∴，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）在长方体中，平面，而平面，∴．又在正方形中，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．【考点】1.直线与平面平行的证明；2.面面垂直的证明．7.正方体-中，与平面ABCD所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为平面所以与平面所成角为求线面角关键找垂线，找出垂线就能在直角三角形中研究线面角大小.另外需熟悉正方体中面对角线与体对角线量的关系.【考点】直线与平面所成角.8.下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①若直线a不在α内，则a∥α或a与α相交，故此命题错误；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或a与α相交，故此命题错误；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线平行或异面，故此命题错误；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，正确；⑤平行于同一平面的两直线可以相交，正确．故选B【考点】本题考查了空间中的线面关系点评：熟练运用线面平行的概念、判定及性质是解决此类问题的关键，属基础题9.如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（）A．∥B．四边形是矩形C．是棱台D．是棱柱【答案】C【解析】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、D正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选C．【考点】长方体的几何特征，直线与平面平行、垂直的判定与性质。
空间几何计算练习题求点线面的位置关系
空间几何计算练习题求点线面的位置关系一、点、线、面的定义在空间几何中，点、线、面是最基本的概念。
点是空间中的一个位置；线是由无数个点按照一定规律排列而成的；面是由无数个线按照一定规律排列而成的。
二、求点、线、面的位置关系在空间中，点、线、面可能存在不同的位置关系。
下面通过一些具体的计算练习题，来求解它们之间的位置关系。
1. 点与线的位置关系设空间中有一条直线L，以及一个点P，求点P与直线L的位置关系。
解题步骤：1) 判断点P是否在直线L上。
通过判断点P是否满足直线L的方程来确定。
若点P满足直线L的方程，则点P在直线L上；若点P不满足直线L的方程，则点P不在直线L上。
2. 点与面的位置关系设空间中有一个平面面，以及一个点P，求点P与平面面的位置关系。
解题步骤：1) 判断点P是否在平面面上。
通过判断点P是否满足平面面的方程来确定。
若点P满足平面面的方程，则点P在平面面上；若点P不满足平面面的方程，则点P不在平面面上。
3. 线与线的位置关系设空间中有两条直线L1和L2，求直线L1与直线L2的位置关系。
解题步骤：1) 判断直线L1是否与直线L2重合。
通过判断直线L1和L2是否满足同一方程来确定。
若直线L1和L2满足同一方程，则直线L1与L2重合；若直线L1和L2不满足同一方程，则直线L1与L2不重合。
4. 线与面的位置关系设空间中有一条直线L和一个平面面，求直线L与平面面的位置关系。
解题步骤：1) 判断直线L是否与平面面平行。
通过判断直线L的方向向量是否与平面面的法向量平行来确定。
若直线L的方向向量与平面面的法向量平行，则直线L与平面面平行；若直线L的方向向量与平面面的法向量不平行，则直线L与平面面不平行。
5. 面与面的位置关系设空间中有两个平面面1和面2，求面1与面2的位置关系。
解题步骤：1) 判断面1是否与面2平行。
通过判断面1的法向量是否与面2的法向量平行来确定。
若面1的法向量与面2的法向量平行，则面1与面2平行；若面1的法向量与面2的法向量不平行，则面1与面2不平行。
高中数学空间中点线面的位置关系练习题
空间中点线面的位置关系练习题1、下列有关平面的说法正确的是（ ）CA 一个平面长是10cm ，宽是5cmB 一个平面厚为1厘米C 平面是无限延展的D 一个平面一定是平行四边形 2、已知点A 和直线a 及平面α，则：①αα∉⇒⊄∈A a a A , ② αα∈⇒⊂∈A a a A , ③αα∉⇒⊂∉A a a A , ④αα⊂⇒⊂∈A a a A , 其中说法正确的个数是（ ）BA.0B.1C.2D.3 3、下列图形不一定是平面图形的是（ ）B A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ）CA.4、6、7B.3、4、6、7C.4、6、7、8D.4、6、8 5、共点的三条直线可确定几个平面 （ ）D A.1 B.2 C.3 D.1或3 6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、1B 1C 1的中点，则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）DA 三角形B 四边形C 五边形D 六边形7、空间两条互相平行的直线指的是（ ）DA.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线AQ B 1RCBDP A 1C 1D 1•••8、三个平面两两相交，交线的条数可能有————————————————1或39、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。
1或410、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有———————————②④⑤11、设c⊥③ca//，以其中a⊥④c 、表示直线，给出四个论断：①bba、a⊥②b c任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题—————————或者若②④则①—————————若①④则②12、点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，且BD ＝AC，则四边形EFGH是————————————。
高二文科数学点线面之间的位置关系练习题.
A 1C 1D 1点线面之间的位置关系一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点. 2. 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.03. 空间四边形ABCD 中，若A B A D A C C B C D B D =====，则A C 与B D 所成角为 A 、030 B、045 C、060 D、0904. 给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面其中错误命题的个数为（）（A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ）35．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（）条 A 3 B 4 C 6 D 8 6. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC，则点O 是ΔABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心7. 如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C1—BD —C 的大小为（）（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）900 8. 直线a,b,c 及平面α, β, γ, 下列命题正确的是（） A 、若a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c⊥b 则c ⊥α B、若b ⊂α, a//b 则a//α C 、若a//α, α∩β=b 则a//b D、若a ⊥α, b⊥α 则a//b9. 平面α与平面β平行的条件可以是（）A. α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC. 直线a α⊂, 直线b β⊂, 且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行 10、 a, b是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ；②过a 至少有一个平面垂直于b ；③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。
高考数学专题复习八8.2空间点、线、面的位置关系-模拟练习题(附答案)
8.2空间点、线、面的位置关系基础篇考点一点、线、面的位置关系1.(2023届福建厦门联考,5)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述中正确的是()1与B1E是异面直线1与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°答案C2.(2019课标Ⅱ,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案B3.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是()A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案D4.(2022甘肃二诊,6)正方体上的点M,N,P,Q是其所在棱的中点,则下列各图中直线MN与直线PQ是异面直线的是()ABCD答案B5.(2023届广西桂林月考二,9)已知三条不同的直线a,b,c,平面α,β,下列说法正确的是()A.命题p:经过一个平面上一点有且只有一个平面与已知平面垂直.命题p是真命题B.已知直线a∥b,b∥c,则a∥cC.命题q:已知a∥α,b∥α,则a∥b.命题q是真命题D.已知a⊥b,b⊥c,a∥α,c∥β,则α∥β答案B6.(2023届黑龙江部分学校联考,4)一个封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,P,Q,R分别是AB,BC和C1D1的中点,由于某种原因,P,Q,R处各有一个小洞,当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时,容器中水的上表面的形状是() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形答案D7.(2022皖南八校三模,15)三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过线段BC中点E作平面EFGH与直线AB、CD都平行,且分别交BD、AD、AC于F、G、H,则四边形EFGH的周长为.答案2考点二异面直线所成的角1.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()答案C2.(2022江西赣州二模,8)在正四棱锥P-ABCD中,点E是棱PD的中点.若直线PB与直线CE则P B的值为()A.1B.2C.2D.22答案C3.(2022黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是()A.13 C.34答案C4.(2023届河南焦作调研一,11)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,AB和CD分别是该圆柱上、下底面的一条直径,若四面体ABCD则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()C.12D.13答案D综合篇考法一点、线、面位置关系的判定及其应用1.(2023届昆明一中双测二,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E,F分别为棱A1B1,B1C1的中点,经过E,F,O三点的平面与正方体相交所成的截面为() A.梯形 B.平行四边形C.矩形D.正方形答案A2.(2022黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是() A.①② B.①③ C.③④ D.②④答案B3.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B4.(2023届山西大同联考一,10)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,AD⊥AA1,AD⊥AB,∠A1AB=60°,M,N分别是棱AB和BC的中点,则下列说法中不正确的是()A.A1,C1,M,N四点共面B.B1N与AB共面C.AD⊥平面ABB1A1D.A1M⊥平面ABCD答案B5.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为33;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④6.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案2π2考法二异面直线所成的角的求解1.(2023届贵阳开学测试,12)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2AD=4,点E在棱CC1上,且C1E=2CE,点F在正方形ABCD内.若直线A1F与BB1所成的角等于直线EF与BB1所成的角,则AF的最小值是() A.322 B.32 C.924 D.922答案A2.(2022安徽黄山第二次质检,10)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,BC=AB=PA=2AD=2,PB=3,AC与BD交于M点,PN=2ND,连接MN,则异面直线MN与AB所成角的余弦值为()A.-18B.23 D.34答案D3.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=43.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为()A.14142114C.14435答案D4.(2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为() A.1556C.52答案C5.(2022四川攀枝花联考(三),10)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D,E分别是BC,A1B1的中点,下列说法中正确的是()A.DE⊥B1C1B.A1C∥平面B1DE1与DE是相交直线D.异面直线B1D与A1C1所成角的余弦值为5答案D6.(2022太原一模,15)已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2,若三棱锥的外接球体积为43π,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为.答案12。
高三数学 空间点、直线、平面之间的位置关系练习题(含答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系建议用时：45分钟一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1B．2C．3D．4B[根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.] 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直A[由BC AD，AD A1D1知，BC A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．] 3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC[对于A，B，D，a与c可能相交、平行或异面，因此A，B，D不正确，根据异面直线所成角的定义知C正确．]4．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外A[如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．]5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15 B.25C.35 D.45D[连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝4 5.]二、填空题6．已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有条．4[作出长方体ABCD-EFGH.在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD.共4条．]7．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD ＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为．30°[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．由此可得GF∥AB，且GF＝12AB＝1，GE∥CD，且GE＝12CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝GFGE＝12，可得∠GEF＝30°，∴EF与CD所成角的度数为30°.]8．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是．②③④[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]三、解答题9．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点．[证明](1)连接EF，GH，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD.又因为CG ＝13BC ，CH ＝13DC ， 所以GH ∥BD ， 所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面，所以设FH ∩AC ＝M ， 所以M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又因为平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， 所以M ∈EG ，所以FH ，EG ，AC 共点．10．如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A．30°B．60°C．75°D．90°D[将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝2，则BC＝CD＝2，∠BCD ＝120°，BD＝23，又因为BC1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.]2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱CC1，A1D1的中点，则异面直线A1B与MN所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°A[如图，取C1D1的中点P，连接PM，PN，CD1.因为M为棱CC1的中点，P为C1D1的中点，所以PM∥CD1，所以PM∥A1B，则∠PMN是异面直线A1B与MN所成角的平面角．设AB＝2，在△PMN中，PM＝PN＝2，MN＝6，则cos∠PMN＝2＋6－22×2×6＝32，即∠PMN＝30°.故选A.]3.如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下命题：①直线MN⊂平面PQR；②点K在直线MN上；③M，N，K，A四点共面．其中正确结论的序号为．①②③[由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面PQR.所以直线MN⊂平面PQR，故①正确．同理可得点M，N，K∈平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．]4．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O-ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．[解](1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥O-ABCD的体积V＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE2＋EM2＝MD2，∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为6 3.5．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC 12AD，BE12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解](1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH 12AD.又BC 12AD，故GH BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE 12F A，G是F A的中点知，BE GF，所以EF BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．1．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD ＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22C.33 D.13A[根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.]2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15 B.56C.55 D.22C[如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA-E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF＝12＋(1＋1)2＝5，FB1＝12＋(3)2＝2，DB1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FB21＋DB21－2FB1·DB1cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2×5×cos∠DB1F，∴cos∠DB1F＝5 5.]11。
点线面位置关系练习(有详细答案)
【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
（线线平行→线面平行）②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（线面平行→线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行） ②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行） ③垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行→线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
【空间角问题】（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间中点线面的位置关系练习题
1、下列有关平面的说法正确的是（ ）
A 一个平面长是10cm ，宽是5cm
B 一个平面厚为1厘米
C 平面是无限延展的
D 一个平面一定是平行四边形
2、已知点A 和直线a 及平面α，则：
①αα∉⇒⊄∈A a a A , ② αα∈⇒⊂∈A a a A ,
③αα∉⇒⊂∉A a a A , ④αα⊂⇒⊂∈A a a A ,
其中说法正确的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
3、下列图形不一定是平面图形的是（ ）
A 三角形
B 四边形
C 圆
D 梯形
4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ）
A.4、6、7
B.3、4、6、7
C.4、6、7、8
D.4、6、8
5、共点的三条直线可确定几个平面 （ ）
A.1
B.2
C.3
D.1或3
6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、
AD 、1B 1C 1的中点，则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是
（ ）
A 三角形
B 四边形
C 五边形
D 六边形 7、三个平面两两相交，交线的条数可能有————————————————
8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。
9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线A Q
B 1 R C
B D P A 1
C 1
D 1 ∙ ∙ ∙
的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有———————————
10、空间两条互相平行的直线指的是（ ）
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）
A 异面直线
B 相交直线
C 不平行直线
D 不相交直线
12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与直线BD 异面且成600角的面对角线有（ ）条。
A 4 B 3 C 2 D 1
13、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，下列说法中不正确的是（ ）
A.若AC 和BD 共面，则AD 与BC 共面
B.若AC 和BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线
C.若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC
D.若AB ＝BC ＝CD ＝DA ，则四边形ABCD 不一定是菱形
14、空间四边形SABC 中，各边及对角线长都相等，若E 、
F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角
为（ ）
A 300
B 450
C 600
D 900
15、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线,与另一条直线的位置关系是————————————————————
16、设c b a 、、表示直线，给出四个论断：①b a ⊥②c c ⊥③c a ⊥④c a //，以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题—————————————————— S C A B E F
17、ABCDEF是正六边形，P是它所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD、PE、PF后与
对。
正六边形的六条边所在直线共十二条直线中，异面直线共有
——————————
18、点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，且BD＝AC，则四边形EFGH是。
————————————
19、（16分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
（1）求四棱锥的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成
角的余弦值.
20、如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA=1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.。