初中数学分类讨论思想例谈

楚地理解各个前提之 间的 关系， 并逐
分 类 进 行 讨 论 得 出各 个 问 题 的 结 论， 再 依 据 各 个 问题 的 结 论 得 出最 后
一
例 ３ ： 已知 关 于 ｘ的 一元 二 次 方程 （ ａ 一 １ ） ｘ ａ 一 ２ ｘ ＋ １ ＝ ０有 两 个不相等的实数根 ， 则ａ 的取值范围是（ ）
例２ ： 设有反 比例 函数 ｙ ＝
Ｘ
老 师要在教 学的过程 中， 以鼓励 的方式引导学生多多接触 ， （ ｘ １ ， ｙ ） 、 （ ｘ 。 为其 图象上 题 。 这类试题 ， 并向他们灌输一种“ 其实这类试题 并不是想 象中的
—
的两点， 若ｘ ｌ ＜０ ＜Ｘ ２ 时， ｙ ＞Ｙ ２ ， 则 ｋ的取 值 范 围是 —
（ １ ） 直接 写 出点 Ｅ 、 Ｆ的 坐标 ； 基 础 知识 扎 实 ， 注 意一 些 分 类 标准 和题 型 的研 究 ， 将 所要 研 究 （ ２ ） 设 顶 点 为 Ｆ的抛 物 线 交 ｖ 轴 正半 轴 于 点 Ｐ ， 且 以点 Ｅ 、 的 问题化 整 为 零 ， 利 用 已 学知识 将 其 各 个击 破 ， 分 类 讨 论 也 不 Ｆ 、 Ｐ为顶 点 的三 角形是 等 腰 三 角形 ， 求该抛 物 线 的 解析 式 ； 会 是 难题 了， 只要 我 们 多研 究 、 多实践 、 多探 索 ， 就 会 更好 的 掌 （ ３ ）在 Ｘ轴、 ｖ轴 上是 否分别存在点 Ｍ、 Ｎ，使得四边形 握 好 初 中数 学 中的分 类 讨论 思 想 。 ＭＮＦ Ｅ的周 长最小？如果存在 ， 求 出周长的最 小值 ； 如果不存 在 ， 请说明理由。 【 关键词 】 初 中数学； 分类讨论 ； 思想方法 分类 讨论 是 人 们 常用 的 重要 思 想方 法 ，无 论 是 在 生产 活 分析 ： ①解决翻折类问题 ， 首先应注意翻折前后 的两个 图
一
、Байду номын сангаас
则直 线 ｌ 与 ０ｏ 的位 置 关 系（ ） 心得 ： 方程 、 函数 的 分 类讨 论 主要 是 通过 变量之 间 的 关 系 （ Ａ ） 相切 ） 相离 建 立函数 关 系式 ，然后根 据 实 际情 况进 行 分 类 讨 论或 在 有 实 （ ｃ ） 相 离或相 切 （ Ｄ ） 相切 或相 交 际意义的情况下的讨论 ，在讨论问题的时候要 注意特殊点的 分析 ： 如果 Ｐ Ｏ 刚 好是 。 点 到 直 线 ｌ 的距 离则 ｄ ＝ ｒ ， 此 时 情 况 ． 直线 １ 和 ０ｏ 相 切 ；如 果 Ｐ Ｏ 不是 ０ 点到直 线 １ 的 距 离则 基于分类讨论的各种困难 ， 于是 ， 当有些 同学遇到 涉及分 ｄ ＜ ｒ ， 此 时直 线 ｌ 和 ０ｏ 相 交。 类讨论的试题 时，会产生畏惧和烦躁的心理 ，甚 至会放弃此
初 中数学 分类讨论思想例谈
贵 州省金 沙县 沙土镇 官 田初 级 中学
过收集一些分类讨论题 目之后 ， 分类讨论没有想象 中难 ， 只要
陈应 飞
【 摘 要】 分类讨论在很 多 数 学问题 中是经常遇到的 ， 通 点 Ｄ， 将 ＡＢ ＤＡ沿 Ｂ Ｄ翻 折 ， 使 点 Ａ 落在 ＢＣ边 上 的点 Ｆ处 。
㈥ａ ＜ ２ ㈣ａ ＞ ２ （ Ｃ ） ａ ＜ ２且 ａ ≠１ ㈣ ａ ＜ 一 ２
分析 ： 一元二次方程有两个不相等的 实数根则 ｂ ２ － ４ ａ ｃ ＞ ０ ， 所 以（ 一 ２ ） ２ － ４ ×（ ａ — Ｉ ） ×１ ＞ ０ ， 同 时要 注意 二 次 项 系数 不 等 于 零
就 必 须分 类 讨论 。
那 么难 ” 观 念， 帮 助 他们 减 少遇 到 此 类 问题 的畏 惧 和 烦 躁 感 ， 增 强 学 生解 决 分 类讨 论 试题 的 信 心 。 解 决 分 类 讨 论 问 题 的 关 键 是 有 要 纵观 全 局 的逻 辑 思 维方 式 。 必 须 清
即 ａ 一１ ≠０
例４ ： 若关于 ｘ的分 式方程
母 ａ的取值 范 围是 — —
１的解为正数 ， 那 么字
的结论 。 因此 ， 在这个过程 中要 求解答 者 需要 具有 纵观全局 的逻 辑思 维方 式， 才能找到最想要的答案。 老师在教 学时， 要 注意培养学生这方面的能力， 这不仅有利于解答分类讨论的试题 ， 还有利于学生培养 自主 学 习的能 力 ， 总 结 学 习方 法 。 其实， 分 类 讨论 在很 多数 学 问题 中是 经常 遇 到 的 ， 通过 收 集一些分类讨论题 目之后 ， 分类讨论没有想象 中难 ， 只要基础 知 识扎 实 ， 注意一 些分 类标 准 和题 型 的研 究 ， 将 所要 研 究 的 问
动、 科 学实验 中， 还是在 日常的生活 中， 都常常需要 用到 它。 平 形是全等图， 找 出相等的边和角。 其次要注意对应点的连线被 时的做 题 中 同学们 要 不 断地 积 累和 总 结 了这 方 面的 一 些 习题 对 称 轴 （ 折痕 ） 垂 直平 分 。 结合 这 两 个性 质 来 解决 。 在 运 用分 类 进 行研 究 。 讨论的方法解决 问题 时， 关键在 于正确的分类 ， 因而应有一定 下 面谈 一 些初 中数 学 中的分 类讨 论 思 想及 运 用 这一 思 想 的分 类标 准 ， 如 Ｅ为顶 点 、 Ｐ为 顶 点 、 Ｆ为顶 点 。也 应 注 意一 些 时应 该 注 意的 问题 。 关键 的 点 或线 段 ， 借 助这 些关键 点和 线段 来准 确 分 类 。 这样 才 根据 条 件 的不 确 定性 进 行 分类 能做到不重不漏。 ②解决和最短之 类的问题 ， 常构建水泵站模 例 １ ： 已知 ０ｏ 的 半径 为 ２ ， 直线 ｌ 上有一点满足 Ｐ Ｏ＝ ２ ， 型解 决 。
分析 ： 要 讨 论 反 比例 函 数 图 象在 一 、 三 象 限或 者 在 二 、 四 象限会 使 Ｘ １ ＜ ０ ＜ Ｘ ２ 时， ｙ １ ＞ ｙ ２ ， 从 而得 到 ｋ的取值 范 围。 二、 分类讨论在一些数学定义中的应用 有 些数 学概 念 是 分 类 定 义 的 （ 如 实数 的 绝 对值 ） ， 所 以应 用这 些 概 念 解题 时 ， 就 需进 行 分类 讨 论 。 有 些数 学概 念 在 下 定 义 已经对所考虑的对象的范围作 了限制（ 如二次方程， 要 求二 次项 系数不为零 ） ，当解题过程的变换需要 突破这些限制时，