专升本试题及解答(四川理工2014A)

四川理工《高等数学》专升本考试题（2014A）
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2014年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（A卷）
一、选择题（每题3分，共15分）
1、函数)12arccos()(xxf的定义域为（ A ）

（A）]4,0[ （B）),( （C）)4,0( （D）
【知识点】反三角函数的定义域。
解析：401121xx。
2、下列求导中正确的是（ B ）
（A）eecos)(sin （B）0)(sine （C）xxeecos)(sin （D）xxxeeesin)(sin
【知识点】基本初等函数的导数公式（常数的导数为0）。

3、无穷级数131)1(nnn满足（ B ）
（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）不能确定
【知识点】交错级数的审敛法、条件收敛的定义。

解析：由莱布尼茨判别法知，131)1(nnn收敛；

取nvn1，由比较法的极限形式知，1131nnnnu发散，故原级数条件收敛。
4、将二重积分22021),(xxdyyxfdx交换积分次序正确的是（ C ）
（A）22021),(xxdxyxfdy （B）22010),(yydxyxfdy
（C）211110),(ydxyxfdy （D）211121),(ydxyxfdy
【知识点】交换二次积分次序。
解析：新积分区域2111;10:yxyD。
5、设cxdxxf2sec)(，则)(xf（ B ）
（A）xtan （B）xxtansec22 （C）xsec2 （D）xxtansec2
【知识点】微分与积分的互逆性。xxxtansec)(sec。

二、填空题：（每题3分，共18分）
1、极限11lim451xxx 。【45】
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【知识点】罗必达法则。

2、设)(xf为可导函数，且2)31()31(lim000hhxfhxfh，则)(0xf 。【3】
【知识点】导数的定义。

解析：hhxfhxfh)31()31(lim000
)(32])31(3)()31(313)()31([lim000000xfhxfhxfhxfhxfh

。

于是，2)(320xf，即3)(0xf。
3、微分方程096yyy的通解 。【xexcc321)(】
【知识点】二阶常系数线性齐次微分方程的通解。
解析：0962rr，即3r，故通解xexccy321)(。

4、函数)(22yxf的全微分为 。【2222)(yxydyxdxyxf】
【知识点】抽象函数的全微分：dyfdxfdfyx。
5、级数12214)1(nnnxnn的收敛域为 。【]1,1[】
【知识点】幂级数的收敛半径。
解析：令tx2，则1214)1(nnntnn的收敛半径114)1(4lim22nnnnRn

于是12x，即11x，故收敛区间为)1,1(；
当1x时，级数1214)1(nnnn绝对收敛，故原级数的收敛域为]1,1[。
6、与向量kji22反向的单位向量为 。【kii323231】
【知识点】单位向量的定义。
解析：3221222，反向的单位向量为：kii323231。

三、解答题（每小题7分，共63分）
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1、设0,0,1)(2xxexxxfx，求22)1(dxxf。
【知识点】定积分的换元法、分部积分法、区间可加性。
解析：令1xt，则dxdt，

原式1012033330()1[]1244xxxftdtxedxxdxxeee。

2、求曲线textcos，teytsin，tz3对应于4t的切线方程。
【知识点】空间曲线的切线方程。
解析：)sin(costtext，)sin(costteyt，3z

对应4t曲线上点的切线的方向向量为)3,2,0(4eS，
对应4t曲线上点的坐标为)43,22,22(44ee，

所求切线方程为：34322222444zeeyex。
3、计算极限xxdxxxxcos1tanlim20。
【知识点】罗必达法则、变上限函数的导数。

解析：101sintan2limsintanlimsintan2tanlimcos1tanlim2002002xxxxxxxxxxxdxxxxxxx。
4、设)(xfy由方程03arctan2xyxye所确定，求dy。
【知识点】隐函数的微分法（微分的形式不变性）。

解析：两边求微分：03ln33ln311222dyxdxydyydxxexyxyx，

所以，2223ln313ln31zxyxyxeydydxxy。

5、设D是由9222yx和222yx所围成区域，求dyxyxD2222sin。
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【知识点】极坐标系下的二重积分计算。
解析：区域rD3;20:。

22
2

22
0

3
3

sinsin2[cos]3Dxyrddrdrrrxy





。

6、将xxf1)(展开成)2(x的幂级数。
【知识点】幂级数的展开。

解析：因为0)1(11nnnxx（11x）



010)2(2)1()22()1(21221121)2(211nnnnnn
n
x

x

x
xx

，

其中，401221xx。
7、求解微分方程22xyy的通解。
【知识点】二阶常系数线性非齐次微分方程。
解析：由022rr得：2,021rr，齐次通解xeccy221；

设非齐次特解)(*2cbxaxxy，
将*,**,yyy代入原方程得：41,41,61cba，即)414161(*2xxxy
故，原方程通解为：xxxeccyx41416123221。
8、求函数22yxz在直线134yx上的极值。
【知识点】条件极值（拉格朗日乘数法）。
解析：令)134(),(22yxyxyxF，

由134032042yxyFxFyx得：3648288,,252525xy，故，函数的极小值为25144。
解法二：由134yx得：334yx，于是223(3)4zxx
令332(3)024zxx，3648,2525xy，故极小值为2214425zxy。
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9、求曲线xy2和2xy围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积。
【知识点】定积分的应用（旋转体的体积）。
解析：103)(])()[(10410222dxxxdxxxV。

四、证明题（共4分）
设函数)(xf在]2,0[上连续，在)2,0(内可导，且0)(xf，1)0(f，ef)2(，

试证：在)2,0(内至少存在一点，使cos)()(ff。
【知识点】罗尔定理（或柯西中值定理）。
（证法一）：令xexfxFsin)()(，显然)(xF在]2,0[上连续，在)2,0(内可导；

xexfexfxFxxcos)()()(sinsin

又1)0()0(0efF，1)2()2(1efF，即1)2()0(FF，
由罗尔定理，)2,0(，使0)(F，
即0cos)()(sinsinefef，于是，0cos)()(ff，
故cos)()(ff。

（证法二）：令)(ln)(xfxF，xxGsin)(，则)()()(xfxfxF，xxGcos)(
由条件知)(),(xGxF在]2,0[上连续，在)2,0(内可导，由柯西中值定理得：

)2,0(
，使)0()2()0()2()()(GGFFGF，即10sin2sin)0(ln)2(lncos)()(ffff，

即，cos)()(ff，故，cos)()(ff。