声学中波动方程的建立
3.1,3.2 基本概念 声学量 波动方程 速度势函数(3学时)
第三章 理想流体介质中小振幅波的基本规律
3.1 基本声学量和理想流体中的基本方程
主要内容
3.1.1 基本声学量 3.1.2 理想流体中三个基本方程
声音的产生
声音的产生
声音的产生
什么是声音？
苏东坡在赤壁赋中说: “耳得之而为声”
声音的产生
声音是由声源的机械振动产生的，声源的振 动状态，通过周围介质向四周传播形成声波。 从物理学来说，声波就是介质中的机械波。
声音的产生
声音的产生
声波在介质中传播的速度，称为声波的 传播速度。
重点总结！
1、声音的实质－声音是介质中的机械波 2、声波产生的两个基本条件 （1）声源 （2）传声介质
3.1.1 基本声学量
主要内容
1、声压－压强的变化量 2、质点振速－介质运动速度的变化量 3、压缩量－介质密度相对变化量
为介质压缩量,也称介质密度的相对变化量s（无量纲）
注意：
声场中的质点振速和声波的传播速度
是两个概念。
重点总结！
声学量——描述声波作用的量。
1、声压－压强的变化量
2、质点振速－介质流速的变化量 3、密度逾量－介质密度的变化量
波动方程的推导
声波的波动方程：描述声场空间、时间变化 规律和相互 x, y, z, t 0 x, y, z
为介质中声场的密度逾量。 MKS制中，基本单位：kg/m3
x, y, z, t 0 x, y, z 定义： sx, y, z, t 0 x, y, z
纵波：声波的传播方向与质点振动方向一致。 横波：声波的传播方向与质点振动方向垂直。
声音的产生
纵波传播过程
声音的产生
纵波传播过程
波动方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。
波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
对于一个标量(quantity) 的波动方程的一般形式是：
这里a通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。
对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。
但若a作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：
注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。
那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。
u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。
对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。
是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。
注意u可能是一个标量或向量。
波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太
宽泛了。
不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。
电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。
这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。
声学黑洞波动方程
声学黑洞波动方程
声学黑洞是一种人造结构，可以通过吸收声波来模拟黑洞的某些性质。
在声学黑洞中，波动方程可以用来描述声波的传播和吸收。
波动方程是描述波动现象的基本方程，适用于描述声波、光波、电磁波等波动现象。
在声学黑洞中，波动方程可以表示为：
∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x² + f(x)
其中，u(x,t)表示声波的位移，t表示时间，x表示空间位置，c 表示声速，f(x)表示声波的吸收系数。
在声学黑洞中，f(x)通常是一个非零的函数，表示声波在某些区域被强烈吸收。
通过调整f(x)的取值和分布，可以模拟不同类型和不同性质的声学黑洞。
求解波动方程是研究声学黑洞的关键步骤之一。
通过求解波动方程，可以得到声波在声学黑洞中的传播和吸收情况，进一步了解黑洞的性质和特点。
在实际应用中，可以使用数值方法和计算机模拟来求解波动方程。
波动方程的声波问题
波动方程的声波问题波动方程是数学中一个重要的概念，被广泛用于描述各种波动现象。
在声学方面，波动方程特别适用于描述声波的传播。
声波是指通过介质传播的机械波，其传播的速度和方向受到介质的物理特性限制，比如介质的密度、弹性模量、粘度等。
本文将介绍波动方程的声波问题，以及其在实际应用中的应用。
1.声波问题是波动方程的一种常见应用，其数学表达式如下：∂²p/∂t²=c²∇²p其中p为声音信号的压力，c为声音在介质中传播的波速。
式中的∇²表示拉普拉斯算子，是对p的三个空间坐标的二阶偏导数之和。
显然，这个方程是一个偏微分方程，需要使用相应的数学方法来求解。
声波问题包括声源、传播介质和接收器三个部分。
声源产生的声音信号通过传播介质，最终被接收器接收。
在介质中，声波会受到反射、折射、衍射等影响，因此声波的传播路径十分复杂。
通过解决波动方程，可以计算出声波的传播路径和强度分布，为实际应用提供依据。
2.波动方程的应用波动方程的声波问题在实际应用中有着广泛的应用。
以下列举几个代表性的应用领域。
（1）声学成像：声学成像是指通过声波来成像的技术，可以用于地质勘探、医学成像等领域。
在地质勘探中，利用地下介质的物理特性和声波的传播规律，通过测量声波的传播时间和强度分布，来探测地下的矿藏、油气储层等信息。
（2）声波障碍物检测：声波障碍物检测是指利用声波来检测物体表面的缺陷和裂纹等缺陷。
在实际应用中，通常是将声波通过物体表面传递，并通过接收器捕获反弹回来的声波。
通过分析反射回来的声波信号，可以确定物体表面的缺陷位置和大小。
（3）无损检测：无损检测是工程领域中的一种常用检测技术，可以用于检测工程材料的裂纹、疲劳损伤等缺陷。
声波是一种非常有用的无损检测方法，因为它可以穿透材料，在材料内部产生反射和散射，从而捕获材料内部缺陷的信息。
3.结语波动方程是数学中一个重要的概念，在各个领域中都有着广泛的应用。
水中三维声波的波动方程
水中三维声波的波动方程在水中产生声波的过程可以理解为一种波动现象，声波的波动方程是描述声波在水中传播的数学公式。
在三维空间中，声波的波动方程可以分为时间和空间两个方面考虑。
首先，我们来看声波在时间上的波动方程。
在水中产生声波的过程中，声源会以一定频率震动，产生波动并传播到水中。
因此声波在时间上的波动方程可以表示为：∂²P/∂t² - c²∇²P = 0其中，P是声波的压力变化， t是时间，∇²是空间弯曲度（即声波在三维空间中的摆动方式）， c是声波在水中的传播速度。
其次，我们再来看声波在三维空间中的波动方程。
由于空间中具有三个维度，因此声波在三个维度上的波动方程需要分别表示。
在直角坐标系中，声波在x、y、z三个方向上的波动方程可以表示为：∂²P/∂x² + ∂²P/∂y² + ∂²P/∂z² - 1/c² ∂²P/∂t² = 0其中， P是声波的压力变化， x、y、z是三维空间的坐标轴， t是时间， c是声波在水中的传播速度。
这个方程也可以用向量运算的形式表示：∇²P - 1/c² ∂²P/∂t² = 0其中，∇²是拉普拉斯算子，P是表示声波压力的矢量函数。
总结来说，声波的波动方程是描述声波在水中传播的数学公式。
在三维空间中，声波的波动方程可以分为时间和空间两个方面考虑，在直角坐标系中可以表示为∂²P/∂t² - c²∇²P = 0 或者∇²P - 1/c² ∂²P/∂t² = 0。
这个方程在声学研究和海洋工程等领域中具有重要的应用价值。
大学物理-波动方程
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
波动方程的声传输问题
波动方程的声传输问题波动方程是描述自然界中许多现象的重要数学工具，特别是在声、光、电磁场和地震等自然现象中都具有广泛的应用。
在声传输问题中，电磁波和地震波的传播过程都可以被视为波动方程的解。
本文将着重探讨波动方程在声传输问题中的应用，包括声波传递的基本原理、波动方程的解析解、数值解法及其应用、声波的离散化和计算等方面。
一、声波传递的基本原理声波是机械波的一种，是指空气、水或其他介质中的压力扰动在介质内传递时所产生的振动。
声波的传递需要一个介质，许多物体都能作为声波的传播介质。
例如，我们经常使用的空气、水、陆地，以及金属、玻璃等物体都可以传递声波。
声波传递的基本原理是通过引起介质中粒子的振动，从而产生声音。
在空气中，声波是由气体分子的压缩和稀薄所引起的周期性的变化。
当一个声源（例如人的声带）开始振动时，它会产生声波，这些声波扩散到周围的空气中。
声波在介质中传递时，通常会遇到其他物体的障碍物。
这些障碍物会使声波发生反射、折射和衍射等现象，从而影响声波的传播路径。
二、波动方程的解析解波动方程在声传输问题中是一个关键的数学模型，它可以用于描述声波在介质中的传播。
波动方程可以写成如下的形式：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2u$$其中$u$是波动量，$t$是时间，$c$是传播速度，$\nabla^2$是拉普拉斯算符。
该方程的解析解具有显式的形式，可以用于描述声波在介质中的传播过程。
波动方程的解析解可以用分离变量的方法得到。
假设波动量$u$的解可以表示为如下的形式：$$u(t,\vec{x})=\sum_{k=1}^{+\infty}T_k(t)X_k(x)$$其中$X_k(x)$是表征空间分布的函数，$T_k(t)$是表征时间演化的函数。
将该解代入波动方程中，得到：$$\sum_{k=1}^{+\infty}(T_k''(t)+c^2\lambda_kT_k(t))X_k(x)=0$$其中$\lambda_k$是求解的特征值。
声学基础
第三章语音资料检验第一节声学基础知识波动是常见的物质运动形式。
波不是实体的运动，而是一种形状、形态或形式的运动。
可以把它们称为“扰动”，波就是扰动的传播。
在不同介质里的扰动形成不同的波。
声音是机械扰动在气体、液体或固体中传播而形成的。
一、波动及波动方程（一）波动方程一般形式扰动从作用点传到邻近点，逐渐传播开来，形成了波动。
作用在任何固体、液体和气体的各元素之间的弹性力，都会在这些物体内产生弹性波，即声波。
某已知个时刻产生的扰动，经过一段时间会在离起始点某一距离的地方出现同样的扰动，也就是说，它以一定的速度传播着。
设扰动沿x方向传播，可以把扰动y表示为坐标x和时间t的函数：y = f（x，t）。
以速度v 沿着x 方向传播的扰动可以用函数（v t—x）或者（t—x/ v）表示。
根据扰动在时间上的周期出现，则有v t—x = v（t+dt）—（x+dx）（3.1）在时间dt内，扰动以dx/dt速度移动一段距离dx，由（1）式可知v=dx/dt。
因此，以（v t—x）为宗量的任何函数都表示沿正x轴方向以速度v传播的扰动。
类似地，以（v t+x）为宗量的任何函数都表示沿负x轴方向以速度v传播的扰动。
函数f的形式决定任何时刻t的扰动的形状，并且随着扰动条件而变化。
以速度v沿正x轴方向传播的波可以表示为y = f（t-x/v）将x值固定，函数f将给出扰动随时间的变化。
f 可以是任何函数，这里取正弦函数，y = Asin[（2π/T）（t—x/v）] （3.2）其中，A为振幅，表示扰动离开平衡位置的距离；T为周期，表示同样扰动再一次出现所需要的时间；（2π/T）（t—x/v）为位相，描述质点在任意时刻的位移和速度。
为了使（3.2）更具普遍性，还须加上初位相，即t=0时的位相y = Asin[（2π/T）（t—x/v）+φ] （3.2）波动在一个周期内通过的距离称为波长λ，λ=v T。
定义ω=2π/T=2πν，ω为角频率，ν为线频率ν。
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田佳星海洋技术１2０200４１049
今天我介绍一下声学中波动方程得建立。
我们首先介绍一下声学得基本概念。
声波就是机械振动状态在介质中得传播。
存在声波得空间称为声场。
理论上描述声场需要引入一些物理量:声压、位移、振速、密度压缩量与相位等。
通常采用上述各物理量得时空分布函数描述声场。
下面对这些物理量作简要介绍。
1、基本概念
１) 声压(标量)
声波为压缩波。
描述“压缩”过程得一个物理量就是压强。
然而,声波就是声扰动(如振动源)引起介质中得压强发生变化得部分。
因此,我们引入声压得概念:
声压为介质压强得变化量:
(2-1)
其中,就是压强,就是介质中得静态压强。
声压就是描述波动得物理量。
为使用方便,还由声压引入了瞬时声压、峰值声压与有效声压。
声场中某瞬时得声压称为瞬时声压。
一定时间间隔内得最大瞬时声压称为峰值声压。
瞬时声压在一定时间间隔内得均方根值称为有效声压,即
(2-2) 对简谐声波,、与相互之间得关系与电压可作相同类比,即。
一般仪器仪表测得就是有效声压。
2) 位移与振速(矢量)
质点位移就是指介质质点离开其平衡位置得距离、质点振速就是介质质点瞬时振动得速度。
两者均就是有大小与方向得量,即矢量,相互关系为
(２—3)
对简谐振动,位移与振速都满足如下关系:
, (2—４a)
, (2-4b)
其中,与分别为位移幅值与振速幅值。
需要注意得就是区分质点振速与声传播速度。
声传播速度就是指振动状态在介质中传播得速度,而质点振速就是指在给定时间与给定空间位置得某一质点得振动速度。
３) 密度与压缩量
密度得变化也就是描述声波得一个物理量。
这里引入压缩量得概念:
(２-5)
其中,密度,为静态密度,为密度改变量。
压缩量s得含义为介质密度得相对变化量、
４) 相位
为描写简谐振动而引入得物理量。
它描述质点简谐振动得状态。
质点振动得一个周期对应着相位0—2π、相位与质点振动状态有一一对应得关系。
声波就是振动状态在介质中得传播,而相位描述得就是质点简谐振动得状态、由此可见相位在声场描述中得重要性。
以上物理量并不就是独立得,如根据位移由(２－3)式可以求出振速。
实际应用时可根据需要选择使用哪些物理量来描述,如对简谐声波,只需要位移幅值与相位就可导出振速、加速度等基本物理量;更进一步,如果已知介质条件,只要知道位移幅值与相位得初值,就可计算声场得时空分布函数了。
2. 理想流体介质中得小振幅波
本节先建立描述声波得基本方程-波动方程,并讨论波动方程得线性特性;然后分别介绍波动方程在几种简单介质条件下得解－行波解、平面波解、球面波解与柱面波解,并对各种解中相关得物理量,如声场中得能量、介质特性阻抗与声阻抗率、相速度与群速度等概念,进行讨论,并重点分析在水声物理中应用较多得平面波在两种不同均匀介质界面上得反射与折射现象。
一、波动方程
２、1建立波动方程
为更清楚地了解声波得物理本质,我们先对介质条件与声波做出一定得限制,而得到形式简洁得波动方程,并通过它认识声波得物理本质。
在后续得学习与研究过程中,将不断引入更为复杂得介质条件与放宽对声波得限制,再进行研究、这也就是物理中研究常用得方法之一。
假设条件:
✧介质静止、均匀、连续得;
✧介质就是理想流体介质,即忽略粘滞性与热传导;
✧声波就是小振幅波。
（1）连续性方程
理论推导见教材、
连续性方程即质量守恒定律:介质流入体元得净质量等于密度变化引起得体元内质量得增加。
(2-6)
根据假设条件有:
(2—
7)
事实上,当介质本身有流动时,中含有介质流动速度得影响,相关理论可参阅朗道著《连续介质力学》。
考虑到假设介质就是静止得,(2—6)式与(２－7)式中没有考虑介质流动速度得影响。
（2）状态方程
在理想流体介质声传播过程中,还没有来得及进行热交换,声波传播(介质得压缩与膨胀)得力学过程已经完成,这一过程近似为绝热过程,即无热传导。
绝热过程中,
(2-８)
其中,定义
, (2-9)
为压强,为密度,下标表示绝热过程。
本节后面讨论波动方程得解时,可知为声波在介质中得传播速度。
声速就是介质固有得特性,就是由介质得物理参数所确定得。
下面由理想流体介质得绝热状态方程导出声速与介质参数得关系。
一定质量理想流体得绝热状态方程为
(2—１0)
其中,与分别为平衡态下流体得压强与密度,为流体定压比热与定容比热之比。
(2-10)式表明,在绝热状态下,流体压强只就是密度得函数。
对(２－10)式微分得
(2－11)
由(2—8)、(２－10)与(2－１１)式可推得
(2－12a) 更进一步,利用小振幅近似可以给出声速得近似表式。
由(2—12a)式可知,只就是密度得函数。
将在附近展开得
,
忽略小量()之后得项近似得
式中就是在平衡态时得声速。
因此,
(２-12b)
引入平衡态下得绝热压缩系数(单位压强变化引起得体积相对变化)
,
利用质量不变表式
与小振幅近似,
(2—１２
ｃ)
以上几种声速表式,可根据使用方便选用。
另外,以后除特殊说明,以后只用表示声速,而不用
（3）运动方程
运动方程实质上连续流体介质中得牛顿第二定律。
理论推导见教材、
(2—1３)
式中,本地加速度、迁移加速度、
对于小振幅波,迁移加速度项为二阶小量,略去后再根据假设条件有:
(2-14) (４) 波动方程
对(２－1４)求散度(两端同时左乘),将(２—7)式两端对时间求偏导数,注意到时、空导数次序对调不变,消去振速项,再利用(2—８)式可得波动方程
(2—1
５)
其中,在直角坐标系中:
在球坐标系中:
在柱坐标系中:。
引入速度势物理量。
(2-１6)
它表示单位介质质量具有得声扰动冲量、由(２-１６)式可知,声压、质点振速与速度势得关系就是:
(2－17)。
(2—
18)
将(2-17)与(2－18)式分别代入连续性方程、状态方程与运动方程,作与(2-15)式类似得推导,可得关于速度势得波动方程:
、
(２—19)
(２—15) 与(２－19)两式具有相同得形式,但却就是不同物理量满足得声纳方程、实际使用时,两者边界条件与初始条件得表述不同,可根据解算得方便选择不同得物理量来描述声场,当然也就需要选择相应得波动方程了。
速度式与声压、振速等物理量间得转换关系由(2—1６)、(２-１７)与(2－１8)三式给出。
3、物理法则
(1) 声压随空间时间变化得函数关系,称为声学波动方程。
(2)声波动作就是一种宏观得物理现象必然满足以下三个基本物理定律:
牛顿第二定律
质量守恒定律
热力学定律
(３)运用以上定律,可以分别推导出媒质得运动方程、连续性方程与物态方程、
4.参考文献
1)《声学基础》杜功焕等南京大学出版社。